10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Bài tập nâng cao Căn bậc hai có đáp án

Câu 1:

Lựa chọn đáp án đúng nhất:

Căn bậc hai số học của $a^{2}$ – 6ab + 9 $b^{2}$ là:

A. a – 3b

B. 3b – a

C. |a – 3b|

D. $a^{2}$ – 6ab + 9 $b^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $a^{2}$ – 6ab + 9 $b^{2}$ = ${(a - 3 b)}^{2}$

Căn bậc hai số học của $a^{2}$ – 6ab + 9 $b^{2}$ là $\sqrt{{(a - 3 b)}^{2}} = |a - 3 b|$ (vì $|a - 3 b| \geq 0$ )

Câu 2:

Điền đáp án vào chỗ chấm:

Giá trị biểu thức: $D = \frac{3}{5} \sqrt{16} + 2 \sqrt{\frac{16}{25}}$

Đáp số: D = …

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} D = \frac{3}{5} \sqrt{16} + 2 \sqrt{\frac{16}{25}} \\ = \frac{3}{5} \sqrt{4^{2}} + 2 \sqrt{{(\frac{4}{5})}^{2}} \\ = \frac{12}{5} + \frac{8}{5} = 4 \end{array}$

Vậy số phải điền vào chỗ chấm là 4

Câu 3:

Điền đáp án vào chỗ chấm

Cho $x \geq 1$ . Hãy giải phương trình sau: $\sqrt{4 x - 3} = x$

Đáp số: $[\begin{array}{l} x = . .. \\ x = . .. \end{array}$

Xem đáp án

Hướng dẫn

Bước 1: Bình phương hai vế

Bước 2: Phân tích đa thức thành nhân tử và giải phương trình

Lời giải

Ta có: Vì $x \geq 1$ suy ra 4x – 3 > 0 nên:

$\begin{array}{l} \sqrt{4 x - 3} = x \\ \Leftrightarrow 4 x - 3 = x^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + 3 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} - x - 3 x + 3 = 0 \\ \Leftrightarrow x (x - 1) - 3 (x - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 3) (x - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 (tm) \\ x = 1 (tm) \end{array} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {3; 1}

Vậy số cần điền vào chỗ chấm là 1; 3

Câu 4:

Điền số thích hợp vào chỗ chấm:

Hãy viết biểu thức $11 + 6 \sqrt{2}$ thành bình phương của một tổng.

Đáp số: $11 + 6 \sqrt{2} = {(...)}^{2}$

Xem đáp án

Ta có: $11 + 6 \sqrt{2} = 2 + 6 \sqrt{2} + 9$ $= ({\sqrt{2}}^{2}) + 2 .3. \sqrt{2} + 3^{2}$ $= {(\sqrt{2} + 3)}^{2}$

Vậy số cần điền là $\sqrt{2} + 3$

Câu 5:

Điền số thích hợp vào chỗ chấm

Tính $\sqrt{28 \frac{4}{9}} = \frac{...}{...}$

Xem đáp án

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi từ hỗn số về phân số

Bước 2: Với $a \geq 0$ thì $\sqrt{a^{2}} = a$

Lời giải

Ta có: $\sqrt{28 \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{256}{9}} = \sqrt{{(\frac{16}{3})}^{2}} = \frac{16}{3}$

Vậy số cần điền là $\frac{16}{3}$ .

Câu 6:

Điền đáp án vào chỗ chấm:

Cho $a \geq 0$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = a - 10 \sqrt{a} + 15$

Đáp số: $A_{\min}$ = … khi a = …

Xem đáp án

Hướng dẫn

Bước 1: Tách 15 = 25 – 10. Biến đổi biểu thức $A = a - 10 \sqrt{a} + 15 = {(\sqrt{a} - 5)}^{2} - 10$

Bước 2: Đánh giá giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Lời giải

Với $a \geq 0$ , ta có:

$\begin{array}{l} A = a - 10 \sqrt{a} + 15 \\ = {(\sqrt{a})}^{2} - 2 . \sqrt{a} . 5 + 5^{2} - 10 \\ = {(\sqrt{a} - 5)}^{2} - 10 \end{array}$

Vì ${(\sqrt{a} - 5)}^{2} \geq 0$ với mọi $a \geq 0$ nên A $= {(\sqrt{a} - 5)}^{2} - 10 \geq - 10$

Do đó, $A_{\min}$ = −10 $\Leftrightarrow {(\sqrt{a} - 5)}^{2} = 0$ $\Leftrightarrow \sqrt{a} = 5 \Leftrightarrow a = 25$

Vậy cần điền vào chỗ chấm để $A_{\min}$ = −10 khi a = 25

Câu 7:

Điền số thích hợp vào chỗ chấm: $\sqrt{\frac{...}{...}} = 2 \frac{3}{7}$

Xem đáp án

Ta có: $2 \frac{3}{7} = \frac{17}{7} = \sqrt{{(\frac{17}{7})}^{2}} = \sqrt{\frac{289}{49}}$

Vậy số cần điền là: $\frac{289}{49}$

Câu 8:

Điền đáp án vào chỗ chấm:

Cho $a \geq 0$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $A = - a + 6 \sqrt{a} - 1$

Đáp số: $A_{\max}$ = … khi a = …

Xem đáp án

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức A về dạng A = b – ${[f (a)]}^{2}$

Bước 2: Đánh giá A để tìm giá trị lớn nhất

Lời giải

Với $a \geq 0$ , ta có:

$\begin{array}{l} A = - a + 6 \sqrt{a} - 1 \\ = - (a - 6 \sqrt{a} + 1) \\ = - [{(\sqrt{a})}^{2} - 2 .3. \sqrt{a} + 3^{2} - 3^{2} + 1] \\ = - [{(\sqrt{a} - 3)}^{2} - 8] \\ = 8 - {(\sqrt{a} - 3)}^{2} \end{array}$

Vì $- {(\sqrt{a} - 3)}^{2} \leq 0$ với mọi $a \geq 0$ nên $A = 8 - {(\sqrt{a} - 3)}^{2} \leq 8$ với mọi $a \geq 0$

Do đó $A_{Max}$ = 8 $\Leftrightarrow {(\sqrt{a} - 3)}^{2} = 0$ $\Leftrightarrow \sqrt{a} = 3 \Leftrightarrow a = 9$

Vậy để $A_{\max}$ = 8 khi a = 9

Vậy các số cần điền vào chỗ chấm lần lượt là 8; 9

Câu 9:

Điền đáp án vào chỗ chấm:

Cho $a \geq 0$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $A = - 4 a + 8 \sqrt{a} + 3$

Đáp số: $A_{\max}$ = … khi a = …

Xem đáp án

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức A về dạng A = b – ${[f (a)]}^{2}$

Bước 2: Đánh giá A để tìm giá trị lớn nhất

Lời giải

Với $a \geq 0$ , ta có:

$\begin{array}{l} A = - 4 a + 8 \sqrt{a} + 3 \\ = - (4 a - 8 \sqrt{a} - 3) \\ = - [{(2 \sqrt{a} - 2)}^{2} - 7] \\ = 7 - {(2 \sqrt{a} - 2)}^{2} \end{array}$

Vì $− {(2 \sqrt{a} - 2)}^{2} \leq 0$ với mọi $a \geq 0$ nên $A = 7 - {(2 \sqrt{a} - 2)}^{2} \leq 7$ với mọi $a \geq 0$ .

Do đó $A_{\max}$ = 7 $\Leftrightarrow {(2 \sqrt{a} - 2)}^{2} = 0$ $\Leftrightarrow \sqrt{a} = 1 \Leftrightarrow a = 1$

Vậy để $A_{\max}$ = 7 khi a = 1

Vậy các số cần điền vào chỗ chấm lần lượt là 7; 1

Câu 10:

Điền dấu >, <, = thích hợp vào chỗ chấm sau:

So sánh $1 - \frac{2}{\sqrt{23}} ... \frac{3}{5}$

Xem đáp án

Hướng dẫn

Biến đổi về so sánh $1 - \frac{2}{\sqrt{23}}$ và $\frac{3}{5}$

Lời giải

Ta có: $\frac{2}{5} = \frac{2}{\sqrt{25}}$

Vì $\sqrt{23} < \sqrt{25} \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{25}} < \frac{2}{\sqrt{23}}$ $\Rightarrow \frac{2}{5} < \frac{2}{\sqrt{23}}$

Suy ra $1 - \frac{2}{5} > 1 - \frac{2}{\sqrt{23}} \Rightarrow 1 - \frac{2}{\sqrt{23}} < \frac{3}{5}$

Vậy dấu cần điền là <