15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Phương trình đường tròn

Câu 1:

Đường tròn tâm I(a;b) và bán kính R có dạng:

A. ${(x + a)}^{2} + {(y + b)}^{2} = R^{2}$

B. ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = R^{2}$

C. ${(x - a)}^{2} + {(y + b)}^{2} = R^{2}$

D. ${(x + a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = R^{2}$

Xem đáp án

Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b)), bán kính R là ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = R^{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 2:

Đường tròn tâm I(a;b)) và bán kính R có phương trình ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = R^{2}$ được viết lại thành $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ . Khi đó biểu thức nào sau đây đúng?

A. $c = a^{2} + b^{2} - R^{2}$

B. $c = a^{2} - b^{2} - R^{2}$

C. $c = - a^{2} + b^{2} - R^{2}$

D. $c = R^{2} - a^{2} - b^{2}$

Xem đáp án

Phương trình đường tròn $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ có tâm I(a;b) và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$

Do đó: $c = a^{2} + b^{2} - R^{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3:

Phương trình

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0

là phương trình của đường tròn nào?

A.Đường tròn có tâm I(−1;2) và R=1

B.Đường tròn có tâm I(1;−2) và R=2

C.Đường tròn có tâm I(2;−4) và R=2

D.Đường tròn có tâm I(1;−2) và R=1

Xem đáp án

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0$ có hệ số $a = 1, b = - 2, c = 1$ sẽ có tâm I(1;−2) và $R = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2} - 1} = 2$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4:

Trong số các đường tròn có phương trình dưới đây, đường tròn nào đi qua gốc tọa độ O(0,0)?

A. $x^{2} + y^{2} = 1.$

B. $x^{2} + y^{2} - x - y + 2 = 0$

C. $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 8 = 0.$

d. ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25.$

Xem đáp án

$x^{2} + y^{2} = 1.$ Thay $x = 0, y = 0$ ta có $0^{2} + 0^{2} = 1$ là mệnh đề A sai.

$x^{2} + y^{2} - x - y + 2 = 0$ Thay $x = 0, y = 0$ ta có $2 = 0$ là mệnh đề B sai.

$x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 8 = 0.$ Thay $x = 0, y = 0$ ta có $8 = 0$ là mệnh đề C sai.

${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25.$ Thay $x = 0, y = 0$ ta có ${(- 3)}^{2} + {(- 4)}^{2} = 25$ là mệnh đề đúng. Vậy ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25.$ đi qua gốc tọa độ.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5:

Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2;−4) và đi qua điểm A(1;3) là:

A. ${(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 50$

B. ${(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$

C. ${(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 50.$

D. ${(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$

Xem đáp án

Ta có: $R = I A = \sqrt{{(1 - 2)}^{2} + {(3 + 4)}^{2}} = \sqrt{50}$

Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2;−4) có bán kính $R = \sqrt{50}$ là: ${(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 50.$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 6:

Với điều kiện nào thì $x^{2} + y^{2} + 2 a x + 2 b y + c = 0,$ , biểu diễn phương trình đường tròn.

A. $a^{2} + b^{2} - c < 0$

B. $a^{2} + b^{2} \leq c$

C. $a^{2} + b^{2} \geq c$

D. $a^{2} + b^{2} > c$

Xem đáp án

$x^{2} + y^{2} + 2 a x + 2 b y + c = 0,$ là phương trình đường tròn khi $R^{2} = a^{2} + b^{2} - c$

Điều này có nghĩa là $a^{2} + b^{2} - c > 0$ hay $a^{2} + b^{2} > c$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7:

Với điều kiện nào của m thì phương trình sau đây là phương trình đường tròn $x^{2} + y^{2} - 2 (m + 2) x + 4 m y + 19 m - 6 = 0$ ?

A.1<m<2

B.−2≤m≤1

C.m<1 hoặc m>2

D.m<−2 hoặc m>1

Xem đáp án

$x^{2} + y^{2} - 2 (m + 2) x + 4 m y + 19 m - 6 = 0 (*)$ là phương trình đường tròn khi ${(m + 2)}^{2} + {(2 m)}^{2} - 19 m + 6 > 0 \Leftrightarrow 5 m^{2} - 15 m + 10 > 0 \Leftrightarrow m < 1$ hoặc $m > 2$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 8:

Cho đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 20 = 0$ . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A.(C) có tâm I(1,2)

B.(C) có bán kính R=5

C.(C) đi qua điểm M(2,2)

D.(C) không đi qua điểm A(1,1)

Xem đáp án

$(C) : x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 20 = 0$ có $a = - 1, b = - 2, c = - 20$ sẽ có tâm I(−1;−2) và bán kính $R = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 20} = 5$

Thay tọa độ các điểm ở đáp án C và D vào phương trình đường tròn ta thấy hai đáp án đều đúng.

Suy ra mệnh đề sai là mệnh đề ở đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9:

Phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(0;1),B(1;0) và có tâm nằm trên đường thẳng: $x + y + 2 = 0$ là:

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \sqrt{5}$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \sqrt{5}$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$

Xem đáp án

Giả sử điểm $I (x_{I}; y_{I})$ là tâm của đường tròn (C). Vì I nằm trên đường thẳng $x + y + 2 = 0$ nên ta có $x_{I} + y_{I} + 2 = 0 (1)$

Vì đường tròn (C) đi qua hai điểm A(0;1),B(1;0) nên ta có IA=IB. Điều này tương đương với $I A^{2} = I B^{2}$ hay

$\begin{array}{l} {(x_{I})}^{2} + {(1 - y_{I})}^{2} = {(1 - x_{I})}^{2} + {(y_{I})}^{2} \\ \Leftrightarrow x_{I}^{2} + y_{I}^{2} - 2 y_{I} + 1 = x_{I}^{2} - 2 x_{I} + 1 + y_{I}^{2} \\ \Leftrightarrow x_{I} = y_{I} (2) \end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra $x_{I} = y_{I} = - 1$ . Suy ra I(−1;−1).

Mặt khác ta có $R = I A = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 1 - 1)}^{2}} = \sqrt{5}$

Vậy (C) có dạng ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 10:

Phương trình đường tròn (C) đi qua 33 điểm A(0;2),B(−2;0) và C(2;0) là:

A. $x^{2} + y^{2} = 8$

B. $x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 = 0$

C. $x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 = 0$

D. $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$

Xem đáp án

Cách làm:

$x^{2} + y^{2} = 8$ .Ta thay A(0;2) vào phương trình có $0^{2} + 2^{2} = 8$ là mệnh đề sai. Loại A

$x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 = 0$ . Ta thay A(0;2) vào phương trình có $0^{2} + 2^{2} + 2.0 + 4 = 0$ là mệnh đề sai. Loại B

$x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 = 0.$ Ta thay A(0;2) vào phương trình có $0^{2} + 2^{2} - 2.0 - 8 = 0$ là mệnh đề sai. Loại C.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 11:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn $(C m) : x^{2} + y^{2} - 2 m x - 4 m y - 5 = 0$ (m là tham số). Biết đường tròn (Cm)(Cm) có bán kính bằng 5. Khi đó tập hợp tất cả các giá trị của m là

A. $\{0\}$

B. $\{- 1; 1\}$

C. $\{- \sqrt{6}; \sqrt{6}\}$

D. $\{- 2; 2\}$

Xem đáp án

Đường tròn $(C_{m}) : x^{2} + y^{2} - 2 m x - 4 m y - 5 = 0$ (m là tham số) có bán kính bằng 5

$\Leftrightarrow R^{2} = m^{2} + 4 m^{2} + 5 = 25 \Leftrightarrow 5 m^{2} = 20 \Leftrightarrow m^{2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 12:

Tìm tọa độ tâm I của đường tròn đi qua ba điểm A(0;4), B(2;4), C(4;0).

A.I(0;0).

B.I(1;0).

C.I(3;2).

D.I(1;1).

Xem đáp án

Gọi đường tròn có phương trình $x^{2} + y^{2} + 2 a x + 2 b y + c = 0 (C)$

$A, B, C \in (C) \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 16 + 8 b + c = 0 \\ 20 + 4 a + 8 b + c = 0 \\ 16 + 8 a + c = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 1 \\ c = - 8 \end{matrix} \to I (1; 1)$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 13:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phương trình đường tròn $(C m) : x^{2} + y^{2} - 2 m x + (4 m + 2) y - 6 m - 5 = 0$ (m là tham số). Tập hợp các điểm Im là tâm của đường tròn (Cm) khi m thay đổi là:

A.Parabol $(P) : y = - 2 x^{2} + 1$

B.Đường thẳng $(d^{'}) : y = 2 x + 1$ .

C.Parabol $(P) : y = - 2 x^{2} + 1$

D.Đường thẳng

(d) : y = - 2 x - 1

Xem đáp án

Đường tròn $(C_{m}) : x^{2} + y^{2} - 2 m x + (4 m + 2) y - 6 m - 5 = 0$ có tâm $I_{m} (m; - 2 m - 1)$

Dễ thấy $2 x_{I} + y_{I} = 2. m + (- 2 m - 1) = - 1$

Vậy Im thuộc đường thẳng $2 x + y = - 1 \Leftrightarrow y = - 2 x - 1$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 14:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng $d_{1} : x + y + 5 = 0, d_{2} : x + 2 y - 7 = 0$ và tam giác ABC có A(2;3), trọng tâm là G(2;0), điểm B thuộc d1 và điểm Cthuộc d2. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. $x^{2} + y^{2} - \frac{83}{27} x + \frac{17}{9} y + \frac{338}{27} = 0$

B. $x^{2} + y^{2} - \frac{83}{54} x + \frac{17}{18} y - \frac{338}{27} = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + \frac{83}{27} x + \frac{17}{9} y - \frac{338}{27} = 0$

d.

x^{2} + y^{2} - \frac{83}{27} x + \frac{17}{9} y - \frac{338}{27} = 0

Xem đáp án

- Điểm B thuộc $d_{1} : x + y + 5 = 0$ nên ta giả sử $B (b; - b - 5)$

Điểm C thuộc $d_{2} : x + 2 y - 7 = 0$ nên ta giả sử $C (7 - 2 c, c)$

Vì tam giác ABC có A(2;3), trọng tâm là G(2;0) nên ta có hệ phương trình

$\{\begin{matrix} 2 + b + 7 - 2 c = 6 \\ 3 - b - 5 + c = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} b - 2 c = - 3 \\ - b + c = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} c = 1 \\ b = - 1 \end{matrix}$

Suy ra B(−1;−4) và C(5;1)

- Giả sử phương trình đường tròn cần lập có dạng $x^{2} + y^{2} + 2 a x + 2 b y + c = 0$ Vì đường tròn qua 33 điểm A(2;3), B(−1;−4) và C(5;1) nên ta có hệ phương trình:

$\{\begin{matrix} 4 a + 6 b + c = - 13 \\ - 2 a - 8 b + c = - 17 \\ 10 a + 2 b + c = - 26 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = \frac{- 83}{54} \\ b = \frac{17}{18} \\ c = - \frac{338}{27} \end{matrix}$

Vậy phương trình đường tròn là:

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + 2. (- \frac{83}{54}) x + 2. (\frac{17}{18}) y - \frac{338}{27} = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - \frac{83}{27} x + \frac{17}{9} y - \frac{338}{27} = 0 \end{array}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 15:

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $(d) : 3 x - 4 y + 5 = 0$ và đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 9 = 0$ . Tìm những điểm M thuộc (C) và N thuộc (d) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.

A. $M (- \frac{11}{5}; \frac{23}{5}), N (\frac{1}{5}; \frac{7}{5})$

B. $M (- \frac{2}{5}; \frac{11}{5}), N (\frac{1}{5}; \frac{7}{5})$

C. $M (- \frac{2}{5}; \frac{11}{5}), N (1; 2)$

d. $M (- \frac{11}{5}; \frac{23}{5}), N (1; 2)$

Xem đáp án

Đường tròn (C) có tâm I(−1;3) và bán kính $R = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 3^{2} - 9} = 1$

Ta có: $d (I; d) = \frac{|3. (- 1) - 4.3 + 5|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = 2 > R$

Suy ra d không cắt (C).

Ta có $I M + M N \geq I N \Leftrightarrow M N \geq I N - R$

MN min ⇔ IN đạt min ⇔⇔ N là chân hình chiếu vuông góc của I xuống đường thẳng d.

Giả sử $N (a; b)$ .Vì $N \in d$ nên ta có $3 a - 4 b + 5 = 0 (1)$

Mặt khác, ta có: IN vuông góc với d nên $\vec{I N} . \vec{u_{d}} = 0$ . Mà

$\vec{I N} = (a + 1; b - 3), \vec{u_{d}} = (4; 3)$ .Suy ra ta có:

$4 (a + 1) + 3 (b - 3) = 0 \Leftrightarrow 4 a + 3 b - 5 = 0 (2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{matrix} 4 a + 3 b - 5 = 0 \\ 3 a - 4 b + 5 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = \frac{1}{5} \\ b = \frac{7}{5} \end{matrix} \Rightarrow N (\frac{1}{5}; \frac{7}{5})$

Vì $d (I; d) = 2 R$ nên M là trung điểm của IN. Do đó, tọa độ của M là:

$\{\begin{matrix} x_{M} = \frac{1}{2} (- 1 + \frac{1}{5}) = - \frac{2}{5} \\ y_{M} = \frac{1}{2} (3 + \frac{7}{5}) = \frac{11}{5} \end{matrix} \Rightarrow M (- \frac{2}{5}; \frac{11}{5})$

Đáp án cần chọn là: B