Câu 1:

Chứng minh rằng tích của hai số lẻ là một số lẻ

Xem đáp án

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Gọi hai số lẻ có dạng 2k+1 và 2n+1 $(k, n \in ℕ)$ .

Phân tích tích của 2 số vừa gọi và xét tính chia hết cho 2.

Để chứng minh tích đó là số lẻ thì tích đó không chia hết cho 2.

Gọi hai số lẻ có dạng 2k+1 và 2n+1 $(k, n \in ℕ)$ .Ta có:

$(2 k + 1) (2 n + 1) = 2 k (2 n + 1) + (2 n + 1)$

Nhận thấy:

$\begin{array}{l} 2 k ⋮ 2 \\ 2 n ⋮ 2 \\ (2 n + 1) ⋮ 2 \end{array}$ . $\Rightarrow 2 k (2 n + 1) + (2 n + 1) ⋮ 2 h a y (2 k + 1) (2 n + 1) ⋮ 2$

Vậy tích của hai số lẻ là một số lẻ.

$A = \{341; 342; 343; 344; 345; 346; 347; 348; 349\}$

Câu 2:

Chứng minh 2 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2.

Xem đáp án

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là x và x+1.

Xét từng trường hợp chẵn, lẻ của các sô.

Giả sử 2 số tự nhiên liên tiếp là x và x+1.

Nếu x là số lẻ thì là x+1 số chẵn. Vậy $(x + 1) ⋮ 2$ .

Nếu x là số chẵn thì $x ⋮ 2$ .

Câu 3:

Chứng minh rằng: $(n + 6) (n + 3) ⋮ 2$ với $\forall n \in Ν$

Xem đáp án

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Phân tích biểu thức $(n + 6) (n + 3) = (n + 3 + 3) (n + 3)$

Để đơn giản biểu thức, ta đặt

$x = n + 3$

Sau đó thay vào biểu thức và xét tính chẵn, lẻ của từng thừa số trong tích.

$(n + 6) (n + 3) = (n + 3 + 3) (n + 3)$

Đặt $x = n + 3$ nên $(n + 6) (n + 3) = (x + 3) x$ .

+) Nếu x lẻ thì x+3 chẵn nên $(n + 6) (n + 3) ⋮ 2$

+) Nếu x chẵn thì hiển nhiên $(n + 6) (n + 3) ⋮ 2$

Câu 4:

Không làm phép tính hãy xét xem hiệu $2002^{2001} - 2001^{2000}$ có chia hết cho 2 không?

Xem đáp án

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Ta áp dụng tính chất chia hết trong một hiệu, ta xét tính chia hết của từng số hạng.

Ta có: $2002^{2001} = {2002.2002}^{2000} = {2.1001.2002}^{2000} ⋮ 2$

Ta lại có tích hai số lẻ là một số lẻ nên $2001^{2000}$ là tích của 2000 số 2001(2001 là một số lẻ) là một số lẻ nên $2001^{2000} ⋮ 2$ .

Vậy $2002^{2001} - 2001^{2000} ⋮ 2$ .

Câu 5:

Tìm giá trị của $a (a \in Ν)$ để 2n+a tổng chia hết cho 2.

A. a

B. a= 2k+1

C. $a ⋮ 2$

D. a= 2k

Xem đáp án

Chọn D

Câu 6:

Tìm giá trị của b để $18 + 25 - b$ chia hết cho 2.

A. b= 0

B. b= 1

C. b= 2

D. $b ⋮ 2$

Xem đáp án

Chọn B

Nhận thấy: $18 ⋮ 2$ nên để $18 + 25 - b$ chia hết cho 2 nên $(25 - b) ⋮ 2$

Vậy b= 1 là đáp án đúng ( $(25 - 1) = 24 ⋮ 2$ ).

Câu 7:

Tìm x để $(x + 267.2 + 70) ⋮ 2$ là:

A. 37

B. 75

C. 99

D. 104

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $\{\begin{array}{l} 70 ⋮ 2 \\ 2 ⋮ 2 \end{array}\} \Rightarrow (x + 267.2 + 70) ⋮ 2$ thì x phải chia hết cho 2 hay x là số chẵn.

Câu 8:

Hãy thay phép toán (+) hoặc (-) vào * để kết quả của dãy tính sau là số chia hết cho 2: 0*9*8*7*6*5*4*3*2*1

Xem đáp án

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Bước 1: Thay toàn bộ * thành phép (+).

Bước 2: Xét dấu chia hết cho tổng.

Bước 3: (Nếu tổng trên không chia hết cho 2, ta giảm tổng xuống một sổ lẻ ) bằng cách thay dấu (-) trước số lẻ.

Ta có:

$10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55 ⋮ 2$

Nhận thấy: $55 - 1 = 54 ⋮ 2$ .

Nên ta có kết quả sau:

$10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 - 1 = 54 ⋮ 2$ .

Lưu ý:

Bài toán có nhiều đáp án khác nhau tùy vào cách đổi dấu *.

Câu 9:

Tìm x để $(x + 2 n + 2 k + 2) ⋮ 2$ là

Xem đáp án

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Xét tính chia hết của các số hạng trong tổng và tìm điều kiện chia hết cho x.

Nhận thấy:

$n ⋮ 2 2 n + 2 k + 2 = 2 (n + k + 1) ⋮ 2$ .

Để $(x + 2 n + 2 k + 2) ⋮ 2$

thì $x ⋮ 2$ hay x là số chẵn.

Câu 10:

Tìm điều kiện của n sao cho $(n + 2012^{2013}) (2 n + {2.2013}^{2012}) ⋮ 2$ .

Xem đáp án

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Ta xét thừa số trong tích chia hết cho 2.

Rồi xét từng số hạng lẻ từng thừa số đó chia hết cho 2.

Tìm điều kiện của n.

Ta có:

$(2 n + {2.2013}^{2012}) = 2 (n + 2013^{2012}) ⋮ 2$

Để

$(n + 2012^{2013}) (2 n + {2.2013}^{2012}) ⋮ 2$

thì

$(n + 2012^{2013}) ⋮ 2$ .

Mà $2012^{2013} ⋮ 2$ nên $n ⋮ 2$ hay n là số chẵn.

Câu 11:

Người ta lấy một mảnh giấy xé làm 5 mảnh, sau đó lại lấy mảnh nhỏ xé làm 5 mảnh nhỏ hơn. Hỏi sau bao nhiêu lần xé thì ta được số mảnh giấy chia hết cho 2.

Xem đáp án

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Ta phải tìm dạng tổng quát của số mảnh giấy đã xé.

Sau đó, xét tính chia hết cho 2 của dạng tổng quát và đưa ra điều kiện cần tìm.

Sau mỗi lần xé, từ một mảnh giấy thành 5 mảnh.

Sau mỗi lần xé, từ một mảnh tăng lên 4 mảnh.

Do đó, lần xé thứ nhất ta được 4+1= 5(mảnh).

Lần xé thứ hai, ta được $(5 - 1) + (4 + 1) = 4 + 4 + 1 = 4.2 + 1 = 9$ (mảnh).

Tổng quát sau k lần xé ta được 4.k+1 mảnh với $k \in ℕ$ .

Nhận thấy $(4 k + 1) ⋮ 2$ .

Vậy không tìm được số lần xé phù hộp với yêu cầu.

Câu 12:

Tìm điều kiện của n sao cho $(n + 2012^{2013}) (n + 2013^{2012}) ⋮ 2$

Xem đáp án

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Phân tích tích đã cho thành tổng, sau đó ta xét tính chia hết cho 2 từng số hạng trong tổng và áp dụng dấu hiệu chia hết của tổng để kết luận.

Ta có: $\begin{array}{l} (n + 2012^{2013}) + (n + 2013^{2012}) \\ = 2 n + 2012^{2013} + 2013^{2012} \end{array}$

Mà $\begin{array}{l} 2 n ⋮ 2 \\ 2012 ⋮ 2 \Rightarrow 2012^{2013} ⋮ 2 \\ 2013 ⋮ 2 \Rightarrow 2013^{2012} ⋮ 2 \end{array}$

nên $C = A / B = \{341; 342; 343; 343; 346; 347; 348; 349\} 2 n + 2012^{2013} + 2013^{2012} ⋮ 2$

hay $(n + 2012^{2013}) + (n + 2013^{2012})$ là một số lẻ.

Suy ra, một trong hai số phải có một số chẵn.

Do vậy, $(n + 2012^{2013}) . (n + 2013^{2012})$ là một số chẵn.

Vậy với mọi $n \in ℕ$ thì $(n + 2012^{2013}) (n + 2013^{2012}) ⋮ 2$ .