a) Chiều dài các thanh ngang là dãy cấp số cộng có số hạng đầu là 45, công sai là −2

số hạng tổng quát là: un = 45 − 2(n − 1) = 47 − 2n.

khi un = 31 ⇒ n = 8.

Vậy cái thang có 8 bậc.

b)  

Vậy chiều dài thanh gỗ là 304 cm.

Do đó ta chọn đáp án như sau

1) Xếp A và F ở hai đầu ghế: có 2! cách xếp A và F

Các vị trí ở giữa: có 4! cách xếp

Vậy có 2!.4! = 48 cách xếp sao cho A và F ở hai đầu ghế.

2) Xếp A và F ngồi cạnh nhau ta ghép A và F thành 1 "bó": có 2 ! cách sắp xếp vị trí bên trong "bó"

Rồi mang sắp xếp 4 người còn lại và 1 "bó" trên ghế dài: ta được 5 ! cách xếp.

Vậy có 2!. 5! = 240 cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau.

3) Số cách xếp 6 người bất kì là 6! cách

Số cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau là 240 cách.

Vậy có 6! − 240 = 480 cách xếp sao cho A và F không ngồi cạnh nhau.

Do đó ta điền đáp án như sau

1) Có    cách xếp sao cho A và F ngồi ở hai đầu ghế.

2) Có  cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau.

3) Có    cách xếp sao cho A và F không ngồi cạnh nhau.

+ Xếp 12 viên bi vào 3 hộp khác nhau:

Xếp 4 viên bi vào hộp số 1: .

Xếp 4 viên bi vào hộp số 2: .

Số cách xếp 12 viên bi vào 3 hộp khác nhau: 495.70 = 34650.

+ Số cách xếp 12 viên vào 3 hộp giống nhau là  

Do đó ta điền đáp án như sau

Số cách xếp 12 viên vào 3 hộp khác nhau là                . 

Số cách xếp 12 viên vào 3 hộp giống nhau là                    . 

Ta có: là hình chiếu của xuống mặt phẳng .

Tam giác vuông tại nên .

Khi đó, góc giữa và mặt phẳng là góc .

Xét tam giác vuông SCA có: .

 a) Ta thấy 52 = 32 + 42

Nên (3; 4; 5) là bộ ba số Pytago

Mà 3; 4; 5 có ước chung lớn nhất là 1 nên 3; 4; 5 là các số nguyên tố cùng nhau.

b)

TH1: Cả 2 số là các cạnh góc vuông

1532 + 1852 = 57634

Mà 57634 không là số chính phương nên loại

TH2: Có 1 số lớn nhất là cạnh huyền

1852 − 1532 = 1042 (thỏa mãn).

Hai số 153 và 185 có cùng thuộc 1 bộ ba số Pytago

c) Mệnh đề 3 sai vì với k = 0 thì (ka; kb; kc) không là bộ ba số Pytago.

Do đó ta chọn đáp án như sau

Ta có:

a) .

b) Vì tốc độ truyền bệnh tại thời điểm là

Nên tốc độ truyền bệnh lớn nhất là giá trị lớn nhất của trên [0;20]

Ta có nên tốc độ truyền bệnh lớn nhất là:

(người/ngày).

Do đó ta chọn đáp án như sau

Giả sử tồn tại n là số tự nhiên thỏa mãn:

.

Vì 13 và p là số nguyên tố mà và

Nên

Với

Với .

Vậy có 2 giá trị của p thỏa mãn bài toán.

Do đó ta điền đáp án như sau

Cho số nguyên tố p để 13p + 1 bằng một số lập phương của số nguyên dương.

Ta có: .

Với ta có :

chia hết cho nên chia hết cho

Do đó : và nên là hợp số.

Với thì là số nguyên tố.

Do đó ta điền như sau

Tìm  để:  là số nguyên tố.

Giá trị của n là                 . 

 Ta có:  

Do đó

.

Vậy .

Do đó ta điền như sau

Cho dãy số được xác định bởi . Khi đó giá trị của được viết dưới dạng và tối giản.

.

Do đó ta điền như sau

Giới hạn bằng                 . 

a) Ta có .

b) Ta có  

Do đó ta chọn đáp án như sau

a) Vì  nên .

Þ chữ số tận cùng là 4.

b)

.

.

.

Do đó ta chọn đáp án như sau

Ta có  không xác định tại x = 0.

Hàm số cũng không xác định tại nên nó không có cực trị. Chọn D.

Đặt .

Phương trình đã cho trở thành . (2)

Phương trình đã cho vô nghiệm (2) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm dương

.

Vậy . Chọn D.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và .

Đặt , (1) trở thành (2).

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

Khi đó ta có:

Đồ thị hàm số và cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là và .

Do đó phương trình có các nghiệm là .

Ta được .

Từ đó ta có

.

Ta có tập xác định của hàm là .

Từ hàm ta được đồ thị hàm số có ba tiệm cận đứng:

. Chọn B.

Để tam giác đó là tam giác vuông thì tam giác phải có 1 cạnh là đường kính của đa giác đều.

Khi ta chọn 1 đường kính sẽ còn lại 14 điểm để tạo với đường kính đó thành tam giác vuông.

Mà đa giác đều 16 đỉnh có 8 đường kính nên số tam giác vuông là 8.14 = 112. Chọn A.

Mặt cầu có tâm , bán kính .

Giả sử với . Mặt phẳng thỏa mãn đề bài khi và chỉ khi

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương, ta có

.

Dấu “=” xảy ra khi  .

Do đó hệ .

. Khi đó tam giác đều và .

Vậy . Chọn B.

Gọi là tâm hình chữ nhật , I là trung điểm của .

Ta có là đường trung bình của tam giác nên .

Mà nên .

Lại có tam giác vuông tại nên IS = IA = IC.

là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD.

Xét tam giác vuông SAB có: .

Áp dụng định lí Pytago ta có: .

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD là .

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD là . Chọn A.

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được

Thay .

Tích phân cần tìm bằng

 Chọn B.

Có .

Hàm số đã cho có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình  có 3 nghiệm phân biệt.

Có .

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 0

Chọn C.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của trên , ta có (quan hệ đường vuông góc, đường xiên).

Khoảng cách đến d lớn nhất khi .

Ta có .

Khi đó nên cũng là vectơ chỉ phương của của .

Mà (d) đi qua A nên có phương trình . Chọn A.

Điều kiện: .

.

Kết hợp với điều kiện và chọn nghiệm nguyên dương, ta được x = 3. Chọn A.