24 câu hỏi trắc nghiệm thuộc ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Hàm số bậc hai

Câu 1:

Đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây là trục đối xứng của parabol $y = - 2 x^{2} + 5 x + 3.$

A. $x = \frac{5}{2}$

B. $x = - \frac{5}{2}$

C. $x = \frac{5}{4}$

D. $x = - \frac{5}{4}$

Xem đáp án

Ta có:

$\frac{- b}{2 a} = \frac{- 5}{2. (- 2)} = \frac{5}{4}$

Trục đối xứng là đường thẳng: $x = \frac{5}{4} .$ Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Đỉnh I của parabol (P): $y = - 3 x^{2} + 6 x - 1$ là:

A.I(1;2)

B.I(3;0)

C.I(2;−1)

D.I(0;−1)

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{- b}{2 a} = \frac{- 6}{2. (- 3)} = \frac{- 6}{- 6} = 1 \\ \frac{- Δ}{4 a} = \frac{- (b^{2} - 4 a c)}{4 a} = \frac{- 6^{2} + 4. (- 3) . (- 1)}{4. (- 3)} = \frac{- 36 + 12}{- 12} = \frac{- 24}{- 12} = 2. \end{array}$

Suy ra đỉnh của Parabol là: I(1;2)

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3:

Biết parabol (P): $y = {ax}^{2} + 2 x + 5$ đi qua điểm A(2;1). Giá trị của aa là:

A.a = -5

B.a = -2

C. a = 2

D. Một đáp số khác

Xem đáp án

Parabol đi qua điểm A(2;1) nên ta có:4a + 4 + 5 = 1 ⇔ 4a = −8 ⇔ a = −2

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4:

Đỉnh của parabol $y = x^{2} + x + m$ nằm trên đường thẳng $y = \frac{3}{4}$ nếu m bằng:

A.Một số tùy ý

B.3

C.5

D.1

Xem đáp án

Yêu cầu bài toán

$\Leftrightarrow \frac{- b^{2} + 4 a c}{4 a} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{- 1 + 4 m}{4} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow 4 m = 4 \Leftrightarrow m = 1$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5:

Bảng biến thiên của hàm số $y = - x^{2} + 2 x - 1$ là:

A. Bảng biến thiên của hàm số là: (ảnh 2)

B. Bảng biến thiên của hàm số là: (ảnh 3)

C. Bảng biến thiên của hàm số là: (ảnh 4)

D. Bảng biến thiên của hàm số là: (ảnh 5)

Xem đáp án

Ta có:

$a = - 1 < 0; \frac{- b}{2 a} = \frac{- 2}{2. (- 1)} = \frac{- 2}{- 2} = 1$

$y (1) = - 1^{2} + 2.1 - 1 = 0$

Suy ra bảng biến thiên:

Đáp án cần chọn là: C

Câu 6:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{2} + b x + c .$ Rút gọn biểu thức $f (x + 3) - 3 f (x + 2) + 3 f (x + 1)$ ta được:

A. $a x^{2} - b x - c$

B. $a x^{2} + b x - c$

C. $a x^{2} - b x + c$

D. $a x^{2} + b x + c$

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} f (x + 3) = a {(x + 3)}^{2} + b (x + 3) + c \\ f (x + 2) = a {(x + 2)}^{2} + b (x + 2) + c \\ f (x + 1) = a {(x + 1)}^{2} + b (x + 1) + c \end{array}$

$\Rightarrow f (x + 3) - 3 f (x + 2) + 3 f (x + 1)$

$= a {(x + 3)}^{2} + b (x + 3) + c - 3 a {(x + 2)}^{2} - 3 b (x + 2) - 3 c + 3 a {(x + 1)}^{2} + 3 b (x + 1) + 3 c$

$= x^{2} (a - 3 a + 3 a) + x (6 a + b - 12 a - 3 b + 6 a + 3 b) + (9 a + 3 b + c - 12 a - 6 b - 3 c + 3 a + 3 b + 3 c)$

$= a x^{2} + b x + c$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7:

Tìm tọa độ giao điểm của hai parabol: $y = \frac{1}{2} x^{2} - x$ và $y = - 2 x^{2} + x + \frac{1}{2}$ là:

A. $(\frac{1}{3}; - 1)$

B. $(2; 0); (- 2; 0)$

C. $(1; - \frac{1}{2}), (- \frac{1}{5}; \frac{11}{50})$

D. $(- 4; 0); (1; 1)$

Xem đáp án

Trả lời:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol :

$\frac{1}{2} x^{2} - x = - 2 x^{2} + x + \frac{1}{2} \Leftrightarrow 5 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1) (5 x + 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = \frac{- 1}{5} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \{\begin{matrix} x = 1 \\ y = \frac{1}{2} {.1}^{2} - 1 = - \frac{1}{2} \end{matrix} \\ \{\begin{matrix} x = \frac{- 1}{5} \\ y = \frac{1}{2} . {(\frac{- 1}{5})}^{2} - \frac{- 1}{5} = \frac{11}{50} \end{matrix} \end{matrix}$

Tọa độ giao điểm $(1; \frac{- 1}{2}); (\frac{- 1}{5}; \frac{11}{50})$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 8:

Cho hàm số $y = - x^{2} + 2 x + 1.$ . Gọi M và m là giá trị lớn nhất vá giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [0;2]. Tính giá trị của biểu thức $T = M^{2} + m^{2}$ .

A.5

B. $\sqrt{5}$

C.1

D.3

Xem đáp án

Hàm số $y = - x^{2} + 2 x + 1$ có $a = - 1 < 0; - \frac{b}{2 a} = 1 \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $(- \infty; 1)$ và nghịch biến trên $(1; + \infty)$

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy M = 2 và $m = 1 \Rightarrow T = M^{2} + m^{2} = 2^{2} + 1^{2} = 5.$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9:

Hàm số nào sau đây có giá trị nhỏ nhất tại $x = \frac{3}{4}$ ?

A. $y = 4 x^{2} - 3 x + 1$

B. $y = - x^{2} + \frac{3}{2} x + 1$

C. $y = - 2 x^{2} + 3 x + 1$

D. $y = x^{2} - \frac{3}{2} x + 1$

Xem đáp án

Trả lời:

Hàm số đạt GTNN nếu a >0 nên loại phương án B và C.

Phương án A: Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại $x = - \frac{b}{2 a} = \frac{3}{8}$ nên loại.

Còn lại chọn phương án D.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 10:

Cho hàm số $y = f (x) = - x^{2} + 4 x + 2$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.y giảm trên $(2; + \infty)$

B.y giảm trên $(- \infty; 2)$

C.y tăng trên $(2; + \infty)$

D.y tăng trên $(- \infty; 2)$ .

Xem đáp án

Ta có a = −1 < 0 nên hàm số y tăng trên $(- \infty; 2)$ và y giảm trên $(2; + \infty)$ nên chọn phương án A.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 11:

Hàm số nào sau đây nghịch biến trong khoảng $(- \infty; 0) ?$

A. $y = \sqrt{2} x^{2} + 1$

B. $y = - \sqrt{2} x^{2} + 1$

C. $y = \sqrt{2} {(x + 1)}^{2}$

D. $y = - \sqrt{2} {(x + 1)}^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A: $a = \sqrt{2} > 0$ và $- \frac{b}{2 a} = 0$ nên hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 0)$

Đáp án B: $a = - \sqrt{2} < 0$ và $- \frac{b}{2 a} = 0$ nên hàm số đồng biến trên $(- \infty; 0)$

Đáp án C: $y = \sqrt{2} (x^{2} + 2 x + 1) = \sqrt{2} x^{2} + 2 \sqrt{2} x + \sqrt{2}$ có $a = \sqrt{2} > 0$ và $- \frac{b}{2 a} = - 1$ nên hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - 1)$ nhưng $(- \infty; 0) ⊄ (- \infty; - 1)$ nên hàm số không nghịch biến trên $(- \infty; 0)$

Đáp án D: $y = - \sqrt{2} (x^{2} + 2 x + 1) = - \sqrt{2} x^{2} - 2 \sqrt{2} x - \sqrt{2}$ có $a = - \sqrt{2} < 0$ và $- \frac{b}{2 a} = - 1$ nên hàm số nghịch biến trên $(- 1; + \infty)$

Vậy chỉ có đáp án A đúng.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 12:

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = - {(x + 1)}^{2}$

B. $y = - {(x - 1)}^{2}$

C. $y = {(x + 1)}^{2}$

D. $y = {(x - 1)}^{2}$

Xem đáp án

- Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;0) nên loại A và C.

- Bề lõm hướng xuống dưới nên a < 0.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 13:

Giao điểm của parabol $(P) : y = x^{2} + 5 x + 4$ với trục hoành:

A.(−1;0) ; (−4;0).

B.(0;−1);(0;−4).

C.(−1;0) ;(0;−4).

D.(0;−1);(−4;0).

Xem đáp án

- Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x^{2} + 5 x + 4 = 0$

- Phương trình có hai nghiệm $x_{1} = - 1; x_{2} = - 4$ nên các giao điểm là (−1;0),(−4;0).

Đáp án cần chọn là: A

Câu 14:

Khi tịnh tiến parabol $y = 2 x^{2}$ sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số:

A. $y = 2 {(x + 3)}^{2}$

B. $y = 2 x^{2} + 3$

C. $y = 2 x^{2} - 3$

D. $y = 2 {(x - 3)}^{2}$

Xem đáp án

Tịnh tiến đồ thị hàm số $y = 2 x^{2}$ sang trái 3 đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = 2. {(x + 3)}^{2}$ .

Đáp án cần chọn là: A

Câu 15:

Tìm giá trị thực của tham số $m \neq 0$ để hàm số $y = 2. {(x + 3)}^{2}$ có giá trị nhỏ nhất bằng −10 trên R.

A. $m = 1$

B. $m = 2$

C. $m = - 2$

D. $m = - 1$

Xem đáp án

Ta có $x = - \frac{b}{2 a} = \frac{2 m}{2 m} = 1$ suy ra $y = - 4 m - 2$

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −10

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} m > 0 \\ - 4 m - 2 = - 10 \end{matrix} \Leftrightarrow m = 2$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 16:

Nếu hàm số $y = {ax}^{2} + b x + c$ có a < 0,b >0 và c >0 thì đồ thị của nó có dạng:

A. Nếu hàm số có a < 0,b >0 và c >0 thì đồ thị của nó có dạng: (ảnh 1)

B. Nếu hàm số có a < 0,b >0 và c >0 thì đồ thị của nó có dạng: (ảnh 2)

C. Nếu hàm số có a < 0,b >0 và c >0 thì đồ thị của nó có dạng: (ảnh 3)

D. Nếu hàm số có a < 0,b >0 và c >0 thì đồ thị của nó có dạng: (ảnh 4)

Xem đáp án

+ a < 0 nên loại đáp án A, B.

+ c >0 nên giao điểm của đồ thị với trục tung có tung độ dương, chọn đáp án D.

Ngoài ra các em cũng có thể nhận xét vì b >0, a < 0 nên hoành độ đỉnh $- \frac{b}{2 a} > 0$ và đáp án D thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 17:

Cho parabol (P): $y = - 3 x^{2} + 6 x - 1$ . Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là:

A.(P) có đỉnh I(1;2)

B.(P) có trục đối xứng x = 1

C.(P) cắt trục tung tại điểm A(0;−1)

D.Cả a,b,c, đều đúng.

Xem đáp án

- Ta có a = − 3< 0 và $x = - \frac{b}{2 a} = 1 \Rightarrow I (1, 2)$

- Đường thẳng x = 1 là trục đối xứng.

- Đồ thị hàm số cắt trục Oy ⇒ x = 0 ⇒ y = −1

Đáp án cần chọn là: D

Câu 18:

Cho parabol (P): $y = {ax}^{2} + b x + 2$ biết rằng parabol đó cắt trục hoành tại hai điểm lần lượt có hoành độ $x_{1} = 1$ và $x_{2} = 2$ . Parabol đó là:

A. $y = \frac{1}{2} x^{2} + x + 2$

B. $y = - x^{2} + 2 x + 2$

C. $y = 2 x^{2} + x + 2$

D. $y = x^{2} - 3 x + 2$ Cho parabol (P): biết rằng parabol đó cắt trục hoành tại hai điểm lần lượt có hoành độ và . Parabol đó là: (ảnh 1)

Xem đáp án

- Parabol (P)cắt Ox tại A(1;0), B(2;0).

- Khi đó

$\{\begin{matrix} A \in (P) \\ B \in (P) \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} a + b + 2 = 0 \\ 4 a + 2 b + 2 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a + b = - 2 \\ 2 a + b = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = 1 \\ b = - 3 \end{matrix}$

Vậy $(P) : y = x^{2} - 3 x + 2$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 19:

Cho hàm số $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ có đồ thị (P). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A.Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \frac{b}{2 a}; + \infty)$

B.Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - \frac{b}{2 a})$

C.Đồ thị luôn cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

D.Đồ thị có trục đối xứng là đường thẳng $x = - \frac{b}{2 a}$

Xem đáp án

Hàm số $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; - \frac{b}{2 a})$ và nghịch biến trên khoảng $(- \frac{b}{2 a}; + \infty)$ Nên A, B sai.

Ta chưa kết luận được gì về số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành nên C sai.

Đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ có trục đối xứng là đường thẳng $x = - \frac{b}{2 a}$ nên D đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 20:

Cho hàm số $y = a x^{2} + b x + c, a \neq 0,$ biết hàm số đạt giá trị lớn nhất trên $ℝ$ bằng 4 khi x = -1 và tổng bình phương các nghiệm của phương trình y = 0 bằng 10. Hàm số đã cho là hàm số nào sau đây?

A. $y = x^{2} + 2 x - 3$

B. $y = - 2 x^{2} - 4 x + 2$

C. $y = - x^{2} - 2 x + 1$

D. $y = - x^{2} - 2 x + 3$

Xem đáp án

Hàm số $y = a x^{2} + b x + c, a \neq 0$ là hàm số bậc 2 nên có đỉnh $I (\frac{- b}{2 a}; \frac{- Δ}{4 a})$ Vì hàm số đạt giá trị lớn nhất trên bằng 4 khi x = −1 nên đồ thị hàm số có đỉnh I(−1;4) và a < 0.

$\Rightarrow \{\begin{matrix} \frac{- b}{2 a} = - 1 \\ f (- 1) = 4 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} b = 2 a \\ a - b + c = 4 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} b = 2 a \\ a - 2 a + c = 4 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} b = 2 a \\ c = 4 + a \end{matrix}$

Xét phương trình: $y = 0 \Leftrightarrow a x^{2} + b x + c = 0$ có hai nghiệm $x_{1}; x_{2} \Leftrightarrow Δ > 0 \Leftrightarrow b^{2} - 4 a c > 0.$

Áp dụng định lý Vi-et ta có: $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix}$

Theo đề bài ta có: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 10$

$\Leftrightarrow {(- \frac{b}{a})}^{2} - \frac{2 c}{a} = 10$

$\Leftrightarrow {(- \frac{2 a}{a})}^{2} - \frac{2 c}{a} = 10$

$\Leftrightarrow 4 a - 2 c = 10 a$

$\Leftrightarrow 6 a + 2 c = 0$

$\Leftrightarrow 6 a + 2 (4 + a) = 0$

$\Leftrightarrow 6 a + 2 a + 8 = 0$

$\Leftrightarrow a = - 1 (t m)$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} b = - 2 \\ c = 3 \end{matrix}$

$\Rightarrow y = - x^{2} - 2 x + 3$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 21:

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị là một phần của parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với trục tung như hình vẽ. Vận tốc của vật tại thời điểm 2 giờ 30 phút sau khi vật bắt đầu chuyển động gần bằng giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

A.8,7(km/h).

B.8,8(km/h).

C.8,6(km/h).

D.8,5(km/h).

Xem đáp án

Vì vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị là một phần của parabol nên ta có hàm số $v = f (t) = a t^{2} + b t + c (a \neq 0)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: tại thời điểm t = 0, v = 4 $\Rightarrow a {.0}^{2} + b .0 + c = 4 \Rightarrow c = 4$

Đồ thị hàm số có đỉnh I(2;9)⇒

$\{\begin{matrix} \frac{- b}{2 a} = 2 \\ f (1) = 9 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} b = - 4 a \\ a {.2}^{2} + b .2 + 4 = 9 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 4 a + b = 0 \\ 4 a + 2 b = 5 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = \frac{- 5}{4} \\ b = 5 \end{matrix}$

$\Rightarrow v = - \frac{5}{4} t^{2} + 5 t + 4$

Tại lúc 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ vận tốc đạt được là:

$v (2, 5) = \frac{- 5}{4} .2, 5^{2} + 5.2, 5 + 4 = 8, 6875 (k m / h) \approx 8, 7 (k m / h)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 22:

Parabol $y = a x^{2} + b x + c$ đạt cực tiểu bằng 4 tại x = −2 và đi qua A(0;6) có phương trình là:

y = … x²+ … x + ….

Xem đáp án

Parabol $y = a x^{2} + b x + c$ đạt cực đại bằng 4 khi x = −2 ⇒ parabol có đỉnh I(−2;4)

Lại có parabol đi qua điểm A(0;6) nên ta có: $\{\begin{matrix} 4 a - 2 b + c = 4 \\ c = 6 \\ - \frac{b}{2 a} = - 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = \frac{1}{2} \\ b = 2 \\ c = 6 \end{matrix}$

Vậy parabol đã cho có hàm số $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 6.$

Câu 23:

Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số $y = 2 x^{2} - m x + m$ đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ là

A. $(- \infty; 4]$

B. $(- \infty; 2]$

C. $[2; + \infty)$

D. $[4; + \infty)$

Xem đáp án

Hàm số $y = 2 x^{2} - m x + m$ đồng biến trên $(\frac{m}{4}; + \infty)$ nên để hàm số đồng biến trên $(1; + \infty)$ thì $(1; + \infty) \subset (\frac{m}{4}; + \infty)$

$\Rightarrow \frac{m}{4} \leq 1 \Leftrightarrow m \leq 4$

Vậy $m \in (- \infty; 4]$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 24:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{2} + 4 x - 1$ là:

Xem đáp án

Đồ thị hàm số $y = - x^{2} + 4 x - 1$ có đỉnh I(2;3) và có hệ số a < 0 ⇒ Hàm số đạt GTLN bằng 3 khi x = 2.