8 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 5)

Câu 1:

\frac{2 x + 1}{5} = \frac{5 - x}{3} .

Xem đáp án

$\frac{2 x + 1}{5} - \frac{5 - x}{3} \Leftrightarrow 3 (2 x + 1) - 5 (5 - x) \Leftrightarrow 6 x + 3 = 25 - 5 x \Leftrightarrow 11 x = 22 \Leftrightarrow x = 2$

Vậy phương trình có nghiệm x = 2

Câu 2:

Giải hệ phương trình:

\{\begin{cases} 3 x + y = 5 \\ 2 x + 5 y = 12 \end{cases} .

Xem đáp án

$\{\begin{array}{l} 3 x + y = 5 \\ 2 x + 5 y = 12 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 15 x + 5 y = 25 \\ 2 x + 5 y = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} 13 x - 13 \\ 2 x + 5 y = 12 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases} .$

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (1;2)

Câu 3:

Rút gọn biểu thức: $A = \sqrt{x} \cdot (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 2 \sqrt{x} + 1}$ với $x > 0, x \neq 1.$

Xem đáp án

Với $x > 0, x \neq 1,$ ta có:

$A = \sqrt{x} (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 2 \sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} [\frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}] : \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}} = \sqrt{x} \cdot \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} : \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}} = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \cdot \frac{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} - 1$

Vậy

A = \sqrt{x} - 1

với

x > 0, x \neq 1.

Câu 4:

Cho đường thẳng (d): y = ax + b. Tìm a và b để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d'): y = 5x + 3 và đi qua điểm A(1;3)

Xem đáp án

Ta có (d) song song với (d') ta có a = 5 và

Lại có (d) di qua A(1;3) nên $3 = 1 \cdot a + b \Rightarrow 3 - 1 \cdot 5 + b \Leftrightarrow b = - 2$ .

Vậy a = 5 và b = -2

Câu 5:

Một đội công nhân phải trồng 96 cây xanh. Đội dự định chia đều số cây cho mỗi công nhân nhưng khi chuẩn bị trồng thì có 4 công nhân được điều đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải trồng thêm 4 cây. Hỏi lúc đầu đợi công nhân có bao nhiêu người?

Xem đáp án

Gọi x (người) là số công nhân lúc đầu của đội $(x > 4, x \in ℕ) .$

Số công nhân làm việc thực tế là x - 4 (người).

Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo dự định là $\frac{96}{x}$ (cây).

Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo thực tế là $\frac{96}{x - 4}$ (cây).

Do mỗi công nhân còn lại phải trồng thêm 4 cây nên ta có phương trình:

$\frac{96}{x - 4} - \frac{96}{x} = 4 \Leftrightarrow \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x} = \frac{1}{24} \Leftrightarrow \frac{x - (x - 4)}{x (x - 4)} = \frac{1}{24} \Leftrightarrow \frac{4}{x^{2} - 4 x} = \frac{1}{24} \Rightarrow x^{2} - 4 x - 96 = 0 \Leftrightarrow (x + 8) (x - 12) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 8 \\ x = 12 \end{array} .$

Đối chiều điều kiện và thử lại ta thấy x = 12 thỏa mãn.

Vậy số công nhân lúc đầu của đội là 12 người.

Câu 6:

Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = 3 x + m .$ Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + 2 x_{2} = m + 3.$

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là

$x^{2} - 3 x + m \Leftrightarrow x^{2} - 3 x - m = 0 (*)$

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow Δ > 0 \Leftrightarrow 9 + 4 m > 0 \Leftrightarrow m > \frac{- 9}{4}$

Theo hệ thức Vi-et: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} - 3 (1) \\ x_{1} x_{2} = - m (2) \end{cases}$

Theo đề $x_{1} + 2 x_{1} = m + 3 (3)$

Từ (1), (3) suy ra $x_{2} = m + 3 \Leftrightarrow x_{2} = m \Rightarrow x_{1} - 3 - m .$

Thay vào (2) ta có $m (3 - k) = - m \Leftrightarrow m (4 - m) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ 4 - m = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 4 \end{array} .$

Vậy m = 0 hoặc m = 4

Câu 7:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại H

1) Chứng minh rằng $\hat{D A H} = \hat{D E H} .$

2) Gọi O và M lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh rằng tứ giác MDOE nội tiếp.

3) Gọi K là giao điểm của AH và DE. Chứng minh rằng: AH² = 2MK.(AF + HF)

Xem đáp án

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại H 1) Chứng minh rằng góc dah = góc deh (ảnh 1)

a) Vì BD, CE là đường cao nên $\hat{B D A} = \hat{C E A} = 90 ° .$

Tứ giác ADHE có

$\hat{H D A} + \hat{H E A} = 90 ° + 90 ° = 180 °$

Nên ADHE nội tiếp đường tròn, suy ra $\hat{D A H} = \hat{D E H}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE

Vậy

\hat{D A H} = \hat{D E H} .

2) Tam giác ADE vuông tại D có DM là trung tuyến (là trung điểm AH), suy ra $M D = M A = M H = \frac{A H}{2} .$

Tương tự $M E = M A = M H = \frac{A H}{2} .$

Suy ra MD = MA = MH = ME nên tam giác MAD cân tại M suy ra $\hat{M D A} = \hat{M A D} .$

Tương tự $\hat{O D C} = \hat{O C D} .$ Do đó: $\hat{M D A} + \hat{O D C} = \hat{M A D} + \hat{O C D} = 90 ° .$ Suy ra $\hat{M D O} = 90 ° .$

Tương tự, ta chứng minh được $\hat{M E O} = 90 ° .$

Tứ giác MDOE có $\hat{M D O} + \hat{M E O} = 90 ° + 90 ° = 180 °$ nên tứ giác MDOE nội tiếp đường tròn.

3) Ta có $A H^{2} = 2 M π \cdot (A F + H F)$

$\Leftrightarrow A H^{2} - 2 M K \cdot (A H + H F + H F) (1) \Leftrightarrow 4 M H^{2} - 2 M K \cdot (2 H M + 2 H F) \Leftrightarrow M H^{2} - M K \cdot H M + M K \cdot H F \Leftrightarrow M H^{2} - M K \cdot H M - M K \cdot H F \Leftrightarrow M H \cdot (M H - M K) = M K \cdot H F \Leftrightarrow M H \cdot H K = M K \cdot H F$

$Δ D K M ∽ Δ F D M$ suy ra $\frac{M K}{M D} = \frac{D K}{D H} (2)$

Vì (2) được chứng minh nên (1) được chứng minh.

Câu 8:

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$a^{2} + b^{2} + 2 a b c + c^{2} + 1 \geq 2 (a b + a c + b c) .$

Xem đáp án

Xét ba số $a - 1; b - 1; c - 1$ luôn có hai số cùng dấu.

Giả sử a - 1; b - 1 là hai số cùng dấu, suy ra $(a - 1) (b - 1) \geq 0$

$\Rightarrow c (a - 1) (b - 1) \geq 0 \Leftrightarrow a b c - a c - b c + c \geq 0 \Leftrightarrow 2 a b c + 2 c \geq 2 a c + 2 b c (1)$

Lại có ${(c - 1)}^{2} \geq 0$ nên $c^{2} - 2 c + 1 \geq 0 (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $2 a b c + c^{2} + 1 \geq 2 a c + 2 b c$

Do đó $a^{2} + b^{2} + 2 a b c + c^{2} + 1 \geq 2 (a b + a c + b c)$ (đpcm).