54 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 2-1: Biểu thức chứa chữ có đáp án

Điều kiện: $\{\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt{x} - 1 \neq 0 \\ x - 1 \neq 0 \\ \sqrt{x} + 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Với $x \geq 0, x \neq 1$ ta có: $N = (\frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}) . (\sqrt{x} + 1) = (\frac{\sqrt{x} + 1 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}) . (\sqrt{x} + 1) = \frac{1}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} . (\sqrt{x} + 1) = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$

Vậy $N = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$ với $x \geq 0, x \neq 1$ .

Câu 3:

Cho biểu thức $P = (\frac{\sqrt{x} + 1}{x - 9} - \frac{1}{\sqrt{x} + 3}) (\sqrt{x} - 3)$ . Tìm điều kiện xác định và rút gọn N

Xem đáp án

Điều kiện: $\{\begin{cases} x \geq 0 \\ x - 9 \neq 0 \\ \sqrt{x} + 3 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x \neq 9 \end{cases}$

Với $x \geq 0, x \neq 9$ ta có:

$P = (\frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} +3)(\sqrt{x} -3)} - \frac{1}{\sqrt{x} + 3}) (\sqrt{x} - 3) = [\frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)} - \frac{\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)}] (\sqrt{x} - 3) = \frac{\sqrt{x} + 1 - (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)} . (\sqrt{x} - 3) = \frac{4}{\sqrt{x} + 3}$

Vậy $P = \frac{4}{\sqrt{x} + 3}$ với $x \geq 0, x \neq 9$ .

Câu 4:

Cho biểu thức

Q = \frac{\sqrt{x} - 11}{x - \sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2}

. Tìm điều kiện của x để biểu thức Q có nghĩa, khi đó rút gọn Q.

Xem đáp án

Để Q có nghĩa, điều kiện là: $\{\begin{cases} x \geq 0 \\ x - \sqrt{x} - 2 \neq 0 \\ \sqrt{x} - 2 \neq 0 \\ \sqrt{x} + 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt{x} \neq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x \neq 4 \end{cases}$

Với điều kiện trên ta có:

$Q = \frac{\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{x} - 11}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{x} - 11 - \sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) + (2 \sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} - 11 - (x - 2 \sqrt{x}) + (2 x + \sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{x + 4 \sqrt{x} - 12}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 6)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} + 1}$

Vậy

Q = \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} + 1}

với

x \geq 0

và

x \neq 4

.

Câu 5:

Tính giá trị của biểu thức

A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}

khi x = 9.

Xem đáp án

Thay x = 9 vào A ta được: $A = \frac{\sqrt{9} + 1}{\sqrt{9} - 1} = \frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$

Vậy A = 2 khi x = 9.

Câu 6:

Cho biểu thức

A = \frac{2 x - 3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}

. Tính giá trị của A khi

x = 4 - 2 \sqrt{3}

Xem đáp án

Với $x \geq 0, x \neq 4$ ta có:

$A = \frac{2 x - 3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2} = \frac{(2 x - 4 \sqrt{x}) + (\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} - 2} = \frac{2 \sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) + (\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} - 2} = \frac{(\sqrt{x} - 2) (2 \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 2} = 2 \sqrt{x} + 1$

Khi $x = 4 - 2 \sqrt{3} = {(\sqrt{3})}^{2} - 2. \sqrt{3} .1 + 1^{2} = {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt{3} - 1$ , thay vào A ta được:

$A = 2 \sqrt{x} + 1 = 2 \sqrt{{(\sqrt{3} - 1)}^{2}} + 1 = 2 (\sqrt{3} - 1) + 1 = 2 \sqrt{3} - 1$

Vậy $x = 4 - 2 \sqrt{3}$ thì $A = 2 \sqrt{3} - 1$ .

Ta thấy $x = 4 - 2 \sqrt{3}$ có thể rút gọn bằng cách đưa về bình phương của một hiệu. Do vậy, ta cần rút gọn x trước khi thay vào biểu thức A.

Câu 7:

Cho biểu thức

B = \frac{2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}

, điều kiện

x \geq 0, x \neq 1

a) Rút gọn biểu thức B.

Xem đáp án

a) Với $x \geq 0, x \neq 1$ ta có:

B = \frac{(2 + \sqrt{x}) (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} + \frac{(2 - \sqrt{x}) (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} = \frac{(x + \sqrt{x} - 2) + (- x + \sqrt{x} + 2)}{x - 1} = \frac{2 \sqrt{x}}{x - 1}

Vậy $B = \frac{2 \sqrt{x}}{x - 1}$ với $x \geq 0, x \neq 1$ .

Câu 8:

b) Tính giá trị B khi

x = \sqrt{17 + 12 \sqrt{2}}

Xem đáp án

b) Ta có: $x = \sqrt{17 + 12 \sqrt{2}} = \sqrt{9 + 2.3.2 \sqrt{2} + 8} = \sqrt{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{2}} = 3 + 2 \sqrt{2}$ (thỏa mãn điều kiện $x \geq 0, x \neq 1$ ).

$\sqrt{x} = \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{2 + 2. \sqrt{2} .1 + 1} = \sqrt{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}} = \sqrt{2} + 1$

Thay $x = \sqrt{2} + 1$ vào B ta được: $B = \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{3 + 2 \sqrt{2} - 1} = \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1 + \sqrt{2})} = 1$

Vậy

x = \sqrt{17 + 12 \sqrt{2}}

thì B = 1.

Câu 9:

Cho biểu thức:

C = \frac{x \sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1}

(với

x \neq 1; x \geq 0

). Rút gọn C, sau đó tính giá trị C - 1 khi

x = 2020 + 2 \sqrt{2019}

.

Xem đáp án

Với $x \neq 1; x \geq 0$ ta có:

$C = \frac{{(\sqrt{x})}^{3} + 1}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} - \frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{{(\sqrt{x})}^{3} + 1}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} - \frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(\sqrt{x} + 1) (x - \sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} - \frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} + 1} = \frac{x - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - (\sqrt{x} - 1) = \frac{x - \sqrt{x} + 1 - {(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{\sqrt{x} - 1} = \frac{x - \sqrt{x} + 1 - (x - 2 \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$

Vậy $C = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$ với $x \neq 1; x \geq 0$ .

Suy ra $C - 1 = \frac{\sqrt{x} - (\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} - 1} = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$

Ta có $x = 2020 + 2 \sqrt{2019}$ (thỏa mãn điều kiện $x \neq 1, x \geq 0$ ).

Có $x = 2019 + 2 \sqrt{2019} + 1 = {(\sqrt{2019})}^{2} + 2. \sqrt{2019} .1 + 1^{2} = {(\sqrt{2019} + 1)}^{2} \Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt{2019} + 1$

Thay vào biểu thức C - 1 ta được : $C - 1 = \frac{1}{\sqrt{2019} + 1 - 1} = \frac{1}{\sqrt{2019}}$

Vậy $C - 1 = \frac{1}{\sqrt{2019}}$ khi $x = 2020 + 2 \sqrt{2019}$ .

Câu 10:

Chứng minh rằng với x > 0 và

x \neq 1

thì $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x - \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ .

Xem đáp án

Với x > 0 và $x \neq 1$ ta có:

$V T = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x - \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} = \frac{x - 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} = \frac{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

Vậy với với x > 0 và $x \neq 1$ thì $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x - \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ .

Câu 11:

Cho biểu thức

P = (\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{2}{x - 4}) . (\sqrt{x} - 1 + \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}})

(với x > 0 và

x \neq 4

).

Chúng minh rằng

P = \sqrt{x} + 3

Xem đáp án

Với x > 0 và $x \neq 4$ ta có:

$P = (\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{2}{x - 4}) . (\sqrt{x} - 1 + \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}}) = [\frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 2)}{x - 4} - \frac{2}{x - 4}] . [\frac{(\sqrt{x} - 1) \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}}] = \frac{x + 2 \sqrt{x} + \sqrt{x} + 2 - 2}{x - 4} . \frac{x - \sqrt{x} + \sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}} = \frac{x + 3 \sqrt{x}}{x - 4} . \frac{x - 4}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + 3$

Vậy $P = \sqrt{x} + 3$ với mọi $x > 0, x \neq 4$ .

Câu 12:

Cho biểu thức

P = (\frac{1}{a - 1} + \frac{3 \sqrt{a} + 5}{a \sqrt{a} - a - \sqrt{a} + 1}) [\frac{{(\sqrt{a} + 1)}^{2}}{4 \sqrt{a}} - 1]

với

a > 0, a \neq 1

a) Rút gọn P.

Xem đáp án

a) Với $a > 0, a \neq 1$ ta có:

$P = [\frac{1}{a - 1} + \frac{3 \sqrt{a} + 5}{a (\sqrt{a} - 1) - (\sqrt{a} - 1)}] . [\frac{(a + 2 \sqrt{a} + 1) - 4 \sqrt{a}}{4 \sqrt{a}}] = [\frac{1}{a - 1} + \frac{3 \sqrt{a} + 5}{(a - 1) (\sqrt{a} - 1)}] . \frac{a - 2 \sqrt{a} + 1}{4 \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} - 1 + 3 \sqrt{a} + 5}{(a - 1) (\sqrt{a} - 1)} . \frac{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{4 \sqrt{a}} = \frac{4 \sqrt{a} + 4}{(a - 1) (\sqrt{a} - 1)} . \frac{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{4 \sqrt{a}} = \frac{4 \sqrt{a} + 4}{a - 1} . \frac{\sqrt{a} - 1}{4 \sqrt{a}} = \frac{4 (\sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{a} + 1) (\sqrt{a} - 1)} . \frac{\sqrt{a} - 1}{4 \sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}}$

Câu 13:

b) Đặt

Q = (a - \sqrt{a} + 1) P

. Chứng minh

Q > 1

.

Xem đáp án

b) Ta có: $Q = (a - \sqrt{a} + 1) P = \frac{a - \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}}$

Xét $Q - 1 = \frac{a - \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}} - 1 = \frac{a - \sqrt{a} + 1 - \sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{a - 2 \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}} = \frac{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{\sqrt{a}}$

Vì ${(\sqrt{a} - 1)}^{2} > 0$ và $\sqrt{a} > 0, \forall a > 0, a \neq 1$ nên $Q - 1 > 0 \Rightarrow Q > 1$

Vậy Q > 1 với mọi

a > 0, a \neq 1

.

Câu 14:

Cho hai biểu thức:

A = \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 1}

(với

x \geq 0, x \neq 1

) và

B = (\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1}) : \frac{3}{\sqrt{x} + 1}

(với

x \geq 0, x \neq 4

).

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = \frac{18}{A . B}

.

Xem đáp án

Với $x \geq 0, x \neq 1$ ta có:

$B = (\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1}) : \frac{3}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 1)} . \frac{\sqrt{x} + 1}{3} = \frac{x - 1 - x + 4}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 1)} . \frac{\sqrt{x} + 1}{3} = \frac{3}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 1)} . \frac{\sqrt{x} + 1}{3} = \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \Rightarrow P = \frac{18}{A . B} = \frac{18 (\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} + 2} = 18 - \frac{54}{\sqrt{x} + 2}$

Vì $x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 2 \geq 2 \Rightarrow \frac{54}{\sqrt{x} + 2} \leq \frac{54}{2} = 27$ nên $P = 18 - \frac{54}{\sqrt{x} + 2} \geq 18 - 27 = - 9$

Hay $P \geq - 9, \forall x \geq 0$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy minP = -9 khi x = 0.

Câu 15:

Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $A = (\frac{1}{1 - \sqrt{x}} + \frac{x + 2}{x \sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1}) : \frac{\sqrt{x} - 1}{3}$ , với $x \geq 0, x \neq 1$

Xem đáp án

Với $x \geq 0, x \neq 1$ ta có:

$A = (\frac{1}{1 - \sqrt{x}} + \frac{x + 2}{x \sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1}) : \frac{\sqrt{x} - 1}{3} = \frac{- (x + \sqrt{x} + 1) + x + 2 + \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1) (x + \sqrt{x} + 1)} . \frac{3}{\sqrt{x} - 1} = \frac{3 {(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2} (x + \sqrt{x} + 1)} = \frac{3}{x + \sqrt{x} + 1}$

Vậy $A = \frac{3}{x + \sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0, x \neq 1$

A đạt giá trị lớn nhất $\Leftrightarrow x + \sqrt{x} + 1$ đạt giá trị nhỏ nhất

Vì $x \geq 0$ nên $x + \sqrt{x} + 1 \geq 1 \Rightarrow A = \frac{3}{x + \sqrt{x} + 1} \leq 3$

Đẳng thức xảy ra <=> x = 0. Vậy maxA = 3 khi x = 0.

Ta thấy A có dạng

A = \frac{m}{p (x)}

(với m là hằng số dương, p(x) là một biểu thức chứa biến x), do vậy áp dụng phương pháp 2.

Câu 16:

Cho hai biểu thức $P = \frac{x + 3}{\sqrt{x} - 2}$ và $Q = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5 \sqrt{x} - 2}{x - 4}$ với $x > 0, x \neq 4$ . Tìm giá trị của x để biểu thức $\frac{P}{Q}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án

Với $x > 0, x \neq 4$ ta có:

$Q = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5 \sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} - 2) + 5 \sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{x - 3 \sqrt{x} + 2 + 5 \sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{x + 2 \sqrt{x}}{x - 4} = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$

$\Rightarrow \frac{P}{Q} = \frac{x + 3}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{x}} \geq 2 \sqrt{3}$ (Do bất đẳng thức Cô-si).

Đẳng thức xảy ra khi $\sqrt{x} = \frac{3}{\sqrt{x}} \Leftrightarrow x = 3$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\frac{P}{Q}$ là $2 \sqrt{3}$ khi x = 3.

Câu 17:

Cho biểu thức

P = \frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} - \frac{2 \sqrt{x} - 3}{3 - \sqrt{x}} - \frac{3 (3 \sqrt{x} - 5)}{x - 2 \sqrt{x} - 3}

a) Rút gọn biểu thức P.

Xem đáp án

Điều kiện: $x \geq 0, x \neq 9$ .

a) Với $x \geq 0, x \neq 9$ ta có:

$P = \frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} - \frac{2 \sqrt{x} - 3}{3 - \sqrt{x}} - \frac{3 (3 \sqrt{x} - 5)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 3)} = \frac{(3 \sqrt{x} + 2) (3 - \sqrt{x}) + (2 \sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 1) - 3 (3 \sqrt{x} - 5)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 3)} = \frac{3 x - 9 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} - 6 + 2 x + 2 \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} - 3 - 9 \sqrt{x} + 15}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 3)} = \frac{5 x - 17 \sqrt{x} + 6}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 3)} = \frac{5 x - 15 \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} + 6}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 3)} = \frac{(\sqrt{x} - 3) (5 \sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 3)} = \frac{5 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1}$

Vậy $P = \frac{5 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0, x \neq 9$

.

Câu 18:

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Xem đáp án

b) Ta có $P = \frac{5 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} = \frac{5 \sqrt{x} + 5 - 7}{\sqrt{x} + 1} = 5 - \frac{7}{\sqrt{x} + 1}$

Vì $\frac{7}{\sqrt{x} + 1} > 0$ nên P có giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow \frac{7}{\sqrt{x} + 1}$ lớn nhất $\Leftrightarrow \sqrt{x} + 1$ nhỏ nhất <=> x = 0

Khi đó minP = 5 - 7 = -2

Vậy minP = -2 khi x = 0.

Câu 19:

Cho biểu thức

P = (\frac{x - 4}{x - 3 \sqrt{x} + 2} + 1) : \frac{1}{2 x - 3 \sqrt{x} + 1}

với

x \geq 0, x \neq \frac{1}{4}, x \neq 1, x \neq 4

a) Rút gọn biểu thức P.

Xem đáp án

Với $x \geq 0, x \neq \frac{1}{4}, x \neq 1, x \neq 4$ ta có:

$P = (\frac{x - 4}{x - 3 \sqrt{x} + 2} + 1) : \frac{1}{2 x - 3 \sqrt{x} + 1} = [\frac{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} - 2)} + 1] . (\sqrt{x} - 1) (2 \sqrt{x} - 1) = (\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1} + 1) (\sqrt{x} - 1) (2 \sqrt{x} - 1) = (\sqrt{x} + 2 + \sqrt{x} - 1) (2 \sqrt{x} - 1) = 4 x - 1$

Vậy P = 4x - 1 với $x \geq 0, x \neq \frac{1}{4}, x \neq 1, x \neq 4$ .

Câu 20:

b) Với

x \geq 5

, tìm giá trị nhỏ nhất của

T = P + \frac{10}{x}

.

Xem đáp án

b) Xét $T = P + \frac{10}{x} = 4 x - 1 + \frac{10}{x} = \frac{2 x}{5} + \frac{10}{x} + \frac{10 x}{5} - 1$

Áp dung bất đẳng thức Cô-si ta có: $\frac{2 x}{5} + \frac{10}{x} \geq 2 \sqrt{\frac{2 x}{5} . \frac{10}{x}} = 4$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \frac{2 x}{5} = \frac{10}{x} \Leftrightarrow x = 5$ (do $x \geq 0$ ).

Lại có: $\frac{18 x}{5} \geq 18$ (vì $x \geq 5$ ) nên $T \geq 4 + 18 - 1 = 21$

Vậy minT = 21 khi x = 5.

Câu 21:

Cho biểu thức

A = (\frac{x \sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} - \frac{x \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}}) : \frac{x - 2 \sqrt{x} + 1}{x - 1}

a) Rút gọn biểu thức A.

Xem đáp án

a) Điều kiện: $x > 0, x \neq 1$ .

$A = (\frac{x \sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} - \frac{x \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}}) : \frac{x - 2 \sqrt{x} + 1}{x - 1} = [\frac{(\sqrt{x} - 1) (x + \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} - \frac{(\sqrt{x} + 1) (x - \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)}] : \frac{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} = \frac{x + \sqrt{x} + 1 - x + \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} . \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{2 (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1}$

Vậy $A = \frac{2 (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1}$ với $x > 0, x \neq 1$ .

Câu 22:

b) Tìm x để

|A| > A

Xem đáp án

b) $|A| > A \Leftrightarrow A < 0 \Leftrightarrow \frac{2 (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1} < 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1$

Kết hợp với điều kiện ta được 0 < x < 1 thì $|A| > A$ .

Câu 23:

Cho biểu thức

B = (\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5 \sqrt{x} + 2}{4 - x}) : \frac{3 \sqrt{x} - x}{x + 4 \sqrt{x} + 4}

a) Rút gọn biểu thức B.

Xem đáp án

Điều kiện: $x > 0, x \neq 4, x \neq 9$ .

a) Với $x > 0, x \neq 4, x \neq 9$ ta có:

$B = (\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5 \sqrt{x} + 2}{(2 + \sqrt{x}) (2 - \sqrt{x})}) : \frac{\sqrt{x} (3 - \sqrt{x})}{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}} = \frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 2) - 2 \sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) - (5 \sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} . \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}{\sqrt{x} (3 - \sqrt{x})} = \frac{x + 2 \sqrt{x} + \sqrt{x} + 2 - 2 x + 4 \sqrt{x} - 5 \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} . \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}{\sqrt{x} (3 - \sqrt{x})} = \frac{- x + 2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} . \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} (3 - \sqrt{x})} = \frac{\sqrt{x} (2 - \sqrt{x})}{\sqrt{x} - 2} . \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} (3 - \sqrt{x})} = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3}$

Vậy $B = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3}$ với $x > 0, x \neq 4, x \neq 9$ .

Câu 24:

b) Tìm x để B = 2.

Xem đáp án

b)

B = 2 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3} = 2 \Leftrightarrow \sqrt{x} + 2 = 2 \sqrt{x} - 6 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 8 \Leftrightarrow x = 64

(thỏa mãn điều kiện)

Câu 25:

c) Tìm các giá trị của x để B có giá trị âm.

Xem đáp án

c) $B < 0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3} < 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 3 < 0$ (vì $\sqrt{x} + 2 > 0$ )

\Leftrightarrow \sqrt{x} < 3 \Leftrightarrow x < 9

. Kết hợp với điều kiện ta được 0 < x < 9 và

x \neq 4

.

Câu 26:

Cho biểu thức

P = (\frac{x}{x \sqrt{x} - 4 \sqrt{x}} - \frac{6}{3 \sqrt{x} - 6} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}) : (\sqrt{x} - 2 + \frac{10 - x}{\sqrt{x} + 2})

với x > 0,

x \neq 4

a) Rút gọn biểu thức P.

Xem đáp án

a) Với x > 0, $x \neq 4$ ta có:

$P = (\frac{x}{x \sqrt{x} - 4 \sqrt{x}} - \frac{6}{3 \sqrt{x} - 6} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}) : (\sqrt{x} - 2 + \frac{10 - x}{\sqrt{x} + 2}) = (\frac{x}{\sqrt{x} (x - 4)} - \frac{6}{3 (\sqrt{x} - 2)} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}) : (\frac{x - 4 + 10 - x}{\sqrt{x} + 2}) = (\frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} - \frac{2}{\sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}) . \frac{\sqrt{x} + 2}{6} = \frac{\sqrt{x} - 2 (\sqrt{x} + 2) + \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} . \frac{\sqrt{x} + 2}{6} = \frac{- 6}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} . \frac{\sqrt{x} + 2}{6} = \frac{- 1}{\sqrt{x} - 2}$

Vậy $P = \frac{- 1}{\sqrt{x} - 2}$ với x > 0, $x \neq 4$ .

Câu 27:

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức

Q = (- \sqrt{x} - 1) . P

đạt giá trị nguyên.

Xem đáp án

b) Với $x > 0, x \neq 4$ ta có $Q = (- \sqrt{x} - 1) . P = (- \sqrt{x} - 1) . \frac{- 1}{\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} = 1 + \frac{3}{\sqrt{x} - 2}$

Để Q nguyên thì $\frac{3}{\sqrt{x} - 2} \in ℤ \Leftrightarrow \sqrt{x} - 2 \in Ư (4)$ hay $\sqrt{x} - 2 \in \{- 1; 1; - 3; 3\}$

Ta có bảng:

$\sqrt{x} - 2$	-1	1	-3	3
$\sqrt{x}$	1	3	-1	5
x, $(, x > 0, x \neq 4)$	1 (thỏa mãn)	9 (thỏa mãn)	loại	25 (thỏa mãn)

Vậy

x \in \{1; 9; 25\}

thì Q nhận giá trị nguyên.

Câu 28:

Cho biểu thức

A = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 4}

và

B = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 4} + \frac{5 \sqrt{x} + 12}{x - 16}

với

x \geq 0, x \neq 16

a) Rút gọn biểu thức B.

Xem đáp án

a) Ta có:

$B = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 4} + \frac{5 \sqrt{x} + 12}{x - 16} = \frac{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 4)}{(\sqrt{x} + 4) (\sqrt{x} - 4)} + \frac{5 \sqrt{x} + 12}{(\sqrt{x} + 4) (\sqrt{x} - 4)} = \frac{x - \sqrt{x} - 12 + 5 \sqrt{x} + 12}{(\sqrt{x} + 4) (\sqrt{x} - 4)} = \frac{x + 4 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 4) (\sqrt{x} - 4)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 4}$

Vậy $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 4}$ với $x \geq 0, x \neq 16$ .

Câu 29:

b) Tìm m để phương trình

\frac{A}{B} = m + 1

có nghiệm.

Xem đáp án

b) ta có:

$\frac{A}{B} = m + 1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 4} : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 4} = m + 1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}} = m + 1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 3 - \sqrt{x} (m + 1)}{\sqrt{x}} = 0 \Leftrightarrow \frac{- m \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}} = 0$

Để phương trình $\frac{A}{B} = m + 1$ có nghiệm thì phương trình $\frac{- m \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}} = 0$ có nghiệm, tức là:

$\frac{- m \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}} = 0$ có nghiệm $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ - m \sqrt{x} + 3 = 0 \\ x \neq 16 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ \sqrt{x} = \frac{3}{m} \\ x \neq 16 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{3}{m} > 0 \\ \frac{3}{m} \neq 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 0 \\ m \neq \frac{3}{4} \end{cases}$

Vậy

m > 0, m \neq \frac{3}{4}

thì phương trình

\frac{A}{B} = m + 1

có nghiệm.

Câu 30:

Rút gọn biểu thức: $B = (\frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ với $x > 0, x \neq 1$ .

Tính giá trị của B khi $x = 12 + 8 \sqrt{2}$ .

Xem đáp án

$B = (\frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = \frac{x - 1}{\sqrt{x}} . \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} - 1$

Với $x = 12 + 8 \sqrt{2}$ thay vào B ta được:

$B = \sqrt{12 + 8 \sqrt{2}} - 1 = \sqrt{{(2 + 2 \sqrt{2})}^{2}} - 1 = 2 + 2 \sqrt{2} - 1 = 1 + 2 \sqrt{2}$

Câu 31:

Cho biểu thức $A = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 4}$ và $B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{5 \sqrt{x} - 8}{2 \sqrt{x} - x}$ với $x > 0, x \neq 4, x \neq 16$ .

a) Tính giá trị của A khi x = 25.

Xem đáp án

a) Thay x = 25 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta được: $A = \frac{25 + \sqrt{25} + 1}{\sqrt{25} - 4} = 31$ .

Câu 32:

b) Rút gọn biểu thức B.

Xem đáp án

$b) B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{5 \sqrt{x} - 8}{2 \sqrt{x} - x} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{5 \sqrt{x} - 8}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) - (5 \sqrt{x} - 8)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2)}$

$= \frac{x - \sqrt{x} - 5 \sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2)} = \frac{x - 6 \sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2)} = \frac{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} - 4)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}}$

Câu 33:

c) Cho

P = A . B

. So sánh P với 2

Xem đáp án

c) Ta có: $P = A . B = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 4} . \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}} = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

Xét $P - 2 = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} - 2 = \frac{x - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = \frac{{(\sqrt{x} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}}{\sqrt{x}} > 0, \forall x > 0$

Vậy P > 0 với $x > 0, x \neq 4, x \neq 16$ .

Câu 34:

Cho biểu thức $A = \frac{x + 3}{\sqrt{x} + 3}$ và $B = (\frac{x + 3 \sqrt{x} - 2}{x - 9} - \frac{1}{\sqrt{x} + 3}) . \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0, x \neq 9$ .

a) Tính giá trị của A khi x = 16.

Xem đáp án

a) Thay x = 16 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta được: $A = \frac{16 + 3}{\sqrt{16} + 3} = \frac{19}{7}$ .

Câu 35:

b) Rút gọn biểu thức B.

Xem đáp án

b) $B = (\frac{x + 3 \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)} - \frac{1}{\sqrt{x} + 3}) . \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1} = (\frac{x + 3 \sqrt{x} - 2 - (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)}) . \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1}$

$= \frac{x + 2 \sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)} . \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1} = \frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{2}}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)} . \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$

Câu 36:

c) Cho $P = \frac{A}{B}$ . Tìm giá tri nhỏ nhất của P.

Xem đáp án

c) Ta có: $P = \frac{A}{B} = \frac{x + 3}{\sqrt{x} + 3} : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{x + 3}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} + 1 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1} - 2$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số $\sqrt{x} + 1 > 0$ và $\frac{4}{\sqrt{x} + 1} > 0$ ta được:

$= \sqrt{x} + 1 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1} - 2 \geq 2 \sqrt{(\sqrt{x} + 1) . \frac{4}{\sqrt{x} + 1}} - 2 = 2 \Rightarrow P \geq 2$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt{x} + 1 = \frac{4}{\sqrt{x} + 1} \Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn)

Vậy minP = 2 khi m = 1.

Câu 37:

Cho biểu thức $P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} - \frac{2 (\sqrt{x} + 12)}{x - 9}) . \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 8}$ với $x \geq 0, x \neq 9, x \neq 64$ .

a) Rút gọn biểu thức P.

Xem đáp án

a) Ta có: $P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} - \frac{2 (\sqrt{x} + 12)}{x - 9}) . \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 8} = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} - \frac{2 (\sqrt{x} + 12)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)}) . \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 8}$

$= \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 3) - 2 \sqrt{x} - 24}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)} . \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 8} = \frac{x - 5 \sqrt{x} - 24}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)} . \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 8} = \frac{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 8)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)} . \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 8} = \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 3}$

Vậy $P = \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 3}$ với $x \geq 0, x \neq 9, x \neq 64$ .

Câu 38:

b) Tìm điều kiện của x để $P \leq 1$ .

Xem đáp án

b) Ta có $P \leq 1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 3} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 3} - 1 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{8}{\sqrt{x} - 3} \leq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 3 < 0 \Leftrightarrow x < 9$

Kết hợp với điều kiện $0 \leq x < 9$ và $x \neq 64$

Vậy với $0 \leq x < 9$ và $x \neq 64$ thì $P \leq 1$ .

Câu 39:

Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3}$ và $B = \frac{1}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{4 \sqrt{x}}{x + 2 \sqrt{x} - 3}$ với $x \geq 0, x \neq 1$ .

a) Tính giá trị của biểu thức A khi $x = \frac{16}{9}$ .

Xem đáp án

a) Thay $x = \frac{16}{9}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A có: $A = \frac{\sqrt{\frac{16}{9}} - 1}{\sqrt{\frac{16}{9}} + 3} = \frac{1}{3} : \frac{13}{3} = \frac{1}{13}$ .

Vậy $A = \frac{1}{13}$ khi $x = \frac{16}{9}$ .

Câu 40:

b) Rút gọn biểu thức B.

Xem đáp án

b) Ta có: $B = \frac{1}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{4 \sqrt{x}}{x + 2 \sqrt{x} - 3} = \frac{1}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{4 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)}$

$= \frac{\sqrt{x} - 1 + \sqrt{x} (\sqrt{x} + 3) - 4 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)} = \frac{x - 1}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$

Vậy $B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$ với $x \geq 0, x \neq 1$ .

Câu 41:

c) Tìm x để $\frac{A - 1}{B} \leq - \frac{1}{2}$ .

Xem đáp án

c) Ta có: $\frac{A - 1}{B} = (\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3} - 1) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{\sqrt{x} - 1 - \sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} . \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1} = - \frac{4}{\sqrt{x} + 1}$

Khi đó: $\frac{A - 1}{B} \leq - \frac{1}{2} \Leftrightarrow - \frac{4}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{2} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} - 7}{2 (\sqrt{x} + 1)} \leq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 7 \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 49$

(vì $2 (\sqrt{x} + 1) > 0$ ).

Câu 42:

Cho biểu thức:

A = (\frac{2 \sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1}) : \frac{1}{\sqrt{x} - 1}

. Tìm x để

A = x^{2017} + x^{2018} + 2

.

Xem đáp án

Rút gọn được biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0, x \neq 1$ .

Ta có: $V T = A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \leq 1 + \frac{1}{\sqrt{0} + 1} = 2$ (vì $x \geq 0$ )

Vì $x \geq 0$ nên $A V P = x^{2017} + x^{2018} + 2 \geq 2$ . Do đó VT= VP = 2. Vậy x = 0.

Câu 43:

Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2}$ và $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} + 4}{x - \sqrt{x} - 2}$ với $x \geq 0, x \neq 4$ .

a) Tính giá trị của A khi $x = 7 + 4 \sqrt{3}$ .

Xem đáp án

a) Ta có:

x = 7 + 4 \sqrt{3} = {(2 + \sqrt{3})}^{2} \Rightarrow \sqrt{x} = 2 + \sqrt{3}

, thay vào A ta được:

A = 2 + \sqrt{3}

Câu 44:

b) Chứng minh rằng: $B = \frac{3}{2 - \sqrt{x}}$ .

Xem đáp án

b) HS tự rút gọn biểu thức B.

Câu 45:

c)Tìm x để $\frac{B}{A} < - 1$ .

Xem đáp án

c) $\frac{B}{A} < - 1 \Leftrightarrow \sqrt{x} < 2$ . Tìm x và đối chiếu với điều kiện ta được $0 \leq x < 4$ .

Câu 46:

Cho biểu thức $A = [\frac{2 \sqrt{x} - 9}{x - 5 \sqrt{x} + 6} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} - \frac{2 \sqrt{x} + 1}{3 - \sqrt{x}}] . \frac{x - 3 \sqrt{x}}{x \sqrt{x} + 1}$ .

a) Rút gọn biểu thức A.

Xem đáp án

a) Đáp số: $A = \frac{\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9$ .

Câu 47:

b) Tính giá trị của biểu thức A khi $x = \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{11 - 6 \sqrt{2}} + 12$ .

Xem đáp án

b) Ta có: $x = \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{11 - 6 \sqrt{2}} + 12 = \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}} + \sqrt{{(3 - \sqrt{2})}^{2}} + 12 = 16$

Thay x = 16 vào A ta được: $A = \frac{4}{13}$ .

Câu 48:

c) Tính giá trị lớn nhất của A.

Xem đáp án

c) Khi x = 0 thì A = 0

Khi $x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9$ ta có: $A = \frac{\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2 \Leftrightarrow \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \geq 1 \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} - 1} \leq 1 \Leftrightarrow A \leq 1$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn).

Vậy maxA = 1 khi x = 1.

Câu 49:

Cho hai biểu thức $A = \frac{7}{\sqrt{x} + 8}$ và $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \frac{2 \sqrt{x} - 24}{x - 9}$ với $x \geq 0, x \neq 9$ .

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.

Xem đáp án

a) $a = \frac{7}{13}$ .

Câu 50:

b) Chứng minh $B = \frac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} + 3}$ .

Xem đáp án

b) HS tự rút gọn biểu thức B.

Câu 51:

c) Tìm x để biểu thức $P = A . B$ có giá trị là số nguyên.

Xem đáp án

c) Ta có: $P = A . B = \frac{7}{\sqrt{x} + 8} . \frac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} + 3} = \frac{7}{\sqrt{x} + 3}$

Để P nhận giá trị nguyên thì $\sqrt{x} + 3 \in U (7)$ hay $\sqrt{x} + 3 \in \{- 1; 1; - 7; 7\} \Leftrightarrow x \in \{\frac{1}{4}; 16\}$ .

Câu 52:

Cho biểu thức $P = (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}) : (\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{1 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x}})$ .

a) Chứng minh rằng $P > 0, \forall x > 0, x \neq 1$ .

Xem đáp án

a) Rút gọn được biểu thức $P = \frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{2}}{\sqrt{x}} > 0, \forall x > 0, x \neq 1$ .

Câu 53:

b) Tính giá trị của P biết

x = \frac{2}{2 + \sqrt{3}}

Xem đáp án

b) Ta có $x = \frac{2}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 4 - 2 \sqrt{3} = {(\sqrt{3} - 1)}^{2} \Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt{3} - 1$

Do đó

P = \frac{{(\sqrt{3} - 1 + 1)}^{2}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{3}{\sqrt{3} - 1} = \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{2}

Câu 54:

c) Tìm giá trị x thỏa mãn: $P \sqrt{x} = 6 \sqrt{x} - 3 - \sqrt{x - 4}$ .

Xem đáp án

c) Điều kiện: $x \geq 4$ .

Ta có: $P \sqrt{x} = 6 \sqrt{x} - 3 - \sqrt{x - 4}$

$\Leftrightarrow \frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{2}}{\sqrt{x}} . \sqrt{x} = 6 \sqrt{x} - 3 - \sqrt{x - 4} \Leftrightarrow x + 2 \sqrt{x} + 1 - 6 \sqrt{x} + 3 + \sqrt{x - 4} = 0 \Leftrightarrow x - 4 \sqrt{x} + 4 + \sqrt{x - 4} = 0 \Leftrightarrow {(\sqrt{x} - 2)}^{2} + \sqrt{x - 4} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(\sqrt{x} - 2)}^{2} = 0 \\ \sqrt{x - 4} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 4$