Ta có: 3cosx + 2 = 0

      \( \Leftrightarrow \cos x = - \frac{2}{3}\).

Đường thẳng \(y = - \frac{2}{3}\) và đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn \(\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\):

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng \(y = - \frac{2}{3}\) cắt đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn \(\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) tại 4 điểm A, B, C, D.

Vậy phương trình 3cosx + 2 = 0 có 4 nghiệm trên đoạn \(\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).

\(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{6} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \pi + \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \] và \[x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \] với k ∈ ℤ

\(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{3}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\\frac{{3x}}{2} = - \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\\frac{{3x}}{2} = - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\\x = - \frac{{7\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\) và \(x = - \frac{{7\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\) với k ∈ ℤ

sin3x – cos5x = 0

Û sin3x = cos5x

\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right) = \cos 5x\)

\( \Leftrightarrow \cos 5x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \\5x = - \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\5x = - \frac{\pi }{2} + 3x + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{4}\\2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{4}\\x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{4}\] và \[x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \] với k ∈ ℤ

\({\cos ^2}x = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \] với k ∈ ℤ

\(\sin x - \sqrt 3 \cos x = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0\)

 \[ \Leftrightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{3} - \cos x\sin \frac{\pi }{3} = 0\] (do \[\cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}\] và \[\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\])

\[ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\]với k ∈ ℤ

sinx + cosx = 0

Û cosx = ‒sinx

Û cosx = sin(‒x)

\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( { - x} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {v\^o {\rm{ }}l\'i } \right)\\2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \) với k ∈ ℤ.

Để độ sâu của mực nước là 15 m thì:

\(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 15\)

\[ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = 1\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow t = - \frac{6}{\pi }\,\, + 12k\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Do 0 ≤ t < 24 nên \(0 \le - \frac{6}{\pi }\,\, + 12k\, < 24\)

                           \( \Leftrightarrow \frac{6}{\pi } \le 12k < 24 + \frac{6}{\pi }\)

                           \( \Leftrightarrow \frac{1}{{2\pi }} \le k < 2 + \frac{1}{{2\pi }}\)

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2}.

Với k = 1 thì \(t = - \frac{6}{\pi } + 12.1 \approx 10,09\) (giờ);

Với k = 2 thì \(t = - \frac{6}{\pi } + 12.2 \approx 22,09\) (giờ).

Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.

Để độ sâu của mực nước là 9 m thì:

\(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 9\)

\[ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = - 1\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = \pi + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow t = 6 - \frac{6}{\pi } + 12k\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Do 0 ≤ t < 24 nên \(0 \le 6 - \frac{6}{\pi } + 12k < 24\)

                           \( \Leftrightarrow - 6 + \frac{6}{\pi } \le 12k < 18 + \frac{6}{\pi }\)

                           \( \Leftrightarrow - \frac{1}{2} + \frac{1}{{2\pi }} \le k < \frac{3}{2} + \frac{1}{{2\pi }}\)

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1}.

Với k = 0 thì \(t = 6 - \frac{6}{\pi } + 12.0 \approx 4,09\) (giờ);

Với k = 1 thì \(t = 6 - \frac{6}{\pi } + 12.1 \approx 16,09\) (giờ).

Vậy lúc 4,09 giờ và 16,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 9 m.

Để độ sâu của mực nước là 10,5 m thì:

\(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 10,5\)

\[ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = - \frac{1}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{6} + 1 = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{6} + 1 = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\,\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4 - \frac{6}{\pi } + 12k\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\t = - 4 - \frac{6}{\pi } + 12k\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\,\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

• Do 0 ≤ t < 24 nên từ (1) ta có: \(0 \le 4 - \frac{6}{\pi } + 12k < 24\)

                                            \( \Leftrightarrow - 4 + \frac{6}{\pi } \le 12k < 20 + \frac{6}{\pi }\)

                                           \( \Leftrightarrow - \frac{1}{3} + \frac{1}{{2\pi }} \le k < \frac{5}{3} + \frac{1}{{2\pi }}\)

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1}.

Với k = 0 thì \(t = 4 - \frac{6}{\pi } + 12.0 \approx 2,09\) (giờ);

Với k = 1 thì \(t = 4 - \frac{6}{\pi } + 12.1 \approx 14,09\) (giờ).

• Do 0 ≤ t < 24 nên từ (2) ta có: \(0 \le - 4 - \frac{6}{\pi } + 12k < 24\)

                                            \( \Leftrightarrow 4 + \frac{6}{\pi } \le 12k < 28 + \frac{6}{\pi }\)

                                           \( \Leftrightarrow \frac{1}{3} + \frac{1}{{2\pi }} \le k < \frac{7}{3} + \frac{1}{{2\pi }}\)

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2}.

Với k = 1 thì \(t = - 4 - \frac{6}{\pi } + 12.1 \approx 6,09\) (giờ);

Với k = 2 thì \(t = - 4 - \frac{6}{\pi } + 12.2 \approx 18,09\) (giờ).

Hai vị trí O và A là hai vị trí chân cầu, tại hai vị trí này ta có: y = 0

\( \Leftrightarrow 4,8.\sin \frac{x}{9} = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin \frac{x}{9} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{9} = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = 9k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Quan sát đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số \(y = 4,8.\sin \frac{x}{9}\) cắt trục hoành tại điểm O và A liên tiếp nhau với x ≥ 0.

Xét k = 0, ta có x₁ = 0;

Xét k = 1, ta có x₂ = 9π.

Mà x₁ = 0 nên đây là hoành độ của O, do đó x₂ = 9π là hoành độ của điểm A.

Khi đó OA = 9π ≈ 28,3.

Vậy chiều rộng của con sông xấp xỉ 28,3 m.

Do sà lan có độ cao 3,6 m so với mực nước sông nên khi sà lan đi qua gầm cầu thì ứng với y = 3,6.

\( \Leftrightarrow 4,8.\sin \frac{x}{9} = 3,6\)

\( \Leftrightarrow \sin \frac{x}{9} = \frac{3}{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{9} \approx 0,848 + k2\pi \\\frac{x}{9} \approx \pi - 0,848 + k2\pi \end{array} \right.\)

(Dùng máy tính cầm tay (chuyển về chế độ “radian”) bấm liên tiếp  ta được kết quả gần đúng là 0,848)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 7,632 + 18k\pi \\x \approx 9\pi - 7,632 + 18k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Xét k = 0, ta có x₁ ≈ 7,632; x₂ ≈ 20,642.

Ta biểu diễn các giá trị x vừa tìm được trên hệ trục tọa độ vẽ đồ thị hàm số \(y = 4,8.\sin \frac{x}{9}\) như sau:

Khi đó để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì khối hàng hóa có độ cao 3,6 m phải có chiều rộng nhỏ hơn độ dài đoạn thẳng BC trên hình vẽ.

Mà BC ≈ 20,642 – 7,632 = 13,01 (m) < 13,1 (m).

Vậy chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 13,1 m.

Giả sử sà lan chở khối hàng được mô tả bởi hình chữ nhật MNPQ:

Khi đó QP = 9; OA = 28,3 và OQ = PA.

Mà OQ + QP + PA = OA

Þ OQ + 9 + OQ ≈ 28,3

Þ OQ ≈ 9,65

Khi đó \[{y_M} = 4,8.\sin \frac{{{x_M}}}{9} = 4,8.\sin \frac{{OQ}}{9} \approx 4,8.\sin \frac{{9,65}}{9} \approx 4,22\] (m) < 4,3 (m).

Vậy để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì chiều cao của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 4,3 m.