5 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 1)

Câu 1:

Cho hai biểu thức $A = \frac{x + 2}{\sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 1} + \frac{3 - \sqrt{x}}{x - 1}$ với $x > 0, x \neq 1.$

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

2) Chứng minh $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} .$

3) Tìm tất cả giá trị của x để AB = 4.

Xem đáp án

1) Thay x = 9 (tmđk) vào A ta được $A = \frac{9 + 2}{\sqrt{9}} = \frac{11}{3} .$

Vậy $A = \frac{11}{3}$ khi $x = 9.$

2) Với $x > 0, x \neq 1$ ta có:

$B = \frac{2 \sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 1} + \frac{3 - \sqrt{x}}{x - 1}$ $= \frac{2 \sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 1} + \frac{3 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}$

$= \frac{(2 \sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} + \frac{3 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}$

$= \frac{2 x + 2 \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} - 3 + 3 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}$

$= \frac{2 x - 2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}$ $= \frac{2 \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}$ $= \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} .$

Vậy với $x > 0, x \neq 1$ thì $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} .$

3) Với $x > 0, x \neq 1$ ta có:

$A B = 4$ $\Leftrightarrow \frac{x + 2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = 4$ $\Leftrightarrow \frac{x + 2}{\sqrt{x} + 1} = 2$

$\Rightarrow x + 2 = 2 (\sqrt{x} + 1)$ $\Leftrightarrow x - 2 \sqrt{x} = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{x} = 0 \\ \sqrt{x} = 2 \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 (k t m) \\ x = 4 (t m) \end{matrix} .$

Vậy x = 4 thì AB = 4.

Câu 2:

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Theo kế hoạch, một phân xưởng phải làm xong 900 sản phẩm trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày phân xưởng đã làm được nhiều hơn 15 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 3 ngày trước khi hết thời hạn, phân xưởng đã làm xong 900 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phẩm mà phân xưởng làm được trong mỗi ngày là bằng nhau.)

2) Một khối gỗ dạng hình trụ có bán kính đáy là 30 cm và chiều cao là 120 cm Tính thể tích của khối gỗ đó (lấy $π \approx 3,14) .$

Xem đáp án

1) Gọi số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng phải làm theo kế hoạch là x (sản phẩm) $(x \in ℕ^{*}, x < 900) .$

Do đó, theo kế hoạch, thời gian phân xưởng làm xong 900 sản phẩm là $\frac{900}{x}$ (ngày).

Thực tế, mỗi ngày, phân xưởng đã làm được nhiều hơn 15 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một ngày theo kế hoạch nên thực tế, số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng phải làm là $x + 15$ (sản phẩm).

Do đó, thực tế, thời gian phân xưởng làm xong 900 sản phẩm là $\frac{900}{x + 15}$ (ngày).

Vì phân xưởng đã làm xong 900 sản phẩm 3 ngày trước khi hết thời hạn nên ta có phương trình: $\frac{900}{x + 15} + 3 = \frac{900}{x}$

$\Leftrightarrow \frac{900}{x} - \frac{900}{x + 15} = 3$ $\Leftrightarrow \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 15} = \frac{1}{300}$

$\Leftrightarrow \frac{x + 15 - x}{x (x + 15)} = \frac{1}{300}$ $\Leftrightarrow \frac{15}{x^{2} + 15 x} = \frac{1}{300}$

$\Rightarrow x^{2} + 15 x = 4500$ $\Leftrightarrow x^{2} + 15 x - 4500 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 60) (x + 75) = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 60 \\ x = - 75 \end{array} .$

Đối chiếu điều kiện và thử lại ta thấy $x = 60$ thỏa mãn.

Vậy số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng phải làm theo kế hoạch là 60 sản phẩm.

2) Thể tích khối gỗ là $V = π R^{2} h \approx 3,14 \cdot 30^{2} \cdot 120 = 339 120 ({cm}^{3}) .$

Vậy $V \approx 339 120 {cm}^{3} .$

Câu 3:

1) Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{2}{x - 3} - 3 y = 1 \\ \frac{3}{x - 3} + 2 y = 8 \end{cases} .$

2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = (m + 2) x - m .$

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi $x_{1}$ và $x_{2}$ là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm tất cả giá trị của m để $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{1}{x_{1} + x_{2} - 2} .$

Xem đáp án

1) Điều kiện: $x \neq 3.$ Đặt $\frac{1}{x - 3} = u (u \neq 0),$ ta có hệ phương trình:

\{\begin{matrix} 2 u - 3 y = 1 \\ 3 u + 2 y = 8 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 4 u - 6 y = 2 \\ 9 u + 6 y = 24 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 13 u = 26 \\ y = \frac{24 - 9 u}{6} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} u = 2 \\ y = 1 \end{matrix} .

Với $u = 2$ ta có $\frac{1}{x - 3} = 2 \Leftrightarrow 1 = 2 x - 6 \Leftrightarrow x = \frac{7}{2} (t m) .$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x; y) = (\frac{7}{2}; 1) .$

2) a) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x^{2} = (m + 2) x - m \Leftrightarrow x^{2} - (m + 2) x + m = 0. (1)

Ta có $Δ = {(m + 2)}^{2} - 4 m = m^{2} + 4 \geq 4 > 0$ với mọi $x \in ℝ$ nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt, do đó (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Áp dụng định lí Vi–et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m + 2 \\ x_{1} x_{2} = m \end{cases} .$

Ta có: $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{1}{x_{1} + x_{2} - 2} \Leftrightarrow \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{1}{x_{1} + x_{2} - 2}$

Khi đó ta được $\frac{m + 2}{m} = \frac{1}{m} (m \neq 0) \Leftrightarrow m = - 1$ (tmđk).

Vậy m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại điểm S. Gọi I là chân đường vuông góc kẻ từ điểm O đến đường thẳng BC.

1) Chứng minh tứ giác SAOI là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi H và D lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm A đến các đường thẳng SO và SC. Chứng minh $\hat{O A H} = \hat{I A D} .$

3) Vẽ đường cao CE của tam giác ABC. Gọi Q là trung điểm của đoạn thẳng BE . Đường thẳng QD cắt đường thẳng AH tại điểm K. Chứng minh $B Q \cdot B A = B D \cdot B I$ và đường thẳng CK song song với đường thẳng SO.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC (ảnh 1)

1) Có SA là tiếp tuyến nên $S A ⊥ O A$ $\Rightarrow \hat{S A O} = 90 ° .$

Vì $O I ⊥ B C (g t) \Rightarrow \hat{S I O} = 90 ° .$

Tứ giác SAOI có $\hat{S A O} + \hat{S I O} = 90 ° + 90 ° = 180 °,$ mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên SAOI là tứ giác nội tiếp.

Vì SAOI là tứ giác nội tiếp nên $\hat{S O A} = \hat{S I A}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung SA) hay $\hat{A O H} = \hat{A I D} (1)$

$Δ A H O$ vuông tại $H (A H ⊥ S O)$ nên $\hat{A O H} + \hat{O A H} = 90 ° \Rightarrow \hat{O A H} = 90 ° - \hat{A O H} (2)$

$Δ A D I$ vuông tại $H (A D ⊥ S C)$ nên $\hat{A I D} + \hat{I A D} = 90 ° \Rightarrow \hat{I A D} = 90 ° - \hat{A I D} (3)$

Từ (1), (2) và (3) ta có $\hat{O A H} = \hat{I A D} .$

3) * Chứng minh $B Q \cdot B A = B D \cdot B I .$

Cách 1: Xét tứ giác AEDC có $\hat{A E C} = \hat{A D C} = 90 °,$ mà hai góc này cùng nhìn cạnh AC

Do đó tứ giác AEDC nội tiếp suy ra $\hat{A E D} + \hat{D C A} = 180 ° .$

Mà $\hat{A E D} + \hat{B E D} = 180 °$ (kề bù), suy ra $\hat{B E D} = \hat{D C A} .$

Xét $Δ B E D$ và $Δ B C A$ có: $\hat{A B C}$ chung và $\hat{B E D} = \hat{B C A} .$

Do đó $Δ B E D ∽ Δ B C A$ (g.g) $\Rightarrow \frac{B E}{B C} = \frac{B D}{B A}$ (tỉ số đồng dạng).

$\Rightarrow B D \cdot B C = B E \cdot B A$ $\Rightarrow \frac{1}{2} B C \cdot B D = \frac{1}{2} B E \cdot B A$ $\Rightarrow B I \cdot B D = B Q \cdot B A .$

Suy ra tứ giác QDIA nội tiếp.

Cách 2: Xét $Δ B C E$ có Q, I lần lượt là trung điểm của BE, BC nên QI là đường trung bình của tam giác.

$\Rightarrow Q I // E C,$ mà $A B ⊥ E C$ nên $A B ⊥ Q I$ hay $\hat{A Q I} = 90 ° .$

Xét tứ giác AQDI có $\hat{A Q I} = \hat{A D I} = 90 °,$ mà hai góc này cùng nhìn cạnh AI.

Do đó tứ giác AQDI nội tiếp $\Rightarrow B Q \cdot B A = B I \cdot B D .$

* Chứng minh $C K // S O .$

Ta có $\hat{B A D} = 90 ° - \hat{A B C} = 90 ° - \frac{\hat{A O C}}{2} = \hat{O A C} .$

Mà $\hat{I A D} = \hat{O A H}$ (theo câu b) nên $\hat{B A I} = \hat{K A C} .$

Lại có tứ giác AQDI nội tiếp nên $\hat{B D Q} = \hat{B A I} = \hat{K A C} .$

Mặt khác $\hat{C D K} = \hat{B D Q},$ do đó $\hat{C D K} = \hat{K A C} .$

Suy ra tứ giác ADKC nội tiếp nên $\hat{C K A} = \hat{C D A} = 90 ° \Rightarrow C K ⊥ A K .$

Mà $A K ⊥ S O$ nên $C K // S O .$

Câu 5:

Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn $a + b \leq 2.$ Chứng minh

\frac{a^{2}}{a^{2} + b} + \frac{b^{2}}{b^{2} + a} \leq 1.

Xem đáp án

Cách 1: • Ta có: $\frac{a^{2}}{a^{2} + b} + \frac{b^{2}}{b^{2} + a} \leq 1 (1)$

\Leftrightarrow a^{2} (b^{2} + a) + b^{2} (a^{2} + b) \leq (a^{2} + b) (b^{2} + a)

\Leftrightarrow a^{3} + b^{3} + 2 a^{2} b^{2} \leq a^{3} + b^{3} + a^{2} b^{2} + a b

\Leftrightarrow a^{2} b^{2} \leq a b (2)

• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a và b ta có:

$2 \geq a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ $\Rightarrow \sqrt{a b} \leq 1 \Leftrightarrow a b \leq 1 \Rightarrow a^{2} b^{2} \leq a b .$ Do đó (2) đúng.

Vì bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng (đpcm).

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{array}{l} a + b = 2 \\ a = b \end{array} \Leftrightarrow a = b = 1 .$

Cách 2: Ta có $\frac{a^{2}}{a^{2} + b} = 1 - \frac{b}{a^{2} + b}; \frac{b^{2}}{b^{2} + a} = 1 - \frac{a}{b^{2} + a} .$

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{a^{2} + b} + \frac{b^{2}}{b^{2} + a} = 2 - (\frac{b}{a^{2} + b} + \frac{a}{b^{2} + a}) .$

Ta chứng minh $\frac{b}{a^{2} + b} + \frac{a}{b^{2} + a} \geq 1.$

Ta có $V T = \frac{b}{a^{2} + b} + \frac{a}{b^{2} + a} = \frac{b^{2}}{a^{2} b + b^{2}} + \frac{a^{2}}{b^{2} a + a^{2}} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{a^{2} b + b^{2} + b^{2} a + a^{2}} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{2 a b + b^{2} + a^{2}} = 2.$

Do đó $\frac{a^{2}}{a^{2} + b} + \frac{b^{2}}{b^{2} + a} \leq 1$ .

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{array}{l} a + b = 2 \\ a = b \end{array} \Leftrightarrow a = b = 1 .$