2 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng có đáp án

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 10: Rèn luyện kĩ năng tìm lời giải bài toán hình học có đáp án

Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng có đáp án

1441 lượt thi
2 câu hỏi
45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn (O). M ; N ; P lần lượt là cá điểm chính giữa các cung nhỏ

\hat{A B}; \hat{B C}; \hat{C A}

. MN và NP cắt AB và AC theo thứ tự ở R và S. Chứng minh rằng: RS // BC và RS đi qua tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Xem đáp án

Cách giải 1: (Hình 1)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn (O). M ; N ; P lần lượt là cá điểm chính giữa các cung nhỏ (ảnh 1)

Xét

△

NBI ta có:

\hat{I B N} = \hat{B_{2}} + \hat{B_{3}}

mà

\hat{B_{2}} = \frac{\hat{C P}}{2}; \hat{B_{3}} = \hat{N A C}

(Góc nội tiếp chắn cung

\hat{N C}

);

\hat{N A C} = \frac{\hat{B A C}}{2}

Do đó

\hat{I B N} = \frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}

$\hat{B I N} = \hat{A_{1}} + \hat{B_{1}} = \frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}$ (Góc ngoài của tam giác ABI)
$\Rightarrow \hat{I B N} = \hat{B I N}$ => $△$ NBI cân tại N => N thuộc trung trực của đoạn thẳng BI.
Ta chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng này chính là RN.
Gọi H là giao điểm của MN và PB. Ta có :
$\hat{B H N} = \frac{1}{2} sđ (\hat{B N} + \hat{A M} + \hat{A P}) = \frac{1}{2} \frac{sđ \hat{B C} + sđ \hat{A B} + sđ \hat{A C}}{2}$
Vì $\hat{B H N}$ là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn và
$\hat{B N} = \frac{\hat{B C}}{2}; \hat{A M} = \frac{\hat{A B}}{2}; \hat{A P} = \frac{\hat{A C}}{2} \Rightarrow \hat{B H N} = \frac{1}{4} . 360^{\circ} = 90^{\circ}$
=> RN là trung trực của đoạn thẳng BI => BR = RI
=> RBI cân tại R $\hat{B_{1}} = \hat{R I B} mà \hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} \Rightarrow \hat{B_{2}} = \hat{RIB}$
=> IR // BC (Vì tạo với các tuyến BI hai góc so le trong bằng nhau)
Cũng chứng minh tương tự ta cũng được IS // BC, từ điểm I ở ngoài đường thẳng BC ta chỉ có thể kẻ được một đường thẳng song song với BC
=> R ; I ; S thẳng hàng.
Vậy RS // BC và RS đi qua tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Cách giải 2: (Hình 2)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn (O). M ; N ; P lần lượt là cá điểm chính giữa các cung nhỏ (ảnh 2)

Theo giả thiết ta có

\hat{M A} = \hat{M B}

do đó MN là phân giác của

\hat{A N B}

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABN ta có:

\frac{R A}{R B} = \frac{N A}{N B}

(1)
Tương tự: NP là phân giác của tam giác ACN =>

\frac{S A}{S C} = \frac{N A}{N C}

(2)
vì

\hat{B N} = \hat{C N}

nên BN = CN kết hợp với (1) và (2) ta được

\frac{R A}{R B} = \frac{S A}{S C}

=> RS // BC (định lý Ta-lét đảo)
Gọi giao điểm của RS với AN là I, của BC và AN là D vì RS // BC nên ta có:

\frac{A I}{I D} = \frac{R A}{R B}

mà

\frac{N A}{N B} = \frac{R A}{R B}

suy ra

\frac{A I}{I D} = \frac{N A}{N B}

△

BND

~

△

ANB (vì có góc

\hat{B N A}

chung và

\hat{B A N} = \hat{N B D}

)
Nên

\frac{N A}{N B} = \frac{A B}{B D}

. Vậy

\frac{A I}{I D} = \frac{A B}{B D}

Suy ra BI là phân giác của góc

\hat{A B C}

Ở trên ta có I thuộc phân giác AN của

\hat{B A C}

ta lại vừa chứng minh I thuộc phân giác

\hat{A B C}

nên I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.( Đpcm)

Câu 2:

Từ một điểm trên đường tròn ngoại tiếp của một tam giác bất kì hạ các đường vuông góc xuống ba cạnh của tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Chứng minh rằng chân của ba đường vuông góc đó thẳng hàng

Từ một điểm trên đường tròn ngoại tiếp của một tam giác bất kì hạ các đường vuông góc xuống ba cạnh của tam giác ABC nội tiếp đường tròn (ảnh 1)

Xem đáp án

Cách giải 1:
Vì

\hat{D} = \hat{E} = 90^{\circ}

=> tứ giác BDPE là tứ giác nội tiếp

\Rightarrow \hat{B E D} = \hat{B P D}

(*)(Góc nội tiếp cùng chắn một cung)

\hat{F} = \hat{E} = 90^{\circ}

=> tứ giác EFCP cũng là tứ giác nội tiếp

\Rightarrow \hat{F E C} = \hat{F P C}

(**) (Góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Vì tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn

\Rightarrow \hat{B P C} = π - \hat{A}

(1)

\begin{matrix} P D ⊥ A B \\ P F ⊥ A C \end{matrix}\} \Rightarrow \hat{D P F} = π - \hat{A}

(2)
Từ (1) và (2)

\Rightarrow \hat{B P C} = \hat{D P F}

\Rightarrow \hat{B P D} = \hat{F P C}

(***)
Từ (*) ; (**) và (***)
= D ; E ; F thẳng hàng.

Cách giải 2:

\begin{matrix} P E ⊥ E C \\ P F ⊥ F C \end{matrix}\} \Rightarrow

Tứ giác EFCP là tứ giác nội tiếp

\Rightarrow \hat{F E P} + \hat{P C F} = 180^{\circ}

(1)
Vì tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn

\Rightarrow \hat{A B P} + \hat{F C P} = 180^{\circ}

Mà

\hat{A B P} + \hat{B D P} = 180^{\circ} \Rightarrow \hat{F C P} = \hat{D B P}

(2)

\begin{matrix} P D ⊥ B D \\ P E ⊥ B C \end{matrix}\} \Rightarrow

Tứ giác EPDB là tứ giác nội tiếp =>

\hat{D B P} = \hat{D E P}

( 3)
Từ (1) ; (2) và (3) ta có :

\hat{P E F} + \hat{D E P} = 180^{\circ}

Suy ra ba điểm D ; E ; F thẳng hàng

Bắt đầu thi ngay