20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Đường kính và dây của đường tròn. Liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây có đáp án

Câu 1:

Cho đường tròn tâm $O$ , bán kính bằng 5 cm và dây $A B = 8 c m$ .

O

đến

A B

.

Xem đáp án

a) Kẻ $O E ⊥ A B (E \in A B)$ , suy ra $E$ là trung điểm của $A B$

$\Rightarrow E B = E A = \frac{A B}{2} = 4 cm$ (quan hệ đường kính và dây cung).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $O E B$ , ta có:

$O E^{2} + E B^{2} = O B^{2} \Rightarrow O E = \sqrt{O B^{2} - E B^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3 cm$ . (1)

Vậy khoảng cách từ $O$ đến $A B$ là 3 cm.

Câu 2:

b) Gọi $I$ là điểm thuộc dây $A B$ sao cho $A I = 1 cm$ . Kẻ dây $C D$ đi qua $I$ và vuông góc với $A B$ . Chứng minh $C D = A B$ .

Xem đáp án

b) Ta có $I E = A E - A I = 4 - 1 = 3 cm$ .

Mà tứ giác $O E I F$ là hình chữ nhật nên $O F = I E = 3 cm$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $O E = O F$ hay khoảng cách từ tâm đến hai dây $A B$ và $C D$ bằng nhau.

$\Rightarrow A B = C D$ (liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây).

Câu 3:

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $A B$ , dây $C D$ không cắt đường kính $A B$ . Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A, B$ lên $C D$ .

Chứng minh $C H = D K$ .

Xem đáp án

Kẻ $O E ⊥ C D (E \in C D) \Rightarrow E$ là trung điểm của $C D$ (quan hệ đường kính và dây cung)

$\Rightarrow E C = E D$ . (1)

Ta có: $A H // B K$ (cùng vuông góc với $C D$ ) nên tứ giác $A H B K$ là hình thang.

Lại có $O E // A H // B K$ và $O$ là trung điểm của $A B$ nên $O E$ là đường trung bình của hình thang $A H B K$

$\Rightarrow E$ là trung điểm của $H K \Rightarrow E H = E K$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $C H = D K$ (đpcm).

Câu 4:

Cho đường tròn $(O; R)$ . Vẽ hai bán kính $O A, O B$ . Trên các bán kính $O A, O B$ lần lượt lấy các điểm $M, N$ sao cho $O M = O N$ . Vẽ dây $C D$ đi qua $M, N$ ( $M$ nằm giữa $C$ và $N$ ).

a) Chứng minh $C M = D N$ .

Xem đáp án

a) Kẻ $O H ⊥ C D (H \in C D) \Rightarrow H C = H D$ (quan hệ đường kính và dây cung). (1)

Theo giả thiết $O M = O N$ nên $∆ O M N$ cân tại $O \Rightarrow H M = H N$ (2)

Lại có $C H = C M + M H; D H = D N + N H$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $C M = D N$ .

Câu 5:

b) Giả sử $\hat{A O B} = 90 °$ . Tính $O M$ theo $R$ sao cho $C M = M N = N D$ .

Xem đáp án

b) Giả sử $C M = M N = N D$ . Đặt $O H = x (x > 0)$ . Ta có: $O M = x \sqrt{2}$ (vì $Δ O M N$ vuông cân);

$M N = N H = x; H D = 3 H N = 3 x$ .

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $H O D$ có:

O H^{2} + H D^{2} = O D^{2} \Leftrightarrow x^{2} + {(3 x)}^{2} = R^{2} \Leftrightarrow 10 x^{2} = R^{2} \Leftrightarrow x = \frac{R}{\sqrt{10}} \Rightarrow O M = \frac{R}{\sqrt{5}}

.

Câu 6:

Xích đạo là một đường tròn lớn của Trái Đất có độ dài khoảng 40 075 km. Hãy tính bán kính của Trái Đất.

Xem đáp án

Đáp số: $R \approx 6378,1 km$ .

Câu 7:

Tính diện tích hình quạt tròn có bán kính 20 cm và số đo cung là

30 °

.

Xem đáp án

Đáp số: $S = \frac{100 π}{3} ({cm}^{2})$ .

Câu 8:

Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu tăng bán kính lên gấp ba lần?

Xem đáp án

Từ công thức diện tích hình tròn $S = π R^{2}$ , suy ra nếu bán kính tăng lên gấp 3 lần thì diện tích hình tròn sẽ tăng lên 9 lần.

Câu 9:

Biết chu vi hình tròn là $16 π$ cm. Tính diện tích hình quạt tròn có số đo cung là $50 °$ .

Xem đáp án

Đáp số: $R = 8 (cm), S = \frac{80 π}{9} ({cm}^{2})$ .

Câu 10:

Một máy cày có hai bánh xe sau lớn hơn hai bánh xe trước. Biết khi bơm căng, bánh xe trước có đường kính 0,8 m, bánh xe sau có đường kính 1,5 m. Hỏi bánh xe sau lăn được 16 vòng thì bánh xe trước lăn được mấy vòng?

Xem đáp án

Bánh xe lăn được một vòng nghĩa là nó đã đi được một độ dài bằng chu vi của bánh xe.

Chu vi bánh xe trước là: $C_{1} = π d = 0,8 π m$ .

Chu vi bánh xe sau là: $C_{2} = π d = 1,5 π m$ .

Bánh xe sau lăn được 16 vòng nghĩa là nó đi được quãng đường: $s = 1,5 π .16 = 24 π m$ .

Khi đó bánh xe trước sẽ lăn được số vòng là: $\frac{24 π}{0,8 π} = 30 (vòng)$ .

Câu 11:

Cho tứ giác $A B C D$ có $\hat{C} + \hat{D} = 90 °$ . Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của $A B, B D, D C$ và $C A$ . Chứng minh rằng bốn điểm $M, N, P, Q$ nằm trên một đường tròn.

Xem đáp án

Gọi $I = D A \cap C B$ . Theo giả thiết $\hat{C} + \hat{D} = 90 ° \Rightarrow D I C = 90 °$ .

Ta có $M N // P Q$ (vì cùng song song với $A D$ ).

Và $M N = P Q (= \frac{1}{2} A D)$ .

Suy ra $M N P Q$ là hình bình hành.

Lại có $M N // A D, M Q // B C$ nên $\hat{N M Q} = \hat{D I C} = 90 °$ (góc có cạnh tương ứng song song).

Do đó $M N P Q$ là hình chữ nhật. Vậy bốn điểm $M, N, P, Q$ cùng thuộc đường tròn đường kính $N Q$ .

Câu 12:

Cho hình thoi $A B C D$ có $\hat{A} = 60 °$ . Gọi $E, F, G, H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A B, B C, C D, D A$ . Chứng minh 6 điểm $E, F, G, H, B, D$ cùng nằm trên một đường tròn.

Xem đáp án

Câu 13:

Cho hình thang $A B C D (A B // C D, A B < C D)$ có $\hat{C} = \hat{D} = 60 °, C D = 2 A D$ . Chứng minh 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một đường tròn.

Xem đáp án

Gọi $I$ là trung điểm của $C D$ . Theo giả thiết suy ra $I D = I C = A D \Rightarrow Δ I A D$ cân tại $D$ .

Mà $\hat{D} = 60 °$ nên $Δ I A D$ đều $\Rightarrow I A = I D = I C$ . (1)

$\Rightarrow Δ A C D$ vuông tại $A \Rightarrow \hat{D A C} = 90 °$ .

Lại có $Δ A C D = Δ B D C (c.g.c)$

$\Rightarrow \hat{C B D} = \hat{D A C} = 90 ° \Rightarrow Δ B C D$ vuông tại $B$ .

Mà có $I B$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $C D$ nên $I B = I C = I D$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $I A = I B = I C = I D$ hay 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ .

Câu 14:

Cho tam giác $A B C$ có các đường cao $B H$ và $C K$ .

a) Chứng minh: $B, K, H$ và $C$ cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó.

Xem đáp án

a) Dễ thấy $Δ B H C$ và $∆ B C K$ là hai tam giác có chung cạnh huyền BC nên bốn điểm $B, C, H, K$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ là trung điểm của $B C$ .

Câu 15:

b) So sánh $K H$ và $B C$ .

Xem đáp án

b) $B C$ và $H K$ lần lượt là đường kính và dây cung của đường tròn $(I)$ .

Do đó $H K < B C$ .

Câu 16:

Cho đường tròn $(O; R)$ có $A B$ là đường kính, $H$ là trung điểm của $B C$ . Vẽ dây $C D$ vuông góc với $A B$ tại $H$ , $K$ là trung điểm của $A C$ và $I$ là điểm đối xứng của $A$ qua $H$ .

a) Bốn điểm $C, H, O, K$ cùng thuộc một đường tròn.

Xem đáp án

a) Dễ thấy $Δ B H C$ và $Δ B C K$ là hai tam giác có chung cạnh huyền $B C$ nên bốn điểm $B, C, H, K$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ là trung điểm của $B C$ .

Câu 17:

b) $A D I C$ là hình thoi. Tính diện tích theo $R$ .

Xem đáp án

Câu 18:

Cho đường tròn

(O; R)

có hai dây

A B, C D

bằng nhau và vuông góc với nhau tại

I

. Giả sử

I A = 2 cm, I B = 4 cm

. Tính khoảng cách từ tâm

O

đến mỗi dây.

Xem đáp án

Ta có: $A B = I A + I B = 6 cm$ . Do $H$ là trung điểm của $A B$ nên $A H = 3 cm$ .

Lại có $I H = A H - A I = 1 cm \Rightarrow O K = I H = 1 cm$ (do $O H I K$ là hình chữ nhật).

Do hai dây $A B$ và $C D$ bằng nhau nên $O H = O K = 1 cm$ .

Câu 19:

Cho đường tròn $(O; R)$ đường kính $A B$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $O A, O B$ . Qua $M, N$ lần lượt vẽ các dây $C D$ và $E F$ song song với nhau ( $C$ và $E$ cùng nằm trên một nửa đường tròn đường kính $A B$ ).

a) Chứng minh tứ giác $C D F E$ là hình chữ nhật.

Xem đáp án

a) Kẻ $O H ⊥ C D (H \in C D) \Rightarrow C H = D H$ (quan hệ đường kính và dây cung).

Gọi $K = O H \cap E F$ . Do $Δ O H M = Δ O K N \Rightarrow O H = O K \Rightarrow C D = E F$ (liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây).

Mà $C D // E F$ nên suy ra $C D E F$ là hình bình hành.

$Δ H O D = Δ K O E \Rightarrow D, O, E$ thẳng hàng.

$C D E F$ là hình chữ nhật.

Câu 20:

b) Giả sử $C D$ và $E F$ cùng tạo với $A B$ một góc nhọn $30 °$ . Tính diện tích hình chữ nhật $C D F E$ .

Xem đáp án

b) Ta có $O M = \frac{R}{2}; O C = R$ . Trong tam giác vuông $H M O$ có:

$\hat{H M O} = 30 °; O H = O M . \sin 30 ° = \frac{R}{4} \Rightarrow D F = H K = 2 O H = \frac{R}{2}$ .

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $C H O$ có:

$O H^{2} + C H^{2} = O C^{2} \Rightarrow C H = \sqrt{O C^{2} - O H^{2}} = \sqrt{R^{2} - \frac{R^{2}}{16}} = \frac{R \sqrt{15}}{4} \Rightarrow C D = 2 C H = \frac{R \sqrt{15}}{2}$ .

Vậy diện tích hình chữ nhật $C D F E$ là: $S_{C D F E} = C D . E F = \frac{R \sqrt{15}}{2} . \frac{R}{2} = \frac{R^{2} \sqrt{15}}{4}$ .