50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay, chọn lọc có lời giải (Đề số 1)

Câu 1:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{3 - x}$ trên đoạn $[- 1; 3] .$

A. $\underset{[- 1; 3]}{m a x f (x)} = 2 \sqrt{3}$

B. $\underset{[- 1; 3]}{m a x f (x)} = 3 \sqrt{2}$

C. $\underset{[- 1; 3]}{m a x f (x)} = 2 \sqrt{2}$

D. $\underset{[- 1; 3]}{m a x f (x)} = 2$

Xem đáp án

Đáp án là C.

• Ta có: $y^{,} = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{3 - x}}$ , cho $y^{,} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in [- 1; 3]$

• Tính được: $y (- 1) = 2; y (3) = 2; y (1) = 2 \sqrt{2}$

Vậy $\underset{[- 1; 3]}{m a x y} = 2 \sqrt{2}$

Câu 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng $y = m - 2 x$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 4}{x + 1}$ tại hai điểm phân biệt

A. $|m| \geq 4$

B. $|m| \leq 4$

C. $|m| > 4$

D. $|m| < 4$

Xem đáp án

Đáp án là C.

• Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: $\frac{2 x + 4}{x + 1} = m - 2 x (x ≢ - 1) \Leftrightarrow 2 x^{2} - (m - 4) x - m + 4 = 0 . (1)$

• Đường thẳng $y = m - 2 x$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 4}{x + 1}$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1

$\Leftrightarrow \{\begin{array}{l} {(m - 4)}^{2} - S (- m + 4) > 0 \\ 2 - (m - 4) (- 1) - m + 4 ≢ 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 16 > 0 \\ 2 ≢ 0 \end{cases} \Leftrightarrow |m| > 4$

Câu 3:

Đồ thị của hàm số $y = \frac{2}{x - 1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án là B.

• Tập xác định: $D = (- \infty; 1) \cup (1; + \infty)$

Ta có:

• $\underset{x \to \pm \infty}{l i m} y = 0$ suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang $y = 0$

• $\underset{x \to 1^{+}}{l i m} y = + \infty$ ; $\underset{x \to 1^{-}}{l i m} y = - \infty$ suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = 1$

Câu 4:

Một lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37, 13, 30 và diện tích xung quanh bằng 480. Tính thể tích của khối lăng trụ.

A. 2010

B. 1080

C. 2040

D. 1010

Xem đáp án

Đáp án là B.

• Gọi $x$ là đường cao của lăng trụ và $S_{1}; S_{2}; S_{3}$ lần lượt là diện tích các mặt bên của lăng trụ.

• Theo giả thiết $S_{1} + S_{2} + S_{3} = 480 \Rightarrow 30 x + 13 x + 37 x = 480 \Rightarrow x = 6$

• Diện tích tam giác đáy của lăng trụ $S = 180$ (Công thức Hê - rông).

• Thể tích khối lăng trụ $V = x . S = 6.180 = 1080$

Câu 5:

Cho hàm số $y = f (x) = |x + 2|$ mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số $f (x)$ là hàm chẵn.

B. Hàm số $f (x)$ không tồn tại đạo hàm tại điểm $x = - 2$

C. Hàm số $f (x)$ liên tục trên $ℝ$

D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x)$ bằng 0

Xem đáp án

Đáp án là A.

• Đáp án A sai,các câu còn lại đúng.

Vì

• Xét hàm số $y = f (x) = |x + 2|$

+ Tập xác định : $D = ℝ$

+ $\forall x \in ℝ \Rightarrow - x \in ℝ$

+ $f (- x) = |- x + 2| = |x - 2| ≢ \pm f (x)$ . Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ trên $ℝ$ .

+ $y = f (x) = |x + 2| = \sqrt{x^{2} + 4 x + 4} \Rightarrow y^{,} = \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + 4 x + 4}}, x ≢ - 2$

Câu 6:

Số giao điểm của hai đồ thị $y = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ và $y = x^{2} - 2$ là

A. 2

B. 0

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Đáp án là A.

• Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 = x^{2} - 2 \Leftrightarrow x^{4} - 4 x^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2}$

Vậy số giao điểm là 2.Chọn A

Câu 7:

Hàm số $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ đồng biến trên khoảng :

A. $(1; 2)$

B. $(- \infty; 1)$

C. $(1; + \infty)$

D. $(0; 1)$

Xem đáp án

Đáp án là D.

• Tập xác định: $D = [0; 2]$

Ta có:

$y^{,} = \frac{1 - x}{\sqrt{2 x - x^{2}}}, c h o y^{,} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

• Xét dấu đạo hàm:

Câu 8:

Cho hàm số bậc 4 có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đó là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 2$

B. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 1$

C. $y = - x^{4} - 2 x^{2} + 1$

D. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 1$

Xem đáp án

Đáp án là B.

Từ đồ thị ta thấy $a < 0$ , mà đồ thị có 3 cực trị nên $a . b < 0 \Rightarrow b > 0$

Câu 9:

Cho hàm số có đồ thị $y = f (x)$ như dưới đây. Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[- 2; 3]$

A. $\underset{[- 2; 3]}{m i n} f (x) = 1$ và $\underset{[- 2; 3]}{m i n} f (x) = 2$

B. $\underset{[- 2; 3]}{m i n} f (x) = - 2$ và $\underset{[- 2; 3]}{m i n} f (x) = 3$

C. $\underset{[- 2; 3]}{m i n} f (x) = 1$ và $\underset{[- 2; 3]}{m i n} f (x) = 3$

D. $\underset{[- 2; 3]}{m i n} f (x) = - 2$ và $\underset{[- 2; 3]}{m i n} f (x) = - 2$

Xem đáp án

Đáp án là B.

Từ đồ thị ta thấy $\underset{[- 2; 3]}{m i n} f (x) = - 2$ và $\underset{[- 2; 3]}{m i n} f (x) = 3$

Câu 10:

Tìm một hình không phải hình đa diện trong các hình dưới đây.

Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4

A. Hình 3

B. Hình 4

C. Hình 2

D. Hình 1

Xem đáp án

Đáp án là D.

* Nhắc lại khái niệm hình đa diện:

· Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

· Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.

Câu 11:

Hình nào sau đây không có mặt phẳng đối xứng?

A. Hình lập phương

B. Hình hộp.

C. Hình bát diện đều.

D. Tứ diện đều.

Xem đáp án

Câu 12:

Hình lập phương có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 9.

B. 3.

C. 6.

D. 8.

Xem đáp án

Đáp án là B.

Có 3 mặt phẳng đối xứng chia hình lập phương thành 2 hình hộp chữ nhật ( nếu đối xứng qua các hình lăng trụ thì có 6 mặt phẳng).

Câu 13:

Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A ⊥ (A B C)$ , $S A = a \sqrt{3}$ . Tam giác ABC vuông cân tại B, $A C = 2 a$ . Thể tích khối chóp $S . A B C$ bằng.

A. $a^{3} \sqrt{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

C. $\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án là D

• Trong tam giác ABC vuông cân tại B có: $A B = B C = \frac{A C}{\sqrt{2}} = a \sqrt{2}$

• Đường cao hình chóp: $S A = a \sqrt{3}$ .Diện tích đáy $S_{∆ A B C} = \frac{1}{2} A B . B C = a^{2} .$

• Thể tích khối chóp: $S_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A S_{∆ A B C} = \frac{a^{8} \sqrt{3}}{3} .$

Câu 14:

Cho hàm số $y = f (x)$ có $\underset{x \to + \infty}{l i m} f (x) = 0$ và $\underset{x \to + \infty}{l i m} f (x) = + \infty$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị của hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị của hàm số đã cho có một tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang.

C. Đồ thị của hàm số đã cho có cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

D. Đồ thị của hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.

Xem đáp án

Đáp án là C.

• Vì $\underset{x \to 0^{+}}{l i m} f (x) = + \infty$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=0 .

• Vì $\underset{x \to + \infty}{l i m} f (x) = 0$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=0 .

Câu 15:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{2 - x}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Đáp án là B.

Hàm số dạng $y = \frac{x - 1}{2 - x}$ có đạo hàm không đổi dấu trên từng khoảng xác định nên không có cực trị

Câu 16:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số

A. $y = - 2 x^{2} + 9 x^{2} - 12 x - 4$

B. $y = x^{3} - 3 x + 2$

C. $y = x^{4} - 3 x + 2$

D. $y = 2 x^{3} - 9 x + 12 x - 4$

Xem đáp án

Đáp án là D.

Hình trên là đồ thị hàm bậc 3 với hệ số $a > 0$ Hàm số có 2 điểm cực trị $x = 1; x = 2$ Chọn D.

Câu 17:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ dưới đây :

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y=2m-1 1cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt.

A. $\{\begin{cases} m = - 5 \\ m = 1 \end{cases}$

B. $m > 3$

C. $1 < m < 3$

D. $\{\begin{cases} m = 3 \\ m = 1 \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án là D.

Để đường thẳng $y = 2 m - 1$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt thì $\{\begin{array}{l} 2 m - 1 = 5 \\ 2 m - 1 = 1 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = 3 \\ m = 1 \end{cases}$

Câu 18:

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên đáy là điểm H nằm trên cạnh AC sao cho $A H = \frac{2}{3} A C$ , mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc $60^{0}$ .Tính thể tích khối chóp S.ABC

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{36}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

Xem đáp án

Câu 19:

Phương trình tất cả các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2017}{\sqrt{x^{2} - 2017}}$ là

A. $y = \sqrt{2017}$

B. $y = 1$

C. $- \sqrt{2017}$

D. $y = 1, y = - 1$

Xem đáp án

Đáp án là D.

Ta có: $\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x + 2017}{\sqrt{x^{2} - 2017}} = \pm 1$

Câu 20:

Hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 4$ đồng biến trên khoảng

A. $(- \infty; - 3)$

B. $(- 1; 3)$

C. (3;+ $\infty$ )

D.(-3;1)

Xem đáp án

Đáp án là B.

• Tập xác định: $D = ℝ$ ; $y^{,} = - 3 x^{2} + 6 x + 9;$ cho $y^{,} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ x = 3 \end{cases}$

• Xét dấu đạo hàm:

Câu 21:

Cho hàm số f có đạo hàm $f' (x) = x {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}$ , số điểm cực tiểu của hàm số f là bao nhiêu?

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Đáp án là D.

• Ta có: $f^{,} (x) = x {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{4} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}$

• Bảng biến thiên:

Câu 22:

Điểm $M (3; - 1)$ thuộc đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^{3} - x + m$ khi m bằng

A. 2

B. 1

C. -1

D. 0

Xem đáp án

Đáp án là B.

• Ta có $y^{,} = 3 x^{2} - 1$ ; Thực hiện phép chia $y$ cho $y^{,}$ ta được: $y = \frac{1}{3} x (3 x^{2} - 1) - \frac{2}{3} x + m$

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại,cực tiểu là $y = \frac{- 2}{3} x + m$

• Thay M(3;-1) $M (3; - 1) \Rightarrow - 1 = \frac{- 2}{3} 3 + m \Rightarrow - 1 = - 2 + m \Rightarrow m = 1$

Câu 23:

Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây có tiệm cận ngang?

A. $y = \frac{3 x^{2} - 1}{x + 1}$

B. $y = x^{4} - x^{2} - 2$

C. $y = \frac{2 - x}{x}$

D. $y = x^{3} - x^{2} + x - 3$

Xem đáp án

Đáp án là C.

• Đồ thị hàm số ở đáp án A có bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên không có tiệm cận ngang.

• Đồ thị hàm số ở đáp án B và D có tập xác định $D = ℝ$ nên không có tiệm cận ngang.

Câu 24:

Tìm gía trị nhỏ nhất của hàm số $- x + 3 - \frac{1}{x + 2}$ trên nửa khoảng $[- 4; - 2)$

A. $\underset{[- 4; - 2]}{m i n} y = 4$

B. $\underset{[- 4; - 2]}{m i n} y = 5$

C. $\underset{[- 4; - 2]}{m i n} y = \frac{15}{2}$

D. $\underset{[- 4; - 2]}{m i n} y = 7$

Xem đáp án

Đáp án là D.

• Ta có: $y^{,} = - 1 - \frac{1}{{(2 + x)}^{2}}$ cho $y^{,} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ x = - 3 \end{cases}$

• Bảng biến thiên:

Từ BBT ta có: $\underset{[- 4; - 2]}{m i n} y = 7$

Câu 25:

Hàm số $y = \frac{x}{x^{2} + 1}$ đồng biến trên khoảng

A. (- $\infty$ ;-1)

B. $(0; + \infty)$

C. (- $\infty$ ;+ $\infty$ )

D. (-1;1)

Xem đáp án

Đáp án là D.

• Ta có: $y^{,} = \frac{1 - x^{2}}{(1 + x}$ ²)2⇒y,=0⇔x=±1

• Bảng biến thiên:

Câu 26:

Tổng diện tích các mặt của khối lập phương bằng 96 . Tính thể tích của khối lập phương đó.

A. 48

B. 84

C. 64

D. 91

Xem đáp án

Đáp án là C.

Gọi cạnh hình vuông là a

Diện tích một mặt hình vuông là nên tổng diện tích tất cả các mặt hình vuông là $6 a^{2}$ .

Ta có: $6 a^{2} = 96 \Rightarrow a^{2} = 16 \Rightarrow a = 4$

Vây $V = a^{3} = 4^{3} = 64$

Câu 27:

Hàm số nào dưới đây không có cực trị?

A. $y = x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 7$

B. $y = \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1}$

C. $y = x^{2}$

D. $y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Xem đáp án

Đáp án là A.

Xét hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 7$

Ta có $y^{,} = 3 x^{2} + 6 x + 6 = 3 {(x + 1)}^{2} + 3 > 0 \forall x \in ℝ$

Do đó hàm số luôn đồng biến trên tập $ℝ$ nên không có cực trị.

Câu 28:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên nửa khoảng $[- 3; 2)$ , có bảng biến thiên như hình vẽ

A. $\underset{[- 3; 2]}{m a x} y = 3$

B. $\underset{[- 3; 2]}{m i n} y = - 2$

C. Giá trị cực tiểu của hàm số là 1.

D. Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$

Xem đáp án

Đáp án là D.

Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$

Câu 29:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh $a, \overset{⏞}{A B C} = 60^{0}$ , cạnh bên SA vuông góc với đáy SA= $a \sqrt{3}$ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

A. $\frac{a^{3}}{4}$ .

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

C. $\frac{a^{3}}{2}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án là C.

Ta có: $S_{A B C} = \frac{1}{2} B A . B C . \sin \overset{⏞}{A B C} = \frac{1}{2} a . a . \sin 60^{0} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \Rightarrow S_{A B C D} = 2 S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$ .

Thể tích của khối chóp S.BCD là:

$V_{S . B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{B C D} = \frac{1}{3} S A . \frac{1}{2} S_{A B C D} = \frac{1}{3} . A = a \sqrt{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{8}}{2}$ .

Câu 30:

Tìm số cạnh ít nhất của hình đa diện có 5 mặt.

A. 9 cạnh.

B. 8 cạnh.

C. 6 cạnh.

D. 7 cạnh.

Xem đáp án

Đáp án là C.

• Số cạnh mỗi mặt. Số mặt bằng 2 số cạnh khối đa diện nên suy ra số cạnh khối đa diện bằng số cạnh mỗi mặt. Số mặt /2.

• Số cạnh mỗi mặt tối thiểu là 3 vậy ta có số cạnh khối đa diện $\geq \frac{3.5}{2} = 7, 5$ suy ra số cạnh ít nhất của khối đa diện 5 mặt là 8 cạnh

Câu 31:

Một khối chóp tam giác có độ dài các cạnh đáy lần lượt là 6,8,10. Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với đáy một góc $60^{0}$ .Tính thể tích khối chóp.

A. $16 \sqrt{3}$

B. $8 \sqrt{3}$

C. $\frac{16 \sqrt{2}}{3}$

D. 16 $π$

Xem đáp án

Đáp án là A.

Ta có tam giác ABC vuông tại B cho nên S=24. Chiều cao SH=SC. $\sin 30^{0}$

Thể tích V= $\frac{1}{3} . 24.2.2 \sqrt{3} = 16 \sqrt{3}$

Câu 32:

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{3 x - 1}{2 x + 1}$ là

A. $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$

B. $(\frac{- 1}{2}; \frac{3}{2})$

C. $(\frac{1}{2}; - \frac{3}{2})$

D. $(- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})$

Xem đáp án

Đáp án là D.

• Đồ thị có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làn lượt là: $x = - \frac{1}{2}; y = \frac{3}{2}$

• Giao điểm hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Câu 33:

Gọi $∆$ là tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} - 5$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $∆$ song song với trục hoành

B. $∆$ có hệ số góc dương.

C. $∆$ có hệ số góc bằng –1.

D. song song với đường thẳng $y = - 5$

Xem đáp án

Đáp án là A.

• Ghi chú: Tiếp tuyến tại điểm cực trị của hàm số bậc 3 song song với trục hoành.

Ta có: + $y^{,} = x^{2} - 4 x + 3$ ; $y^{,} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ x = 3 \end{cases}$

+ $y^{,,} = 2 x - 4$ ; $y^{,,} (3) = 2 > 0$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3 \Rightarrow y = - 5$

Phương trình tiếp tuyến là $y = - 5$ . Vậy tiếp tuyến song song với trục hoành.

Câu 34:

Cho hình hộp $A B C D . A^{,} B^{,} C^{,} D^{,}$ gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính tỉ số thể tích của khối chóp O.ABC và khối hộp $A B C D . A^{,} B^{,} C^{,} D^{,}$

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{12}$

Xem đáp án

Đáp án là C.

Ta có: $V_{O . A^{,} B^{,} C^{,}} = \frac{1}{2} V_{O . A^{,} B^{,} C^{,} D^{,}}; V_{O . A^{,} B^{,} C^{,} D^{,}} \frac{1}{3} V_{A B C D . A^{,} B^{,} C^{,} D^{,}}$

$V_{O . A^{,} B^{,} C^{,}} = \frac{1}{6} V_{A B C D . A^{,} B^{,} C^{,} D^{,}} \Rightarrow \frac{V_{O . A^{,} B^{,} C^{,}}}{V_{A B C D . A^{,} B^{,} C^{,} D}} = \frac{1}{6}$

Câu 35:

Cho hàm số $y = \frac{3 x + 2}{x - 1}$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên $ℝ \ {1}$

B. Hàm số đồng biến trên $ℝ \ {1}$

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ .

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ .

Xem đáp án

Đáp án là C.

Ta có: $y^{,} = \frac{- 5}{{(x - 1)}^{2}} < 0; \forall ≢ 1 .$

Câu 36:

Đường $x = 0$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào sau đây?

A. $\frac{x + 1}{x (x - 2)}$

B. $\frac{\sin x}{x}$

C. $\frac{\sqrt{x}}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

D. $\frac{x + 1}{|x|}$

Xem đáp án

Đáp án là B.

Do $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Câu 37:

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 4 m^{3}$ có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y=x ?

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án là A.

Ta có: $y^{,} = 3 x^{2} - 6 m x = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x = 2 m \end{cases}$

Để đồ thị hàm số có 2 cực trị thì $m ≢ 0$ suy ra A(0; $4 m^{8}$ ),B(2m;0)

YCBT, ta có $m = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Câu 38:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + m}{x^{2} - 3 x + 2}$ có đúng hai đường tiệm cận.

A. $m = - 1$

B. $m \in {1; 4} .$

C. $m \in {- 1; - 4} .$

D. $m = 4$

Xem đáp án

Đáp án là C.

Ta luôn có 1 đường tiệm cận ngang $y = 1$

Đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận đứng $x^{2} + m = 0$ có nghiệm $x = 1$ hoặc $x = 2 \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 1 \\ m = - 4 \end{cases}$

Câu 39:

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a c > 0; b d > 0$

B. $b d > 0; a d > 0$

C. $b c > 0; a d > 0$

D. $a b < 0; c d > 0$

Xem đáp án

Đáp án là C.

Ta có

• Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang: $y = \frac{a}{c} > 0 \Rightarrow a c > 0 (1)$

• Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng: $y = - \frac{d}{c} > 0 \Rightarrow c d < 0 (2)$

• Đồ thị hàm số cắt $O y$ tại điểm có tung độ: $y = \frac{b}{d} < 0 \Rightarrow b d < 0 (3)$

• Đồ thị hàm số cắt $O x$ tại điểm có hoành độ: $y = - \frac{b}{a} < 0 \Rightarrow a b > 0 (4)$

Từ (3) ta loại A, từ (4) loại D

Từ (1) và (2) $a d c^{2} < 0$ ta loại B

Từ (2) và (3) $b c d^{2} > 0 \Rightarrow b c > 0$ kết hợp với trên ta có đáp án đúng C

Câu 40:

Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = 2 {|x|}^{3} - 9 x^{2} + 12 |x|$ tại 6 điểm phân biệt.

A. $4 < m < 5$

B. $m \leq 4$

C. $m \geq 5$

D. $m = 1$

Xem đáp án

Đáp án là A.

Để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị $y = 2 {|x|}^{8} - 9 x^{2} + 12 |x|$ tại 6 điểm phân biệt thì $4 < m < 5$

Câu 41:

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $\frac{m x - 3}{2 x - m}$ đồng biến trên cùng khoảng xác định là

A. $(- \sqrt{6}; 6]$

B. $[- \sqrt{6}; 6)$

C. $[- 6; 6]$

D. $(- \sqrt{6}; \sqrt{6})$

Xem đáp án

Đáp án là D.

Tập xác định: $D = ℝ \ \{\frac{m}{2}\}; y^{,} = \frac{- m^{2} + 6}{{(2 x - m)}^{2}}$

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi:

$y^{,} > 0, \forall x \in D \Leftrightarrow - m^{2} + 6 > 0 \Leftrightarrow m \in (- \sqrt{6}; \sqrt{6}) .$ .

Câu 42:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x + \sin^{2} x$ trên đoạn $[0; π]$

A. $π$

B. 0

C. $\frac{3 π}{4} + \frac{1}{2}$

D. $\frac{3 π}{4}$

Xem đáp án

Đáp án là A.

Ta có: $y^{,} = 1 + 2 \sin x \cos x = 1 + \sin 2 x$

$y^{,} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ$

Vì $x \in [0; π]$ nên $x = \frac{3 π}{4}$

Tính được: $y (0) = 0$ ; $y (π) = π$ ; $y (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{4} + \frac{1}{2}$

Vậy: $\underset{[0; π]}{m a x} y = y (π) = π$ .

Câu 43:

Cho tứ diện ABCD có $A B = 2, A C = 3, A D = B C = 4, B D = 4, B D = 2 \sqrt{5}, C D = 5$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD gần nhất với giá trị nào sau đây.

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án là C.

Ta có: $A D^{2} + A C^{2} = D C^{2}$ nên tam giác ADC vuông tại A hay $A D ⊥ A C$ .

$A D^{2} + A B^{2} = D B^{2}$ nên tam giác ADB vuông tại A hay $A D ⊥ A B$ .

Khi đó $A D ⊥ (A B C)$ .

Dựng hình bình hành ACBE .Khi đó $A C / / (B D E)$

Suy ra $d (A C, B D)$ = $d (A C, (B D E)) = d (A, (B D E))$ .

Kẻ $A F ⊥ B E$ .Khi đó $B E ⊥ (D A F)$ . Kẻ $A G ⊥ D F$ thì $A G ⊥ (D B E)$ .

$P_{A B E} = \frac{9}{2} \Rightarrow S_{A B E} = \frac{3 \sqrt{15}}{4} = \frac{1}{2} . A F . B E \Rightarrow A F = \frac{\sqrt{15}}{2} . \frac{1}{A G^{2}} = \frac{1}{A F^{2}} + \frac{1}{D A^{2}} \Rightarrow A G = \sqrt{\frac{240}{79}}$

Câu 44:

Biết rằng hàm số $y = \sin 2 x + b \cos 2 x - x (0 < x < π)$ đạt cực trị tại các điểm $x = \frac{π}{6}$ và $x = \frac{π}{2}$ Tính giá trị của biểu thức T = a-b

A. $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

B. $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

C. $\sqrt{3} - 1$

D. $\sqrt{3} + 1$

Xem đáp án

Đáp án là B.

Ta có $y^{,} = 2 a . \cos 2 x - 2 b \sin 2 x - 1$ .Để hàm số đạt cực trị các điểm $x = \frac{π}{2}$ và $x = \frac{π}{2}$ thì $\{\begin{cases} y^{,} (\frac{π}{6}) = 0 \\ y^{,} (\frac{π}{2}) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} a - \sqrt{3 b} - 1 = 0 \\ - 2 a - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} a = - \frac{1}{2} \\ b = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \Rightarrow a - b = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

Câu 45:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[- 1; 2]$ , có đồ thị của hàm số $y = f (x)$ như hình sau:

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm $y = f (x)$ trên đoạn $[- 1; 2]$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $M = f (\frac{1}{2})$

B. $M = m a x {f (- 1); f (1); f (2)}$

C. $M = f (\frac{3}{2})$

D. $M = f (0)$

Xem đáp án

Đáp án là B.

Từ đồ thị của hàm số $y^{,} = f (x)$ ta có bảng biến thiên của hàm số $y = f (x)$ như hình vẽ:

Từ bảng biến thiên ta có: $M = m a x {f (- 1); f (1); f (2)}$

Câu 46:

Đồ thị của hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c$ cho như hình bên.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $a > 0, b < 0, c > 0$

B. $a > 0, b > 0, c > 0$

C. $a < 0, b > 0, c > 0$

D. $a > 0, b > 0, c < 0$

Xem đáp án

Đáp án là A.

Dựa vào hình dáng đồ thị nên $a > 0$

Ta có đồ thị hàm số giao trục hoành tại điểm:(0;c) $\Rightarrow c > 0$ .

Hoành độ các điểm cực trị là nghiệm phương trình:

$y^{,} = 0 \Leftrightarrow 3 a x^{2} + 2 b x = 0 \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - \frac{2 b}{3 a} \end{array} \Rightarrow - \frac{2 b}{3 a} > 0 \Rightarrow b < 0$

Câu 47:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm $x \in [1; 2] .$

$x^{4} + \frac{16}{x^{4}} + 4 (x^{2} + \frac{4}{x^{2}}) - 12 (x - \frac{2}{x}) = m$

A. $- 13 \leq m \leq 11$

B. $- 15 \leq m \leq 9$

C. $- 15 < m < 9$

D. $- 16 \leq m \leq 9$

Xem đáp án

Đáp án là B.

Đặt $t = x - \frac{2}{x}$ Đạo hàm $t^{,} = 1 + \frac{2}{x^{2}} > 0$

Do đó $t (1) \leq t \leq t (2), \forall x \in [1; 2]$ , suy ra $- 1 \leq t \leq 1$

Ta có $x^{2} + \frac{4}{x^{2}} = t^{2} + 4, x^{4} + \frac{16}{x^{4}} = (x$ ²+4x2)2-8=(t²+4)2-8=t4+8t2+8

Phương trình đã cho trở thành

$t^{4} + 8 t^{2} + 8 - 4 (t^{2} + 4) - 12 t = m \Leftrightarrow t^{4} + 4 t^{2} - 12 t = m + 8 (*)$

Phương trình đã cho có nghiệm trong đoạn [1;2] khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm trong [-1;1] Xét hàm số y=f(t)= $t^{4} + 4 t^{2} - 12 t$ trên [-1;1]

Đạo hàm $y^{,} = 4 t^{8} + 8 t - 12, t \in (- 1; 1) . y^{,} = 4 (t - 1) (t^{2} + t + 3) < 0, \forall t \in (- 1; 1)$

Bảng biến thiên:

Do đó để phương trình đã cho có nghiệm trên [1;2] thì $- 7 \leq m + 8 \leq 17 \Leftrightarrow - 15 \leq m \leq 9$

Câu 48:

Tìm tất cả các giá trị tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3} (m - 1) x^{3} - (m - 1) x^{2} - x + 1$ nghịch biến trên $ℝ$

A. $\{\begin{cases} m \geq 1 \\ m \leq 0 \end{cases}$

B. $0 \leq m \leq 1$

C. $\{\begin{cases} m \geq 1 \\ m \leq - 3 \end{cases}$

D. $- 3 \leq m \leq 1$

Xem đáp án

Đáp án là B.

Ta có $y' (x) = (m - 1) x^{2} - 2 (m - 1) x - 1$

TH1. $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ .Khi đó

$y^{,} = - 1 < 0, \forall x \in ℝ$ .Nên hàm só luôn nghịch biếến trên $ℝ$ .

TH2. $m - 1 ≢ 0 \Leftrightarrow m ≢ 1$ .Hàm số luôn nghịch biến trên $ℝ$ khi

$y^{,} \leq 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow (m - 1) x^{2} - 2 (m - 1) x - 1 \leq 0, \forall x \in ℝ$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} m - 1 < 0 \\ ∆' \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} m < 1 \\ m (m - 1) \leq 0 \end{array} \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 1$ . Kết hợp ta được $0 \leq m < 1$ .

Câu 49:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có cạnh đáy bằng a và có thể tích $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ Gọi J là điểm cách đều tất cả các mặt của hình chóp. Tính khoảng cách d từ J đến mặt phẳng đáy.

A. $d = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

B. $d = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $d = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

D. $d = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án là C.

Gọi O là tâm hình vuông ABCD .Ta có đường cao của hình chóp SABCD là SO

$V_{S A B C D} = \frac{1}{3} S 0 . S_{A B C D} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{6} a^{8} = \frac{1}{3} S O . a^{2} \Rightarrow S O = \frac{\sqrt{3}}{2} a .$

Xét tam giác SMO ta có SM= $\sqrt{S 0^{2} + O M^{2}} = \sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{2} a)}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = a$

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD.Khi đó J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SMN. Khi đó ta có MJ là đường phân giác của tam giác SMN.

Suy ra : $\frac{S J}{J O} = \frac{M S}{M O} = \frac{a}{a} = 2 \Rightarrow S J = 2 J O$ .

Mà $S 0 = S J + J O = \frac{\sqrt{3}}{2} a \Leftrightarrow 3 J O = \frac{\sqrt{3}}{2} a \Leftrightarrow J O = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Câu 50:

Biết rằng đường thẳng $d : y = 3 x + m$ (với m là số thực) tiếp xúc với đồ thị hàm số

$(C) : y = x^{2} - 5 x - 8$ Tìm tọa độ tiếp điểm của d và (C) .

A. (4;-12)

B. (4;28)

C. (1;-12)

D. (-1;-2)

Xem đáp án

Đáp án là A.

Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng và đồ thị (C): $\{\begin{cases} x^{2} - 5 x - 8 = 3 x + m \\ 2 x - 5 = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 24 \\ x = 4 \end{cases}$

Suy ra tọa độ tiếp điểm là:(4;-12).