50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 12)

Câu 1:

y = \frac{3 x + 1}{2 x - 1}

là đường thẳng

A. $y = \frac{3}{2}$

B. $x = \frac{1}{2}$

C. $x = \frac{3}{2}$

D. $y = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $\lim_{x \to {(\frac{1}{2})}^{+}} y = \lim_{x \to {(\frac{1}{2})}^{+}} \frac{3 x + 1}{2 x - 1} = + \infty$ ; $\lim_{x \to {(\frac{1}{2})}^{-}} y = \lim_{x \to {(\frac{1}{2})}^{-}} \frac{3 x + 1}{2 x - 1} = - \infty$ .

Do đó $x = \frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 2:

Cho hai số phức z = 2 + i và w = 3 - 2i. Phần thực của số phức z + w bằng

A. 4

B. 5

C. -1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Có $z + w = 2 + i + 3 - 2 i = 5 - i$ .

Phần thực của số phức z + w bằng 5.

Câu 3:

Cho số phức z thỏa mãn $\bar{z} = 2 - 3 i$ . Phần ảo của số phức $\frac{1}{z}$ bằng

A. $- \frac{2}{13}$

B. $\frac{3}{13}$

C. $\frac{2}{13}$

D. $- \frac{3}{13}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$\bar{z} = 2 - 3 i \Rightarrow z = 2 + 3 i \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{2}{13} - \frac{3}{13} i$ .

Phần ảo của số phức $\frac{1}{z}$ bằng $- \frac{3}{13}$ .

Câu 4:

Cho $\int_{}^{} \frac{1}{x + 1} d x = F (x) + C$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $F^{'} (x) = \ln (x + 1)$

B. $F^{'} (x) = \frac{1}{x + 1}$

C. $F^{'} (x) = \frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}}$

D. $F^{'} (x) = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$F^{'} (x) = {(\int_{}^{} \frac{1}{x + 1} d x)}^{'} = \frac{1}{x + 1}$ .

Câu 5:

Cho hàm số trùng phương y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(1; + \infty)$

B. $(- \infty; 0)$

C. $(3; 4)$

D. $(0; 1)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên (0;1)

Câu 6:

Nếu $\int_{0}^{2} f (x) d x = 2$ thì $\int_{0}^{2} (2 f (x) + x) d x$ bằng

A. 4

B. 6

C. 8

D. 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int_{0}^{2} (2 f (x) + x) d x = 2 \int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{0}^{2} x d x = 2.2 + 2 = 6$ .

Câu 7:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là

A. (3;1)

B. (0;3)

C. (1;3)

D. (-1;1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị ta có điểm cực đại của đồ thị hàm số là (1;3)

Câu 8:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn cho z = -2 + 3i có tọa độ là

A. (3;-2)

B. (3;2)

C. (-2;3)

D. (2;-3)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Điểm biểu diễn số phức z = -2 + 3i là (-2;3).

Câu 9:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ.

Tọa độ giao điểm của đồ thị đã cho và trục tung là

A. (4;0)

B. (0;4)

C. (3;0)

D. (0;3)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị ta có tọa độ giao điểm của đồ thị đã cho và trục tung là (3;0)

Câu 10:

Cho mặt cầu có bán kính bằng 2a, diện tích của mặt cầu bằng

A. $4 π a^{2}$

B. $\frac{4}{3} π a^{3}$

C. $\frac{32}{3} π a^{3}$

D. $16 π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Diện tích của mặt cầu: $S = 4 π r^{2} = 4 π {(2 a)}^{2} = 16 π a^{2}$ .

Câu 11:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ

Giá trị cực tiểu của hàm số là

A. 2

B. -1

C. -2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực tiểu của hàm số là -2

Câu 12:

Cho đường thẳng d cắt mặt cầu S(O;R) tại hai điểm phân biệt. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. OH = 0

B. OH < R

C. OH = R

D. OH > R

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d cắt mặt cầu S (O;R) tại hai điểm phân biệt khi OH < R.

Câu 13:

Cho tập A có 10 phần tử. Số tập con gồm 3 phần tử của A bằng

A. 90

B. 30

C. 120

D. 720

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Số tập con gồm 3 phần tử của A bằng $C_{10}^{3} = 120$ .

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, gọi M là giao điểm của đường thẳng $\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng (P) : x + y + z – 3 = 0. Điểm M có tọa độ là

A. (-1;0;0)

B. (1;3;-1)

C. (2;1;2)

D. (1;1;1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi $M = d \cap (P)$ $\Rightarrow M (2 t - 1; t; t) \in d$ .

Mà $M \in (P) \Rightarrow 2 t - 1 + t + t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M (1; 1; 1)$ .

Câu 15:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x + 2y – z + 3 = 0. Vectơ nào sau đây vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q)?

A. $\vec{u} = (1; 0; 0)$

B. $\vec{u} = (0; 1; 2)$

C. $\vec{u} = (1; 1; 2)$

D. $\vec{u} = (0; 1; 1)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Có $\vec{n_{Q}} = (1; 2; - 1)$ .

Với $\vec{u} = (0; 1; 2)$ thì $\vec{u} . \vec{n_{Q}} = 0$ nên $\vec{u} = (0; 1; 2)$ vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).

Câu 16:

Cho hình lập phương cạnh bằng 2a diện tích toàn phần của hình lập phương bằng

A. $24 a^{2}$

B. $8 a^{3}$

C. $32 a^{2}$

D. $24 a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Diện tích một mặt của hình lập phương là $4 a^{2}$ .

Diện tích toàn phần của hình lập phương là

24 a^{2}

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, cho đường cong

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 z + m = 0

. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để (S) là mặt cầu

A. 3

B. 5

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 z + m = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4 - m$ .

Để đường cong (S) là mặt cầu thì $4 - m > 0 \Leftrightarrow m < 4$ .

Do m nguyên dương nên có 3 giá trị của m là $m = 1, m = 2, m = 3$ .

Câu 18:

Trong không gian Oxyz, cho A (0;1;0), góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (Oxz) bằng

A. $60 °$

B. $45 °$

C. $90 °$

D. $0 °$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $O A ⊥ (O x z)$ nên góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (Oxz) bằng $90 °$ .

Câu 19:

Đạo hàm của hàm số $y = 3^{2 x + 1}$ là

A. $y^{'} = {2.3}^{2 x + 1}$

B. $y^{'} = {2.3}^{2 x}$

C. $y^{'} = 3^{2 x + 1} \ln 3$

D. $y^{'} = {2.3}^{2 x + 1} \ln 3$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có $y^{'} = {(2 x + 1)}^{'} {.3}^{2 x + 1} \ln 3 = {2.3}^{2 x + 1} \ln 3$ .

Câu 20:

Nếu $\int_{- 1}^{0} f (x) d x = 1, \int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ thì $\int_{- 1}^{1} 2 f (x) d x$ bằng

A. 6

B. 4

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int_{- 1}^{1} 2 f (x) d x = 2 \int_{- 1}^{1} f (x) d x = 2 (\int_{- 1}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{1} f (x) d x) = 2 \cdot 3 = 6$ .

Câu 21:

Cho hàm số $f (x) = \sin x + e^{x}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $\int_{}^{} f (x) d x = - \cos x + e^{x} + C$

B. $\int_{}^{} f (x) d x = \cos x + e^{x} + C$

C. $\int_{}^{} f (x) d x = \sin x + e^{x} + C$

D. $\int_{}^{} f (x) d x = - \cos x + e^{x - 1} + C$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int f (x) d x = \int (\sin x + e^{x}) d x = - \cos x + e^{x} + C .$

Câu 22:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2, SA vuông góc với đáy, SA = 3 (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2, SA vuông góc với đáy, SA = 3 (tham khảo hình vẽ). Thể tích của (ảnh 1)

A. 6.

B. 8.

C. 12.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} {.2}^{2} .3 = 4$ .

Câu 23:

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{3})}^{x + 2} < 3$ là

A. $(- 2; + \infty)$

B. $(- \infty; - 3)$

C. $(- 3; + \infty)$

D. $(- \infty; - 1)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${(\frac{1}{3})}^{x + 2} < 3 \Leftrightarrow 3^{- x - 2} < 3 \Leftrightarrow - x - 2 < 1 \Leftrightarrow x > - 3$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(- 3; + \infty)$ .

Câu 24:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log (x - 3) < 1$ là

A. $(3; 13)$

B. $(13; + \infty)$

C. $(3; 4)$

D. $(- \infty; 13)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: $x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3$ .

Ta có: $\log (x - 3) < 1 \Leftrightarrow x - 3 < 10 \Leftrightarrow x < 13$ .

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là (3;13).

Câu 25:

Cho cấp số cộng $(u_{n}^{})$ với $u_{1}^{} = 2$ và công sai bằng 3. Giá trị của $u_{5}^{}$ bằng

A. $u_{5}^{} = 14$

B. $u_{5}^{} = {2.3}^{4}$

C. $u_{5}^{} = {2.3}^{5}$

D. $u_{5}^{} = 17$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $u_{5} = u_{1} + 4 d = 2 + 4.3 = 14$ .

Câu 26:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ? (ảnh 1)

A. $y = \frac{x - 1}{2 x + 1}$

B. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

C. $y = - x^{3} + 3 x + 1$

D. $y = x^{3} + 3 x - 1$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Đồ thị hàm số đã cho không phải là đồ thị của hàm số dạng :

$y = \frac{a x + b}{c x + d}$ , $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ nên loại các phương án A và B.

Từ đồ thị ta có: $\lim_{x \to - \infty} y = + \infty$ -->loại phương án D.

Câu 27:

Tập xác định của hàm số $y = \log_{π}^{} (2 - x)$ là

A. $(- \infty; 2)$

B. $(0; 2)$

C. $(2; + \infty)$

D. $(- \infty; 2]$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Hàm số xác định khi và chỉ khi $2 - x > 0 \Leftrightarrow x < 2.$

Câu 28:

Trong không gian Oxyz cho điểm A (1;3;4). Điểm đối xứng của A qua trục Ox có tọa độ là

A. (1;3;-4)

B. (-1;-3;-4)

C. (1;-3;-4)

D. (-1;3;4)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Điểm đối xứng của A (1;3;4) qua trục Ox có tọa độ là (1;-3;-4).

Câu 29:

Cho phương trình $2^{x^{2}} {.3}^{x + 1} = 2$ . Tổng các nghiệm của phương trình bằng

A. $\log_{3} 2$

B. $\log_{2} \frac{3}{2}$

C. $- \log_{2} 3$

D. $\log_{2} 3$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $2^{x^{2}} {.3}^{x + 1} = 2 \Leftrightarrow \log_{2} (2^{x^{2}} {.3}^{x + 1}) = 1$

$\Leftrightarrow x^{2} + (x + 1) \log_{2} 3 - 1 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + x . \log_{2} 3 + \log_{2} 3 - 1 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = - \log_{2} 3 + 1 \end{array}$ .

Tổng các nghiệm của phương trình bằng $- 1 - \log_{2} 3 + 1 = - \log_{2} 3$ .

Câu 30:

Với mọi a,b dương thỏa mãn $\log_{2} a^{2} + \log_{2} b = 3$ , khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $a^{2} + b = 6$

B. $a^{2} b = 9$

C. $a^{2} + b = 8$

D. $a^{2} b = 8$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có $\log_{2} a^{2} + \log_{2} b = 3 \Leftrightarrow \log_{2} a^{2} . b = 3 \Leftrightarrow a^{2} b = 2^{3} \Leftrightarrow a^{2} b = 8$ .

Câu 31:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy, $S A = \frac{a \sqrt[]{3}}{2}$ .

\

Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

A. $90 °$

B. $30 °$

C. $60 °$

D. $45 °$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a căn 3/2 (ảnh 2)

Gọi I là trung điểm của BC, $Δ A B C$ đều, suy ra $A I ⊥ B C$ và $A I = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Có $\{\begin{cases} B C ⊥ A I \\ B C ⊥ S A (S A ⊥ (A B C D)) \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A I) \Rightarrow B C ⊥ S I$ .

Lại có $\{\begin{cases} (S B C) \cap (A B C) = B C \\ A I \subset (A B C), A I ⊥ B C \\ S I \subset (S B C), S I ⊥ B C \end{cases}$ nên góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

góc giữa hai đường thẳng AI và SI.

Mà $(A I, S I) = \hat{S I A}$ .

Trong $Δ S A I$ vuông tại A, ta có $\tan \hat{S I A} = \frac{S A}{A I} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = 1$ $\Rightarrow \hat{S I A} = 45 °$ .

Câu 32:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn $|z - 2| = |\bar{z} - i|$ là đường thẳng

A. $4 x - 2 y + 3 = 0$

B. $4 x - 2 y - 3 = 0$

C. $2 x + 4 y - 3 = 0$

D. $4 x + 2 y - 3 = 0$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ $\Rightarrow \bar{z} = x - y i$

$|z - 2| = |\bar{z} - i|$

$\Leftrightarrow |x + y i - 2| = |x - y i - i|$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(x - 2)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(y + 1)}^{2}}$

$\Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + y^{2} = x^{2} + {(y + 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow 4 x + 2 y - 3 = 0$ .

Câu 33:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = - x^{3} + 2 x^{2}$ với mọi $x \in ℝ$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(2; + \infty)$

B. $(- \infty; 2)$

C. $(\frac{4}{3}; + \infty)$

D. $(0; 2)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$f^{'} (x) = - x^{3} + 2 x^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 0 \end{array}$ .

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$ .

Câu 34:

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi cho hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y = x^{2} - 3 x$ và y = 0 quay quanh trục Ox bằng

A. $\frac{81}{4} π$

B. $\frac{81}{10} π$

C. $\frac{81}{5} π$

D. $\frac{9}{2} π$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^{2} - 3 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 3 \end{array}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(x^{2} - 3 x)}^{2} d x = π \int_{0}^{3} (x^{4} - 6 x^{3} + 9 x^{2}) d x = {π (\frac{x^{5}}{5} - \frac{3}{2} x^{4} + 3 x^{3})|}_{0}^{3} = \frac{81}{10} π$ .

Câu 35:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A (2;0;0), B (0;1;0), C (0;0;1) là

A. $x + y + z - 2 = 0$

B. $x + 2 y + z - 2 = 0$

C. $x + 2 y + 2 z - 2 = 0$

D. $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 0$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A (2;0;0), B (0;1;0), C (0;0;1) là

$\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + 2 y + 2 z - 2 = 0.$

Câu 36:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt?

A. 7

B. 9

C. 8

D. 10

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Phương trình $f (x) = m$ có 3 nghiệm thực phân biệt khi $- 5 < m < 4$ .

Mà $m \in ℤ$ nên $m \in \{- 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3\}$ .

Câu 37:

Một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ kích thước khác nhau và 6 quả màu xanh kích thước khác nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả từ hộp. Xác suất để 3 quả lấy được đều màu đỏ bằng

A. $\frac{1}{30}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{5}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$n (Ω) = C_{10}^{3} = 120$ .

Gọi A là biến cố “3 quả lấy được đều màu đỏ”.

$n (A) = C_{4}^{3} = 4 \Rightarrow P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{1}{30}$ .

Câu 38:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi F(x), G(x) là hai nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn F(8) + G(8) = 4. Cho biết , giá trị của F912) + G(12) bằng

A. 10

B. 12

C. 6

D. 8

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$\int_{1}^{3} f (2 x + 6) d x = {\frac{1}{2} F (2 x + 6)|}_{1}^{3} = \frac{1}{2} [F (12) - F (8)] \Rightarrow F (12) - F (8) = 4$ .

Tương tự $\int_{1}^{3} f (2 x + 6) d x = {\frac{1}{2} G (2 x + 6)|}_{1}^{3} = \frac{1}{2} [G (12) - G (8)] \Rightarrow G (12) - G (8) = 4$ .

Suy ra $F (12) + G (12) - F (8) - G (8) = 8 \Rightarrow F (12) + G (12) = 12$ .

Câu 39:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{3}$ và mặt phẳng $(P) : x - y - z - 1 = 0$ . Gọi $Δ$ là đường thẳng đi qua $A (1; 1; - 2), Δ // (P)$ và $Δ$ cắt d. Giao điểm của $Δ$ và mặt phẳng (Oxy) là $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , khi đó $x_{0} + y_{0} + z_{0}$ bằng

A. $\frac{32}{5}$

B. $\frac{21}{5}$

C. $\frac{31}{5}$

D. $\frac{19}{5}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Có $\vec{n_{P}} = (1; - 1; - 1)$ .

Gọi $N = Δ \cap d \Rightarrow N (2 t - 1; t + 1; 3 t + 2)$ .

$Δ$ đi qua A và $N \Rightarrow \vec{u_{Δ}} = \vec{A N} = (2 t - 2; t; 3 t + 4)$ .

Vì

$Δ // (P) \Rightarrow \vec{u_{Δ}} ⊥ \vec{n_{P}} \Leftrightarrow \vec{u_{Δ}} . \vec{n_{P}} = 0$ $\Leftrightarrow 2 t - 2 - t - 3 t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = - 3 \Rightarrow \vec{A N} (- 8; - 3; - 5)$

Vậy $Δ : \frac{x - 1}{8} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z + 2}{5}$

Gọi $M = Δ \cap (O x y), M \in Δ \Rightarrow M (8 t + 1,3 t + 1,5 t - 2)$ .

$M \in (O x y) \Rightarrow 5 t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{5} \Rightarrow M (\frac{21}{5}; \frac{11}{5}; 0) \Rightarrow x_{0} + y_{0} + z_{0} = \frac{32}{5}$ .

Câu 40:

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), bán kính đáy $R = \sqrt{7}$ . AB là một dây cung của đường tròn (O) sao cho tam giác O’AB là tam giác đều và mặt phẳng (O’AB) tạo với mặt phẳng chứa đường tròn (O;R) một góc $60 °$ . Thể tích của khối trụ đã cho bằng

A. $22 π$

B. $7 π$

C. $3 \sqrt{7} π$

D. $21 π$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm của AB $\Rightarrow A B ⊥ O I$

Ta có: $\{\begin{cases} A B ⊥ O I \\ A B ⊥ O O^{'} \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (O O^{'} I) \Rightarrow A B ⊥ O^{'} I$ .

Do đó góc giữa mặt phẳng (O'AB) và mặt phẳng chứa đường tròn (O;R) là $\hat{O^{'} I O} = 60 °$ .

Đặt AB = x, do $Δ O^{'} A B$ đều $\Rightarrow O^{'} I = \frac{x \sqrt{3}}{2}$ .

Xét $Δ O^{'} I O$ vuông tại O, có $O I = O^{'} I . \cos 60 ° = \frac{x \sqrt{3}}{4}$

Mặt khác,

$O I = \sqrt{O A^{2} - A I^{2}} = \sqrt{7 - \frac{x^{2}}{4}}$ $\Rightarrow \sqrt{7 - \frac{x^{2}}{4}} = \frac{x \sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow 7 - \frac{x^{2}}{4} = \frac{3 x^{2}}{16} \Leftrightarrow x = 4$

$\Rightarrow O O^{'} = O I . \tan 60 ° = 3$ .

$V = π R^{2} h = π . {(\sqrt{7})}^{2} .3 = 21 π$ .

Câu 41:

Cho phương trình

z^{2} - m z + 1 = 0

(với m là tham số thực) có hai nghiệm

z_{1}, z_{2}

. Gọi A,B,C lần lượt là các điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn cho các số phức

z_{0} = i; z_{1}; z_{2}

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để diện tích tam giác ABC bằng

\frac{\sqrt{3}}{4}

?

A. 4

B. 6

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $Δ = m^{2} - 4$ .

TH1: $Δ > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < - 2 \\ m > 2 \end{array} \Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $z_{1} = a, z_{2} = b$ .

Khi đó: $A (0; 1), B (b; 0), C (c; 0)$ .

Ta có $d (A, B C) = 1; B C = |b - c|$ .

Do đó

$S_{A B C} = \frac{1}{2} d (A, B C) . B C = \frac{1}{2} .1. |b - c| = \frac{\sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow {(b - c)}^{2} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {(b + c)}^{2} - 4 b c = \frac{3}{4}$ .

Theo Vi-et ta có: $\{\begin{cases} b + c = m \\ b c = 1 \end{cases}$ $\Rightarrow m^{2} - 4 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow m = \pm \frac{\sqrt{19}}{2}$ .

TH2: $Δ < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2$

=> Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt $\{\begin{matrix} z_{1} = \frac{m + i \sqrt{4 - m^{2}}}{2} \\ z_{2} = \frac{m - i \sqrt{4 - m^{2}}}{2} \end{matrix}$ .

$\Rightarrow A (0; 1), B (\frac{m}{2}; \frac{\sqrt{4 - m^{2}}}{2}), C (\frac{m}{2}; - \frac{\sqrt{4 - m^{2}}}{2})$ .

+) $B C = \sqrt{4 - m^{2}}; d (A, B C) = \frac{|m|}{2}$ .

+) $S_{A B C} = \frac{1}{2} d (A, (B C)) . B C = \frac{1}{2} . \frac{|m|}{2} . \sqrt{4 - m^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow m^{4} - 4 m^{2} + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m^{2} = 1 \\ m^{2} = 3 \end{matrix}$ .

Do m nguyên, nên có 2 giá trị $m = \pm 1$ thỏa mãn.

Câu 42:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số

y = {(x^{3} - 3 x - m + 1)}^{2}

có 5 điểm cực trị.

A. 1

B. 3

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: $D = ℝ$ .

Ta có $y^{'} = 2 (3 x^{2} - 3) (x^{3} - 3 x - m + 1)$ .

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \pm 1 \\ x^{3} - 3 x = m - 1 (*) \end{array}$ .

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow (*)$ có 3 nghiệm phân biệt khác $\pm 1$ .

Xét hàm số $g (x) = x^{3} - 3 x$ có $g^{'} (x) = 3 x^{2} - 3; g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra $- 2 < m - 1 < 2 \Rightarrow - 1 < m < 3$ .

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 43:

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ (tham khảo hình vẽ) có AA’ = 2a, AB = a.

Khoảng cách từ C’ tới mặt phẳng (B’AC) bằng

A. $\frac{2 \sqrt[]{57}}{17} a$

B. $\frac{2 \sqrt[]{57}}{19} a$

C. $\frac{2 \sqrt[]{57}}{9} a$

D. $\frac{\sqrt[]{57}}{19} a$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gọi $I = B C^{'} \cap B^{'} C$ .

Gọi M, H lần lượt là hình chiếu của B lên các cạnh AC và B'M

$\Rightarrow B M ⊥ A C; B H ⊥ B^{'} M$ .

Vì $B B^{'} ⊥ (A B C) \Rightarrow B B^{'} ⊥ A C$ mà $B M ⊥ A C$ nên $A C ⊥ (B^{'} B M)$ $\Rightarrow A C ⊥ B H$

Lại có $B H ⊥ B^{'} M$ nên $B H ⊥ (B^{'} A C)$ $\Rightarrow d (B, (B^{'} A C)) = B H$

Khi đó $d (C^{'}, (B^{'} A C)) = d (B, (B^{'} A C)) = B H$ .

Xét $Δ B^{'} B M$ vuông tại B, có $B M = a \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $B^{'} B = 2 a$

$\Rightarrow \frac{1}{B H^{2}} = \frac{1}{B {B^{'}}^{2}} + \frac{1}{B M^{2}} = \frac{1}{4 a^{2}} + \frac{4}{3 a^{2}} = \frac{19}{12 a^{2}}$ $\Rightarrow B H = \frac{2 \sqrt{57}}{19} a$ .

Câu 44:

Cho bất phương trình $\log_{2}^{} (x - 1) < \log_{5}^{} (5 x - 5)$ có tập nghiệm là S (a;b). Khi đó b - a gần bằng giá trị nào sau đây?

A. 3,17

B. 3,27

C. 3,07

D. 3,37

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: x > 1

Ta có: $\log_{2}^{} (x - 1) < \log_{5}^{} (5 x - 5)$

$\Leftrightarrow \log_{2}^{} (x - 1) < 1 + \log_{5}^{} (x - 1)$

$\Leftrightarrow \log_{2}^{} (x - 1) < 1 + \log_{5}^{} 2. \log_{2}^{} (x - 1)$

$\Leftrightarrow (1 - \log_{5} 2) \log_{2}^{} (x - 1) < 1$

$\Leftrightarrow \log_{2}^{} (x - 1) < \frac{1}{1 - \log_{5} 2}$

$\Leftrightarrow x < 2^{\frac{1}{1 - \log_{5} 2}} + 1$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

$S = (1; 2^{\frac{1}{1 - \log_{5} 2}} + 1) \Rightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 2^{\frac{1}{1 - \log_{5} 2}} + 1 \end{cases} \Rightarrow b - a \approx 3,37$ .

Câu 45:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, (SAB) vuông góc với đáy (ABC) và tam giác SAB đều, khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCB) bằng $\frac{2 \sqrt{15}}{5} a$ . Thể tích của khối chóp S.ABC là

A. $\frac{a^{3}}{8}$

B. $\frac{3 a^{3}}{8}$

C. $\frac{a^{3}}{3}$

D. $a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi H và M lần lượt là trung điểm của AB và BC.

Gọi K là trung điểm của $B M \Rightarrow H K ⊥ B M$ .

Vì $Δ S A B$ đều, H là trung điểm AB nên $S H ⊥ A B$ .

Có $\{\begin{cases} (S A B) \cap (A B C) = A B \\ (S A B) ⊥ (A B C) \\ S H \subset (S A B), S H ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C) \Rightarrow S H ⊥ B C$ .

Gọi I là hình chiếu của H lên SK $\Rightarrow H I ⊥ S K$ .

Vì $\begin{array}{l} S H ⊥ B C \\ H K ⊥ B C \end{array}\} \Rightarrow B C ⊥ (S H K) \Rightarrow B C ⊥ H I$ mà $H I ⊥ S K$ nên $H I ⊥ (S B C)$ .

Khi đó $H I = d (H, (S B C)) = \frac{1}{2} d (A, (S B C)) = \frac{\sqrt{15}}{5} a$ .

Đặt AB = x suy ra $S H = A M = \frac{x \sqrt{3}}{2}$ và $H K = \frac{1}{2} A M = \frac{x \sqrt{3}}{4}$ .

Xét $Δ S H K$ vuông tại H, có

$\frac{1}{H I^{2}} = \frac{1}{H S^{2}} + \frac{1}{H K^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{{(\frac{a \sqrt{15}}{5})}^{2}} = \frac{1}{{(\frac{x \sqrt{3}}{2})}^{2}} + \frac{1}{{(\frac{x \sqrt{3}}{4})}^{2}} \Leftrightarrow \frac{25}{15 a^{2}} = \frac{20}{3 x^{2}} \Leftrightarrow x = 2 a$ .

Vậy $V = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot S H = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{x \sqrt{3}}{2} = \frac{x^{3}}{8} = a^{3}$ .

Câu 46:

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên $(0; + \infty)$ , có đồ thị như hình vẽ đồng thời thỏa mãn $f^{'} (x) - \frac{1}{x^{2}} f^{'} (\frac{1}{x}) = \frac{5}{18} (1 - \frac{1}{x^{2}}), \forall x > 0$ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{f (x) - {(x - 1)}^{2}}{x}$ và y = 0 bằng

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên (0; dương vô cùng) , có đồ thị như hình vẽ đồng thời thỏa mãn (ảnh 1)

A. $\frac{37}{24} - \frac{17}{9} \ln 2$

B. $\frac{37}{24} - \frac{11}{9} \ln 2$

C. $\frac{37}{24} - \frac{13}{9} \ln 2$

D. $\frac{31}{24} - \frac{13}{9} \ln 2$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên (0; dương vô cùng) , có đồ thị như hình vẽ đồng thời thỏa mãn (ảnh 2)

Xét phương trình $y = \frac{f (x) - {(x - 1)}^{2}}{x} = 0 \Leftrightarrow f (x) = {(x - 1)}^{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ x = 2. \end{array}$

Khi đó $S = |\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x) - {(x - 1)}^{2}}{x} d x| = |\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x - \int_{\frac{1}{2}}^{2} (x - 2 + \frac{1}{x}) d x| = |A - B|$ .

Tính $B = \int_{\frac{1}{2}}^{2} (x - 2 + \frac{1}{x}) d x = {(\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \ln x)|}_{\frac{1}{2}}^{2} = - \frac{9}{8} + 2 \ln 2$ .

Tính $A = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x = \int_{\frac{1}{2}}^{2} f (x) d (\ln x) = {f (x) \ln x|}_{\frac{1}{2}}^{2} - \int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (x) \ln x d x = \frac{5}{4} \ln 2 - \int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (x) \ln x d x$ .

Xét phương trình

$f^{'} (x) - \frac{1}{x^{2}} f^{'} (\frac{1}{x}) = \frac{5}{18} (1 - \frac{1}{x^{2}}), \forall x > 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) \ln x - \frac{1}{x^{2}} f^{'} (\frac{1}{x}) \ln x = \frac{5}{18} (1 - \frac{1}{x^{2}}) \ln x$ .

Suy ra $\int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (x) \ln x d x + \int_{\frac{1}{2}}^{2} - \frac{1}{x^{2}} f^{'} (\frac{1}{x}) \ln x d x = \frac{5}{18} \int_{\frac{1}{2}}^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}}) \ln x d x$ .

Đặt $t = \frac{1}{x} \Rightarrow d t = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , ta có $x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = 2$ , $x = 2 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$ .

Khi đó $\int_{\frac{1}{2}}^{2} - \frac{1}{x^{2}} f^{'} (\frac{1}{x}) \ln x d x = \int_{2}^{\frac{1}{2}} f^{'} (t) \ln \frac{1}{t} d t = \int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (t) \ln t d t = \int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (x) \ln x d x$ .

Lại có

$\int_{\frac{1}{2}}^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}}) \ln x d x = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \ln x d (x + \frac{1}{x}) = {(x + \frac{1}{x}) \ln x|}_{\frac{1}{2}}^{2} - \int_{\frac{1}{2}}^{2} (x + \frac{1}{x}) \frac{1}{x} d x = 5 \ln 2 - 3$ .

Suy ra $2 \int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (x) \ln x d x = \frac{5}{18} (5 \ln 2 - 3) \Leftrightarrow \int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (x) \ln x d x = \frac{25}{36} \ln 2 - \frac{5}{12}$ .

Do đó $A = \frac{5}{4} \ln 2 - (\frac{25}{36} \ln 2 - \frac{5}{12}) = \frac{5}{9} \ln 2 + \frac{5}{12}$ .

Vậy $S = |A - B| = |\frac{5}{9} \ln 2 + \frac{5}{12} + \frac{9}{8} - 2 \ln 2| = \frac{37}{24} - \frac{13}{9} \ln 2$ .

Câu 47:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A (4;0;0), B (1;2;3). Gọi M là điểm di động thỏa mãn $\vec{O M} . \vec{O A} = \frac{\sqrt{3} O M . O A}{2}$ và $\vec{M A} . \vec{M O} = 0$ . Gọi p,q lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của BM. Giá trị $p^{2} + q^{2}$ bằng

A. 40

B. 30

C. $34 - 2 \sqrt{39}$

D. $34 + 2 \sqrt{39}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\vec{O M} . \vec{O A} = \frac{\sqrt{3} O M . O A}{2} \Leftrightarrow \cos (\vec{O M}, \vec{O A}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow (\vec{O M}, \vec{O A}) = 30 °$ .

Mặt khác, $\vec{M A} . \vec{M O} = 0$ nên điểm M thuộc đường tròn tâm I bán kính r là đáy chung của hai hình nón đỉnh A và hình nón đỉnh O.

Ta tính được: $I A = 1; I O = 3; r = \sqrt{3}$ ; $\vec{O I} = 3 \vec{I A} \Leftrightarrow I (3; 0; 0)$ .

Mặt phẳng (P)chứa đường tròn đáy qua I (3;0;0), VTPT $\vec{O A} = (4; 0; 0)$ có phương trình: x - 3 = 0.

Nhận xét: O, B cùng phía với $(P); d (B, (P)) = 2; d (B, O A) = \sqrt{13}$ .

Gọi H, J là hình chiếu của B lên (P) và $O A \Rightarrow B J = \sqrt{13} = I H, B H = 2 = I J$ .

Ta có $B M = \sqrt{B H^{2} + M H^{2}} \leq \sqrt{B H^{2} + {(I H + r)}^{2}} = \sqrt{4 + {(\sqrt{3} + \sqrt{13})}^{2}} = \sqrt{20 + 2 \sqrt{39}} = p$ .

$B M = \sqrt{B H^{2} + M H^{2}} \geq \sqrt{B H^{2} + {(I H - r)}^{2}} = \sqrt{4 + {(\sqrt{3} - \sqrt{13})}^{2}} = \sqrt{20 - 2 \sqrt{39}} = q$ .

Vậy $p^{2} + q^{2} = 40$ .

Câu 48:

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên $ℝ$ , f(0) = 3 và đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số $g (x) = |2 f (x) + x^{2} - 2 m x + 2 m|$ đồng biến trên (0;1)?

A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đặt $h (x) = 2 f (x) + x^{2} - 2 m x + 2 m \Rightarrow h^{'} (x) = 2 f^{'} (x) + 2 x - 2 m .$

Chọn hàm ${f^{'}}^{'} (x) = 3 a (x^{2} - 1) \Rightarrow f^{'} (x) = a (x^{3} - 3 x) + d$ .

$\{\begin{cases} f^{'} (0) = 0 \\ f^{'} (1) = - 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d = 0 \\ a = \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{x^{3} - 3 x}{2}$ .

Xét hàm $p (x) = f^{'} (x) + x = \frac{x^{3} - x}{2}, x \in (0; 1)$ .

$p^{'} (x) = \frac{3 x^{2} - 1}{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 / \sqrt{3} (t / m) \\ x = - 1 / \sqrt{3} (l) \end{array}$ .

Ta có bảng biến thiên:

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R , f(0) = 3 và đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số (ảnh 2)

Như vậy: $- \frac{\sqrt{3}}{9} \leq p (x) < 0, \forall x \in (0; 1)$ .

Hàm số $g (x) = |2 f (x) + x^{2} - 2 m x + 2 m|$ đồng biến trên (0;1) khi và chỉ khi xảy ra một trong hai trường hợp sau:

TH1: $\{\begin{cases} h (0) = 6 + 2 m \geq 0 \\ h^{'} (x) \geq 0, \forall x \in (0; 1) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \geq - 3 \\ m \leq f^{'} (x) + x, \forall x \in (0; 1) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \geq - 3 \\ m \leq - \frac{\sqrt{3}}{9} \end{cases}$ .

Vì $m \in ℤ$ nên $m \in \{- 3; - 2; - 1\}$ .

TH2: $\{\begin{cases} h (0) = 6 + 2 m \leq 0 \\ h^{'} (x) \leq 0, \forall x \in (0; 1) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq - 3 \\ m \geq f^{'} (x) + x, \forall x \in (0; 1) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq - 3 \\ m \geq 0 \end{cases}$ (loại).

Vậy $m \in \{- 3; - 2; - 1\}$ .

Câu 49:

Cho số phức z thỏa mãn $|z^{2} - i . z| = |\bar{z^{2}} - \bar{z} . i|$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z – 2 – i| + |z – 3 – 2i| bằng

A. $\sqrt[]{26}$

B. $\sqrt[]{10}$

C. $\sqrt[]{2}$

D. $\sqrt[]{15}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$|z^{2} - i . z| = |\bar{z^{2}} - \bar{z} . i| \Leftrightarrow |z^{2} - i . z| = |z^{2} + i . z| \Leftrightarrow |z| |z - i| = |z| |z + i| \Leftrightarrow [\begin{matrix} |z| = 0 \\ |z - i| = |z + i| \end{matrix}$ .

Khi đó điểm M biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức là gốc tọa độ O (0;0) hoặc thuộc đường thẳng d: x = 0 với d là đường trung trực của đoạn thẳng AB với A (0;1), B (0;-1).

TH1: $M \equiv O$ , $P = |z - 2 - i| + |z - 3 - 2 i| = \sqrt{5} + \sqrt{13}$ .

TH2: $M \in d$ , P = MC + MD với C (2;1) và D (3;2).

Do C (2;1) và D (3;2) khác phía so với d: x = 0 nên gọi C' (2;-1) là điểm đối xứng của C qua d: x = 0. Khi đó $P = M C + M D = M C^{'} + M D \geq C^{'} D = \sqrt{10}$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P = |z - 2 - i| + |z - 3 - 2 i|$ là $\sqrt[]{10}$ .

Câu 50:

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn:

$\frac{x^{2} + y^{2} + 7 x}{x} > \log_{2}^{} \frac{x^{2} + y^{2}}{x} + {(\frac{x^{2} + y^{2}}{x})}^{\log_{2} 3}$ ?

A. 4

B. 5

C. 9

D.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$\frac{x^{2} + y^{2} + 7 x}{x} > \log_{2} \frac{x^{2} + y^{2}}{x} + {(\frac{x^{2} + y^{2}}{x})}^{\log_{2} 3} (1)$ .

Điều kiện $\frac{x^{2} + y^{2}}{x} > 0 \Leftrightarrow x > 0$ , mà $x \in ℤ$ $\Rightarrow x \geq 1$

Đặt $t = \frac{x^{2} + y^{2}}{x} \Rightarrow t \geq 1$ .

Khi đó, $(1) \Leftrightarrow t + 7 > \log_{2} t + t^{\log_{2} 3}$ $\Leftrightarrow t + 7 - \log_{2} t - t^{\log_{2} 3} > 0$ .

Xét hàm số $f (t) = t + 7 - \log_{2} t - t^{\log_{2} 3}$ với $t \geq 1$ .

$\Rightarrow f^{'} (t) = 1 - \frac{1}{t \ln 2} - \log_{2} 3. t^{\log_{2} \frac{3}{2}} < 0, \forall t \geq 1$

Nên $f (t)$ nghịch biến trên $[1; + \infty)$ .

Mặt khác $f (4) = 0$ nên t = 4 là nghiệm duy nhất của phương trình f(t) = 0.

Khi đó $f (t) > 0 \Leftrightarrow 0 < t < 4 \Leftrightarrow \frac{x^{2} + y^{2}}{x} < 4 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} < 4 x \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + y^{2} < 4$

Để tồn tại số thực y thì $x \in \{1; 2; 3\}$ nên ta có tất cả 9 cặp số nguyên (x;y).