21 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Mặt cầu và mặt phẳng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2;1;−1) và tiếp xúc với mặt phẳng $(α)$ có phương trình 2x−2y−z+3=0. Bán kính của (S) là:

A.2

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{2}{9}$

D.

\frac{4}{3}

Xem đáp án

Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng $(α)$ nên ta có $R = d (I, α)$

Suy ra $R = d (I, α) = \frac{|2.2 - 2.1 - (- 1) + 3|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{6}{3} = 2$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

Mặt phẳng (Oyz) cắt mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 y + 4 z - 3 = 0$ theo một đường tròn có tọa độ tâm là

A.(−1;0;0)

B.(0;−1;2)

C.(0;2;−4)

D.(0;1;−2)

Xem đáp án

Phương trình mặt phẳng $(O y z) : x = 0$ nên ta loại được đáp án A.

Véc tơ pháp tuyến của $(O y z) : \vec{n} = (1; 0; 0)$

Tọa độ của mặt cầu (S) là I(−1;1;−2)

Gọi điểm O là điểm cần tìm có O(0;b;c)

Do IO vuông góc với (Oyz) nên $\vec{O I}$ cùng phương với $\vec{n} = (1; 0; 0)$

Suy ra $b = 1; c = - 2$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3:

Viết phương trình mặt cầu có tâm I(−1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng $(P) : 2 x - y - 2 z + 1 = 0$

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 2$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 3$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 4$

D.

{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9

Xem đáp án

Khoảng cách từ I đến (P) được tính theo công thức

$d (I; (P)) = \frac{|2. (- 1) - 2 - 2.3 + 1|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}}} = 3$

Phương trình mặt cầu cần tìm là ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I(−3;2;−4) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)?

A. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 2$

B. ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 4)}^{2} = 9$

C. ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 4)}^{2} = 4$

D.

{(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 16

Xem đáp án

Vì mặt cầu có tâm I(−3;2;−4) tiếp xúc với mp(Oxz) nên r=2.

Phương trình mặt cầu cần tìm là : ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 4)}^{2} = 4$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 5:

Trong không gian vớ hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3;2;−1) và đi qua điểm A(2;1;2). Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với (S) tại A?

A. $x + y - 3 z - 8 = 0$

B. $x - y - 3 z + 3 = 0$

C. $x + y + 3 z - 9 = 0$

D.

x + y - 3 z + 3 = 0

Xem đáp án

(P) là mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A nếu và chỉ nếu (P) đi qua A và $\vec{I A} ⊥ (P)$

Ta có: $\vec{I A} = (- 1; - 1; 3)$ là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Mà (P) lại đi qua A(2;1;2) nên: $(P) : - 1 (x - 2) - 1 (y - 1) + 3 (z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 z + 3 = 0$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$ và 2 đường thẳng $Δ_{1} : \{\begin{matrix} x = 2 t \\ y = 1 - t \\ z = t \end{matrix} v à Δ_{2} : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{- 1}$ . Một phương trình mặt phẳng (P) song song với $Δ_{1}, Δ_{2}$ và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:

A. $x + z + 3 - 2 \sqrt{2} = 0$

B. $y + z - 3 - 2 \sqrt{2} = 0$

C. $x + y + 3 + 2 \sqrt{2} = 0$

D.

y + z + 3 + 2 \sqrt{2} = 0

Xem đáp án

(S) có tâm $I (1; - 1; - 2); R = 2$

Vì (P) song song với $Δ_{1}, Δ_{2}$ có vtcp tương ứng là $\vec{u_{1}} = (2; - 1; 1); \vec{u_{2}} = (- 1; 1; - 1)$

ta có $\vec{n_{P}} = [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (|\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}|) = (0; 1; 1)$

Gọi $(P) : y + z + d = 0$

$d (I; P) = \frac{| - 1 - 2 + d |}{\sqrt{2}} = \frac{| d - 3 |}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \frac{| d - 3 |}{\sqrt{2}} = 2 \Leftrightarrow [\begin{matrix} d - 3 = 2 \sqrt{2} \\ d - 3 = - 2 \sqrt{2} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} d = 3 + 2 \sqrt{2} \\ d = 3 - 2 \sqrt{2} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} y + z + 3 + 2 \sqrt{2} = 0 \\ y + z + 3 - 2 \sqrt{2} = 0 \end{matrix}$
Đáp án cần chọn là: D

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua điểm A(2;−2;5) và tiếp xúc với các mặt phẳng $(α) : x = 1, (β) : y = - 1, (γ) : z = 1$ . Bán kính của mặt cầu (S) bằng:

A. $\sqrt{33}$

B. 1

C. $3 \sqrt{2}$

D. 3

Xem đáp án

Gọi I(a;b;c). Do mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng $(α), (β), (γ)$ nên ta có $d (I, (α)) = d (I, (β)) = d (I, (γ)) = R$

Suy ra $|a - 1| = |b + 1| = |c - 1| = R$

Do điểm A(2;−2;5) thuộc miền $x > 1; y < - 1; z > 1$ nên I(a;b;c) cũng thuộc miền $x > 1; y < - 1; z > 1$

Khi đó $I (R + 1; - 1 - R; R + 1)$ .

Mặt khác $I A = R \Rightarrow {(R - 1)}^{2} + {(R - 1)}^{2} + {(R - 4)}^{2} = R^{2} \Leftrightarrow R = 3$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 10$ và mặt phẳng $(P) : - 2 x + y + \sqrt{5} z + 9 = 0$ . Gọi (Q) là tiếp diện của (S) tại M(5;0;4) . Tính góc giữa (P) và (Q).

A. $45^{\circ}$

B. $60^{\circ}$

C. $120^{\circ}$

D.

30^{\circ}

Xem đáp án

Gọi mặt cầu tâm I(2;−1;4).

Mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) (tâm I, bán kính R) tại điểm M chính là mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với bán kính IM tại tiếp điểm M

Mặt phẳng qua M(5;0;4) vuông góc với $I M \vec{I M} = (3; 1; 0)$ có phương trình:

$(Q) : 3 (x - 5) + y = 0 \Leftrightarrow 3 x + y - 15 = 0$ .

Có: ${\vec{n}}_{P} (- 2; 1; \sqrt{5}); {\vec{n}}_{Q} (3; 1; 0)$

Nên ta có:

$\cos \hat{((P); (Q))} = |\cos \hat{(\vec{n_{P}}; \vec{n_{Q}})}| = \frac{|- 6 + 1|}{\sqrt{10} . \sqrt{10}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{((P); (Q))} = 60^{0}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 9:

Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ tâm I của đường tròn giao tuyến của mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 64$ với mặt phẳng $(α) : 2 x + 2 y + z + 10 = 0$ .

A. $(- \frac{7}{3}; - \frac{7}{3}; - \frac{2}{3})$

B. $(- 2; - 2; - 2)$

C. $(- \frac{2}{3}; - \frac{7}{3}; - \frac{7}{3})$

D.

(- \frac{7}{3}; - \frac{2}{3}; - \frac{7}{3})

Xem đáp án

(S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R=8.

Tâm đường tròn giao tuyến (C) là hình chiếu vuông góc H của I trên (P).

Đường thẳng $Δ$ qua I và vuông góc với (P) có phương trình là

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{1}$

Do $H \in Δ$ nên $H (2 t + 1; 2 t + 1; t + 1)$

Ta có $H \in (P)$ nên:

$2 (2 t + 1) + 2 (2 t + 1) + t + 1 + 10 = 0 \Leftrightarrow 9 t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{5}{3}$

$\Rightarrow H (\frac{- 7}{3}; \frac{- 7}{3}; \frac{- 2}{3})$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 10:

Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ tâm I của đường tròn giao tuyến của mặt cầu

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 64

với mặt phẳng

(α) : 2 x + 2 y + z + 10 = 0

.

A. $(- \frac{7}{3}; - \frac{7}{3}; - \frac{2}{3})$

B. $(- 2; - 2; - 2)$

C. $(- \frac{2}{3}; - \frac{7}{3}; - \frac{7}{3})$

D. $(- \frac{7}{3}; - \frac{2}{3}; - \frac{7}{3})$

Xem đáp án

(S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R=8.

Tâm đường tròn giao tuyến (C) là hình chiếu vuông góc H của I trên (P).

Đường thẳng $Δ$ qua I và vuông góc với (P) có phương trình là

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{1}$

Do $H \in Δ$ nên $H (2 t + 1; 2 t + 1; t + 1)$

Ta có $H \in (P)$ nên:

$2 (2 t + 1) + 2 (2 t + 1) + t + 1 + 10 = 0 \Leftrightarrow 9 t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{5}{3}$

$\Rightarrow H (\frac{- 7}{3}; \frac{- 7}{3}; \frac{- 2}{3})$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,(α) cắt mặt cầu (S) tâm I(1;−3;3) theo giao tuyến là đường tròn tâm H(2;0;1) , bán kính r=2 . Phương trình (S) là:

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 18$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 4$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 18$

D.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 4

Xem đáp án

Gọi E là một điểm thuộc đường tròn.

Ta có $I H = d (I, (α)); R = I E; r = H E$

$I H = \sqrt{1 + 3^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{14}$

Tam giác IHE vuông tại H nên $I E = \sqrt{I H^{2} + H E^{2}} = \sqrt{14 + 4} = \sqrt{18}$

Suy ra phương trình mặt cầu (S) là:

{(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 18

Đáp án cần chọn là: A

Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầ $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6 x - 4 z + 9 - m^{2} = 0$ . Gọi T là tập các giá trị của m để mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz). Tích các giá trị của m trong T bằng:

A.−5

B.5

C.0

D.4

Xem đáp án

Mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6 x - 4 z + 9 - m^{2} = 0$ có tâm I(−3;0;2) và bán kính $R = \sqrt{m^{2} + 4}$

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là $x = 0 \Rightarrow d (I; (O y z)) = \frac{|- 3|}{1} = 3$

$\Rightarrow R = \sqrt{m^{2} + 4} = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{5}$

Tích các giá trị của m là $\sqrt{5} . (- \sqrt{5}) = - 5$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 13:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;−1;0),B(1;1;−1) và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 2 z - 3 = 0$ . Mặt phẳng (P) đi qua A,B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:

A. $x - 2 y + 3 z - 2 = 0$

B. $x - 2 y - 3 z - 2 = 0$

C. $x + 2 y - 3 z - 6 = 0$

D.

2 x - y - 1 = 0

Xem đáp án

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 2 z - 3 = 0$ có tâm I(1;−2;1)I(1;−2;1) và bán kính R=3.

Do (P) đi qua A,B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên (P) đi qua tâm I của (S)

Ta có: $\vec{I A} = (- 1; 1; - 1), \vec{I B} = (0; 3; - 2); \vec{n_{(P)}} = [\vec{I A}, \vec{I B}] = (1; - 2; - 3)$

Phương trình mặt phẳng $(P) : 1 (x - 0) - 2 (y + 1) - 3 (z - 0) = 0$ hay $x - 2 y - 3 z - 2 = 0$
Đáp án cần chọn là: B

Câu 14:

Mặt cầu (S) có tâm I(−1;2;−5) cắt mặt phẳng theo thiết diện là hình tròn có diện tích $3 π$ . Phương trình của (S) là:

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y + 10 z + 18 = 0$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 5)}^{2} = 25$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(x - 5)}^{2} = 16$

D.

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y + 10 z + 12 = 0

Xem đáp án

Gọi O là tâm của đường tròn thiết diện, E là một điểm thuộc đường tròn.

Ta có: $I O = d (I, (P)); R = I E$

$I O = d (I, (P)) = \frac{| 2. (- 1) - 2.2 + 5 + 10 |}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1}} = 3$

$S = 3 π = π . O E^{2} \Leftrightarrow O E^{2} = 3$

Tam giác IOE vuông tại O nên $R^{2} = I E^{2} = I O^{2} + O E^{2} = 3 + 9 = 12.$

Suy ra phương trình mặt cầu (S) là:

${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 5)}^{2} = 12$ hay

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y + 10 z + 18 = 0

Đáp án cần chọn là: A

Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 2 z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 2 z + 5 = 0$ . Giả sử $M \in (P)$ và $N \in (S)$ sao cho $\vec{M N}$ cùng phương với vectơ $\vec{u} = (1; 0; 1)$ và khoảng cách MN lớn nhất. Tính MN

A.MN = 3

B. $M N = 1 + 2 \sqrt{2}$

C. $M N = 3 \sqrt{2}$

D. $M N = 14$

Xem đáp án

(S) có tâm I(–1;2;1) và R=1.

Gọi $\vec{v} (t; 0; t)$ là vectơ cùng phương với vectơ $\vec{u} (1; 0; 1)$ sao cho phép tịnh tiến vectơ đó biến (S) thành (S′) tiếp xúc với (P)

Phép tịnh tiến vectơ $\vec{v} (t; 0; t)$ biến I thành $I^{'} (- 1 + t; 2; 1 + t)$

Suy ra (S′) có tâm I′ và bán kính $R^{'} = R = 1$

(S′) tiếp xúc (P)

$\Leftrightarrow d (I; (P)) = 1 \Leftrightarrow \frac{| - 1 + t - 2.2 + 2 (1 + t) - 3 |}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 1$

$\Leftrightarrow | 3 t - 6 | = 3 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 3 \\ t = 1 \end{matrix}$

Với $t = 3 \Rightarrow \vec{v} (3; 0; 3) \Rightarrow |\vec{v}| = 3 \sqrt{2}$

Với $t = 1 \Rightarrow \vec{v} (1; 0; 1) \Rightarrow |\vec{v}| = \sqrt{2}$

Vậy giá trị lớn nhất của MN là $3 \sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 16:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ : \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + z - 3 = 0$ . Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc và tiếp xúc với (P) tại điểm H(1;−1;0). Phương trình của (S) là:

A. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 36$

B. ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 36$

C. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 6$

D.

{(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 6

Xem đáp án

Vì $I \in Δ : \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1}$ nên ta gọi $I (1 - 2 t; 2 t; 2 + t)$

Vì (S) tiếp xúc với $(P) : 2 x - y + z - 3 = 0$ tại điểm H(1;−1;0) nên ta có: $d (I; (P)) = I H = R$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{|2. (1 - 2 t) - 2 t + 2 + t - 3|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{{(2 t)}^{2} + {(- 1 - 2 t)}^{2} + {(- 2 - t)}^{2}} \\ \Leftrightarrow \frac{|- 5 t + 1|}{\sqrt{6}} = \sqrt{9 t^{2} + 8 t + 5} \\ \Leftrightarrow 25 t^{2} - 10 t + 1 = 54 t^{2} + 48 t + 30 \\ \Leftrightarrow 29 t^{2} + 58 t + 29 = 0 \\ \Leftrightarrow t^{2} + 2 t + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow {(t + 1)}^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow t = - 1 \end{array}$

$\Rightarrow I (3; - 2; 1)$ và $R = I H = \sqrt{6}$

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 6$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 17:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 2 y + 2 z - 3 = 0$ và đường thẳng $Δ : \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{- 2} = \frac{z + 2}{- 1}$ . Mặt phẳng $(α)$ vuông góc với Δ và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính lớn nhất. Phương trình $(α)$ là:

A. $3 x - 2 y - z - 5 = 0$

B. $3 x - 2 y - z + 5 = 0$

C. $3 x - 2 y - z + 15 = 0$

D.

3 x - 2 y - z - 15 = 0

Xem đáp án

Đường thẳng $Δ : \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{- 2} = \frac{z + 2}{- 1}$ có 1 VTCP là $\vec{u} = (3; - 2; - 1)$

Vì $(α) ⊥ Δ$ nên mặt phẳng $(α)$ có 1 VTPT là $\vec{n} = \vec{u} = (3; - 2; - 1)$ .Khi đó phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng $3 x - 2 y - z + d = 0$

Mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 2 y + 2 z - 3 = 0$ có tâm I(4;−1;−1), bán kính $R = \sqrt{16 + 1 + 1 + 3} = \sqrt{21}$

Gọi r là bán kính đường tròn $(C), d = d (I; (α))$

Áp dụng định lí Pytago ta có: $R^{2} = r^{2} + d^{2}$ do đó để r đạt GTLN thì d phải đạt GTNN (vì $R = \sqrt{21}$ không đổi).

Ta có: $d = \frac{|3.4 - 2. (- 1) - 1. (- 1) + d|}{\sqrt{3^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{|15 + d|}{\sqrt{14}} \geq 0$ suy ra $d_{\min} = 0 \Leftrightarrow d = - 15$

Vậy phương trình mặt phẳng $(α)$ cần tìm là: $3 x - 2 y - z - 15 = 0$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 18:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(C) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 1$ và hai điểm A(2;1;0), B(0;2;0). Khi điểm S thay đổi trên mặt cầu (C), thể tích của khối chóp S.OAB có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

A. 6

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Bước 1:

Dễ dàng nhận thấy O,A,B đều nằm ngoài mặt cầu (C) nên (OAB) không cắt mặt cầu (C).

Mặt cầu (C) ta có tâm I(−1;3;2), bán kính R=1.

Ta có $\vec{O A} = (2; 1; 0), \vec{O B} = (0; 2; 0) \Rightarrow [\vec{O A}; \vec{O B}] = (0; 0; 4)$

$\Rightarrow S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} |[\vec{O A}; \vec{O B}]| = 2$

Bước 2:

$\Rightarrow V_{S . O A B} = \frac{1}{3} d (S; (O A B)) . S_{Δ O A B}$

Vì $S_{Δ O A B}$ không đổi nên $V_{S . O A B}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
$d (S; (O A B))$ lớn nhất, khi đó $d (S; (O A B)) = R + d (I; (O A B))$

Bước 3:

Mặt phẳng (OAB) nhận $\vec{n} = \frac{1}{4} [\vec{O A}; \vec{O B}] = (0; 0; 1)$ là 1 VTPT nên có phương trình: z = 0.

$\Rightarrow d (I; (O A B)) = |z_{I}| = 2 \Rightarrow d {(S; (O A B))}_{\max} = 1 + 2 = 3$

Vậy $\max V_{S . O A B} = \frac{1}{3} .3.2 = 2$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 19:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x - y - 2 z - 2 = 0$ và mặt phẳng $(Q) : 2 x - y - 2 z + 10 = 0$ song song với nhau. Biết A(1;2;1) là điểm nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Gọi (S) là mặt cầu qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Biết rằng khi (S) thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó

A. $r = \frac{2 \sqrt{5}}{3}$

B. $r = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

C. $r = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

D.

r = \frac{\sqrt{5}}{3}

Xem đáp án

Bước 1: Tính $d ((P), (Q))$

Ta thấy M(1;0;0) là một điểm thuộc (P)

Vì $(P) / / (Q)$ nên $d ((P), (Q)) = d (M, (Q)) = \frac{| 2 + 10 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}}} = 4$

Bước 2: Giả sử I(a;b;c) là tâm của (S). Chứng minh I luôn thuộc mặt phẳng (R)

Giả sử I(a;b;c) là tâm của (S). Vì (S) tiếp xúc với cả (P) và (Q) nên bán kính mặt cầu (S) là

$R = \frac{d ((P), (Q))}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Do đó IA=2 nên I luôn thuộc mặt cầu (T) tâm A, bán kính 2

Ngoài ra,

$d (I, (P)) = d (I, (Q)) \Leftrightarrow \frac{| 2 a - b - 2 c - 2 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{| 2 a - b - 2 c + 10 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow | 2 a - b - 2 c - 2 | = | 2 a - b - 2 c + 10 |$

$\Leftrightarrow 2 a - b - 2 c + 4 = 0.$

Do đó, I luôn thuộc mặt phẳng $(R) : 2 x - y - 2 z + 4$

Bước 3: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (R).Tính HI và tính bán kính r

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (R). Vì A,

Ta có $A H = d (A, (R)) = \frac{| 2.1 - 2 - 2.1 + 4 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{2}{3}$

Mà $A H ⊥ (R) \Rightarrow A H ⊥ H I$ ,do đó $Δ A H I$ vuông tại H nên

$H I = \sqrt{A I^{2} - A H^{2}} = \sqrt{2^{2} - {(\frac{2}{3})}^{2}} = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Vậy I luôn thuộc đường tròn tâm H, nằm trên mặt phẳng (R), bán kính $r = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Câu 20:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - 2 y + z + 3 = 0$ . Gọi M(a;b;c) là điểm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. Khi đó:

A. $a + b + c = 5$

B. $a + b + c = 6$

C. $a + b + c = 7$

D.

a + b + c = 8

Xem đáp án

Giả sử M(a;b;c) là điểm cần tìm.

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) bán kính R=3.
Gọi $Δ$ là đường thẳng qua I và vuông góc với mp(P).

$\Rightarrow Δ : \{\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = 2 - 2 t \\ z = 3 + t \end{matrix}$

Đường thẳng $Δ$ cắt mặt cầu tại 2 điểm A,B. Toạ độ A,B là nghiệm của hệ:

$\{\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = 2 - 2 t \\ z = 3 + t \\ {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 1 \\ t = - 1 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} A (3; 0; 4) \\ B (- 1; 4; 2) \end{matrix}$

Ta có: $d (A; (P)) = \frac{|2.3 - 2.0 + 4 + 3|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1}} = \frac{13}{3}$

và $d (B; (P)) = \frac{|2. (- 1) - 2.4 + 2 + 3|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1}} = \frac{5}{3}$

Do đó điểm cần tìm là điểm $A \equiv M \Rightarrow a + b + c = 3 + 0 + 4 = 7$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 21:

Cho điểm A(0;8;2) và mặt cầu (S) có phương trình $(S) : {(x - 5)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 7)}^{2} = 72$ và điểm B(1;1;−9). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Giả sử $\vec{n} = (1; m; n)$ là véctơ pháp tuyến của (P). Lúc đó:

A. $m n = \frac{276}{49}$

B. $m n = - \frac{276}{49}$

C. $m n = 4$

D.

m n = - 4

Xem đáp án

(S) có tâm I(5;−3;7) và bán kính $R = 6 \sqrt{2}$

Theo đề bài ta có phương trình (P) có dạng $x + m (y - 8) + n (z - 2) = 0$

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên

$d (I, (P)) = \frac{|5 + m (- 3 - 8) + n (7 - 2)|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = \frac{|5 - 11 m + 5 n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 6 \sqrt{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow |5 - 11 m + 5 n| = 6 \sqrt{2} . \sqrt{1 + m^{2} + n^{2}} \\ \Leftrightarrow 25 + 121 m^{2} + 25 n^{2} - 110 m + 50 n - 110 m n = 72 (1 + m^{2} + n^{2}) \\ \Leftrightarrow 49 m^{2} - 110 m + 50 n - 110 m n - 47 n^{2} - 47 = 0 \\ \Leftrightarrow 49 m^{2} - 110 m (n + 1) - 47 n^{2} + 50 n - 47 = 0 (1) \\ = 3025 {(n + 1)}^{2} - 49 (- 47 n^{2} + 50 n - 47) = 5328 n^{2} + 3600 n + 5328 > 0 \end{array}$

Phương trình (*) luôn có nghiệm

$\begin{array}{l} d (B, (P)) = \frac{|1 + m (1 - 8) + n (- 9 - 2)|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = \frac{|1 - 7 m - 11 n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} \\ = > d (B, (P)) \max = A B \Leftrightarrow \frac{|1 - 7 m - 11 n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 3 \sqrt{19} \Leftrightarrow \sqrt{1 + m^{2} + n^{2}} = \frac{|1 - 7 m - 11 n|}{3 \sqrt{19}} \end{array}$

Mặt khác $\frac{|5 - 11 m + 5 n|}{6 \sqrt{2}} = \sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}$

$\frac{|1 - 7 m - 11 n|}{3 \sqrt{19}} = \frac{|5 - 11 m + 5 n|}{6 \sqrt{2}}$

$\begin{array}{l} 72 (1 + 49 m^{2} + 121 n^{2} - 14 m - 22 n + 154 m n) = 171 (25 + 121 m^{2} + 25 n^{2} - 110 m + 50 n - 110 m n) \\ \Leftrightarrow 8 (1 + 49 m^{2} + 121 n^{2} - 14 m - 22 n + 154 m n) = 19 (25 + 121 m^{2} + 25 n^{2} - 110 m + 50 n - 110 m n) \\ \Leftrightarrow - 1907 m^{2} + 493 n^{2} + 1978 m - 1126 n + 3322 m n - 467 = 0 (2) \end{array}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow m . n = \frac{276}{49}$
Đáp án cần chọn là: A