31 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Phương trình lượng giác cơ bản

Câu 1:

Với giá trị nào của m dưới đây thì phương trình sinx = m có nghiệm?

A. m = −3

B. m = −2

C. m = 0

D. m = 3

Xem đáp án

Phương trình sinx = m có nghiệm nếu |m| ≤ 1 và vô nghiệm nếu |m| > 1

Đáp án A: |m| = |−3| = 3 > 1 => Loại

Đáp án B: |m| = |−2| = 2 > 1 => Loại

Đáp án C: |m| = |0| = 0 ≤ 1 => Nhận

Đáp án D: |m| = |3| = 3 > 1 => Loại

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Cho phương trình sinx = sinα. Chọn kết luận đúng.

A. $[\begin{matrix} x = α + k π \\ x = π - α + k π \end{matrix} (k \in Z)$

B. $[\begin{matrix} x = α + k 2 π \\ x = π - α + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

C. $[\begin{matrix} x = α + k 2 π \\ x = - α + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

D. $[\begin{matrix} x = α + k π \\ x = - α + k π \end{matrix} (k \in Z)$

Xem đáp án

$sinx = s i n α \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = α + k 2 π \\ x = π - α + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3:

Nghiệm của phương trình sin x = - 1 là:

A. $x = - \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

B. $x = \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

C. $x = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z)$

D. $x = - π + k 2 π (k \in Z)$

Xem đáp án

Ta có:

$\sin x = - 1$

$\Leftrightarrow sinx = s i n (- \frac{π}{2})$

$\Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 4:

Nghiệm của phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ thỏa mãn $- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}$ là:

A. $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π$

B. $x = \frac{π}{6}$

C. $x = \frac{5 π}{6}$

D. $x = \frac{π}{3}$

Xem đáp án

Bước 1:

Ta có: $\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{π}{6}$

Bước 2:

$[\begin{matrix} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

Bước 3:

+ Xét $x = \frac{π}{6} + k 2 π$

Ta có: $- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}$

$\Leftrightarrow - \frac{π}{2} \leq \frac{π}{6} + k 2 π \leq \frac{π}{2}$

$\Leftrightarrow - \frac{2 π}{3} \leq k 2 π \leq \frac{π}{3}$

$\Leftrightarrow - \frac{2 π}{3.2 π} \leq k \leq \frac{π}{3.2 π}$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{3} \leq k \leq \frac{1}{6}$

Mà $k \in Z \Rightarrow k = 0$ . Thay vào x ta được: $x = \frac{π}{6}$

+ Xét $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π$

Ta có: $- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}$

$\Leftrightarrow - \frac{π}{2} \leq \frac{5 π}{6} + k 2 π \leq \frac{π}{2}$

$\Leftrightarrow - \frac{4 π}{3} \leq k 2 π \leq - \frac{π}{3}$

$\Leftrightarrow - \frac{4 π}{3.2 π} \leq k \leq - \frac{π}{3.2 π}$

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3} \leq k \leq - \frac{1}{6}$

Mà k∈Z nên không có giá trị k thỏa mãn

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là $x = \frac{π}{6}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 5:

Số nghiệm của phương trình $2 \sin (x + \frac{π}{4}) - 2 = 0$ với $π \leq x \leq 5 π$

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Ta có:

$2 \sin (x + \frac{π}{4}) - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = 1$

$\Leftrightarrow x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + k 2 π$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k 2 π (k \in Z)$

Mà $π \leq x \leq 5 π$

$\Leftrightarrow π \leq \frac{π}{4} + k 2 π \leq 5 π$

$\Leftrightarrow \frac{3 π}{4} \leq k 2 π \leq \frac{19 π}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{3}{8} \leq k \leq \frac{19}{8}$

$\Rightarrow k \in \{1; 2\}$

Vậy phương trình có hai nghiệm trong đoạn [π; 5π].

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

Phương trình cos 2x = 1 có nghiệm là:

A. $x = k π (k \in Z)$

B. $x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z)$

C. $x = k 2 π (k \in Z)$

D. $x = \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

Xem đáp án

Ta có:

cos2x = 1

⇔ cos2x = cos0

⇔ 2x = k2π

⇔ x = kπ(k∈Z)

Đáp án cần chọn là: A

Câu 7:

Chọn mệnh đề sai:

A. $\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z)$

B. $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π (k \in Z)$

C. $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k 2 π (k \in Z)$

D. $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z)$

Xem đáp án

Đáp án A: $\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z)$ nên A đúng

Đáp án B: $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π (k \in Z)$ nên B đúng, C sai

Đáp án D: $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z)$ nên D đúng

Đáp án cần chọn là: C

Câu 8:

Nghiệm của phương trình sin x. cos x = 0 là:

A. $x = \frac{π}{2} + k 2 π$

B. $x = \frac{k π}{2}$

C. $x = k 2 π$

D. $x = \frac{π}{6} + k 2 π$

Xem đáp án

Bước 1:

$\sin x . \cos x = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin 2 x = 0$

Bước 2:

$\sin 2 x = 0 \Leftrightarrow 2 x = k π \Leftrightarrow x = \frac{k π}{2} (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 9:

Chọn mệnh đề đúng:

A. $\cos x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

B. $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

C. $\cos x \neq - 1 \Leftrightarrow x \neq - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z)$

D. $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z)$

Xem đáp án

Ta có:

+) $\cos x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq k 2 π (k \in Z)$ nên A sai

+) $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$ nên B đúng, D sai.

+) $\cos x \neq - 1 \Leftrightarrow x \neq π + k 2 π (k \in Z)$ nên C sai

Đáp án cần chọn là: B

Câu 10:

Nghiệm của phương trình 2 cos x – 1 = 0 là:

A. $[\begin{matrix} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

B. $[\begin{matrix} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{6} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

C. $[\begin{matrix} x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = \frac{2 π}{3} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

D. $[\begin{matrix} x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{3} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

Xem đáp án

Ta có:

$2 \cos x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{π}{3}$

$\Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 11:

Số nghiệm của phương trình

\sqrt{2} \cos (x + \frac{π}{3}) = 1

với

0 \leq x \leq 2 π

là:

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Ta có: $\sqrt{2} \cos (x + \frac{π}{3}) = 1$

$\Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos \frac{π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x + \frac{π}{3} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x + \frac{π}{3} = - \frac{π}{4} + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - \frac{π}{12} + k 2 π \\ x = - \frac{7 π}{12} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

Vì $0 \leq x \leq 2 π$ nên $0 \leq - \frac{π}{12} + k 2 π \leq 2 π$

$\Leftrightarrow \frac{π}{12} \leq k 2 π \leq \frac{25 π}{12}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{24} \leq k \leq \frac{25}{24}$

$\Rightarrow k = 1$

Và $0 \leq - \frac{7 π}{12} + k 2 π \leq 2 π$

$\Leftrightarrow \frac{7 π}{12} \leq k 2 π \leq \frac{31 π}{12}$

$\Leftrightarrow \frac{7}{24} \leq k \leq \frac{31}{24}$

$\Rightarrow k = 1$

Vậy có hai nghiệm của phương trình trong khoảng [0; 2π].

Đáp án cần chọn là: B

Câu 12:

Nghiệm của phương trình cos 3x = cos x là:

A. $k 2 π (k \in Z)$

B. $k 2 π; \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z)$

C. $\frac{k π}{2} (k \in Z)$

D. $k π; \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z)$

Xem đáp án

Bước 1:

Ta có:

cos3x = cosx

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 3 x = x + k 2 π \\ 3 x = - x + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 x = k 2 π \\ 4 x = k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = k 2 π \\ x = \frac{k π}{2} \end{matrix}$

Bước 2:

+) Với họ nghiệm x = kπ ta có:

Khi k = 0 thì x = 0, điểm biểu diễn là điểm A (Vẫn là điểm đó khi k chẵn)

Khi k = 1 thì x = π, điểm biểu diễn là A' (Vẫn là điểm đó khi k lẻ).

Như thế họ nghiệm x = kπ có 2 điểm biểu diễn là A, A′.

+) Với họ nghiệm $x = \frac{k π}{2}$ ta có:

Như thế họ nghiệm x = kπ có 2 điểm biểu diễn là A, A′.

+) Với họ nghiệm $x = \frac{k π}{2}$ ta có:

Khi k = 0 thì x = 0, điểm biểu diễn là điểm A (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m, tức là k chia hết cho 4)

Khi k = 1 thì $x = \frac{π}{2}$ , điểm biểu diễn là B (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m+1).

Khi k = 2 thì x = π, điểm biểu diễn là A' (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m+2).

Khi k = 3 thì $x = \frac{3 π}{2}$ , điểm biểu diễn là B' (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m+3).

Như thế họ nghiệm $x = \frac{k π}{2}$ có 4 điểm biểu diễn là A, A′, B, B′.

Media VietJack

+) Kết hợp các điểm này lại ta được tổng cộng vẫn là 4 điểm A, A′, B, B′. Mà 4 điểm này là 4 điểm biểu diễn của chính họ nghiệm $x = \frac{k π}{2}$ nên nghiệm của phương trình ban đầu là $x = \frac{k π}{2} (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 13:

Nghiệm của phương trình $\sin^{2} x - \sin x = 0$ thỏa điều kiện: $0 < x < π$

A. $x = \frac{π}{2}$

B. $x = π$

C. x = 0

D. $x = - \frac{π}{2}$

Xem đáp án

Bước 1:

$\sin^{2} x - \sin x = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} \sin x = 0 \\ \sin x = 1 \end{matrix}$

Bước 2:

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = k π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

Bước 3:

Xét x = kπ, k∈Z

Vì 0 < x < π nên nghiệm của phương trình thỏa mãn:

0 < kπ < π ⇔ 0 < k < 1

Ta không thể tìm được số nguyên nào thỏa mãn điều trên

=> Không có số kk trong trường hợp này.

Xét $x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in Z$

Vì 0 < x < π nên nghiệm của phương trình thỏa mãn:
$0 < \frac{π}{2} + k 2 π < π$

$\Leftrightarrow - \frac{π}{2} < k 2 π < \frac{π}{2}$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{4} < k < \frac{1}{4}$ mà k∈Z ⇒ k = 0. Thay vào x ta được:

$x = \frac{π}{2} + 0 = \frac{π}{2}$

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là $x = \frac{π}{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 14:

Nghiệm của phương trình $\sqrt{3} \tan x + 3 = 0$ là:

A. $x = \frac{π}{3} + k π (k \in Z)$

B. $x = - \frac{π}{3} + k 2 π (k \in Z)$

C. $x = \frac{π}{6} + k π (k \in Z)$

D. $x = - \frac{π}{3} + k π (k \in Z)$

Xem đáp án

Ta có:

$\sqrt{3} \tan x + 3 = 0$

$\Leftrightarrow \tan x = - \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow x = - \frac{π}{3} + k π (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 15:

Phương trình

\tan \frac{x}{2} = \tan x

có nghiệm:

A. k2π (k∈Z)

B. kπ (k∈Z)

C. π + k2π (k∈Z)

D. Cả 3 đáp án đúng

Xem đáp án

Bước 1:

Điều kiện: $\{\begin{matrix} \cos x \neq 0 \\ \cos \frac{x}{2} \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \neq \frac{π}{2} + k π \\ \frac{x}{2} \neq \frac{π}{2} + k π \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \neq \frac{π}{2} + k π \\ x \neq π + k 2 π \end{matrix}$

Bước 2:

Ta có: $\tan \frac{x}{2} = \tan x$

$\Leftrightarrow \frac{x}{2} = x + k π$

$\Leftrightarrow - \frac{x}{2} = k π$

$\Leftrightarrow - x = 2 k π$

$\Leftrightarrow x = - k 2 π (k \in Z) (*)$

Đặt k = −l nên:

(*)⇔ x = l2π (l∈Z) (TMĐK)

Đáp án cần chọn là: A

Câu 16:

Phương trình $\sqrt{3} \cos (5 x - \frac{π}{8}) = 0$ có nghiệm là:

A. $x = \frac{π}{8} + k π (k \in Z)$

B. $x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{5} (k \in Z)$

C. $x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{4} (k \in Z)$

D. $x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

Xem đáp án

ĐKXĐ: $\sin (5 x - \frac{π}{8}) \neq 0$

$\Leftrightarrow 5 x - \frac{π}{8} \neq k π$

$\Leftrightarrow x \neq \frac{π}{40} + \frac{k π}{5} (k \in Z)$

Ta có:

$\sqrt{3} \cos (5 x - \frac{π}{8}) = 0$

$\Leftrightarrow \cot (5 x - \frac{π}{8}) = 0$

$\Leftrightarrow 5 x - \frac{π}{8} = \frac{π}{2} + k π$

$\Leftrightarrow 5 x = \frac{5 π}{8} + k π$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{5} (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 17:

Nghiệm của phương trình $\tan (2 x - 15 °) = 1$ , với $- 90 ° < x < 90 °$ là:

A. $x = - 30 °$

B. $x = - 60 °$

C. $x = 30 °$

D. $x = - 60 °, x = 30 °$

Xem đáp án

Ta có:

tan(2x – 15⁰) = 1 = tan45⁰

⇔ 2x – 15⁰= 45⁰+ k180⁰

⇔ 2x = 60 + k180⁰

⇔ x = 30⁰+ k90⁰

Theo bài ra ta có:

−90⁰< x < 90⁰

⇔ −90⁰< 30⁰+ k90⁰< 90⁰

⇔ −120⁰< k90⁰< 60⁰

$\Leftrightarrow - \frac{4}{3} < k < \frac{2}{3}$

Mà k∈Z ⇒ k∈{0;−1}

Với k = 0 ta có nghiệm x = 30⁰.

Với k = −1 ta có nghiệm x = 30⁰– 90⁰= −60⁰

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn là $x = - 60 °, x = 30 °$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 18:

Nghiệm của phương trình cot x = cot 2x là

A. $x = \frac{k π}{2} (k \in Z)$

B. $x = k π (k \in Z)$

C. $x = k 2 π (k \in Z)$

D. Kết quả khác

Xem đáp án

ĐK: $\{\begin{matrix} \sin x \neq 0 \\ \sin 2 x \neq 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \sin 2 x \neq 0$

$\Leftrightarrow 2 x \neq k π$

$\Leftrightarrow x \neq \frac{k π}{2} (k \in Z)$

Ta có: $\cot x = \cot 2 x$

$\Leftrightarrow 2 x = x + k π$

$\Leftrightarrow x = k π (k \in Z)$ (ktm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 19:

Tìm tập xác định D của hàm số sau: $y = \frac{2 \sin x - 1}{\tan 2 x + \sqrt{3}}$

A. D = R\ $\{\frac{π}{6} + k \frac{π}{2}; \frac{π}{4} + k \frac{π}{2} |k \in Z\}$

B. D = R\ $\{- \frac{π}{3} + k π; \frac{π}{2} + k π |k \in Z\}$

C. D = R\ $\{- \frac{π}{6} + k \frac{π}{2} |k \in Z\}$

D. D = R\

\{- \frac{π}{6} + k \frac{π}{2}; \frac{π}{4} + k \frac{π}{2} |k \in Z\}

Xem đáp án

Hàm số $y = \frac{2 \sin x - 1}{\tan 2 x + \sqrt{3}}$ xác định khi:

$\{\begin{matrix} \cos 2 x \neq 0 \\ \tan 2 x \neq - \sqrt{3} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 x \neq \frac{π}{2} + k π \\ 2 x \neq \frac{- π}{3} + k π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \neq \frac{π}{4} + k \frac{π}{2} \\ 2 \neq \frac{- π}{6} + k \frac{π}{2} \end{matrix} (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 20:

Số nghiệm của phương trình $\cos 2 x = \frac{1}{2}$ trên nửa khoảng $(0 °; 360 °]$ là:

A. 8

B. 6

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Ta có: $\cos 2 x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos 2 x = \cos \frac{π}{3}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ 2 x = - \frac{π}{3} + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{6} + k π (k \in Z)$

Trên nửa khoảng (0⁰; 360⁰] tức (0; 2π]. Ta sẽ có các nghiệm thỏa mãn như sau:

+) $0 < x = \frac{π}{6} + k π \leq 2 π$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k \leq \frac{11}{6}$

Mà k∈Z ⇒ k∈{0;1}. Có 2 nghiệm.

+) +) $0 < x = - \frac{π}{6} + k π \leq 2 π$

$\Leftrightarrow \frac{1}{6} < k \leq \frac{13}{6}$

Mà k∈Z ⇒ k∈{1;2}. Có 2 nghiệm

Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 21:

Phương trình $\sin (2 x + \frac{π}{7}) = m^{2} - 3 m + 3$ vô nghiệm khi:

A. – 1 < m < 0

B. – 3 < m < - 1

C. $[\begin{matrix} m < 1 \\ m > 2 \end{matrix}$

D. $[\begin{matrix} m < - 2 \\ m > 0 \end{matrix}$

Xem đáp án

Phương trình $\sin (2 x + \frac{π}{7}) = m^{2} - 3 m + 3$ vô nghiệm khi và chỉ khi:

$[\begin{matrix} m^{2} - 3 m + 3 > 1 \\ m^{2} - 3 m + 3 < - 1 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} m^{2} - 3 m + 2 > 0 \\ m^{2} - 3 m + 4 < 0 (v o n g h i e m) \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} m > 2 \\ m < 1 \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 22:

Giải phương trình lượng giác $\sin (\frac{π}{3} - 3 x) = \sin (x + \frac{π}{4})$ có nghiệm là:

A. $[\begin{matrix} x = \frac{π}{48} + \frac{k π}{2} \\ x = - \frac{5 π}{24} + k π \end{matrix} (k \in Z)$

B. $[\begin{matrix} x = \frac{π}{48} + k π \\ x = - \frac{5 π}{12} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

C. $[\begin{matrix} x = \frac{π}{24} + k π \\ x = - \frac{5 π}{48} + \frac{k π}{2} \end{matrix} (k \in Z)$

D. $[\begin{matrix} x = \frac{π}{24} + k 2 π \\ x = - \frac{5 π}{48} + k π \end{matrix} (k \in Z)$

Xem đáp án

$\sin (\frac{π}{3} - 3 x) = \sin (x + \frac{π}{4})$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \frac{π}{3} - 3 x = x + \frac{π}{4} + k 2 π \\ \frac{π}{3} - 3 x = π - x - \frac{π}{4} + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} - 4 x = - \frac{π}{12} + k 2 π \\ - 2 x = \frac{5 π}{12} + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{48} + \frac{k π}{2} \\ x = - \frac{5 π}{24} + k π \end{matrix}$ $(K \in Z)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 23:

Nghiệm của phương trình sin 3x = cos x là:

A. $x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{2}, x = \frac{π}{4} + k π (k \in Z)$

B. $x = k 2 π, x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z)$

C. $x = k π, x = \frac{π}{4} + k π (k \in Z)$

D. $x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{2}, x = - \frac{π}{4} + k π (k \in Z)$

Xem đáp án

Ta có: $\sin 3 x = \cos x$

$\Leftrightarrow \sin 3 x = \sin (\frac{π}{2} - x)$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 3 x = (\frac{π}{2} - x) + k 2 π \\ 3 x = π - (\frac{π}{2} - x) + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 4 x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ 2 x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{2} \\ x = \frac{π}{4} + k π \end{matrix} (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 24:

Tập nghiệm của phương trình $\tan x . \cot x = 1$ là:

A. R\ $\{\frac{k π}{2}, k \in Z\}$

B. R\ $\{\frac{π}{2} + k π, k \in Z\}$

C. R\ $\{k π, k \in Z\}$

D. R

Xem đáp án

Điều kiện xác định: $\{\begin{matrix} \cos x \neq 0 \\ \sin x \neq 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \neq \frac{π}{2} + k π \\ x \neq k π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow x \neq \frac{k π}{2}$

→D = R\ $\{\frac{k π}{2}, k \in Z\}$

Do $\tan x . \cot x = 1, \forall x \in D$ nên tập nghiệm của phương trình là R\ $\{\frac{k π}{2}, k \in Z\}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 25:

Phương trình

\cos 11 x \cos 3 x = \cos 17 x \cos 9 x

có nghiệm là:

A. $x = \frac{k π}{6}, x = \frac{k π}{10}$

B. $x = \frac{k π}{6}, x = \frac{k π}{20}$

C. $x = \frac{k π}{3}, x = \frac{k π}{20}$

D. $x = \frac{k π}{3}, x = \frac{k π}{10}$

Xem đáp án

Bước 1:

$\cos 11 x \cos 3 x = \cos 17 x \cos 9 x$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} . [\cos (11 x + 3 x) + \cos (17 x - 3 x)] = \frac{1}{2} . [\cos (17 x + 9 x) + \cos (17 x - 9 x)]$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} . [\cos 14 x + \cos 8 x] = \frac{1}{2} . [\cos 26 x + \cos 8 x]$

$\Leftrightarrow \cos 14 x + \cos 8 x = \cos 26 x + \cos 8 x$

Bước 2:

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 26 x = 14 x + k 2 π \\ 26 x = - 14 x + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 12 x = k 2 π \\ 40 x = k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{k π}{6} \\ x = \frac{k π}{20} \end{matrix} (k \in Z)$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x = \frac{k π}{6}, x = \frac{k π}{20}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 26:

Phương trình cot 20x = 1 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng [−50π; 0]?

A. 980

B. 51

C. 981

D. 1000

Xem đáp án

Ta có: $\cot 20 x = 1$

$\Leftrightarrow 20 x = \frac{π}{4} + k π$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{80} + \frac{k π}{20} (k \in Z)$

Theo bài ra ta có:

$x \in [- 50 π; 0]$

$\Leftrightarrow - 50 π \leq \frac{π}{80} + \frac{k π}{20} \leq 0$

$\Leftrightarrow - 50 \leq \frac{1}{80} + \frac{k}{20} \leq 0$

$\Leftrightarrow - \frac{4001}{4} \leq k \leq - \frac{1}{4}$

⇔ −1000,25 ≤ k ≤ −0,25

Mà kϵZ ⇒ −1000 ≤ k ≤ −1

⇒ kϵ{−1000; −999; ....; −2; −1}

Tập trên có – 1 − (−1000) + 1 = 1000 phần tử suy ra có 1000 giá trị nguyên của k thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1000 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 27:

Cho phương trình $\sin (2 x - \frac{π}{5}) = 3 m^{2} + \frac{m}{2}$ . Biết $x = \frac{11 π}{60}$ là một nghiệm của phương trình. Tính m.

A. $[\begin{matrix} m = 1 \\ m = \frac{1}{2} \end{matrix}$

B. $[\begin{matrix} m = - \frac{3}{2} \\ m = 0 \end{matrix}$

C. $[\begin{matrix} m = - \frac{1}{4} \\ m = \frac{2}{3} \end{matrix}$

D. $[\begin{matrix} m = - \frac{1}{2} \\ m = \frac{1}{3} \end{matrix}$

Xem đáp án

Thay $x = \frac{11 π}{60}$ vào phương trình ta có:

$\sin (2. \frac{11 π}{60} - \frac{π}{5}) = 3 m^{2} + \frac{m}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \frac{π}{6} = 3 m^{2} + \frac{m}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} = 3 m^{2} + \frac{m}{2}$

$\Leftrightarrow 6 m^{2} + m = 1$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} m = \frac{1}{3} \\ m = - \frac{1}{2} \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 28:

Phương trình lượng giác $\frac{\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin x - \frac{1}{2}} = 0$ có nghiệm là:

A. $x = \frac{π}{6} + k 2 π$

B. Vô nghiệm

C. $x = - \frac{π}{6} + k 2 π$

D. $x = \pm \frac{π}{6} + k 2 π$

Xem đáp án

ĐKXĐ: $\sin x - \frac{1}{2} \neq 0 \Rightarrow \sin x \neq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x \neq \frac{π}{6} + k 2 π \\ x \neq \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

Ta có: $\frac{\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin x - \frac{1}{2}} = 0$

$\Leftrightarrow \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

$\Leftrightarrow \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{6} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

Đối chiếu ĐKXĐ ta thấy chỉ có nghiệm $x = - \frac{π}{6} + k 2 π (k \in Z)$ thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - \frac{π}{6} + k 2 π (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 29:

Nghiệm của phương trình $\tan 4 x . \cot 2 x = 1$ là:tan4x

A. $k π, k \in Z$

B. $\frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, k \in Z$

C. $\frac{k π}{2}, k \in Z$

D. Vô nghiệm

Xem đáp án

ĐKXĐ: $\{\begin{matrix} \cos 4 x \neq 0 \\ \sin 2 x \neq 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 4 x \neq \frac{π}{2} + k π \\ 2 x \neq k π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \neq \frac{π}{8} + \frac{k π}{4} \\ x \neq \frac{k π}{2} \end{matrix}$

Khi đó, dễ thấy cot 2x ≠ 0 (Nếu cot 2x = 0 thì phương trình thành 0 = 1 => Vô nghiệm) nên phương trình tương đương:

$\tan 4 x . \cot 2 x = 1$

$\Leftrightarrow \tan 4 x = \frac{1}{\cot 2 x}$

$\Leftrightarrow \tan 4 x = \tan 2 x$

$\Leftrightarrow 4 x = 2 x + k π$

$\Leftrightarrow x = \frac{k π}{2}$

Kết hợp với điều kiện ta được phương trình vô nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 30:

Phương trình $\tan (\frac{π}{2} - x) + 2 \tan (2 x + \frac{π}{2}) = 1$ có nghiệm là:

A. $x = \frac{π}{4} + k 2 π (k \in Z)$

B. $x = \frac{π}{4} + k π (k \in Z)$

C. $x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

D. $x = - \frac{π}{4} + k π (k \in Z)$

Xem đáp án

Bước 1:

Ta có: $\tan (\frac{π}{2} - x) + 2 \tan (2 x + \frac{π}{2}) = 1$

$\Leftrightarrow \cot x - 2 \cot 2 x = 1$

ĐK: $\{\begin{matrix} \sin x \neq 0 \\ \sin 2 x \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \sin 2 x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{k π}{2}$

Bước 2:

Khi đó phương trình tương đương:

$\Leftrightarrow \cot x - 2 \cot 2 x = 1$

$\Leftrightarrow \cot x - 2 \frac{1 - \tan^{2} x}{2 \tan x} = 1$

$\Leftrightarrow \cot x - \frac{\tan x . \cot x - \tan^{2} x}{\tan x} = 1$

$\Leftrightarrow \cot x - (\cot x - \tan x) = 1$

$\Leftrightarrow \tan x = 1$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π (k \in Z)$ (TMĐK)

Đáp án cần chọn là: B

Câu 31:

Phương trình

\cos 3 x = 2 m^{2} - 3 m + 1

. Xác định m để phương trình có nghiệm

x \in (0; \frac{π}{6}]

A. $m \in (0; 1] \cup [\frac{3}{2}; + \infty)$

B. $m \in (- \infty; 1] \cup [\frac{3}{2}; + \infty)$

C. $m \in (0; \frac{1}{2}] \cup [1; \frac{3}{2})$

D. $m \in [0; 1) \cup [\frac{3}{2}; 2)$

Xem đáp án

Bước 1:

Với $x \in (0; \frac{π}{6}] \Rightarrow 3 x \in (0; \frac{π}{2}]$

Hàm số y = cos x nghịch biến trên $(0; \frac{π}{2})$ nên ta có:

$0 < 3 x \leq \frac{π}{2}$

$\Leftrightarrow \cos \frac{π}{2} \leq \cos 3 x \leq c o s 0$

$\Leftrightarrow 0 \leq \cos 3 x \leq 1$

Bước 2:

Do đó phương trình cos3x = 2m²− 3m + 1 có nghiệm khi và chỉ khi:

0 ≤ 2m²− 3m + 1 < 1

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 m^{2} - 3 m + 1 \geq 0 \\ 2 m^{2} - 3 m + 1 < 1 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} [\begin{matrix} m \geq 1 \\ m \leq \frac{1}{2} \end{matrix} \\ 0 < m < \frac{3}{2} \end{matrix}$

Kết hợp nghiệm:

$m \in (0; \frac{1}{2}] \cup [1; \frac{3}{2})$

Đáp án cần chọn là: C