50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 20)

Câu 1:

Cho khối chóp có diện tích đáy B = 3 và chiều cao h = 4. Tính thể tích của khối chóp đã cho.

A. 4

B. 12

C. 6

D. 36

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Thể tích của khối chóp đã cho bằng: . $\frac{1}{3} B . h = 4$

Câu 2:

Trên khoảng $(0; + \infty)$ , tính đạo hàm của hàm số $y = x^{\frac{5}{3}}$ .

A. $y^{'} = \frac{3}{5} x^{\frac{2}{3}}$

B. $y^{'} = \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$

C. $y^{'} = \frac{5}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

D. $y^{'} = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Có $y^{'} = {(x^{\frac{5}{3}})}^{'} = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}$ .

Câu 3:

Nếu $\int_{1}^{2} f (x) d x = 5$ và $\int_{2}^{3} f (x) d x = - 2$ thì $\int_{1}^{3} f (x) d x$ bằng

A. -7

B. 3

C. 7

D. -10

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$\int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{3} f (x) d x = 5 + (- 2) = 3$ .

Câu 4:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, A B = a \sqrt{3}$ , $B C = a$ và $A A^{'} = 2 a \sqrt{3}$ (tham khảo hình vẽ).

Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

A. $3 a^{3}$

B. $6 a^{3}$

C. $a^{3}$

D. $3 a^{3} \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Thế tích khối lăng trụ là: $V = S . h = (\frac{1}{2} a^{2} \sqrt{3}) .2 a \sqrt{3} = 3 a^{3}$ .

Câu 5:

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{3} (3 a)$ bằng

A. $3 + \log_{3} a$

B. $1 + \log_{3} a$

C. $3 \log_{3} a$

D. $1 - \log_{3} a$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$\log_{3} (3 a) = \log_{3} 3 + \log_{3} a = 1 + \log_{3} a .$

Câu 6:

Số phức liên hợp của số phức $z = 6 - 7 i$ là

A. $\bar{z} = 7 - 6 i$

B. $\bar{z} = 6 + 7 i$

C. $\bar{z} = - 6 - 7 i$

D. $\bar{z} = - 3 + 7 i$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Số phức liên hợp của số phức $z = 6 - 7 i$ là $\bar{z} = 6 + 7 i$ .

Câu 7:

Cho hình trụ có chiều cao bằng 5 và đường kính đáy bằng 8. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đã cho

A. $20 π$

B. $80 π$

C. $160 π$

D. $40 π$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Bán kính đáy của trụ là: $r = 4$

Áp dụng công thức diện tích xung quanh hình trụ ta được: $S_{x q} = 2 π r l = 2 π .4.5 = 40 π$ .

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z + 3}{2}$ . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d?

A. $M (- 1; - 2; - 1)$

B. $N (2; - 1; - 3)$

C. $P (5; - 2; - 1)$

D. $Q (- 1; 0; - 5)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Thay tọa độ điểm $M (- 1; - 2; - 1)$ vào phương trình đường thẳng d ta có $\frac{- 1 - 2}{3} \neq \frac{- 2 + 1}{- 1} = \frac{- 1 + 3}{2}$ nên điểm $M (- 1; - 2; - 1) \notin d$ .

Câu 9:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = 1$ và $u_{2} = 4$ . Tìm công sai của cấp số cộng đã cho.

A. -3

B. 3

C. 5

D. 4

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Công sai cấp số cộng: $d = u_{2} - u_{1} = 4 - 1 = 3$ .

Câu 10:

Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm f’(x) như sau:

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 5

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Dựa vào bảng xét dấu, hàm số đã cho có 4 điểm cực trị.

Câu 11:

Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (Oyz)?

A. x = 0

B. z = 0

C. y = 0

D. y - z = 0

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình của mặt phẳng (Oyz) là x = 0.

Câu 12:

Với n là số nguyên dương bất kì,

n \geq 5

, công thức nào dưới đây đúng?

A. $A_{n}^{5} = \frac{n!}{5! (n - 5)!}$

B. $A_{n}^{5} = \frac{n!}{(n - 5)!}$

C. $A_{n}^{5} = \frac{5!}{(n - 5)!}$

D. $A_{n}^{5} = \frac{(n - 5)!}{n!}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $A_{n}^{5} = \frac{n!}{(n - 5)!}$ .

Câu 13:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = \frac{2 x - 1}{x + 2}

là đường thẳng có phương trình nào dưới đây?

A. x = 2

B. x = -2

C. y = -2

D. y = 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $\lim_{x \to - 2^{+}} y = \lim_{x \to - 2^{+}} \frac{2 x - 1}{x + 2} = - \infty; \lim_{x \to - 2^{-}} y = \lim_{x \to - 2^{-}} \frac{2 x - 1}{x + 2} = + \infty$ .

Vậy $x = - 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 14:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình 2f(x) – 1 = 0 là

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $2 f (x) - 1 = 0 \Leftrightarrow f (x) = \frac{1}{2}$ .

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 4 nghiệm thực.

Câu 15:

Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình bên?

A. $z_{1} = 1 - 2 i$

B. $z_{2} = 1 + 2 i$

C. $z_{4} = 2 + i$

D. $z_{3} = - 2 + i$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Điểm biểu diễn của $z_{3} = - 2 + i$ là M(-2;1).

Câu 16:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y = - x^{3} + 2 x^{2} + 1$

B. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 3$

C. $y = \frac{x + 1}{x - 1}$

D. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có đây là hình dáng của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương $y = a x^{4} + b x^{2} + c (a \neq 0)$ , mặt khác nhánh cuối đi xuống nên $a < 0$ . Vậy chọn D.

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x - 3 y + z - 2 = 0$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

A. $\vec{n_{4}} = (2; 1; - 2)$

B. $\vec{n_{2}} = (2; - 3; - 2)$

C. $\vec{n_{3}} = (- 3; 1; - 2)$

D. $\vec{n_{1}} = (2; - 3; 1)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$\vec{n_{1}} = (2; - 3; 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Câu 18:

Viết công thức tính thể tích V của khối cầu có bán kính R.

A. $V = \frac{4}{3} π R^{3}$

B. $V = \frac{1}{3} π R^{3}$

C. $V = 4 π R^{3}$

D. $V = π R^{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Thể tích khối cầu là: $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

Câu 19:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 y - 2 z - 7 = 0$ . Tính bán kính của mặt cầu đã cho.

A. $\sqrt{15}$

B. 9

C. 3

D. $\sqrt{7}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $R = \sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2} + 7} = 3$ .

Câu 20:

Tìm tập nghiệm của bất phương trình $2^{x - 1} < 8$ .

A. $(5; + \infty)$

B. $(- \infty; 5)$

C. $(4; + \infty)$

D. $(- \infty; 4)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có $2^{x - 1} < 8 \Leftrightarrow 2^{x - 1} < 2^{3} \Leftrightarrow x - 1 < 3 \Leftrightarrow x < 4$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(- \infty; 4)$ .

Câu 21:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;1)

B. $(- \infty; - 1)$

C. $(- 3; 1)$

D. $(1; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị, hàm số đồng biến trên (-1;1).

Câu 22:

Cho hai số phức z = 3 + 2i và w = 1 – 4i. Tính z + w.

A. $4 + 2 i$

B. $- 2 - 6 i$

C. $4 - 2 i$

D. $2 + 6 i$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$z + w = (3 + 2 i) + (1 - 4 i) = 4 - 2 i$ .

Câu 23:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

A. 4

B. -3

C. 2

D. -1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị cực đại của hàm số là 4.

Câu 24:

Nếu $\int_{0}^{2} [2 x - 3 f (x)] d x = 3$ thì $\int_{0}^{2} f (x) d x$ bằng

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{5}{2}$

C. $- \frac{1}{3}$

D. $- \frac{5}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\int_{0}^{2} [2 x - 3 f (x)] d x = 3 \Leftrightarrow \int_{0}^{2} 2 x d x - 3 \int_{0}^{2} f (x) d x = 3 \Leftrightarrow \int_{0}^{2} f (x) d x = \frac{1}{3}$ .

Câu 25:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + m x^{2} + 4 x - 2

đồng biến trên

ℝ

?

A. 4

B. 5

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

TXĐ: $D = ℝ$ .

Ta có $f^{'} (x) = x^{2} + 2 m x + 4$ .

Hàm số đã cho đồng biến trên $ℝ \Leftrightarrow f^{'} (x) \geq 0 \forall x \in ℝ \Leftrightarrow m^{2} - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2$ .

Mà $m \in ℤ \Rightarrow m = \{- 2; - 1; 0; 1; 2\}$ .

Câu 26:

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn $2 \log_{2} b - 3 \log_{2} a = 2$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $a^{3} b^{2} = 4$

B. $2 b - 3 a = 2$

C. $b^{2} = 4 a^{3}$

D. $b^{2} - a^{3} = 4$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $2 \log_{2} b - 3 \log_{2} a = 2$

$\Leftrightarrow \log_{2} b^{2} - \log_{2} a^{3} = 2$ $\Leftrightarrow \log_{2} \frac{b^{2}}{a^{3}} = 2$ $\Leftrightarrow \frac{b^{2}}{a^{3}} = 4$ $\Leftrightarrow b^{2} = 4 a^{3}$

Câu 27:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2}{4 x - 3}$ trên khoảng $(1; + \infty)$ là

A. $\frac{1}{2} \ln (4 x - 3) + C$

B. $\frac{1}{4} \ln (4 x - 3) + C$

C. $8 \ln (4 x - 3) + C$

D. $2 \ln (4 x - 3) + C$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đặt $t = 4 x - 3 \Rightarrow d t = 4 d x$

$\int f (x) d x = \int \frac{2}{t} . \frac{d t}{4} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t = \frac{1}{2} \ln |t| + C = \frac{1}{2} \ln (4 x - 3) + C$

Câu 28:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a (ảnh 1)

A. $\frac{3 a \sqrt{7}}{7}$

B. $\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{3 a \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{2 a \sqrt{5}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Kẻ $A H ⊥ S D$

Ta có: $\begin{array}{l} C D ⊥ A D \\ C D ⊥ S A (S A ⊥ (A B C D)) \end{array}\} \Rightarrow C D ⊥ (S A D) \Rightarrow C D ⊥ A H$

$\begin{array}{l} A H ⊥ S D \\ A H ⊥ C D \end{array}\} \Rightarrow A H ⊥ (S C D)$

Mặt khác: $A B // C D \Rightarrow A B // (S C D)$

$d (A B, S D) = d (A B, (S C D)) = d (A, (S C D)) = A H$

Xét $Δ S A D$ vuông tại A có:

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{4 a^{2}} \Rightarrow A H = \frac{2 \sqrt{5} a}{5}$

.

Câu 29:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 4 x + y + 2 z + 1 = 0$ và điểm M(4;2;1). Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (P).

A. $M^{'} (12; 4; 5)$

B. $M^{'} (- 4; 0; - 3)$

C. $M^{'} (- 12; - 2; - 7)$

D. $M^{'} (4; 2; 1)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với $(P) \Rightarrow \vec{u_{d}} = \vec{n_{P}} = (4; 1; 2)$ .

Ta có $d : \{\begin{cases} x = 4 + 4 t \\ y = 2 + t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}$ . Gọi $I = d \cap (P) \Rightarrow I = (4 + 4 t; 2 + t; 1 + 2 t)$ .

$I \in (P) \Rightarrow 4 (4 + 4 t) + 2 + t + 2 (1 + 2 t) + 1 = 0 \Leftrightarrow 21 t + 21 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow I (0; 1; - 1)$

Vì I là trung điểm của MM' nên M'(-4;0-3).

Câu 30:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình f’(f(x) + 3) = 0.

A. 2

B. 4

C. 3

D. 6

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Từ đồ thị hàm số ta có:

$f^{'} (f (x) + 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) + 3 = - 1 \\ f (x) + 3 = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = - 4 \\ f (x) = - 2 \end{array}$

Vậy phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt.

Câu 31:

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\log_{2} (x^{2} + x + 1) = 2 + \log_{2} x$ .

A. 6

B. 3

C. 1

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: x > 0

Ta có $\log_{2} (x^{2} + x + 1) = 2 + \log_{2} x$

$\Leftrightarrow \log_{2} (x^{2} + x + 1) = \log_{2} (4 x)$

$\Leftrightarrow x^{2} + x + 1 = 4 x$

$\Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ (thoả mãn).

Vậy tổng các nghiệm bằng 3.

Câu 32:

Cho số phức z thoả mãn điều kiện $(1 + 2 i) z + \bar{z} = i$ . Tính môđun của z.

A. $|z| = \frac{1}{2}$

B. $|z| = 5$

C. $|z| = \frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $|z| = \sqrt{5}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi $z = a + b i \Rightarrow \bar{z} = a - b i$ .

Ta có $(1 + 2 i) z + \bar{z} = i$

$\Rightarrow (1 + 2 i) (a + b i) + a - b i = i$

$\Leftrightarrow (2 a - 2 b) + 2 a i = i$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a - 2 b = 0 \\ 2 a = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$ .

Khi đó $z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \Rightarrow |z| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Câu 33:

Tìm tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (x^{2} - 2 x) \geq 1$ .

A. $[- 1; 3]$

B. $(- 1; 3)$

C. $(- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$

D. $(- \infty; - 1] \cup [3; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: $x^{2} - 2 x > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < 0 \\ x > 2 \end{array}$ .

Ta có $\log_{3} (x^{2} - 2 x) \geq 1 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x \geq 3 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq 3 \\ x \leq - 1 \end{array}$ .

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $(- \infty; - 1] \cup [3; + \infty)$ .

Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và $S A = a \sqrt{6}$ (tham khảo hình vẽ). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy (ảnh 1)

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $90 °$

D. $60 °$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi $O = A C \cap B D$ . Suy ra O là trung điểm của AC và $A O = \frac{A C}{2} = \frac{A B \sqrt{2}}{2} = a \sqrt{2}$ .

Vì ABCD là hình vuông nên $A C ⊥ B D$ (1).

Vì $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B D$ mà $A C ⊥ B D$ nên $B D ⊥ (S A C) \Rightarrow B D ⊥ S O$ (2).

Từ (1) và (2), ta có góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là $\hat{S O A}$ .

Xét $Δ S O A$ vuông tại A, có $\tan \hat{S O A} = \frac{S A}{A O} = \frac{a \sqrt{6}}{a \sqrt{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S O A} = 60 °$ .

Câu 35:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;0), B(1;1;2) và C(2;3;1). Viết phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua A và song song với đường thẳng BC.

A. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{- 1}$

B. $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z}{3}$

C. $\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 2}{4} = \frac{z}{3}$

D. $\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{- 1}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $Δ$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{B C} = (1; 2; - 1)$ .

Vậy phương trình đường thẳng $Δ$ : $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{- 1}$ .

Câu 36:

Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y = - x^{2} + 3 x$ và y = 0 xung quanh trục Ox.

A. $\frac{5 π}{2} .$

B. $\frac{27 π}{10} .$

C. $\frac{81 π}{10} .$

D. $\frac{9 π}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đường $y = - x^{2} + 3 x$ và $y = 0$ là $- x^{2} + 3 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 3 \end{array}$ .

Do đó thể tích khối tròn xoay cần tính là $V = π \int_{0}^{3} {(- x^{2} + 3 x)}^{2} d x = \frac{81 π}{10}$ .

Câu 37:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x} + 2 x$ thỏa mãn F(0) = 2. Tìm F(x).

A. $F (x) = e^{x} + x^{2} + 1$

B. $F (x) = e^{x} + x^{2} + 2$

C. $F (x) = e^{x} + 2 x^{2} + 1$

D. $F (x) = e^{x} + x^{2} - 1$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có, $F (x) = \int f (x) d x = \int (e^{x} + 2 x) d x = e^{x} + x^{2} + C$ .

Mà $F (0) = 2 \Rightarrow C = 1$ .

Do đó $F (x) = e^{x} + x^{2} + 1$ .

Câu 38:

Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 5 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi. Tính xác suất để 2 viên bi lấy ra cùng màu.

A. $\frac{9}{35}$

B. $\frac{29}{56}$

C. $\frac{29}{105}$

D. $\frac{27}{56}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

- Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một bi có $C_{7}^{1} . C_{8}^{1} = 56$ cách.

Do đó số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = 56$ .

- Gọi A là biến cố “Lấy được 2 viên bi cùng màu”.

+ Trường hợp 1: Lấy được 2 viên bi màu đỏ có $C_{5}^{1} . C_{4}^{1} = 20$ cách.

+ Trường hợp 2: Lấy được 2 viên bi màu trắng có $C_{3}^{1} . C_{3}^{1} = 9$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là $n (A) = 20 + 9 = 29$ .

Vậy xác suất của biến cố A là $p (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{29}{56}$ .

Câu 39:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ : \frac{x}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z}{4}$ , $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{2}$ . Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng $Δ$ và song song với đường thẳng d. Tính khoảng cách từ điểm M(3;0;-1) đến mặt phẳng (P).

A. 3

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{5}{3}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$Δ$ đi qua điểm H(0;-2;) và có VTCP $\vec{u_{Δ}} = (2; 3; 4)$ .

d đi qua điểm N(1;2;1) và có VTCP $\vec{u_{d}} = (2; 1; 2)$ .

$\vec{n_{P}} = [\vec{u_{Δ}}; \vec{u_{d}}] = (1; 2; - 2)$ .

$(P) : 1 (x - 0) + 2 (y + 2) - 2 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y - 2 z + 4 = 0$ .

Thử lại $N \notin (P)$ nên thỏa mãn.

$d (M; (P)) = \frac{|3 + 2.0 - 2 (- 1) + 4|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 2)}^{2}}} = 3$ .

Câu 40:

Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ (a, b là các số thực). Có bao nhiêu cặp số (a,b) để phương trình đó có hai nghiệm $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $z_{1} - 3 = (1 - |z_{2}|) i$ ?

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $Δ = a^{2} - 4 b$ .

TH1: $Δ \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} - 4 b \geq 0$ thì $z_{1}, z_{2} \in ℝ$

$z_{1} - 3 = (1 - |z_{2}|) i \Leftrightarrow \{\begin{cases} z_{1} - 3 = 0 \\ 0 = 1 - |z_{2}| \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} z_{1} = 3 \\ |z_{2}| = 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} z_{1} = 3 \\ z_{2} = 1 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} z_{1} = 3 \\ z_{2} = - 1 \end{cases}$ .

+) $\{\begin{cases} z_{1} = 3 \\ z_{2} = 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} S = 4 \\ P = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - a = 4 \\ b = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 4 \\ b = 3 \end{cases}$ (thỏa mãn).

+) $\{\begin{cases} z_{1} = 3 \\ z_{2} = - 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} S = 2 \\ P = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - a = 2 \\ b = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 2 \\ b = - 3 \end{cases}$ (thỏa mãn).

TH2: $Δ < 0 \Leftrightarrow a^{2} - 4 b < 0$ thì $z_{1}, z_{2} \notin ℝ \Rightarrow z_{1} = \bar{z_{2}}$ .

$z_{1} - 3 = (1 - |z_{2}|) i \Leftrightarrow z_{1} = 3 + (1 - |z_{1}|) i$

$\Rightarrow |z_{1}| = \sqrt{9 + {(1 - |z_{1}|)}^{2}} \Leftrightarrow {|z_{1}|}^{2} = 10 - 2 |z_{1}| + {|z_{1}|}^{2} \Leftrightarrow |z_{1}| = 5$

$\Rightarrow z_{1} = 3 - 4 i \Rightarrow z_{2} = 3 + 4 i$ $\Rightarrow \{\begin{cases} S = 6 \\ P = 25 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - a = 6 \\ b = 25 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 6 \\ b = 25 \end{cases}$ (thỏa mãn).

Vậy có 3 cặp số (a,b) thỏa mãn.

Câu 41:

Cho khối nón (N) có đỉnh S, tâm đường tròn đáy là O, góc ở đỉnh bằng $120 °$ . Một mặt phẳng (P) đi qua S, cắt hình nón (N) theo thiết diện là tam giác vuông SAB. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO bằng 4. Tính thể tích V của khối nón (N).

A. $V = 192 π$

B. $V = 128 π$

C. $V = 96 π$

D. $V = 64 π$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm AB $\Rightarrow \{\begin{cases} O I ⊥ S O \\ O I ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow d (S O, A B) = O I$ = 4 .

Đặt $O E = R \Rightarrow \{\begin{cases} S O = \frac{R \sqrt{3}}{3} \\ S E = \frac{2 R \sqrt{3}}{3} \end{cases}$ $\Rightarrow S I = \sqrt{S O^{2} + O I^{2}} = \sqrt{\frac{R^{2}}{3} + 16}$ .

Mặt khác $A B = 2 A I = 2 \sqrt{A O^{2} - O I^{2}} = 2 \sqrt{R^{2} - 16}$ .

Vì $Δ S A B$ vuông tại S nên

$S I = \frac{1}{2} A B$ $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{R^{2}}{3} + 16} = \sqrt{R^{2} - 16} \Leftrightarrow R^{2} = 48 \Leftrightarrow R = 4 \sqrt{3}$ .

$\Rightarrow h = S O = 4$

Vậy $V = \frac{1}{3} π R^{2} . h = \frac{1}{3} π .48.4 = 64 π$ .

Câu 42:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ . Gọi $x F (x), G (x)$ là hai nguyên hàm của f(x) trên $ℝ$ thỏa mãn $3 F (1) + G (0) = 6$ và $F (1) - G (1) = 6$ .

Tính $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x . f (\cos^{2} x) d x$ .

A. -2

B. 4

C. 2

D. -4

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đặt $t = \cos^{2} x \Rightarrow d t = - \sin 2 x d x$ .

Đổi cận $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = \frac{π}{2} \Rightarrow t = 0 \end{cases}$ .

$I = \int_{1}^{0} f (t) (- d t) = \int_{0}^{1} f (t) d t = {t F (t)|}_{0}^{1} = F (1)$

Ta có: $G (x) = x F (x) + C$ .

$\{\begin{cases} 3 F (1) + G (0) = 6 \\ F (1) - G (1) = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 F (1) + C = 6 \\ F (1) - F (1) - C = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} F (1) = 4 \\ C = - 6 \end{cases} \Rightarrow I = 4$

Vậy $I = 4$ .

Câu 43:

Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn $\log_{2} (8 x^{2}) + \log_{3} (3 x^{3}) \geq \log_{2} x . \log_{3} x$ ?

A. 27

B. 8

C. 134

D. 133

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x > 0.

$\log_{2} (8 x^{2}) + \log_{3} (3 x^{3}) \geq \log_{2} x . \log_{3} x$

$\Leftrightarrow 2 \log_{2} x + 3 \log_{3} 2. \log_{2} x - \log_{2} x . \log_{3} 2. \log_{2} x + 4 \geq 0$

$\Leftrightarrow - \log_{3} 2. {(\log_{2} x)}^{2} + (2 + 3 \log_{3} 2) . \log_{2} x + 4 \geq 0$

$\Leftrightarrow \underset{A}{\underset{⏟}{- 0,897...}} \leq \log_{2} x \leq \underset{B}{\underset{⏟}{7,067...}} \Leftrightarrow 0,536... \leq x \leq 134,087...$

Vì $x \in ℤ$ nên $x \in \{1; 2; ...; 134\}$ . Có 134 số nguyên x thỏa mãn.

Câu 44:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a và BC = 4a. Gọi M là trung điểm của B’C’, biết khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (B’AC) bằng $\frac{6 a}{13}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a và BC = 4a. Gọi M là trung điểm của B’C’ (ảnh 1)

A. $V = 6 a^{3}$

B. $V = 12 a^{3}$

C. $V = 4 a^{3}$

D. $V = 2 a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . B C = \frac{1}{2} .3 a .4 a = 6 a^{2}$ .

Gọi H là giao điểm của MB và B'C.

Khi đó, theo định lý Ta-let ta có $\frac{H M}{H B} = \frac{M B'}{B C} = \frac{1}{2}$ .

Ta có $\frac{d (M, (B^{'} A C))}{d (B, (B^{'} A C))} = \frac{M H}{B H} = \frac{1}{2} \Rightarrow d (B, (B^{'} A C)) = 2 d (M, (B^{'} A C)) = \frac{12 a}{13}$ .

Từ B dựng BK vuông góc với AC với $K \in A C$ .

Kẻ BI vuông góc với B'K với $I \in B^{'} K$ .

Vì $B K ⊥ A C, B B^{'} ⊥ A C$ nên $A C ⊥ (B B^{'} K) \Rightarrow A C ⊥ B I$ .

Ta có $\{\begin{cases} B I ⊥ B^{'} K \\ B I ⊥ A C \end{cases} \Rightarrow B I ⊥ (B^{'} A C) \Rightarrow B I = d (B, (B^{'} A C)) = \frac{12 a}{13}$ .

Xét $Δ A B C$ vuông tại B, ta có:

$A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = 5 a$ , $B K . A C = B A . B C \Leftrightarrow B K = \frac{3 a .4 a}{5 a} = \frac{12 a}{5}$ .

Xét $Δ B B^{'} K$ vuông tại B có:

$\frac{1}{B I^{2}} = \frac{1}{B K^{2}} + \frac{1}{B {B^{'}}^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{B {B^{'}}^{2}} = \frac{1}{{(\frac{12 a}{13})}^{2}} - \frac{1}{{(\frac{12 a}{5})}^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \Leftrightarrow B {B^{'}}^{2} = a^{2} \Leftrightarrow B B^{'} = a$

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . B B^{'} = 6 a^{2} . a = 6 a^{3}$ .

Câu 45:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $g (x) = f^{2} (x) - m f (x)$ có đúng 5 điểm cực trị?

A. 15

B. 8

C. 6

D. 13

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $g (x) = f^{2} (x) - m f (x) \Rightarrow g^{'} (x) = 2 f (x) f^{'} (x) - m . f^{'} (x) = f^{'} (x) (2 f (x) - m)$

Nên: $g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f^{'} (x) = 0 \\ f (x) = \frac{m}{2} \end{array}$ để hàm số g(x) có 5 điểm cực trị thì phương trình g'(x) = 0 phải có 5 nghiệm bội lẻ, suy ra $f (x) = \frac{m}{2}$ cần có 3 nghiệm bội lẻ: $- 3 < \frac{m}{2} < 4 \Leftrightarrow - 6 < m < 8$

Vậy có 13 giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) có 5 điểm cực trị.

Câu 46:

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $Δ : \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{- 1}$ . Hai điểm M, N thay đổi, lần lượt nằm trên các mặt phẳng $(P) : x - 2 = 0$ , $(Q) : z - 2 = 0$ sao cho trung điểm K của đoạn thẳng MN luôn thuộc đường thẳng $Δ$ . Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (2;3)

B. (1;2)

C. (4;5)

D. (3;4)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi $M (2; a; b) \in (P)$ , $K (2 t; 1 - t; 1 - t) \in Δ$ .

Vì K là trung điểm của MN nên

$\{\begin{cases} x_{N} = 2.2 t - 2 = 4 t - 2 \\ y_{N} = 2. (1 - t) - a = 2 - 2 t - a \\ z_{N} = 2. (1 - t) - b = 2 - 2 t - b \end{cases} \Rightarrow N (4 t - 2; 2 - 2 t - a; 2 - 2 t - b)$

Mà $N \in (Q)$ nên $- 2 t - b = 0 \Leftrightarrow 2 t = - b \Rightarrow M (2; a; b), N (- 2 b - 2; 2 + b - a; 2)$ .

Ta có

$M N^{2} = {(4 + 2 b)}^{2} + {(2 a - b - 2)}^{2} + {(b - 2)}^{2} = 4 a^{2} - 4 a b - 8 a + 6 b^{2} + 16 b + 24$

$= {(2 a - b - 2)}^{2} + 5 {(b + \frac{6}{5})}^{2} + \frac{64}{5} \geq \frac{64}{5} \Rightarrow M N \geq \frac{8}{\sqrt{5}} \approx 3,5777...$

Dấu bằng xảy ra khi $\{\begin{cases} 2 a - b - 2 = 0 \\ b + \frac{6}{5} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{2}{5} \\ b = - \frac{6}{5} \end{cases}$ .

Câu 47:

Cho hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = |2 f (\ln x) - \ln^{2} x + 1 - m|$ nghịch biến trên $(1; e)$ , biết $f (1) = 2$ ?

A. 5

B. 3

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Đặt $t = \ln x$ , ta có:

Bài toán trở thành tìm giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = |2 f (t) - t^{2} + 1 - m|$ nghịch biến trên $(0; 1)$ .

Xét hàm số $h (t) = 2 f (t) - t^{2} + 1 - m$ trên $(0; 1)$ có $h^{'} (t) = 2 [f^{'} (t) - t] < 0, \forall t \in (0; 1)$ .

Do đó yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow h (1) \geq 0 \Leftrightarrow 2 f (1) - 1^{2} + 1 - m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 4$ .

Vậy có 4 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn.

Câu 48:

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

$\log_{3} (5 - |x| + 2 |y|) + 2 \log_{2} (5 - |x|) + 3 \geq \log_{3} |y| + \log_{2} {(5 - |x| + 3 |y|)}^{2}$ ?

A. 50

B. 61

C. 60

D. 51

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: $\{\begin{cases} x; y \in ℤ \\ 5 - |x| > 0 \\ y \neq 0 \end{cases}$ .

Ta có: $\log_{3} (5 - |x| + 2 |y|) + 2 \log_{2} (5 - |x|) + 3 \geq \log_{3} |y| + \log_{2} {(5 - |x| + 3 |y|)}^{2}$

$\Leftrightarrow \log_{3} (\frac{5 - |x|}{|y|} + 2) + 2 \log_{2} (\frac{5 - |x|}{5 - |x| + 3 |y|}) + 3 \geq 0$

$\Leftrightarrow \log_{3} (\frac{5 - |x|}{|y|} + 2) - 2 \log_{2} (1 + 3 \frac{|y|}{5 - |x|}) + 3 \geq 0$ (*).

Đặt $t = \frac{5 - |x|}{|y|} > 0$

$(*) \Leftrightarrow \log_{3} (t + 2) - 2 \log_{2} (1 + \frac{3}{t}) + 3 \geq 0$ (**).

Xét hàm số $h (t) = \log_{3} (t + 2) - 2 \log_{2} (1 + \frac{3}{t}) + 3$ .

$h^{'} (t) = \frac{1}{\ln 3 (t + 2)} + \frac{6}{t^{2} . (1 + \frac{3}{t}) . \ln 2} > 0, \forall t > 0$ , mặt khác $h (1) = 0$ .

Do đó $(* *) \Leftrightarrow t \geq 1 \Leftrightarrow \frac{5 - |x|}{|y|} \geq 1 \Leftrightarrow |y| \leq 5 - |x|$ .

Với $x = 0 \Rightarrow |y| \leq 5 \Rightarrow y \in (- 5, - 4, - 3, - 2, - 1,1,2,3,4,5)$ , có 10 cặp (x;y) thỏa mãn.

Với $x = \pm 1 \Rightarrow |y| \leq 4 \Rightarrow y \in (- 4, - 3, - 2, - 1,1,2,3,4)$ , có 16 cặp (x;y) thỏa mãn.

Với $x = \pm 2 \Rightarrow |y| \leq 3 \Rightarrow y \in (- 3, - 2, - 1,1,2,3)$ , có 12 cặp (x;y) thỏa mãn.

Với $x = \pm 3 \Rightarrow |y| \leq 2 \Rightarrow y \in (- 2, - 1,1,2)$ , có 8 cặp (x;y) thỏa mãn.

Với $x = \pm 4 \Rightarrow |y| \leq 1 \Rightarrow y \in (- 1,1)$ , có 4 cặp (x;y) thỏa mãn.

Vậy có 50 cặp (x;y) thỏa mãn.

Câu 49:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên

(0; + \infty)

, f(1) = 1 và thỏa mãn

x^{3} f (x) + 2 f^{3} (x) = 2 x^{4} f^{'} (x), \forall x \in (0; + \infty)

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng

x = 1; x = 4

.

A. $\frac{15}{2}$

B. $\frac{14}{3}$

C. $\frac{255}{4}$

D. $\frac{62}{5}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có $x^{3} f (x) + 2 f^{3} (x) = 2 x^{4} f^{'} (x)$

$\Leftrightarrow x^{3} [f (x) - 2 x f^{'} (x)] = - 2 f^{3} (x)$

$\Leftrightarrow \frac{x^{3} [f (x) - 2 x f^{'} (x)]}{f^{3} (x)} = - 2$

$\Leftrightarrow x^{3} . \frac{f^{2} (x) - 2 x f (x) . f^{'} (x)}{f^{4} (x)} = - 2$

$\Leftrightarrow x^{3} . \frac{{(x)}^{'} . f^{2} (x) - x . {[f^{2} (x)]}^{'}}{f^{4} (x)} = - 2$

$\Leftrightarrow {[\frac{x}{f^{2} (x)}]}^{'} = \frac{- 2}{x^{3}} = {(\frac{1}{x^{2}})}^{'}$

$\Rightarrow \frac{x}{f^{2} (x)} = \frac{1}{x^{2}} + C$

Cho $x = 1 \Rightarrow 1 = 1 + C \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f^{2} (x) = x^{3} \Leftrightarrow f (x) = x \sqrt{x}$ .

Vậy $S = \int_{1}^{4} x \sqrt{x} d x = \frac{62}{5}$ .

Câu 50:

Xét các số phức z, w thỏa mãn $|z + 2 w| = 1$ và $|3 z - w| = 2$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = 7 |z + w| + |z + 9 w|$ . Tính giá trị của $M^{2} - m^{2}$ .

A. 65

B. 16

C. 64

D. 17

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đặt $z_{1} = z + 2 w, z_{2} = 3 z - w$ . Gọi $A (z_{1}), B (z_{2}) \Rightarrow O A = 1; O B = 2$ .

$P = |4 z_{1} + z_{2}| + |4 z_{1} - z_{2}|$ .

${|4 z_{1} + z_{2}|}^{2} = {|4 \vec{O A} + \vec{O B}|}^{2} = 16 O A^{2} + O B^{2} + 8 \vec{O A} . \vec{O B} = 20 + 16. c o s (\vec{O A}, \vec{O B}) = 20 + 16 x$

với $x = \cos (\vec{O A}, \vec{O B}), x \in [- 1; 1]$ .

${|4 z_{1} - z_{2}|}^{2} = {|4 \vec{O A} - \vec{O B}|}^{2} = 16 O A^{2} + O B^{2} - 8 \vec{O A} . \vec{O B} = 20 - 16. c o s (\vec{O A}, \vec{O B}) = 20 - 16 x$

Khi đó $P = \sqrt{20 + 16 x} + \sqrt{20 - 16 x}$ .

Xét hàm số $f (x) = \sqrt{20 + 16 x} + \sqrt{20 - 16 x}$ trên đoạn $[- 1; 1]$ .

$f^{'} (x) = \frac{8}{\sqrt{20 + 16 x}} - \frac{8}{\sqrt{20 - 16 x}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{20 + 16 x} = \sqrt{20 - 16 x} \Leftrightarrow x = 0$ (thỏa mãn).

Ta có $f (- 1) = f (1) = 8 = m$ ; $f (0) = 4 \sqrt{5} = M$ .

Vậy $M^{2} - m^{2} = 16$ .