29 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Mặt phẳng và đường thẳng

Câu 1:

Cho đường thẳng d có VTCP $\vec{u}$ và mặt phẳng (P) có VTPT $\vec{n}$ . Nếu d//(P) thì:

A. $\vec{u} = k \vec{n} (k \neq 0)$

B. $\vec{n} = k \vec{u}$

C. $\vec{n} . \vec{u} = 0$

D.

\vec{n} . \vec{u} = \vec{0}

Xem đáp án

Ta có: $d / / (P) \Leftrightarrow \{\begin{matrix} \vec{u} ⊥ \vec{n} \\ M \in d, M \notin (P) \end{matrix}$

Do đó nếu $d / / (P)$ thì $\vec{u} ⊥ \vec{n} \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{n} = 0$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d là đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (α):4x+3y−7z+1=0. Phương trình tham số của d là:

A. $\{\begin{matrix} x = - 1 + 4 t \\ y = - 2 + 3 t \\ z = - 3 - 7 t \end{matrix}$

B. $\{\begin{matrix} x = 1 + 4 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 3 - 7 t \end{matrix}$

C. $\{\begin{matrix} x = 1 + 3 t \\ y = 2 - 4 t \\ z = 3 - 7 t \end{matrix}$

D.

\{\begin{matrix} x = - 1 + 8 t \\ y = - 2 + 6 t \\ z = - 3 - 14 t \end{matrix}

Xem đáp án

Mặt phẳng $(α)$ có VTPT là $\vec{n_{α}} = (4; 3; - 7)$

Do $d ⊥ (α)$ nên có VTCP là $\vec{u_{d}} = \vec{n_{α}} = (4; 3; - 7)$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3:

Cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z}{3}$ và mặt phẳng (P):x+y−z−3=0. Tọa độ giao điểm của d và (P) là:

A.(−1;1;−3)

B.(1;2;0)

C.(2;−2;3)

D.(2;−2;−3)

Xem đáp án

$d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z}{3} \Rightarrow \{\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 - 2 t \\ z = 3 t \end{matrix}$

$\Rightarrow M (1 + 2 t; - 1 - 2 t; 3 t)$

$M = d \cap (P) \Rightarrow 1 + 2 t - 1 - 2 t - 3 t - 3 = 0 \Leftrightarrow - 3 t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow M (- 1; 1; - 3)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cho mặt phẳng (P):x−2y+3z−1=0 và đường thẳng . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P).

B.Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

C.Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P).

D.Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

Xem đáp án

Đường thẳng d đi qua M(1;2;3) và có VTCP $\vec{u_{d}} = (3; 3; 1)$

Mặt phẳng (P) có VTPT $\vec{n_{P}} = (1; - 2; 3)$

+ $\vec{u_{d}} . \vec{n_{P}} = 3 - 6 + 3 = 0 (1)$

+ $1 - 2.2 + 3.3 - 1 \neq 0$ hay $M \notin (P) (2)$

Từ (1) và (2), suy ra d song song với (P).

Đáp án cần chọn là: B

Câu 5:

Cho đường thẳng d có phương trình $d : \{\begin{matrix} x = 2 t \\ y = 1 - t \\ z = 3 + t \end{matrix}$ và mặt phẳng (P) có phương trình (P):x+y+z−10=0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A.d nằm trong (P)

B.d song song với (P)

C.d vuông góc với (P)

D.d tạo với (P) một góc nhỏ hơn 450

Xem đáp án

Giả sử M là giao điểm của (d) và (P).

Lấy $M \in (d) \Rightarrow M (2 t; 1 - t; 3 + t)$

Vì $M \in (P) \Rightarrow 2 t + 1 - t + 3 + t - 10 = 0 \Leftrightarrow 2 t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 3$

Suy ra ta có M(6;−2;6), suy ra dd cắt (P) tại 1 điểm duy nhất. Do đó, loại đáp án A và B.

Mặt khác giả sử $d ⊥ (P) \Rightarrow \frac{2}{1} = \frac{1}{1} = \frac{- 1}{1}$ (vô lý). Do đó loại C

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

Cho $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{m} = \frac{z - 1}{m - 2}; (P) : x + 3 y + 2 z - 5 = 0$ . Tìm m để d và (P) vuông góc với nhau.

A. $m = \frac{3}{5}$

B. $m = 1$

C. $m = 6$

D. $m = \frac{2}{5}$

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{matrix} \vec{u_{d}} = (2; m; m - 2) \\ \vec{n_{P}} = (1; 3; 2) \end{matrix}$

$d ⊥ (P) \Rightarrow \frac{2}{1} = \frac{m}{3} = \frac{m - 2}{2} \Leftrightarrow m = 6$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P):4x+y−2=0 . Đường thẳng nào trong các đường thẳng sau vuông góc với mặt phẳng (P).

A. $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{2}$

B. $d : \frac{x - 3}{4} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{2}$

C. $d : \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}$

D.

(d) : \{\begin{matrix} x = 4 t \\ y = t \\ z = 0 \end{matrix}

Xem đáp án

(P) vuông góc với $d \Leftrightarrow \vec{n_{P}} / / \vec{u_{d}} \Leftrightarrow \vec{n_{P}} = k . \vec{u_{d}}$

Ta có: $\vec{n_{P}} = (4; 1; 0)$ và trong các đáp án chỉ có đáp án D thỏa mãn $\vec{n_{P}}$ cùng phương $\vec{u_{d}}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8:

Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):2x+y−z−3=0 và (Q):x+y+z−1=0. Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là:

A. $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z + 1}{1}$

B. $\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 1}{1}$

C. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$

D.

\frac{x}{2} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z - 1}{- 1}

Xem đáp án

Dễ thấy điểm (0;2;−1) thuộc cả hai mặt phẳng.

Ta có: $\vec{n_{P}} = (2; 1; - 1), \vec{n_{Q}} = (1; 1; 1) \Rightarrow [\vec{n_{P}}; \vec{n_{Q}}] = (2; - 3; 1)$

Giao tuyến d đi qua điểm A(0;2;−1) và nhận $\vec{u_{d}} = (2; - 3; 1)$ làm VTCP nên phương trình chính tắc của d là:

\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z + 1}{1}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α):4x+3y−7z+3=0 và điểm I(0;1;1). Phương trình mặt phẳng $(β)$ đối xứng với $(α)$ qua I là:

A. $(β) : 4 x + 3 y - 7 z - 3 = 0$

B. $(β) : 4 x + 3 y - 7 z + 11 = 0$

C. $(β) : 4 x + 3 y - 7 z - 11 = 0$

D.

(β) : 4 x + 3 y - 7 z + 5 = 0

Xem đáp án

$(β) / / (α) \Rightarrow \vec{n_{β}} = \vec{n_{α}} = (4; 3; - 7)$

Lấy $A (0; - 1; 0) \in (α)$ .Gọi $A^{'} \in (β)$ là điểm đối xứng của A qua I.

⇒I là trung điểm của AA′.

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{'} (0; 3; 2) \\ \Rightarrow 4 (x - 0) + 3 (y - 3) - 7 (z - 2) = 0 \\ \Rightarrow 4 x + 3 y - 7 z + 5 = 0 \end{array}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 10:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cho điểm A(−1;3;2) và mặt phẳng (P):2x−5y+4z−36=0. Tọa độ hình chiếu H của A trên (P) là.

A.H(−1;−2;6)

B.H(1;2;6)

C.H(1;−2;6)

D.H(1;−2;−6)

Xem đáp án

Mặt phẳng (P) có VTPT $\vec{n_{P}} = (2; - 5; 4)$

Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với (P) nên có VTCP $\vec{u_{d}} = \vec{n_{P}} = (2; - 5; 4)$

Do đó $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{- 5} = \frac{z - 2}{4}$

Khi đó tọa độ hình chiếu H thỏa mãn hệ

$\{\begin{matrix} \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{- 5} = \frac{z - 2}{4} \\ 2 x - 5 y + 4 z - 36 = 0 \end{matrix} \Rightarrow H (1; - 2; 6)$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;2;−3)và mặt phẳng (P):x+y−2z−1=0. Phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) là:

A. $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{- 3}$

B. $d : \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2}$

C. $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 3}{- 2}$

D.

d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z + 3}{- 2}

Xem đáp án

Ta có:

$\{\begin{matrix} (P) ⊥ (d) \Rightarrow \vec{n_{P}} = \vec{u_{d}} = (1; 1; - 2) \\ A (1; 2; - 3) \in (d) \end{matrix} \Rightarrow d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 3}{- 2}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và 2 đường thẳng $d_{1} : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z}{- 1}; d_{2} : \{\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = 5 - 3 t \\ z = 4 \end{matrix}$ . Phương trình mặt phẳng qua A và song song với $d_{1}, d_{2}$ là:

A. $3 x + y + 2 z - 6 = 0$

B. $. - 3 x - 2 y - z + 10 = 0$

C $. - 3 x - 2 y - z + 1 = 0$

D. $3 x + 2 y + z - 3 = 0$

Xem đáp án

Ta có: $\{\begin{matrix} \vec{u_{1}} = (1; - 1; - 1) \\ \vec{u_{2}} = (2; - 3; 0) \end{matrix} \Rightarrow [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (- 3; - 2; - 1)$

Vì $(P) / / d_{1}, d_{2} \Rightarrow \vec{n_{P}} = [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (- 3; - 2; - 1)$

Ta có: $(P) : \{\begin{matrix} \vec{n_{P}} (- 3; - 2; - 1) \\ A (1; 2; 3) \end{matrix} \Rightarrow - 3 (x - 1) - 2 (y - 2) - (z - 3) = 0$

$\Leftrightarrow - 3 x - 2 y - z + 10 = 0$
Đáp án cần chọn là: B

Câu 13:

Trong không gian tọa độ Oxyz cho $d : \frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 1}{- 2}$ và mặt phẳng (P):x−3y+z−4=0. Phương trình hình chiếu của d trên (P) là:

A. $\frac{x + 3}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$

B. $\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1}$

C. $\frac{x + 5}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$

D.

\frac{x}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1}

Xem đáp án

Đường thẳng d đi qua A(1;3;1) và có VTCP $\vec{u_{d}} = (- 3; 2; - 2)$

Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P) nên $\vec{n_{Q}} = [\vec{n_{P}}, \vec{u_{d}}]$

Ta có: $\vec{n_{P}} = (1; - 3; 1)$ và $\vec{u_{d}} = (- 3; 2; - 2) \Rightarrow [\vec{n_{P}}, \vec{u_{d}}] = (4; - 1; - 7)$

Mặt phẳng (Q) đi qua A(1;3;1) và nhận $\vec{n_{Q}} = (4; - 1; - 7)$ làm VTPT nên $(Q) : 4 (x - 1) - (y - 3) - 7 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow 4 x - y - 7 z + 6 = 0$

Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của (P),(Q).

Dễ thấy điểm (0;−1;1) thuộc cả hai mặt phẳng và $[\vec{n_{P}}, \vec{n_{Q}}] = (2; 1; 1)$

Do đó d′ đi qua A(0;−1;1) và có VTCP $\vec{u_{d^{'}}} = (2; 1; 1)$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x−y−z−1=0 và đường thẳng $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{3}$ . Phương trình đường thẳng Δ qua A(1;1;−2) vuông góc với d và song song với (P) là:

A. $Δ : \frac{x}{- 6} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{9}$

B. $Δ : \frac{x - 3}{50} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 75}$

C. $Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z + 2}{- 3}$

D.

Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z}{3}

Xem đáp án

Ta có: $\{\begin{matrix} \vec{n_{P}} = (1; - 1; - 1) \\ \vec{u_{d}} = (2; 1; 3) \end{matrix} \Rightarrow [\vec{n_{P}}, \vec{u_{d}}] = (- 2; - 5; 3)$

Vì $Δ$ vuông góc với d và song song với $(P) \Rightarrow \vec{u_{Δ}} = [\vec{n_{P}}, \vec{u_{d}}] = (- 2; - 5; 3)$

Ta có:

$(Δ) : \{\begin{matrix} \vec{u_{Δ}} = (- 2; - 5; 3) \\ A (1; 1; - 2) \in (Δ) \end{matrix} \Rightarrow \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y - 1}{- 5} = \frac{z + 2}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z + 2}{- 3}$
Đáp án cần chọn là: C

Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;1;2),B(0;−1;1) và song song với đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z}{2}$ là:

A $. (P) : 5 x - y - 3 z + 2 = 0$

B $. (P) : 3 x + y - 5 z + 6 = 0$

C $. (P) : 3 x + 3 y + z - 8 = 0$

D

. (P) : x - y + 2 z - 4 = 0

Xem đáp án

Ta có: $\{\begin{matrix} \vec{A B} = (- 1; - 2; - 1) \\ \vec{u_{d}} = (1; - 1; 2) \end{matrix} \Rightarrow [\vec{A B}; \vec{u_{d}}] = (- 5; 1; 3)$

Vì (P) đi qua hai điểm A,B và song song với đường thẳng d nên ta có

$\vec{n_{P}} = [\vec{A B}; \vec{u_{d}}] = (- 5; 1; 3)$

Ta có: $(P) : \{\begin{matrix} \vec{n_{P}} = (- 5; 1; 3) \\ A (1; 1; 2) \in (P) \end{matrix} \Rightarrow - 5 (x - 1) + (y - 1) + 3 (z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow - 5 x + y + 3 z - 2 = 0 \Leftrightarrow 5 x - y - 3 z + 2 = 0$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 16:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng $(P) : x - y + 3 z + 2 = 0$ và đường thẳng $(d) : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{3}$ . Phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc với (P) là:

A. $3 x + z - 5 = 0$

B. $3 x - z + 5 = 0$

C. $3 x - z - 5 = 0$

D

. - 3 x - z - 5 = 0

Xem đáp án

Ta có: $\{\begin{matrix} \vec{u_{d}} = (1; 2; 3) \\ \vec{n_{P}} = (1; - 1; 3) \end{matrix} \Rightarrow [\vec{u_{d}}, \vec{n_{Q}}] = (9; 0; - 3)$

Vì (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc với $(P) \Rightarrow \vec{n} = [\vec{u_{d}}, \vec{n_{P}}]$ .Chọn $\vec{n} = (3; 0; - 1)$

Lấy $A (2; - 1; 1) \in (d)$ ,suy ra $A \in (Q)$

Ta có: $(Q) : \{\begin{matrix} \vec{n} = (3; 0; - 1) \\ A (2; - 1; 1) \in (Q) \end{matrix} \Rightarrow 3 (x - 2) - 1 (z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow 3 x - z - 5 = 0$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 17:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+2y−3z+4=0 và đường thẳng $d : \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{- 1}$ . Đường thẳng $Δ$ nằm trong (P) đồng thời cắt và vuông góc với d có phương trình:

A. $Δ : \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1}$

B. $Δ : \frac{x + 3}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1}$

C. $Δ : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1}$

D.

Δ : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 1}{- 1}

Xem đáp án

Mặt phẳng (P) có VTPT $\vec{n_{P}} = (1; 2; - 3)$ ; d có VTCP $\vec{u_{d}} = (1; 1; - 1)$

Gọi $A = d \cap (P)$ tọa độ điểm A thỏa mãn hệ

$\{\begin{matrix} \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{- 1} \\ x + 2 y - 3 z + 4 = 0 \end{matrix} \Rightarrow A (- 3; 1; 1)$

Do $Δ$ nằm trong (P) và vuông góc với dd nên có VTCP $\vec{u_{Δ}} = [\vec{n_{P}}, \vec{u_{d}}] = (1; - 2; - 1)$

Khi đó đường thẳng $Δ$ được xác định là đi qua A(−3;1;1) và có VTCP $\vec{u_{Δ}} = [\vec{n_{P}}, \vec{u_{d}}] = (1; - 2; - 1)$ nên có phương trình $Δ : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 18:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;1),B(4;1;0) và C(−1;4;−1). Mặt phẳng (P) nào dưới đây chứa đường thẳng AB mà khoảng cách từ C đến (P) bằng $\sqrt{14}$ .

A $. (P) : x - 2 y + 3 z - 2 = 0$

B $. (P) : x - 2 y + 3 z + 2 = 0$

C $. (P) : x + 2 y - 3 z = 0$

D

. (P) : x - 2 y - 3 z + 4 = 0

Xem đáp án

Xét đáp án A có

$1 - 2.1 + 3.1 - 2 = 0 \Rightarrow A \in (P)$

$4 - 2.1 + 3.0 - 2 = 0 \Rightarrow B \in (P)$

$d (C, (P)) = \frac{| - 1 - 8 - 3 - 2 |}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \sqrt{14}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1),B(−2;1;3),C(2;−1;1),D(0;3;1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,B sao cho C,D cùng phía so với (P) và khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) là:

A. $4 x + 2 y - 7 z - 1 = 0$

B. $4 x - 2 y + 7 z - 7 = 0$

C. $4 x + 2 y + 7 z - 15 = 0$

D.

4 x + 2 y + 7 z + 15 = 0

Xem đáp án

Vì C,D cùng phía so với (P) và khoảng cách từ CC đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) nên ta có $(P) / / C D$

Ta có $\vec{A B} = (- 3; - 1; 2); \vec{C D} = (- 2; 4; 0) \Rightarrow [\vec{A B}; \vec{C D}] = (- 8; - 4; - 14)$

Vì $(P) / / C D$ và (P) đi qua hai điểm A,B nên ta có $\vec{n_{P}} = [\vec{A B}; \vec{C D}]$ . Chọn $\vec{n_{P}} = (4; 2; 7)$

$\Rightarrow (P) : \{\begin{matrix} \vec{n_{P}} = (4; 2; 7) \\ A (1; 2; 1) \in (P) \end{matrix} \Rightarrow (P) : 4 (x - 1) + 2 (y - 2) + 7 (z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow 4 x + 2 y + 7 z - 15 = 0$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 20:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+2y=0. Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng qua A(−1;3;−4) cắt trục Ox và song song với mặt phẳng (P):

A. $\{\begin{matrix} x = 5 + 6 t \\ y = - 3 t \\ z = 4 t \end{matrix}$

B. $\{\begin{matrix} x = - 1 + 3 t \\ y = 3 + t \\ z = 4 - t \end{matrix}$

C. $\frac{x + 1}{6} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 4}{4}$

D.

\frac{x + 1}{6} = \frac{y - 3}{- 5} = \frac{z + 4}{4}

Xem đáp án

Mặt phẳng (P) có VTPT $\vec{n_{P}} = (1; 2; 0)$

Gọi d là đường thẳng cần tìm. Ta có $d \cap O x = B (b; 0; 0)$

Suy ra d có VTCP $\vec{A B} = (b + 1; - 3; 4)$

Do $d ∥ (P)$ nên $\vec{A B} ⊥ \vec{n_{P}} \Rightarrow (b + 1) .1 + (- 3) .2 + 4.0 = 0 \Leftrightarrow b = 5 \Rightarrow B (5; 0; 0) .$

Đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm A,B nên có phương trình $\{\begin{matrix} x = 5 + 6 t \\ y = - 3 t \\ z = 4 t \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 21:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;−2;4);B(−3;3;−1) và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z - 8 = 0$ . Xét điểm M là điểm thay đổi thuộc (P), giá trị nhỏ nhất của $2 M A^{2} + 3 M B^{2}$ bằng:

A.135

B.105

C.108

D.145

Xem đáp án

Gọi I(a;b;c) là điểm thỏa mãn đẳng thức : $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} = \vec{0}$

$\Rightarrow 2 (2 - a; - 2 - b; 4 - c) + 3 (- 3 - a; 3 - b; - 1 - c) = \vec{0}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} 4 - 2 a - 9 - 3 a = 0 \\ - 4 - 2 b + 9 - 3 b = 0 \\ 8 - 2 c - 3 - 3 c = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} - 5 a - 5 = 0 \\ - 5 b + 5 = 0 \\ - 5 c + 5 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 1 \end{matrix} \Rightarrow I (- 1; 1; 1)$

Ta có :

$\begin{array}{l} 2 M A^{2} + 3 M B^{2} = 2 {\vec{M A}}^{2} + 3 {\vec{M B}}^{2} \\ = 2 {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + 3 {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} \\ = 5 M I^{2} + (2 I A^{2} + 3 I B^{2}) + \vec{M I} (2 \vec{I A} + 3 \vec{I B}) \\ = 5 M I^{2} + (2 I A^{2} + 3 I B^{2}) \end{array}$

Do I, A, B cố định nên $2 I A^{2} + 3 I B^{2} = c o n s t$

$\Rightarrow {(2 M A^{2} + 3 M B^{2})}_{\min} \Leftrightarrow 5 M {I^{2}}_{\min}$ ⇔ M là hình chiếu của I trên (P)

Gọi $(Δ)$ là đường thẳng đi qua I vuông góc với (P) , ta có phương trình của

$(Δ) : \{\begin{matrix} x = - 1 + 2 t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + 2 t \end{matrix}$

M là hình chiếu của I lên (P) ⇒ $M \in (Δ) \Rightarrow M (- 1 + 2 t; 1 - t; 1 + 2 t)$

Lại có $M \in (P)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 (- 1 + 2 t) - (1 - t) + 2 (1 + 2 t) - 8 = 0 \\ \Leftrightarrow - 2 + 4 t - 1 + t + 2 + 4 t - 8 = 0 \\ \Leftrightarrow 9 t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M (1; 0; 3) \end{array}$

Khi đó ta có

$\begin{array}{l} M I^{2} = 4 + 1 + 4 = 9; I A^{2} = 9 + 9 + 9 = 27; I B^{2} = 4 + 4 + 4 = 13 \\ \Rightarrow {(2 M A^{2} + 3 M B^{2})}_{\min} = 5.9 + 2.27 + 3.12 = 135 \end{array}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 22:

Trong không gian Oxyz, gọi Δ là đường thẳng đi qua M(0;0;2) và song song với mặt phẳng $(P) : x + y + z + 3 = 0$ sao cho khoảng cách từ A(5;0;0) đến đường thẳng $Δ$ nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ là

A. $\vec{u_{3}} = (4; - 1; - 3)$

B. $\vec{u_{2}} = (2; - 1; - 3)$

C. $\vec{u_{4}} = (2; 1; - 3)$

D.

\vec{u_{1}} = (4; 1; 3)

Xem đáp án

Do $Δ$ là đường thẳng đi qua M(0;0;2) và song song với mặt phẳng

$(P) : x + y + z + 3 = 0 \Rightarrow Δ \subset (Q)$ qua M và song song (P).

Phương trình mặt phẳng (Q) là: $x + y + z - 2 = 0$

Dựng . Ta có: $A K \geq A H$ Do đó, khoảng cách từ A(5;0;0) đến đường thẳng nhỏ nhất và bằng AH khi và chỉ khi K trùng H

Khi đó, đường thẳng $Δ$ được xác định là đường thẳng đi qua M và H.

Phương trình đường thẳng AH là $\{\begin{matrix} x = 5 + t \\ y = t \\ z = t \end{matrix}$

Giả sử $H (5 + t; t; t) \Rightarrow 5 + t + t + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H (4; - 1; - 1)$

$\Rightarrow \vec{M H} = (4; - 1; - 3) \Rightarrow Δ$ có 1 VTCP là $\vec{u_{3}} = (4; - 1; - 3)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 23:

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có $A' (\sqrt{3}; - 1; 1)$ hai đỉnh B,C thuộc trục Oz và AA′=1 (C không trùng với O). Biết véc tơ $\vec{u} = (a; b; 2)$ với $a, b \in ℝ$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng A′C. Tính $T = a^{2} + b^{2}$ .

A.T=5

B.T=16

C. T=4

D. T=9

Xem đáp án

Phương trình $B C \equiv O z : \{\begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = t \end{matrix}$

Mặt phẳng (AMM′A′) đi qua A′ và vuông góc với BC nên (AMM′A′) đi qua $A^{'} (\sqrt{3}; - 1; 1)$ và nhận $\vec{k} = (0; 0; 1)$ làm VTPT hay

$(A M M^{'} A^{'}) : 0 (x - \sqrt{3}) + 0 (y + 1) + 1 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow z = 1$

$M = B C \cap (A M M^{'} A^{'}) \Rightarrow t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M (0; 0; 1)$

Mà $A A^{'} = 1, A^{'} M = \sqrt{{(\sqrt{3} - 0)}^{2} + {(- 1 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}} = 2$

$\Rightarrow A M = \sqrt{A^{'} M^{2} - A^{'} A^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$

Tam giác ABC đều có độ dài đường cao $A M = \frac{B C \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \Rightarrow B C = 2$

Gọi $B (0; 0; m), C (0; 0; n)$ với $n \neq 0$ thì $B C = 2 \Leftrightarrow |m - n| = 2$ và M(0;0;1) là trung điểm $B C \Leftrightarrow \frac{m + n}{2} = 1 \Leftrightarrow m + n = 2$

Khi đó $m = 0, n = 2$ vì $n \neq 0$ hay C(0;0;2)

$\Rightarrow \vec{A^{'} C} = (- \sqrt{3}; 1; 1)$ hay $2 \vec{A C^{'}} = (- 2 \sqrt{3}; 2; 2)$ là một VTCP của A′C.

Suy ra $a = - 2 \sqrt{3}, b = 2 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = {(- 2 \sqrt{3})}^{2} + 2^{2} = 16$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 24:

Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm M(2;1;1), cắt và vuông góc với đường thẳng $Δ : \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 8}{1} = \frac{z}{1}$ . Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng (Oyz).

A.(1;0;0)

B.(0;−5;3).

C.(0;3;−5).

D.(0;−3;1).

Xem đáp án

Gọi $N = d \cap Δ$ . Giả sử $N (2 - 2 t; 8 + t; t) \Rightarrow \vec{M N} = (- 2 t; 7 + t; t - 1)$

Đường thẳng $Δ : \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 8}{1} = \frac{z}{1}$ có 1 VTCP là $\vec{u_{Δ}} = (- 2; 1; 1)$ , đường thẳng d nhận $\vec{M N}$ là 1 VTPT.

Do $d ⊥ Δ$ nên $\vec{M N} . \vec{u_{Δ}} = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2 t . (- 2) + (7 + t) .1 + (t - 1) .1 = 0 \\ \Leftrightarrow 6 t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \\ \Rightarrow \vec{M N} = (2; 6; - 2) \end{array}$

⇒ Đường thẳng d đi qua M(2;1;1) và có 1 VTCP $\vec{u_{d}} = \frac{1}{2} \vec{M N} = (1; 3; - 1)$ có phương trình là: $\{\begin{matrix} x = 2 + t' \\ y = 1 + 3 t' \\ z = 1 - t' \end{matrix}$

Khi đó, giao điểm của d và mặt phẳng (Oyz) ứng với t′ thỏa mãn

x = 2 + t^{'} = 0 \Leftrightarrow t^{'} = - 2

⇒ Tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng (Oyz) là: (0;−5;3).

Đáp án cần chọn là: B

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):4y−z+3=0 và hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{4} = \frac{z - 2}{3}, Δ_{2} : \frac{x + 4}{5} = \frac{y + 7}{9} = \frac{z}{1}$ . Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ có phương trình là

A. $\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + 4 t \\ z = 2 - t \end{matrix}$

B. $\{\begin{matrix} x = 2 \\ y = 2 + 4 t \\ z = 5 - t \end{matrix}$

C. $\{\begin{matrix} x = 6 \\ y = 11 + 4 t \\ z = 2 - t \end{matrix}$

D.

\{\begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 7 + 4 t \\ z = - t \end{matrix}

Xem đáp án

Gọi $M = d \cap Δ_{1} \Rightarrow M (1 + t_{1}; - 2 + 4 t_{1}; 2 + 3 t_{1})$

$N = d \cap Δ_{2} \Rightarrow N (- 4 + 5 t_{2}; - 7 + 9 t_{2}; t_{2})$

$\Rightarrow \vec{M N} = (5 t_{2} - t_{1} - 5; 9 t_{2} - 4 t_{1} - 5; t_{2} - 3 t_{1} - 2)$

Vì $d ⊥ (P) : 4 y - z + 3 = 0$ có 1 VTPT là $\vec{n} (0; 4; - 1)$ nên $\vec{M N}$ và $\vec{n}$ là 2 vectơ cùng phương.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{M N} = k \vec{n} (k \neq 0) \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 5 t_{2} - t_{1} - 5 = 0 \\ 9 t_{2} - 4 t_{1} - 5 = 4 k \\ t_{2} - 3 t_{1} - 2 = - k \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} t_{1} = 5 t_{2} - 5 \\ 9 t_{2} - 4 t_{1} - 5 = 4 k \\ 4 t_{2} - 12 t_{1} - 8 = - 4 k \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} t_{1} = 5 t_{2} - 5 \\ 13 t_{2} - 16 t_{1} - 13 = 0 \\ t_{2} - 3 t_{1} - 2 = - k \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} t_{1} = 5 t_{2} - 5 \\ 13 t_{2} - 16 (5 t_{2} - 5) - 13 = 0 \\ t_{2} - 3 t_{1} - 2 = - k \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} t_{1} = 5 t_{2} - 5 \\ - 67 t_{2} + 67 = 0 \\ t_{2} - 3 t_{1} - 2 = - k \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} t_{2} = 1 \\ t_{1} = 0 \\ k = 1 \end{matrix} \end{array}$

$\Rightarrow M (1; - 2; 2), N (1; 2; 1) \Rightarrow \vec{M N} = (0; 4; - 1)$

Vậy phương trình đường thẳng d đi qua M và có 1 VTCP $\vec{M N} (0; 4; - 1)$ là:

$\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + 4 t \\ z = 2 - t \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x}{- 2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z - 2 = 0$ . Có bao nhiêu điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P)?

A.4.

B.0.

C.2.

D.1.

Xem đáp án

Vì $M \in d : \frac{x}{- 2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1} \Rightarrow$ Gọi $M (- 2 t; 1 + t; t)$

Ta có: $O M = \sqrt{{(- 2 t)}^{2} + {(1 + t)}^{2} + t^{2}} = \sqrt{6 t^{2} + 2 t + 1}$

$d (M; (P)) = \frac{|2 (- 2 t) - (1 + t) + 2 t - 2|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = \frac{|- 3 t - 3|}{3} = |t + 1|$

Theo bài ra ta có: M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P)

$\Leftrightarrow \sqrt{6 t^{2} + 2 t + 1} = |t + 1|$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6 t^{2} + 2 t + 1 = t^{2} + 2 t + 1 \\ \Leftrightarrow 5 t^{2} = 0 \Leftrightarrow t = 0 \end{array}$

$\Rightarrow M (0; 1; 0)$

Vậy có 1 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là M(0;1;0).

Đáp án cần chọn là: D

Câu 27:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;−3;5) và B(2;−5;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng

(d) : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z + 9}{13}

.

A.= $3 x - 2 y + 13 z - 56 = 0$

B. $3 x + 2 y + 13 z - 56 = 0$

C. $3 x + 2 y + 13 z + 56 = 0$

D.

3 x - 2 y - 13 z + 56 = 0

Xem đáp án

Ta có $A (4; - 3; 5), B (2; - 5; 1)$ nên trung điểm của AB là $I (3; - 4; 3)$

Đường thẳng $(d) : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z + 9}{13}$ có 1 VTCP là $\vec{u_{d}} = (3; - 2; 13)$

Mặt phẳng (P) vuông góc với d nên mặt phẳng (P) có 1 VTPT $\vec{n_{P}} = \vec{u_{d}} = (3; - 2; 13)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (3; - 2; 13)$ và đi qua $I (3; - 4; 3)$ có phương trình là:

$3 (x - 3) - 2 (y + 4) + 13 (z - 3) = 0 \Leftrightarrow 3 x - 2 y + 13 z - 56 = 0$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(−1;3;2) và mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 4 z + 1 = 0$ . Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là

A. $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$

B. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$

C. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 2} = \frac{z + 2}{4}$

D.

\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z - 2}{4}

Xem đáp án

Gọi dd là đường thẳng đi qua M(−1;3;2) và vuông góc với mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 4 z + 1 = 0$

$\Rightarrow \vec{u_{d}} = \vec{n_{P}} = (1; - 2; 4)$

⇒ Phương trình đường thẳng là: $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z - 2}{4}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 29:

Trong không gian Oxyz, gọi d′ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d : \{\begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = t \end{matrix}$ trên mặt phẳng (Oxy). Phương trình tham số của đường thẳng d′ là

A. $\{\begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = t \end{matrix}$

B. $\{\begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = 0 \end{matrix}$

C. $\{\begin{matrix} x = 0 \\ y = t \\ z = t \end{matrix}$

D.

\{\begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = t \end{matrix}

Xem đáp án

Bước 1:

Đường thẳng $d : \{\begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = t \end{matrix}$ đi qua hai điểm O(0;0;0) và A(1;1;1).

Bước 2:

Hình chiếu của điểm O,A trên (Oxy) lần lượt là O(0;0;0) và A′(1;1;0).

Bước 3:

Khi đó hình chiếu của d là đường thẳng d′ đi qua O,A′, nhận $\vec{O A^{'}} = (1; 1; 0)$ là 1 VTCP nên có phương trình tham số là $\{\begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = 0 \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: B