38 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Hàm số có Logarit

Câu 1:

Điều kiện để log_ab có nghĩa là:

A. a < 0, b > 0

B. $0 < a \neq 1, b < 0$

C. $0 < a \neq 1, b > 0$

D. $0 < a \neq 1,0 < b \neq 1$

Xem đáp án

Điều kiện để $\log_{a} b$ có nghĩa là $0 < a \neq 1, b > 0$ .

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Chọn mệnh đề đúng:

A. $2 \log_{a} \sqrt{b} = \log_{a} b$

B. $\log_{a} \sqrt{b} = 2 \log_{a} b$

C. $\log_{a} \sqrt[3]{b} = \frac{1}{3}$

D. $\log_{a} \sqrt[3]{b} = - \frac{1}{3} \log_{a} b$

Xem đáp án

Ta có: $2 \log_{a} \sqrt{b} = 2. \log_{a} b^{\frac{1}{2}} = 2. \frac{1}{2} \log_{a} b = \log_{a} b$ nên A đúng.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3:

Với điều kiện các logarit đều có nghĩa, chọn công thức biến đổi đúng:

A. $\log_{a} b . \log_{b} c = \log_{a} c$

B. $\log_{b} c = \frac{\log_{a} b}{\log_{a} c}$

C. $\log_{a} b = \log_{c} b - \log_{c} a$

D. $\log_{a} b + \log_{b} c = \log_{a} c$

Xem đáp án

Từ công thức $\log_{a} b . \log_{b} c = \log_{a} c \Leftrightarrow \log_{b} c = \frac{\log_{a} c}{\log_{a} b} (0 < a, b \neq 1; c > 0)$ ta thấy chỉ có đáp án A đúng.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 4:

Chọn công thức đúng:

A. $\log_{a^{n}} b = - n \log_{a} b$

B. $\log_{a^{n}} b = \frac{1}{n} \log_{a} b$

C. $\log_{a^{n}} b = - \frac{1}{n} \log_{a} b$

D. $\log_{a^{n}} b = n \log_{a} b$

Xem đáp án

Từ công thức $\log_{a^{n}} b = \frac{1}{n} \log_{a} b (0 < a \neq 1; b > 0; n \neq 0)$ ta thấy chỉ có đáp án B đúng.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 5:

Nếu a > 1 và b > c > 0 thì:

A. $\log_{a} b > \log_{a} c$

B. $\log_{a} b < \log_{a} c$

C. $\log_{a} b < \log_{b} c$

D. $\log_{a} b > \log_{b} c$

Xem đáp án

Nếu a > 1 và b > c > 0 thì $\log_{a} b > \log_{a} c$ .

Đáp án cần chọn là: A

Câu 6:

Giá trị

\log_{3} a

âm khi nào?

A. 0 < a < 1

B. 0 < a < 1

C. a > 3

D. a > 1

Xem đáp án

Vì 3 > 1 nên để $\log_{3} a < 0$ thì 0 < a < 1.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 7:

Với điều kiện các logarit đều có nghĩa, chọn mệnh đề đúng:

A. $\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{b} c$

B. $\log_{a} \frac{b}{c} = \log_{a} b + \log_{a} c$

C. $\log_{a} \frac{b}{c} = \frac{\log_{a} b}{\log_{a} c}$

D. $\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c$

Xem đáp án

Ta có:

$\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c (0 < a \neq 1; b, c > 0) \log_{a} (\frac{b}{c}) = \log_{a} b - \log_{a} c (0 < a \neq 1; b, c > 0)$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8:

Chọn mệnh đề đúng:

A. $\log_{2} 16 = \log_{3} 81$

B. $\log_{3} 9 = 3$

C. $\log_{4} 16 = \log_{2} 8$

D. $\log_{4} 16 = \log_{2} 8$

Xem đáp án

Ta có: $\log_{2} 16 = \log_{2} 2^{4} = 4; \log_{3} 81 = \log_{3} 3^{4} = 4$ nên $\log_{2} 16 = \log_{3} 81$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9:

Chọn mệnh đề đúng:

A. $2^{\log_{2} 3} = 5^{\log_{3} 5}$

B. $2^{\log_{2} 3} = 5^{\log_{5} 3}$

C. $5^{\log_{5} 3} = \log_{2} 3$

D. $2^{\log_{2} 4} = 2$

Xem đáp án

Ta có: $2^{\log_{2} 3} = 3 = 5^{\log_{5} 3}$ nên B đúng.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 10:

Giá trị

\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 81

là:

A. 2

B. -8

C. -2

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Ta có:

$\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 81 = \log_{{\sqrt{3}}^{- 1}} 3^{4} = - \log_{\sqrt{3}} 3^{4} = - \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^{4} = - \frac{1}{1 / 2} \log_{3} 3^{4} = - 2 \log_{3} 3^{4} = - 2.4 = - 8$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 11:

Với các số thực a,b>0 bất kì; rút gọn biểu thức

P = 2 \log_{2} a - \log_{\frac{1}{2}} b^{2}

A. $P = \log_{2} {(\frac{a}{b})}^{2}$

B. $P = \log_{2} (\frac{2 a}{b^{2}})$

C. $P = \log_{2} (2 a b^{2})$

D. $P = \log_{2} {(a b)}^{2}$

Xem đáp án

$P = \log_{2} a^{2} - \log_{2^{- 1}} b^{2} = \log_{2} a^{2} + \log_{2} b^{2} = \log_{2} (a^{2} b^{2}) = \log_{2} {(a b)}^{2}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 12:

Cho số thực x thỏa mãn

l o g_{2} (l o g_{8} x) = l o g_{8} (l o g_{2} x) .

Tính giá trị của

P = {(l o g_{2} x)}^{2}

A. $P = \frac{\sqrt{3}}{3}$

B. $P = \frac{1}{3}$

C. P = 27

D. $P = 3 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Điều kiện xác định: $\{\begin{matrix} x > 0 \\ l o g_{2} x > 0 \\ l o g_{8} x > 0 \end{matrix}$

Khi đó:

$\log_{2} (\log_{8} x) = \log_{8} (\log_{2} x) \Leftrightarrow \log_{2} (\frac{1}{3} \log_{2} x) = \log_{2} \sqrt[3]{(\log_{2} x)} \Leftrightarrow \frac{1}{3} \log_{2} x = \sqrt[3]{(\log_{2} x)} \Leftrightarrow \frac{1}{27} \log_{2}^{3} x = \log_{2} x \Leftrightarrow {(\log_{2} x)}^{2} = 27$

(vì $\log_{2} x > 0$ nên chia cả hai vế cho $\log_{2} x \neq 0$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 13:

Đặt

\log_{2} 3 = a; \log_{2} 5 = b

. Hãy biểu diễn

P = l o g_{3} 240

theo a và b.

A. $P = \frac{2 a + b + 3}{a}$

B. $P = \frac{a + b + 4}{a}$

C. $P = \frac{a + b + 3}{a}$

D. $P = \frac{a + 2 b + 3}{a}$

Xem đáp án

$P = \log_{3} 240 = \frac{\log_{2} 240}{\log_{2} 3} = \frac{\log_{2} (2^{4} .3.5)}{\log_{2} 3} = \frac{\log_{2} 2^{4} + \log_{2} 3 + \log_{2} 5}{\log_{2} 3} = \frac{a + b + 4}{a}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 14:

Đặt

a = \log_{2} 3, b = \log_{5} 3

. Hãy biểu diễn

l o g_{6} 45

theo a và b:

A. $\log_{6} 45 = \frac{2 a^{2} - 2 a b}{a b}$

B. $\log_{6} 45 = \frac{2 a^{2} - 2 a b}{a b + b}$

C. $\log_{6} 45 = \frac{a + 2 a b}{a b + b}$

D. $\log_{6} 45 = \frac{a + 2 a b}{a b}$

Xem đáp án

Có:

$a = \log_{2} 3 \Rightarrow \log_{3} 2 = \frac{1}{a}; b = \log_{5} 3 \Rightarrow \log_{3} 5 = \frac{1}{b} \log_{6} 45 = \frac{\log_{3} 45}{\log_{3} 6} = \frac{\log_{3} (3^{2} .5)}{\log_{3} (2.3)} = \frac{2 + \log_{3} 5}{\log_{3} 2 + 1} = \frac{2 + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} + 1} = \frac{2 a b + a}{a b + b}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 15:

Cho

0 < x < 1; 0 < a; b; c \neq 1 và l o g_{c} x > 0 > l o g_{b} x > l o g_{a} x

so sánh a;b;c ta được kết quả:

A. a > b > c

B. c > a > b

C. c > b > a

D. b > a > c

Xem đáp án

Câu 16:

Cho hai số thực a và b , với 1<a<b . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. $\log_{a} b < 1 < \log_{b} a$

B. $1 < \log_{a} b < \log_{b} a$

C. $\log_{b} a < \log_{a} b < 1$

D. $\log_{b} a < 1 < \log_{a} b$

Xem đáp án

Ta có:

$\log_{a} b > \log_{a} a = 1; \log_{b} a < \log_{b} b = 1 \Rightarrow \log_{b} a < 1 < \log_{a} b$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 17:

Nếu

\log_{12} 18 = a t h ì l o g_{2} 3

bằng:

A. $\frac{1 - a}{a - 2}$

B. $\frac{2 a - 1}{a - 2}$

C. $\frac{a - 1}{2 a - 2}$

D. $\frac{1 - 2 a}{a - 2}$

Xem đáp án

Đăt $\log_{2} 3 = x$ Ta có

$\begin{array}{l} a = \log_{12} 18 = \frac{\log_{2} 18}{\log_{2} 12} = \frac{\log_{2} ({2.3}^{2})}{\log_{2} (2^{2} .3)} = \frac{1 + 2 \log_{2} 3}{2 + \log_{2} 3} = \frac{1 + 2 x}{2 + x} \\ \Rightarrow a (2 + x) = 1 + 2 x \Rightarrow x (a - 2) = 1 - 2 a \\ \Rightarrow \log_{2} 3 = x = \frac{1 - 2 a}{a - 2} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 18:

Cho

\log_{2} 14 = a

. Tính l

l o g_{49} 32

theo a.

A. $\frac{10}{a - 1}$

B. $\frac{2}{5 (a - 1)}$

C. $\frac{5}{2 a - 2}$

D. $\frac{5}{2 a + 1}$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} a = \log_{2} 14 = \log_{2} 2 + \log_{2} 7 = 1 + \log_{2} 7 \Rightarrow \log_{2} 7 = a - 1 \\ \log_{49} 32 = \log_{7^{2}} 2^{5} = \frac{5}{2} \log_{7} 2 = \frac{5}{2} . \frac{1}{\log_{2} 7} = \frac{5}{2 (a - 1)} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 19:

Đặt

\log_{2} 60 = a; \log_{5} 15 = b . Tính P = l o g_{2} 12

theo a và b.

A. $P = \frac{a b + 2 a + 2}{b}$

B. $P = \frac{a b - a + 2}{b}$

C. $P = \frac{a b + a - 2}{b}$

D. $P = \frac{a b - a - 2}{b}$

Xem đáp án

$a = l o g_{2} 60 = l o g_{2} (2^{2} .15) = 2 + l o g_{2} 15 \Rightarrow l o g_{2} 15 = a - 2 \Rightarrow l o g_{2} 5 = \frac{l o g_{15} 5}{l o g_{15} 2} = \frac{l o g_{2} 15}{l o g_{5} 15} = \frac{a - 2}{b} b = l o g_{5} 15 = l o g_{5} (3.5) = 1 + l o g_{5} 3 \Rightarrow l o g_{5} 3 = b - 1 l o g_{2} 3 = l o g_{2} 5. l o g_{5} 3 = \frac{a - 2}{b} . (b - 1) = \frac{a b - 2 b - a + 2}{b} l o g_{2} 12 = l o g_{2} (2^{2} .3) = 2 + l o g_{2} 3 = \frac{a b - a + 2}{b}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 20:

Đặt

a = \log_{2} 5

và

b = \log_{2} 6

. Hãy biểu diễn

l o g_{3} 90

theo a và b?

A. $\log_{3} 90 = \frac{a - 2 b + 1}{b + 1}$

B. $\log_{3} 90 = \frac{a + 2 b - 1}{b - 1}$

C. $\log_{3} 90 = \frac{2 a - b + 1}{a + 1}$

D. $\log_{3} 90 = \frac{2 a + b - 1}{a - 1}$

Xem đáp án

Có

$b = \log_{2} 6 = 1 + \log_{2} 3 \Rightarrow \log_{2} 3 = b - 1 \begin{array}{l} \log_{3} 90 = \log_{3} (3^{2} .2.5) = 2 + \log_{3} 2 + \log_{3} 5 = 2 + \frac{1}{\log_{2} 3} + \frac{\log_{2} 5}{\log_{2} 3} = 2 + \frac{1 + \log_{2} 5}{\log_{2} 3} \\ = 2 + \frac{1 + a}{b - 1} = \frac{a + 2 b - 1}{b - 1} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 21:

Nếu

\log_{a} b = p

thì

\log_{a} a^{2} b^{4}

bằng:

A. $a^{2} p^{4}$

B. 4p + 2

C. 4p + 2a

D. $p^{4} + 2 a$

Xem đáp án

Ta có:

$\log_{a} a^{2} b^{4} = \log_{a} a^{2} + \log_{a} b^{4} = 2 \log_{a} a + 4 \log_{a} b = 2 + 4 p$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 22:

Đặt $a = \log_{3} 4, b = \log_{5} 4$ . Hãy biểu diễn $l o g_{12} 80$ theo a và b

A. $\log_{12} 80 = \frac{2 a^{2} - 2 a b}{a b + b}$

B. $\log_{12} 80 = \frac{a + 2 a b}{a b}$

C. $\log_{12} 80 = \frac{a + 2 a b}{a b + b}$

D. $\log_{12} 80 = \frac{2 a^{2} - 2 a b}{a b}$

Xem đáp án

Ta có

$80 = 4^{2} .5; 12 = 3.4 \begin{array}{l} \log_{12} 80 = \log_{12} 4^{2} + \log_{12} 5 = 2 \log_{12} 4 + \log_{12} 5 = \frac{2}{\log_{4} 12} + \frac{1}{\log_{5} 12} = \frac{2}{\log_{4} 3 + 1} + \frac{1}{\log_{5} 3 + \log_{5} 4} \\ = \frac{2}{\frac{1}{a} + 1} + \frac{1}{\frac{b}{a} + b} = \frac{2 a}{a + 1} + \frac{a}{b (a + 1)} = \frac{2 a b + a}{a b + b} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 23:

Nếu

\log_{12} 6 = a; \log_{12} 7 = b

thì:

A. $\log_{2} 7 = \frac{a}{1 - b}$

B. $\log_{2} 7 = \frac{b}{1 - a}$

C. $\log_{2} 7 = \frac{a}{1 + b}$

D. $\log_{2} 7 = \frac{b}{1 + a}$

Xem đáp án

Gán giá trị đề bài cho bằng cách bấm:

Lần lượt thử từng đáp án:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 24:

Cho a,b là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn

\log_{a^{2}} b + \log_{b^{2}} a = 1

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = \frac{1}{b}$

B. a = b

C. $a = \frac{1}{b^{2}}$

D. $a = b^{2}$

Xem đáp án

Câu 25:

Gọi m là số chữ số cần dùng khi viết số 2³⁰ trong hệ thập phân và n là số chữ số cần dùng khi viết số 30² trong hệ nhị phân. Ta có tổng m+n bằng

A. 18

B. 20

C. 19

D. 21

Xem đáp án

Trả lời:

Dựa vào 2 kết quả trên ta có

$\begin{array}{l} m = [\log 2^{30}] + 1 = [30 \log 2] + 1 = 10 \\ n = [\log_{2} 30^{2}] + 1 = [2 \log_{2} 30] + 1 = 10 \\ \Rightarrow m + n = 20 \end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 26:

Cho a>0; b>0 thỏa mãn $a^{2} + 4 b^{2} = 5 a b$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $2 \log (a + 2 b) = 5 (\log a + \log b)$

B. $\log (a + 1) + \log b = 1$

C. $\log \frac{a + 2 b}{3} = \frac{\log a + \log b}{2}$

D. $5 \log (a + 2 b) = \log a - \log b$

Xem đáp án

Ta có:

$a^{2} + 4 b^{2} = 5 a b \Leftrightarrow a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} = 9 a b \Leftrightarrow {(a + 2 b)}^{2} = 9 a b$

Logarit cơ số 10 hai vế ta được:

$\begin{array}{l} \log {(a + 2 b)}^{2} = \log (9 a b) \Leftrightarrow 2 \log (a + 2 b) = \log 9 + \log a + \log b \\ \Leftrightarrow 2 \log (a + 2 b) = 2 \log 3 + \log a + \log b \Leftrightarrow 2 (\log (a + 2 b) - \log 3) = \log a + \log b \\ \Leftrightarrow \log \frac{a + 2 b}{3} = \frac{\log a + \log b}{2} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 27:

Biết

\log_{15} 20 = a + \frac{2 \log_{3} 2 + b}{\log_{3} 5 + c} với a, b, c \in ℤ

. Tính T=a+b+c

A. T = -3

B. T = 3

C. T = -1

D. T = 1

Xem đáp án

Câu 28:

Xét a và b là hai số thực dương tùy ý. Đặt

x = l n {(a^{2} - a b + b^{2})}^{1000}, y = 1000 l n a - l n \frac{1}{b^{1000}}

. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. x < y

B. x > y

C. $x \leq y$

D. $x \geq y$

Xem đáp án

Ta có: $x = \ln {(a^{2} - a b + b^{2})}^{1000} = 1000 \ln (a^{2} - a b + b^{2})$

$y = 1000 \ln a - \ln \frac{1}{b^{1000}} = 1000 \ln a + 1000 \ln b = 1000 \ln a b$

Ta có $a^{2} - a b + b^{2} \geq a b$ nên

$\ln (a^{2} - a b + b^{2}) \geq \ln a b \Leftrightarrow 1000 \ln (a^{2} - a b + b^{2}) \geq 1000 \ln a b \Leftrightarrow x \geq y$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 29:

Cho các phát biểu sau:

(I). Nếu $C = \sqrt{A B} thì 2 l n C = l n A + l n B$ với A,B là các biểu thức luôn nhận giá trị dương.

(II). $(a - 1) l o g_{a} x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1 với a > 0, a \neq 1$

(III). $m^{l o g_{a} m} = n^{l o g_{a} n} v ớ i m; n > 0 v à a > 0, a \neq 1$

(IV). $\underset{x \to + \infty}{l i m} l o g_{\frac{1}{2}} x = - \infty$

Số phát biểu đúng là

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Ta có $C^{2} = A B \Rightarrow l n C^{2} = \ln (AB) \Rightarrow 2 \ln C = \ln A + \ln B$ nên I đúng

Ta có $(a - 1) l o g_{a} x \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} \{\begin{matrix} a - 1 > 0 \\ l o g_{a} x \geq 0 \end{matrix} \\ \{\begin{matrix} a - 1 < 0 \\ l o g_{a} x \leq 0 \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow x \geq 1$ suy ra II đúng.

Logarit cơ số m hai vế ta được $\log_{a} m . \log_{m} m \neq \log_{a} n . \log_{m} n$ suy ra III sai

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} \log_{\frac{1}{2}} x = - \infty$ đúng nên IV đúng.

Vậy có 3 phát biểu đúng.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 30:

Cho lnx = 2. Tính giá trị của biểu thức

T = 2 l n \sqrt{e x} - l n \frac{e^{2}}{\sqrt{x}} + l n 3. l o g_{3} e x^{2}

?

A. T = 7

B. T = 12

C. T = 13

D. T = 21

Xem đáp án

Câu 31:

Cho

\log x = a

và ln10=b . Tính

l o g_{10 e} x

theo a và b

A. $\frac{2 a b}{1 + b}$

B. $\frac{a b}{1 + b}$

C. $\frac{a}{1 + b}$

D. $\frac{b}{1 + b}$

Xem đáp án

Ta có:

$\log_{10 e} x = \frac{1}{\log_{x} 10 e} = \frac{1}{\log_{x} e + \log_{x} 10} = \frac{1}{\frac{\ln e}{\ln x} + \frac{\ln 10}{\ln x}} = \frac{\ln x}{1 + \ln 10} = \frac{\ln 10. \log x}{1 + \ln 10}$