32 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) - Đề 1

Câu 1:

Khi tìm nguyên hàm $\int \frac{1}{1 + \sqrt{1 + x}} d x$ , bằng cách đặt t = $\sqrt{1 + x}$ ta được nguyên hàm nào sau đây?

A. $\int \frac{2}{1 + t} d t$

B. $\int \frac{t}{1 + t} d t$

C. $\int \frac{2 t}{1 + t} d t$

D. $\int \frac{1}{1 + t} d t$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Đặt t = $\sqrt{1 + x}$

Þ t²= 1 + x Þ 2tdt = dx

Vậy $\int \frac{1}{1 + \sqrt{1 + x}} d x$ = $\int \frac{2 t}{1 + t} d t$ .

Câu 2:

Trên tập số phức, cho số phức z có biểu diễn hình học là điểm M ở hình vẽ sau.

Media VietJack

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z = − 3 – 2i.

B. z = 3 – 2i.

C. z = 3 + 2i.

D. z = − 3 + 2i.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: Mỗi số phức z = x + yi được biểu diễn một điểm M (x; y)

Do đó số phức có điểm biểu diễn M (3; – 2) là z = 3 – 2i.

Câu 3:

Biết $\int_{1}^{2} x \ln xdx$ = aln2 + $\frac{b}{4}$ trong đó a, b là các số nguyên. Tính a + b.

A. a + b = 2.

B. a + b = 3.

C. a + b = – 1.

D. a + b = – 2.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Đặt u = lnx Þ du = $\frac{1}{x}$ dx

dv = xdx Þ v = $\frac{1}{2}$ x² + C

Chọn C = 0 $\Rightarrow$ v = $\frac{1}{2}$ x²

Ta có: $\int_{1}^{2} x \ln xdx$ = ${\ln x . \frac{1}{2} x^{2}|}_{1}^{2}$ – $\int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} . \frac{1}{x} d x$

= ln2. $\frac{1}{2}$ .4 – ln1. $\frac{1}{2}$ .1 – $\int_{1}^{2} \frac{x}{2} d x$

= 2ln2 – ${\frac{x^{2}}{4}|}_{1}^{2}$

= 2ln2 – $(\frac{2^{2}}{4} - \frac{1^{2}}{4})$

= 2ln2 – 1 + $\frac{1}{4}$

= 2ln2 – $\frac{3}{4}$

Mà $\int_{1}^{2} x \ln xdx$ = aln2 + $\frac{b}{4}$

Þ a = 2, b = – 3

Do đó a + b = 2 + (– 3) = – 1.

Câu 4:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = $\frac{1}{\cos x}$ , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = $\frac{π}{4}$ . Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành có thể tích bằng

A. π – 1.

B. 2π.

C. π².

D. π.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

V = π $\int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x$

Vậy hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = $\frac{1}{\cos x}$ , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = $\frac{π}{4}$ quay quanh trục hoành ta được khối tròn xoay có thể tích bằng:

V = π. $\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{cosx})}^{2} d x$

= π. $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{{cos}^{2} x} d x$

= π. $({tanx|}_{0}^{\frac{π}{4}})$

= π. (tan $\frac{π}{4}$ – tan0)

= π. (1 − 0)

= π.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 5:

Cho số phức z thỏa mãn 2z + 3 = 15 − 4i. Phần ảo của z bằng

A. 4.

B. − 4.

C. 3.

D. − 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Giả sử z = a + bi (a, b ∈ ℝ)

Þ số phức liên hợp của z là = a − bi

Thay z = a + bi và = a − bi vào 2z + 3 = 15 − 4i ta được:

2. (a + bi) + 3. (a − bi) = 15 − 4i

Û 2a + 2bi + 3a – 3bi = 15 – 4i

Û 5a − bi = 15 − 4i

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 a = 15 \\ - b = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = 4 \end{cases}

Do đó z = 3 + 4i có phần ảo là 4.

Câu 6:

Cho hai số phức z = 4 + 3i và w = 2 + i. Số phức iz + $\bar{w}$ bằng

A. − 1 + 3i.

B. − 1 + 3i.

C. 5 + 3i.

D. 6 + 2i.

Xem đáp án

Đáp án đúng là A, B

Ta có: w = 2 + i nên $\bar{w}$ = 2 − i

Þ iz + $\bar{w}$ = i. (4 + 3i) + 2 – i

= 4i + 3i² + 2 – i

= 2 + 3i + 3i²

Ta lại có i²= − 1

Þ iz + $\bar{w}$ = 2 + 3i − 3 = − 1 + 3i.

Vậy ta chọn phương án A, B.

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (2; 1; 0) và N (4; 3; 2). Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của MN, phương trình của mặt phẳng (P) là

A. x + y + z + 6 = 0.

B. 2x + y + z − 6 = 0.

C. x + y − z − 6 = 0.

D. x + y + z − 6 = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của MN nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là vectơ $\vec{M N}$

Với M (2; 1; 0) và N (4; 3; 2) ta có:

$\vec{M N}$ = (2; 2; 2)

Þ $\vec{M N}$ = (1; 1; 1)

Gọi I là trung điểm của đoạn MN nên tọa độ điểm I là:

x_I = $\frac{x_{M} + x_{N}}{2}$ = $\frac{2 + 4}{2}$ = 3

y_I = $\frac{y_{M} + y_{N}}{2}$ = $\frac{1 + 3}{2}$ = 2

z_I = $\frac{z_{M} + z_{N}}{2}$ = $\frac{0 + 2}{2}$ = 1

Vậy tọa độ điểm I là I(3; 2; 1)

Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của MN nên mặt phẳng (P) đi qua điểm I(3; 2; 1)

Mặt phẳng (P) có VTPT là $\vec{n_{(P)}}$ = (1; 1; 1) và đi qua điểm I(3; 2; 1) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

1. (x − 3) + 1. (y − 2) + 1. (z − 1) = 0

Û x + y + z − 6 = 0.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: x + y + z − 6 = 0.

Câu 8:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = $\frac{1}{2 x - 4}$ là

A. ln (2x − 4) + C.

B. $\frac{1}{2}$ ln|2x – 4| + C.

C. $\frac{1}{2}$ ln|x – 2| + C.

D. −

\frac{1}{2}

ln|x – 2| + C.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int \frac{1}{a x \pm b} d x$ = $\frac{1}{a}$ .ln|ax ± b|

Vậy nên $\int \frac{1}{2 x - 4} d x$ = $\frac{1}{2}$ ln|2x – 4| + C.

Câu 9:

Cho hai số phức z = 4 + 3i và w = 2 + i. Số phức z + w bằng

A. 6 + 4i.

B. 3 + 2i.

C. 2 + 2i.

D. 2 + 4i.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Với z = 4 + 3i và w = 2 + i ta có:

z + w = 4 + 3i + 2 + i

= 6 + 4i.

Câu 10:

Hàm số F (x) = x + $\frac{1}{x}$ (với x ≠ 0) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. f (x) = 1.

B. f (x) = $\frac{x^{2}}{2}$ + ln|x|.

C. f (x) = 1 − $\frac{1}{x^{2}}$ .

D. f (x) = 1 + $\frac{1}{x^{2}}$ .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Hàm số F (x) = x + $\frac{1}{x}$ (với x ≠ 0) là một nguyên hàm của hàm số f (x) nên đạo hàm hàm số F (x) ta tìm được f (x)

Vậy nên F(x) = f (x) = ${(x + \frac{1}{x})}^{'}$ = 1 − $\frac{1}{x^{2}}$ .

Câu 11:

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f (x) = xcosx?

A. xcosx − sinx.

B. xsinx + cosx.

C. xsinx − cosx.

D. xcosx + cosx.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đặt u = x Þ du = dx

dv = coxdx Þ v = sinx + C

Chọn C = 0 Þ v = sinx

Þ $\int x c o sxdx$ = xsinx − $\int sinxdx$

= xsinx + cosx + C₁

Chọn C₁ = 0 thì $\int x c o sxdx$ = xsinx + cosx.

Câu 12:

y = x³ + 3x (C). Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm M (1; 4). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), (d) và trục hoành

A. $\frac{5}{12}$

B. $\frac{5}{9}$

C. $\frac{7}{12}$

D. $\frac{7}{9}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: f '(x) = (x³ + 3x)' = 3x² + 3

f '(1) = 3.1² + 3 = 6

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) và điểm M₀ (x₀; y₀) ∈ (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M₀ có dạng y = f '(x₀) (x − x₀) + y₀

Vậy nên phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm M (1; 4) là:

y = 6. (x − 1) + 4

Þ y = 6x − 2

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:

x³ + 3x = 6x – 2 Û x³ – 3x + 2 = 0

Û (x³ – x) – (2x – 2) = 0

Û x(x – 1)(x + 1) – 2(x – 1) = 0

Û (x – 1)(x² + x – 2) = 0

Û (x – 1)².(x + 2) = 0

Û $[\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 1 \end{array}$

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:

x³ + 3x = 0 Û $[\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = - 3 (v l) \end{array}$

Û x = 0

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và trục hoành là:

6x – 2 = 0 Û x = $\frac{1}{3}$

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), (d) và trục hoành là:

S = $\int_{0}^{\frac{1}{3}} (x^{3} + 3 x)$ + $\int_{\frac{1}{3}}^{1} (x^{3} + 3 x - 6 x + 2) d x$

S = $\int_{0}^{\frac{1}{3}} (x^{3} + 3 x)$ + $\int_{\frac{1}{3}}^{1} (x^{3} - 3 x + 2) d x$

$= {(\frac{x^{4}}{4} + \frac{3}{2} x^{2})|}_{0}^{\frac{1}{3}} + {(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x)|}_{\frac{1}{3}}^{1}$

$= [\frac{{(\frac{1}{3})}^{4}}{4} + \frac{3}{2} . {(\frac{1}{3})}^{2}] + [\frac{1^{4}}{4} - \frac{3}{2} {.1}^{2} + 2.1 - \frac{{(\frac{1}{3})}^{4}}{4} + \frac{3}{2} . {(\frac{1}{3})}^{2} - 2. \frac{1}{3}]$

$= \frac{1}{81.4} + \frac{3}{2} . \frac{1}{9} + \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 - \frac{1}{81.4} + \frac{3}{2} . \frac{1}{9} - \frac{2}{3}$

$= \frac{1}{6} + \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 + \frac{1}{6} - \frac{2}{3}$

$= \frac{5}{12}$

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 13:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A (1; 0; 2) và B (4; 1; 0) có phương trình tham số là

A. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 \\ z = - 2 + 2 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = t \\ z = 2 - 2 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = - 1 + 3 t \\ y = t \\ z = - 2 - 2 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = - 3 + t \\ y = - 1 \\ z = 2 + 2 t \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Phương trình đi qua hai điểm A (1; 0; 2) và B (4; 1; 0) nên vectơ chỉ phương của đường thẳng đó là vectơ $\vec{A B}$ : $\vec{u_{d}}$ = $\vec{A B}$ = (3; 1; −2)

Vậy phương trình tham số của đường thẳng có là $\vec{u_{d}}$ = (3; 1; −2) và đi qua điểm A(1; 0; 2) là: $\{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = t \\ z = 2 - 2 t \end{cases}$ .

Câu 14:

Có bao nhiêu số phức thỏa mãn |z| (z − 3 − i) + 2i = (4 − i)z?

A. 1.

B. 4.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: |z| (z − 3 − i) + 2i = (4 − i) z

Û |z|.z – 3.|z| −|z|. i) + 2i = 4z – z.i

Û z(|z| – 4 + i) = 3|z| + (|z| – 2)i

Lấy môđun hai vế ta được:

|z|. $\sqrt{{(|z| - 4)}^{2} + 1^{2}}$ = $\sqrt{{(3 |z|)}^{2} + {(|z| - 2)}^{2}}$

Đặt |z| = t, t ≥ 0 ta được:

t. $\sqrt{{(t - 4)}^{2} + 1}$ = $\sqrt{9 t^{2} + {(t - 2)}^{2}}$

Û t²(t² – 8t + 16 + 1) = 9t² + t² – 4t + 4

Û t⁴ – 8t³ + 7t² + 4t – 4 = 0

Û (t – 1)(t³ – 7t² + 4) = 0

Giải phương trình trên ta sẽ được 3 giá trị t thỏa mãn t ≥ 0

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 15:

Cho hàm số f (x) thỏa mãn f(x) = 5^x và f (0) = $\frac{2}{\ln 5}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. f (x) = 5^x.ln5.

B. f (x) = 5^x.ln5 + $\frac{1}{\ln 5}$ .

C. f (x) = $\frac{5^{x}}{\ln 5}$ .

D. f (x) = $\frac{5^{x}}{\ln 5}$ + $\frac{1}{\ln 5}$ .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: f(x) = 5^x nên

Þ f (x) = $\int 5^{x} d x$ = $\frac{5^{x}}{\ln 5}$ + C (1)

Thay x = 0 vào (1) ta được:

f(0) = $\frac{5^{0}}{\ln 5}$ + C = $\frac{1}{\ln 5}$ + C

mà f (0) = $\frac{2}{\ln 5}$

Þ C = $\frac{1}{\ln 5}$

Vậy nên f (x) = $\frac{5^{x}}{\ln 5}$ + $\frac{1}{\ln 5}$ .

Câu 16:

Cho số phức z thỏa mãn $\frac{z}{4 + 3 i}$ = 2. Môđun của số phức z bằng

A. 12.

B. 2.

C. 10.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{z}{4 + 3 i}$ = 2

Û z = 2. (4 + 3i) = 8 + 6i

Môđun của số phức z là: |z| = $\sqrt{8^{2} + 6^{2}}$ = 10.

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào sau đây đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng $\frac{x - 1}{- 2}$ = $\frac{y + 2}{- 1}$ = $\frac{z - 3}{2} ?$

A. 2x − y − 2z = 0.

B. 2x + y − 2z = 0.

C. −2x + y − 2z = 0.

D. 2x + y + 2z = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Giả sử mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d): $\frac{x - 1}{- 2}$ = $\frac{y + 2}{- 1}$ = $\frac{z - 3}{2}$

Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d):

Mà ${\vec{u}}_{(d)}$ = (− 2; − 1; 2)

Þ ${\vec{n}}_{(P)}$ = (2; 1; − 2)

Do mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O (0; 0; 0) và có ${\vec{n}}_{(P)}$ = (2; 1; − 2) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

2x + y – 2z = 0

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x + y − 2z = 0.

Câu 18:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): x² + y² + z² − 4x + 2y + 6z − 11 = 0 có bán kính bằng

A. $\sqrt{5}$

B. 25.

C. 5.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: x² + y² + z² − 4x + 2y + 6z − 11 = 0

Û (x − 2)² + (y + 1)² + (z + 3)² = 25

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S tâm I (a; b; c) bán kính R có phương trình chính tắc của (S) là:

(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R²

Do đó bán kính của mặt cầu (S): (x − 2)² + (y + 1)² + (z + 3)² = 25 là 5.

Câu 19:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = $\frac{1}{c o s^{2} x}$ − $\frac{1}{s {in}^{2} x}$ .

A. $\int f (x) d x$ = tanx + cotx + C.

B. $\int f (x) d x$ = tanx − cotx + C.

C. $\int f (x) d x$ = $\frac{1}{2 c osx}$ + $\frac{1}{2 s inx}$ + C.

D.

\int f (x) d x

=

\frac{1}{2 c osx}

−

\frac{1}{2 s inx}

+ C.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int f (x) d x$ = $\int (\frac{1}{\cos^{2} x} - \frac{1}{\sin^{2} x}) d x$

= $\int \frac{1}{\cos^{2} x} d x$ − $\int \frac{1}{\sin^{2} x} d x$

= tanx − (−cotx) + C

= tanx + cotx + C.

Câu 20:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; 2) và B (3; 1; 0). Độ dài đoạn AB bằng

A. $\sqrt{5}$

B. 3.

C. $\frac{\sqrt{26}}{2}$

D. $\sqrt{29}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Với A (1; 2; 2) và B (3; 1; 0) ta có độ dài đoạn thẳng AB là:

|AB| = $\sqrt{{(3 - 1)}^{2} + {(1 - 2)}^{2} + {(0 - 2)}^{2}}$ = 3.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 21:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x - 2}{2}$ = $\frac{y + 3}{- 1}$ = $\frac{z - 1}{3}$ . Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d, có vectơ pháp tuyến là

A. $\vec{n}$ = (2; −1; 3).

B. $\vec{n}$ = (2; 1; 3).

C. $\vec{n}$ = (−2; 1; 3).

D.

\vec{n}

= (−2; −1; 3).

Xem đáp án

Đáp án đúng là A

Vì mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d vậy nên vectơ chỉ phương của đường thẳng d chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):

${\vec{u}}_{(d)}$ = ${\vec{n}}_{(P)}$ = (2; −1; 3)

Vậy ${\vec{n}}_{(P)}$ = (2; −1; 3).

Câu 22:

Biết F(x) = x² + x − 1 là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên ℝ. Tính $\int_{0}^{3} [4 + f (x)] d x$

A. 22.

B. 24.

C. 16.

D. 23.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int_{0}^{3} [4 + f (x)] d x$ = $\int_{0}^{3} 4 d x$ + $\int_{0}^{3} f (x) d x$

= ${4 x|}_{0}^{3}$ + ${F (x)|}_{0}^{3}$

= 4.3 − 4.0 + ${(x^{2} + x - 1)|}_{0}^{3}$

= 12 + 3² + 3 − 1 – (0² + 0 – 1)

= 24.

Câu 23:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ

\vec{a}

= (1; 2; 3) và

\vec{b}

= (3; 2; 1). Tính

\vec{a}

.

\vec{b}

.

A. 0.

B. 12.

C. 6.

D. 10.

Xem đáp án

Đáp án đúng là D

Với $\vec{a}$ = (1; 2; 3) và $\vec{b}$ = (3; 2; 1) ta có:

$\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 1.3 + 2.2 + 3.1 = 10.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 24:

Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức z = 1 + 2i.

A. 2.

B. −1.

C. 1.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: z = 1 + 2i nên phần thực của số phức z là 1 và phần ảo của số phức z là 2.

Nên tổng phần thực và phần ảo của số phức z là: 1 + 2 = 3.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 25:

Tìm $\int 2^{x} {.3}^{x} d x$

A. $\frac{6^{x}}{\ln 5}$ + C.

B. $\frac{2^{x} {.3}^{x}}{\ln 2. \ln 3}$ + C.

C. $\frac{6^{x}}{\ln 6}$ + C.

D. 6^x ln6 + C.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\int 2^{x} {.3}^{x} d x$ = $\int 6^{x} d x$ = $\frac{6^{x}}{\ln 6}$ + C.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; 2) và B (3; 1; 0). Tọa độ của vectơ $\vec{A B}$ là

A. (2; −1; −2).

B. (4; 3; 2).

C. (−4; −3; −2).

D. (−2; 1; 2).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Với A (1; 2; 2) và B (3; 1; 0) ta có:

$\vec{A B}$ = (3 − 1; 1 − 2; 0 − 2)

= (2; −1; −2).

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(3; −1; 1), B(−1; 0; 0), C(0; 1; 0), D(0; 0; 2). Chiều cao AH của tứ diện ABCD bằng:

A. $\frac{2}{3}$

B. 2

C. $\frac{1}{3}$

D. 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Với A(3; −1; 1), B(−1; 0; 0), C(0; 1; 0), D(0; 0; 2) ta có:

• $\vec{B A}$ = (4; −1; 1);

• $\vec{B C}$ = (1; 1; 0);

• $\vec{B D}$ = (1; 0; 2);

• $[\vec{B C}, \vec{B D}]$ = (1.2 − 0.0; 0.1 − 1.2; 1.0 − 1.1)

Þ $[\vec{B C}, \vec{B D}]$ = (2; −2; −1);

• $[\vec{B C}, \vec{B D}]$ . $\vec{B A}$ = 4.2 + (−1). (−2) + 1. (−1) = 9

V_ABCD = $\frac{1}{6}$ . $[\vec{B C}, \vec{B D}]$ . $\vec{B A}$ = $\frac{1}{6}$ .9 = $\frac{3}{2}$ (đvtt)

S_BCD = $\frac{1}{2}$ . $|[\vec{B C}, \vec{B D}]|$ = $\frac{1}{2}$ . $\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2}}$ = $\frac{3}{2}$ (đvdt)

Mặt khác: V_ABCD = $\frac{1}{3}$ .AH. S_BCD

Þ AH = $\frac{3 V_{A B C D}}{S_{B C D}}$ = $\frac{3. \frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}$ = 3.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3) và cắt mặt phẳng Oxy tạo ra đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8π. Phương trình của mặt cầu (S) là

A. (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 25.

B. (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 9.

C. (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 16.

D. (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 7.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: Phương trình mặt phẳng Oxy là: z = 0

Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng Oxy tạo ra đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8π nên ta có:

2πR = 8π Þ R = 4

Khoảng cách từ điểm I(1; −2; 3) đến mặt phẳng Oxy là:

d(I, (Oxy)) = $\frac{|3|}{\sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}}$ = 3

Bán kính của mặt cầu (S) là: R₁ = $\sqrt{R^{2} + d^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}}$ = 5

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3) và bán kính bằng 5 là:

(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 25.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 29:

Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm hai điểm A(1; 2; 3), B(0; 1; −6) và mp (P): 4x − y + 2z + 13 = 0. Gọi (d) là một đường thẳng thuộc (P), (d) đi qua B. Khi khoảng cách từ A đến (d) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)

A. $\vec{u}$ = (−3; −2; 7).

B. $\vec{u}$ = (3; −2; −7).

C. $\vec{u}$ = (−3; 2; −7).

D

\vec{u}

= (3; 2; 7).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gọi điểm M là hình chiếu vuông góc của điểm A xuống mặt phẳng (P)

Gọi AH là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d, H ∈ d

Þ AM ≤ AH

Theo đề bài, khoảng cách từ A đến (d) đạt giá trị nhỏ nhất

Þ AM = AH và điểm M trùng với điểm H, M ∈ d

Vì AM ⊥ (P), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AM.

Mặt phẳng (P): 4x − y + 2z + 13 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{(P)}$ = (4; −1; 2)

Þ ${\vec{u}}_{A M}$ = (4; −1; 2)

Đường thẳng AM có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{A M}$ = (4; −1; 2) và đi qua điểm A(1; 2; 3) nên có phương trình tham số là: $\{\begin{cases} x = 1 + 4 t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2 t \end{cases}$

• M ∈ d Þ Điểm M có tọa độ là: M(1 + 4t; 2 – t; 3 + 2t)

• M ∈ (P) Þ Thay tọa điểm M (1 + 4t; 2 – t; 3 + 2t) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

4. (1 + 4t) – (2 – t) + 2. (3 + 2t) + 13 = 0

Þ 4 + 16t – 2 + t + 6 + 4t + 13 = 0

Þ 21t = –21

Þ t = –1

Þ Điểm M có tọa độ là: M(–3; 3; 1)

Với B(0; 1; −6) và M(–3; 3; 1) ta có:

$\vec{B M}$ = (–3 – 0; 3 – 1; 1 – (–6)) = (–3; 2; 7)

Vậy $\vec{u}$ = $\vec{B M}$ = (3; −2; −7).

Câu 30:

Cho số phức z thỏa mãn (

\bar{z}

+ 2i). (z − 4) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1 + i). z + 1 − 2i là đường tròn có bán kính bằng:

A. $\sqrt{5}$

B. 10

C. 5

D. $\sqrt{10}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Giả sử: z = a + bi (a, b ∈ ℝ)

Þ $\bar{z}$ = a – bi

Þ $\bar{z}$ . z = (a + bi)(a – bi) = a² + b²

Ta có: ( + 2i). (z − 4)

= $\bar{z}$ . z – 4 + 2iz – 8i

= a² + b² – 4. (a – bi) + 2i. (a + bi) – 8i

= a² + b² – 4a + 4bi + 2ai + 2bi² – 8i

= a² + b² – 4a – 2b + (4b + 2a – 8). i

Vì ( $\bar{z}$ + 2i). (z − 4) là số thuần ảo nên a² + b² – 4a – 2b = 0

Û (a – 2)² + (b – 1)² = 5

Û |a – 2 + (b – 1).i| = $\sqrt{5}$

Û |a + bi – 2 – i| = $\sqrt{5}$

Û |z – 2 – i| = $\sqrt{5}$

Ta có: w = (1 + i). z + 1 − 2i

Þ w = (1 + i). z – (1 + i).(2 + i) + 1 − 2i + (1 + i).(2 + i)

Þ w = (1 + i). (z – 2 – i) + 1 − 2i + 2 + i + 2i + i²

Þ w = (1 + i). (z – 2 – i) + 1 − 2i + 2 + 3i – 1

Þ w = (1 + i). (z – 2 – i) + 2 + i

Þ w – 2 – i = (1 + i). (z – 2 – i)

Þ |w – 2 – i| = |(1 + i). (z – 2 – i)|

Þ |w – 2 – i| = |(1 + i)|. |(z – 2 – i)|

Þ |w – 2 – i| = $\sqrt{1^{2} + 1^{2}} . \sqrt{5} = \sqrt{10}$

Gọi w = x + yi

Þ |x + yi − 2 – i| = $\sqrt{10}$

Þ |x – 2 + (y – 1)i| = $\sqrt{10}$

Þ (x − 2)² + (y – 1)² = 10

Vậy nên tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1 + i). z + 1 − 2i là đường tròn có bán kính bằng $\sqrt{10}$

Câu 31:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua I(2; –3; 1) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(2; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với b > 0, c > 0 sao cho thể tích khối tứ diện OABC bằng 1. Giá trị của b + c bằng

A. 9.

B. 6.

C. 4.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (P) là: $\frac{x}{2}$ + $\frac{y}{b}$ + $\frac{z}{c}$ = 1

Vì mặt phẳng (P) đi qua điểm I (2; –3; 1) nên thay tọa độ điểm I vào phương trình đoạn chắn mặt phẳng (P) ta được: $\frac{2}{2}$ + $\frac{- 3}{b}$ + $\frac{1}{c}$ = 1

Þ $\frac{- 3}{b}$ + $\frac{1}{c}$ = 0 Þ $\frac{3}{b}$ = $\frac{1}{c}$

Þ b = 3c (1)

Với A(2; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) ta có:

$\vec{O A}$ = (2; 0; 0), $\vec{O B}$ = (0; b; 0), $\vec{O C}$ = (0; 0; c)

Þ $[\vec{O B}, \vec{O C}] =$ bc

Þ $[\vec{O B}, \vec{O C}] . \vec{O A}$ = 2bc.

Thể tích tứ diện OABC là $\frac{1}{6}$ . $[\vec{O B}, \vec{O C}] . \vec{O A}$ = $\frac{1}{6}$ .2bc = $\frac{1}{3}$ bc.

Vì thể tích khối tứ diện OABC bằng 1 nên:

$\frac{1}{3}$ bc = 1 Þ bc = 3 (2)

Thay (1) vào (2) ta có: 3c.c = 3

Þ c² = 1 Þ c = 1 (do c > 0)

Þ b = 3.1 = 3.

Do đó: b + c = 3 + 1 = 4.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 32:

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và thỏa mãn

\int_{1}^{4} \frac{f (\sqrt{x})}{(\sqrt{x} + 1)} d x

= 4,

\int_{1}^{2} \ln (x + 1) f' (x) d x

= 1 + 3ln3, f (1) = 0, f (2) = 3. Tính E =

\int_{1}^{2} f (x) d x

.

A. 3.

B. 1.

C. 1 + ln 3.

D. 1 – ln 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đặt t = $\sqrt{x}$ (t ≥ 0)

Þ t² = x

Þ 2tdt = dx

Đổi cận:

x	1	4
t	1	2

Þ $\int_{1}^{4} \frac{f (\sqrt{x})}{(\sqrt{x} + 1)} d x$ = $\int_{1}^{2} \frac{2 t . f (t)}{t + 1} d t$ = $\int_{1}^{2} \frac{2 x . f (x)}{x + 1} d x$

Mà $\int_{1}^{4} \frac{f (\sqrt{x})}{(\sqrt{x} + 1)} d x$ = 4

Þ $\int_{1}^{2} \frac{2 x . f (x)}{x + 1} d x$ = 4

Þ $\int_{1}^{2} \frac{x . f (x)}{x + 1} d x$ = 2

Đặt u = ln (x + 1) Þ du = $\frac{1}{x + 1}$

dv = f (x)dx Þ v = f (x) + C

Chọn C = 0 Þ v = f (x)

Þ $\int_{1}^{2} \ln (x + 1) f' (x) d x$ = ${[f (x) . \ln (x + 1)]|}_{1}^{2}$ – $\int_{1}^{2} \frac{f (x)}{x + 1} d x$

= f (2). ln3 – f (1).ln2 – $\int_{1}^{2} \frac{f (x)}{x + 1} d x$

= 3.ln3 – 0.ln2 – $\int_{1}^{2} \frac{f (x)}{x + 1} d x$

= 3.ln3 – $\int_{1}^{2} \frac{f (x)}{x + 1} d x$

Mà $\int_{1}^{2} \ln (x + 1) f' (x) d x$ = 1 + 3ln3

Þ $\int_{1}^{2} \frac{f (x)}{x + 1} d x$ = –1

Ta có: $\int_{1}^{2} \frac{x . f (x)}{x + 1} d x$ += $\int_{1}^{2} \frac{f (x)}{x + 1} d x$ = $\int_{1}^{2} \frac{(x + 1) . f (x)}{x + 1} d x$ = $\int_{1}^{2} f (x) d x$

Þ E = $\int_{1}^{2} f (x) d x$ = $\int_{1}^{2} \frac{x . f (x)}{x + 1} d x$ + $\int_{1}^{2} \frac{f (x)}{x + 1} d x$ = 2 – 1 = 1.

Vậy ta chọn phương án B.