Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 5)
-
110 lượt thi
-
8 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
2x+15−5−x3⇔3(2x+1)−5(5−x)⇔6x+3=25−5x⇔11x=22⇔x=2
Câu 2:
{3x+y=52x+5y=12⇔{15x+5y=252x+5y=12⇔{13x−132x+5y=12⇔{x=1y=2.
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (1;2)
Câu 3:
Rút gọn biểu thức: A=√x⋅(1x−√x+1√x−1):√x+1x−2√x+1 với x>0, x≠1.
Với x>0, x≠1, ta có:
A=√x(1x−√x+1√x−1):√x+1x−2√x+1=√x[1√x(√x−1)+1√x−1]:√x+1(√x−1)2=√x⋅1+√x√x(√x−1):√x+1(√x−1)2=1+√x√x−1⋅(√x−1)2√x+1=√x−1
Câu 4:
Cho đường thẳng (d): y = ax + b. Tìm a và b để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d'): y = 5x + 3 và đi qua điểm A(1;3)
Ta có (d) song song với (d') ta có a = 5 và
Lại có (d) di qua A(1;3) nên 3=1⋅a+b⇒3−1⋅5+b⇔b=−2.
Vậy a = 5 và b = -2
Câu 5:
Một đội công nhân phải trồng 96 cây xanh. Đội dự định chia đều số cây cho mỗi công nhân nhưng khi chuẩn bị trồng thì có 4 công nhân được điều đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải trồng thêm 4 cây. Hỏi lúc đầu đợi công nhân có bao nhiêu người?
Gọi x (người) là số công nhân lúc đầu của đội (x>4, x∈ℕ).
Số công nhân làm việc thực tế là x - 4 (người).
Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo dự định là 96x (cây).
Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo thực tế là 96x−4 (cây).
Do mỗi công nhân còn lại phải trồng thêm 4 cây nên ta có phương trình:
96x−4−96x=4⇔1x−4−1x=124⇔x−(x−4)x(x−4)=124⇔4x2−4x=124⇒x2−4x−96=0⇔(x+8)(x−12)=0⇔[x=−8x=12.
Đối chiều điều kiện và thử lại ta thấy x = 12 thỏa mãn.
Vậy số công nhân lúc đầu của đội là 12 người.
Câu 6:
Cho parabol (P):y=x2 và đường thẳng (d):y=3x+m. Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1+2x2=m+3.
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là
x2−3x+m⇔x2−3x−m=0 (*)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt
⇔Δ>0⇔9+4m>0⇔m>−94
Theo hệ thức Vi-et: {x1+x2−3 (1)x1x2=−m (2)
Theo đề x1+2x1=m+3 (3)
Từ (1), (3) suy ra x2=m+3⇔x2=m⇒x1−3−m.
Thay vào (2) ta có m(3−k)=−m⇔m(4−m)=0
⇔[m=04−m=0⇔[m=0m=4.
Vậy m = 0 hoặc m = 4
Câu 7:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại H
1) Chứng minh rằng ^DAH=^DEH.
2) Gọi O và M lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh rằng tứ giác MDOE nội tiếp.
3) Gọi K là giao điểm của AH và DE. Chứng minh rằng: AH2 = 2MK.(AF + HF)
a) Vì BD, CE là đường cao nên ^BDA=^CEA=90°
Tứ giác ADHE có
Nên ADHE nội tiếp đường tròn, suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE
Vậy2) Tam giác ADE vuông tại D có DM là trung tuyến (là trung điểm AH), suy ra
Tương tự
Suy ra MD = MA = MH = ME nên tam giác MAD cân tại M suy ra
Tương tự Do đó: Suy ra
Tương tự, ta chứng minh được
Tứ giác MDOE có nên tứ giác MDOE nội tiếp đường tròn.
3) Ta có
suy ra
Vì (2) được chứng minh nên (1) được chứng minh.
Câu 8:
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Xét ba số luôn có hai số cùng dấu.
Giả sử a - 1; b - 1 là hai số cùng dấu, suy ra
Lại có nên
Từ (1) và (2) suy ra
Do đó (đpcm).