Thứ sáu, 22/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Thi thử THPT Quốc gia Toán Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 16)

Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 16)

Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 16)

  • 230 lượt thi

  • 51 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Tập nghiệm của bất phương trình 2x+14 

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: 2x+14x+12x1.

Vậy phương trình có tập nghiệm S=;1.


Câu 2:

Tích tất cả các nghiệm của phương trình log22x3log2x+2=0 bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: log22x3log2x+2=0log2x=1log2x=2x=2x=4

Suy ra x1.x2=8.


Câu 3:

Cho 1xln2x dx=Fx+C. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

F'x dx=Fx+C. Nên F'x=1xln2x.


Câu 4:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x13=y+24=z35. Hỏi d đi qua điểm nào trong các điểm sau:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d:x13=y+24=z35 đi qua điểm A1;2;3.


Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

S:x2+y2+z22x+2y4z2=0.

Tính bán kính r của mặt cầu.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Bán kính r của mặt cầu S:x2+y2+z22x+2y4z2=0 

r=12+12+22+2=8=22.


Câu 7:

Cho một tổ có 15 thành viên. Số cách chọn ra 2 người lần lượt làm tổ trưởng và tổ phó là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Số cách chọn ra 2 người lần lượt làm tổ trưởng và tổ phó từ tổ có 15 thành viên là: A152=210.


Câu 8:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1;2;3). Điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng (Oyz) nên ta có tọa độ là (-1;2;3): hoành độ đổi dấu còn tung độ và cao độ giữ nguyên.


Câu 9:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): x – 2z + 3 = 0 có một vectơ pháp tuyến là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng P:x2z+3=0 có một vectơ pháp tuyến là: n1=1;0;2.


Câu 10:

Đạo hàm của hàm số y=πx là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: y=πxy'=πxlnπ.


Câu 11:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: MN=4;6;2uMN=2;3;1

Phương trình đường thẳng MN đi qua điểm M(1;-1;-1) và có vectơ chỉ phương uMN=2;3;1 là: x=3+2ty=2+3tz=tt.


Câu 12:

Cho hàm số y=ax+bcx+d đồ thi là đường cong trong hình bên.

Cho hàm số y = ã+b/cx+d có đồ thi là đường cong trong hình bên.   Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là: (ảnh 1)

Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là (0;-2).


Câu 13:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị hàm số ta có giá trị cực tiểu của hàm số y = f(x) là -2 tại x = 1.


Câu 14:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên.   Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  để phương trình f(x) = m có ba nghiệm thực phân biệt? (ảnh 1)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  để phương trình f(x) = m có ba nghiệm thực phân biệt?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Phương trình f(x) = m có ba nghiệm thực phân biệt

Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 3 điểm phân biệt

m2;2

Mà m

Nên m1;0;1.

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) = m có ba nghiệm thực phân biệt.


Câu 15:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a;  x=ba<b là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a;  x=ba<b là: S=abfxdx.


Câu 16:

Trên tập \0, đạo hàm của hàm số y=log3x là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có y'=log3x'=1xln3.

Câu 17:

Cho đồ thị hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho đồ thị hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên (0;2).


Câu 18:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số dạng y=ax+bcx+d và là hàm số đồng biến trên tập xác định: y=x3x1.


Câu 19:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số dạng y=ax+bcx+d và là hàm số đồng biến trên tập xác định: y=x3x1.


Câu 20:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:x2+y2+z2+2x+4y+6z+1=0. Tâm của (S) có tọa độ là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Tâm của (S) có tọa độ là (-1;-2;-3).


Câu 21:

Cho hàm số y=ax4+bx2+c có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.

Cho hàm số y = ã^4 + bx^2 + c có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.    Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là (ảnh 1)

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy điểm cực tiểu của hàm số đã cho là xct=0.


Câu 22:

Cho cấp số nhân un với u1=2 và công bội q=12. Giá trị của u3 bằng
Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: u3=u1.q2=2.122=12.


Câu 23:

Cho cấp số nhân un với u1=2 và công bội q=12. Giá trị của u3 bằng
Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: u3=u1.q2=2.122=12.


Câu 24:

Cho hình trụ có đường kính đáy 2r và độ dài đường sinh l. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng Sxq=πrl.


Câu 25:

Cho khối lập phương có cạnh bằng 4. Thể tích của khối lập phương đã cho bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Thể tích của khối lập phương đã cho bằng V=43=64.


Câu 26:

Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z2i=2023 là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi z=x+yi   x,y

z2i=2023x+yi2i=2023x2+y22=20232

Vậy tâm của đường tròn cần tìm là (0;2).


Câu 27:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=2x+13x1 là đường thẳng có phương trình

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: limx132x+13x1= nên x=13 là tiệm cận đứng.


Câu 28:

Tập nghiệm của bất phương trình logx2<1 

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có logx2<1x2>0x2<102<x<12.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=2;12.


Câu 29:

Giả sử 09fxdx=7 90gxdx=1. Khi đó I=092fx+3gxdx bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: I=209fxdx+309gxdx=2.7+3.1=11

Câu 30:

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z=76i có tọa độ là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Điểm biểu diễn số phức z=76i M7;6.


Câu 31:

Họ nguyên hàm của hàm số fx=3x2+sinx 

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: fxdx=3x2+sinxdx=x3cosx+C.


Câu 32:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'x=(x3)42x với mọi x. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: f'x=(x3)42xf'x=0x=3x=2.

Bảng biến thiên:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x-3)^4(2-x) với mọi x thuộc R. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? (ảnh 1)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1;2).


Câu 33:

Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Do mặt phẳng (Oxy) vuông góc với mặt phẳng Oyz nên góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) bằng 90°.


Câu 34:

Với a,b  là các số thực dương tùy ý và a1, loga3b bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: loga3b=13logab.


Câu 35:

Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z.

Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z.    Số phức liên hợp của z là (ảnh 1)

Số phức z¯ 

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: M2;1z=2+iz¯=2i.


Câu 36:

Cho số phức z=2+9i, phần ảo của số phức z2 bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có z=2+9iz2=77+36i.

Phần ảo của số phức z2 bằng 36.


Câu 37:

Cho hình chóp S.ABC có SAABC; tam giác ABC đều cạnh a và SA = a. Tìm góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC) ; tam giác ABC đều cạnh a và SA = a. Tìm góc giữa SC và mặt phẳng (ABC). (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

SAABC nên AC là hình chiếu của AC trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó, góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) SCA^=45° (do SAC vuông cân tại A cạnh a).


Câu 38:

Giải bóng đá Mini cấp trường của một trường THPT, có 16 đội đăng kí tham dự trong đó có 3 đội 12A1, 12A2 và 12A3. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia đều 16 đội vào 4 bảng (mỗi bảng 4 đội) để đá vòng loại. Tính xác suất để 3 đội của 3 lớp 12A1, 12A2 và 12A3 nằm ở 3 bảng khác nhau.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Chia đều 16 đội vào 4 bảng (mỗi bảng 4 đội) có nΩ=C416.C412.C48.C44. cách.

Gọi biến cố A: "3 lớp 12A1, 12A2 và 12A3 nằm ở 3 bảng khác nhau".

Sắp xếp 3 lớp 12A1, 12A2 và 12A3 nằm ở 3 bảng khác nhau trong 4 bảng có A43 cách.

Sắp các đội còn lại vào các 4 bảng để được mỗi bảng đủ 4 đội có: C134.C93.C63.C33 cách.

Suy ra nA=A43.C134.C93.C63.C33 cách.

Vậy xác suất PA=nAnΩ=1635.


Câu 39:

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAABCD SA=a33 (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = a căn 3/3 (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ điểm A  (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Kẻ AHSD tại H.

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = a căn 3/3 (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ điểm A  (ảnh 2)

Dễ thấy CDAB,  CDSACDSADAHCD.

AHSD Þ AHSCD.

Suy ra dA;SCD=AH.

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔSAD có:

1AH2=1AD2+1SA2=1a2+1a332=4aAH=a2.

Vậy dA;SCD=AH=a2.


Câu 40:

Số các giá trị nguyên của x thỏa 2x216log3x40 

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: 2x216log3x402x2160log3x402x2160log3x40x240x34x24x34

x2x20x812x2x812x81

x nguyên nên có 80 giá trị thỏa mãn.


Câu 41:

Gọi z1,z2 là hai nghiệm của phương trình z24z+13=0 và A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn hai số phức z1,z2 trong mặt phẳng Oxy. Diện tích của tam giác OAB  bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: z24z+13=0z22=9z=2+3iz=23i.

A2;3,  B2;3 nên AB = 6.

Suy ra OA=OB=13 hay ΔOAB cân tại O.

Gọi H là trung điểm của AB nên H(2;0) OHAB,  OH=2.

Vậy SΔOAB=12OHAB=1226=6.


Câu 42:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn x3+4xf'x=(3x2+4)fx+4,x. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = f(x), hai trục tọa độ và x = 2 là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

x3+4xf'x=(3x2+4)fx+4x3+4xfx'=4xx2+4fx=4x+C

Đẳng thức đúng với xC=0 và fx=4x2+4.

Diện tích hình phẳng giới hạn cần tính là

S=02fxdx=024x2+4dx=π2.


Câu 43:

Một cái ly làm bằng thủy tinh, có hình dạng là khối nón cụt và các kích thước như hình vẽ. Phần rỗng bên trong có thiết diện qua trục là Parabol.

Một cái ly làm bằng thủy tinh, có hình dạng là khối nón cụt và các kích thước như hình vẽ. Phần rỗng bên trong có thiết diện qua trục là Parabol.   (ảnh 1)

Thể tích khối thủy tinh bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Thể tích khối nón cụt là V1=πhR2+r2+Rr3=π5522+12+523=65π4.

Thể tích phần rỗng bên trong là một chảo parabol V2=πR2h2=π22.42=8π.

Thể tích khối thủy tinh bằng V1V2=65π48π=33π4.


Câu 44:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và đường thẳng d:x42=y21=z12. Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và cách A một khoảng lớn nhất. Khoảng cách từ điểm M(5;-1;3) đến (P) bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và đường thẳng  d: (x-4)/2 = (y-2)/-1 = (z-1)/-2. Gọi (P) là mặt phẳng chứa d  (ảnh 1)

Gọi khoảng cách từ A tới mặt phẳng (P) là AH, khoảng cách từ A tới đường thẳng d là AK không đổi.

Nhận xét AHAK; Dấu "=" xảy ra HK.

Khi đó AK vuông góc mặt phẳng (P) tại K.

Mặt phẳng (AHK) có vectơ pháp tuyến n=ud=2;1;2 và đi qua A(0;1;2) có phương trình là 2x - y - 2z + 5 = 0.

Thế x=4+2ty=2tz=12t vào 2xy2z+5=024+2t2+t212t+5=0t=1

Suy ra K(2;3;3).

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n=AK=2;2;1 và đi qua K(2;3;3) có phương trình là 2x+2y+z13=0.

Vậy dM;P=2.5+21+31322+22+12=23.


Câu 45:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m2023;2023 để hàm số y=x10xm đồng biến trên khoảng 5;5?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định: xm.

Ta có: y'=x10xm'=x10xm.10mxm2x10xm.

y'=0x=10.

Trường hợp 1: m<10

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-2023;2023] để hàm số y = |(x -10)/(x - m)| đồng biến trên khoảng  (-5;5]? (ảnh 1)

Để hàm số y=x10xm đồng biến trên khoảng (-5;5] thì m > 5.

Trường hợp 2: m > 10

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-2023;2023] để hàm số y = |(x -10)/(x - m)| đồng biến trên khoảng  (-5;5]? (ảnh 2)

Để hàm số y=x10xm đồng biến trên khoảng (-5;5] thì m.

Vậy 10>m>5 mm=6;7;8;9 nên có 4 giá trị của m.


Câu 46:

Cho một cổ vật hình trụ có chiều cao đo được là 81 cm, do bị hư hại nên khi tiến hành đo đạc lại thu được AB = 50 cm, BC = 70 cm, CA = 80 cm, với A, B, Cthuộc đường tròn nắp trên như hình vẽ. Thể tích khối cổ vật ban đầu gần nhất với số nào sau đây?

Cho một cổ vật hình trụ có chiều cao đo được là 81 cm, do bị hư hại nên khi tiến hành đo đạc lại thu được AB = 50 cm, BC = 70 cm, CA = 80 cm,  (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đổi: 50  cm=0,5  m;  70  cm=0,7  m;  80  cm=0,8  m;  81  cm=0,81  m

Nửa chu vi tam giác ABC: p=0,5+0,7+0,82=1  m

SΔABC=ppapbpc=310m2.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: R=AB.AC.BC4S=7330m.

V=πR2h=π.73302.0,810,42  m3.


Câu 47:

Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC=a5, DAB^=CBD^=90°, ABC^=135°. Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) bằng 30°. Thể tích khối tứ diện ABCD bằng
Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho tứ diện ABCD có AB = a,  AC = a căn 5, góc DAB = góc CBD = 90 độ , góc ABC = 135 độ. Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (BCD)  (ảnh 1)

Dựng DH(ABC).

Ta có BADABADHBAAH. Tương tự BCDBBCDHBCBH.

Tam giác AHB AB=a,ABH^=45°ΔHAB vuông cân tại AAH=AB=a.

Áp dụng định lý côsin, ta có BC=a2.

Vậy SABC=12BABCsinCBA^=12aa222=a22.

Dựng HEDAHFDBHE(DAB) HF(DBC).

Suy ra (DBA),(DBC)^=(HE,HF^)=EHF^ và tam giác HEF vuông tại E.

Đặt DH = x, khi đó HE=axa2+x2,HF=xa22a2+x2.

Suy ra cosEHF^=HEHF=34=x2+2a22x2+2a2x=a.

Vậy VABCD=13DHSΔABC=a36.


Câu 48:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;0;10) và B3;4;192. Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giác OAM không phải là tam giác nhọn và có diện tích bằng 20. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MB thuộc khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: SOAM=12OA.dM;OA=20dM;OA=4.

Suy ra: M di động trên mặt trụ, bán kính bằng 4 trục là OA

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;0;10) và B(3;4;19/2) . Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giác OAM không phải là  (ảnh 1)

Xét điểm D như hình vẽ, HA.HO=HD2=16HA+HO=10HA=2HO=8.

· Trường hợp 1: Nếu tam giác OAM là tam giác có góc AMO^90° thì điểm M chạy trên đoạn EF, khi đó BM có giá trị nhỏ nhất bằng BF=132.

· Trường hợp 2: Nếu tam giác OAM là tam giác có góc MAO^90° thì điểm M chạy trên tia CD, khi đó BM có giá trị nhỏ nhất bằng BC=52.

· Trường hợp 3: Nếu tam giác OAM là tam giác có góc MOA^90° thì điểm M chạy trên tia GH, khi đó BM có giá trị nhỏ nhất bằng BG=3652.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;0;10) và B(3;4;19/2) . Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giác OAM không phải là  (ảnh 2)

So sánh ba trường hợp trên ta thấy BMmin=521,1180339890;32.


Câu 49:

Cho các số phức z, w, u  thỏa mãn z4+2i=2z+z¯,w810iw610i là số thuần ảo và \u+12i=u2+i. Giá trị nhỏ nhất của P=uz+u¯w¯ thuộc khoảng nào sau đây?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đầu tiên ta gọi A,  N1,  M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z, w, u trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Khi đó ta có:Aa;b:z4+2i=2z+z¯Mc;d:u+12i=u2+iAP:y=2x2+2x5Md:y=x

Đặt w=x+yix,y, khi đó

e=w810iw610i=kikw810iw610i¯=mim

w810iw¯6+10i=w2+6+10iw8+10iw¯+14820i (2)

Thế w=x+yix,y vào (2) kết hợp biến đổi đại số, ta được Ree=x214x+y220y+148=0.

Suy ra NC:x72+y102=1, tức N1 thuộc đường tròn tâm I17;10, bán kính R = 1.

Khi đó ta luôn có: P=uz+uw¯=uz+uw=MA+MN1MA+MI11

Gọi I2 là điểm đối xứng với I17;10 qua (d), khi đó ta suy ra I210;7 tức N2I2;1.

Khi đó ta có hình vẽ như sau:

Cho các số phức z, w, u  thỏa mãn |z - 4 + 2i| = |2z + z liên hợp| , (w-8-10i)/(w - 6 - 10i) là số thuần ảo và  |u + 1 - 2i|=|u - 2 + i|.  (ảnh 1)

Từ hình vẽ, ta dễ dàng suy ra: P=MA+MI11=MA+MI21=MA+MN2

Mặt khác theo bất đẳng thức đường gấp khúc ta luôn có: MA+MN2AN2 nên PAN2=AI21 khi N2N0 tức Pmin khi và chỉ khi AI2 min. Lúc này ta quy về bài toán đơn giản hơn như sau:

“Cho Aa;bP:y=2x2+2x5 I210;7, khi ấy tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng AI2”.

Lúc này ta có: AI2=a102+2a2+2a572=a102+4a2+a62.

Chạy TABLE ta suy ra AI263.8515;8.


Câu 50:

bao nhiêu số nguyên dương y để tồn tại số thực x > 1 thỏa mãn

x2xy+log2xy=xy4+15xy30+10y?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đầu tiên ta có phương trình sau: x2xy+log2xy=xy4+15xy30+10y(*)

2xy+log2xy=y4+15y3010yx2xy+log2xy+30x10yx=y4+15y (1)

Giải thích: ta cô lập vế phải là một hàm theo biến y luôn đồng biến trên 0;+ (f'y=4y3+15>0 y0;+).

Tiếp theo ta khảo sát hàm số gx=2xy+log2xy+30x10yx trên 1;+.

Ta có:g'x=y2xyln2+1xln230x2+10yx2.

Thế y=3 vào ta có g'3=8x+1ln21xln2>64ln21ln2>0,x>1.

Suy ra y3 thì g'x>0, kéo theo đó ta có được:

gx>g1=2y+log2y10y+30limx+gx=+.

Khi ấy để (*)có nghiệmx>1 thì cần có:

2xy+log2xy+30x10yx>2y+log2y10y+30 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra 2y+log2y10y+30<y4+15y

2y+log2y25y+30y4<0,  y3 (3)

Cho vế trái (3) bằng không giải ra nghiệm (shift SOLVE)y16,01 (**), khi đó ta có ý tưởng sau:

Giả sử đảo chiều (3), ta có: 2y+log2y10y+30>y4+15y 

2y+log2y25y+30y4>0 (4).

Tới đây ta sẽ chứng minh bất phương trình (4) luôn đúng với mọi y17.

Xét hàm số hy=2y+log2y25y+30y4 h16=366<0;h17>0 nên suy ra hy<0,y<17 tức hy>0,y17.

Suy ra bất phương trình (4) luôn đúng với mọi y17 tức bất phương trình (3) luôn đúng với mọi 3y17.

Do (**) nên ta thử từng giá trị y:317 theo thứ tự từ lớn xuống.

Nhận thấy y = 17 không thỏa nên 3y<17

Mà đề cho y+ nên ta thử hai giá trị còn lại lần lượt là y1;2, nhận thấy hai giá trị này đều thỏa nên suy ra 1y<17 tức y1;2;...;15;16. Vậy có tất cả 16 giá trị nguyên y thỏa mãn đề bài.


Câu 51:

Cho hàm số fx=x322x733x102023x42024. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số hx=fx4+8x2+mx có số điểm cực tiểu nhiều nhất là S=a;b\c. Giá trị của biểu thức T=a2ab+b2+abc thuộc khoảng nào sau đây?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Trường hợp 1: f(x) = 0 thì ta thu được các nghiệm bội lẻ lần lượt là x=72;x=103 (1)

Trường hợp 2: fx0, thực hiện biến đổi

lnfx=2lnx3+3ln2x7+2023ln3x10+2024lnx4x\3;103;72;4

Đạo hàm hai vế ta có: f'xfx=2x3+62x7+60693x10+2024x4

f'x=fx2x3+62x7+60693x10+2024x4

Ta giải:f'x=0fx2x3+62x7+60693x10+2024x4=0

fx=0L2x3+62x7+60693x10+2024x4=02

Xét hàm số ux=2x3+62x7+60693x10+2024x4 có:

u'x=2x32122x723.60693x1022024x42<0

Suy ra ux luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Với limx±fx=0, khi đó ta có bảng biến thiên sau:

Cho hàm số f(x) = (x-3)^2(2x-7)^3(3x-10)^2023(x-4)^2024. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m (ảnh 1)

Khi đó (2) có các nghiệm là: x=a3;103;x=b103;72;x=c72;4 (3).

Từ (1) và (3), ta suy ra f(x) có 5 điểm cực trị lần lượt là a,72,b,103,c

(với 3<a<72<b<103<c<4).

Tiếp đến ta xét hàm số hx=fx4+8x2+mx 

h'x=4x3+16x+mx4+8x2+mxf'x4+8x2+mxx4+8x2+mx=0

4x3+16x+m=04x4+8x2+mx=05f'x4+8x2+mx=06.

Để hàm số h(x) có nhiều cực tiểu nhất thì (4), (5), (6) phải có nhiều nghiệm bội lẻ nhất.

Khi đó (4) tương đương với:

m=4x316x=qxmq23;q923m6433;6433 (7).

Giải (5), khi đó phương trình tương đương với:

x=0x3+8x+m=0**m=x38x=rxmr263;r263 

m3269;3269 (8).

Từ (7) và (8) ta suy ra m3269;3269\0. (9)

Giải (6), khi đó phương trình tương đương với:

x4+8x2+mx=72;x4+8x2+mx=103x4+8x2+mx=a;x4+8x2+mx=b;x4+8x2+mx=c

x3+8x+m=±72x;x3+8x+m=±103xx3+8x+m=±ax;x3+8x+m=±bx;x3+8x+m=±cx.

Giả sử ta có hàm số px=x3+8x+m ta suy ra để thỏa mãn đề bài thì hàm số p(x) phải luôn cắt các đường cong 72x;103x;ax;bx;cx tại 2 điểm phân biệt tại mỗi đường.

Do c3,6667 (sai số rất nhỏ) nên ta xem như c=72=3,5.

Gọi x0 là hoành độ của điểm tiếp xúc giữa p(x) y=72x.

Khi đó x0 là nghiệm của hệ:

x03+8x0+m=72x03x02+8=72x02x03+8x+m=72x06x0416x027=0x03+8x0+m=72x0x0=±1,75

Suy ra: ±1,753+8±1,75+m=72±1,75m=±6,64.

Như vậy để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì ta cần có m6,64;6,64 (10).

Từ (9) và (10) ta suy ra m6,64;6,64\0.

Vậy T=a2ab+b2=36,642115;150.

Bắt đầu thi ngay