44 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chủ đề 3: Các phương trình quy về bậc hai có đáp án

Câu 1:

Giải phương trình $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$

Xem đáp án

• Phân tích đề bài

Ta thấy tổng của các hệ số của phương trình là $1 + (- 6) + 11 + (- 6) = 0$ nên phương trình có một nghiệm x = 1.

Giải chi tiết

Ta có: $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$ $\Leftrightarrow x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x + 6 x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} (x - 1) - 5 x (x - 1) + 6 (x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - 5 x + 6) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - 3 x - 2 x + 6) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1) [x (x - 3) - 2 (x - 3)] = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2 \\ x = 3 \end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x \in \{1; 2; 3\}$

Câu 2:

Giải phương trình

x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 = 0

Xem đáp án

• Phân tích đề bài

Ta thấy tổng của các hệ số của biến x có số mũ lẻ bằng tổng của các hệ số của biến x có số mũ chẵn với hệ số tự do $1 + (- 5) = 2 + (- 6) = - 4$ nên phương trình có một nghiệm $x = - 1$

Giải chi tiết

$x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 = 0$ $\Leftrightarrow x^{3} + x^{2} + x^{2} + x - 6 x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} (x + 1) + x (x + 1) - 6 (x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow (x + 1) (x^{2} + x - 6) = 0$

$\Leftrightarrow (x + 1) (x^{2} + 3 x - 2 x - 6) = 0$

$\Leftrightarrow (x + 1) [x (x + 3) - 2 (x + 3)] = 0$

$\Leftrightarrow (x + 1) (x - 2) (x + 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \\ x = - 3 \end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x \in \{- 3; - 1; 2\}$

Câu 3:

Giải phương trình $2 x^{3} - 11 x^{2} + 17 x - 6 = 0$

Xem đáp án

Giải chi tiết

$2 x^{3} - 11 x^{2} + 17 x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow 2 x^{3} - 4 x^{2} - 7 x^{2} + 14 x + 3 x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} (x - 2) - 7 x (x - 2) + 3 (x - 2) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2) (2 x^{2} - 7 x + 3) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2) (2 x^{2} - 6 x - x + 3) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2) |2 x (x - 3) - (x - 3)| = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2) (x - 3) (2 x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 3 \\ x = \frac{1}{2} \end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x \in \{\frac{1}{2}; 2; 3\}$

Câu 4:

Giải phương trình $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 2018 = 0$

Xem đáp án

• Phân tích đề bài

Sử dụng máy tính Casio tìm nghiệm phương trình bậc hai ra các số vô tỉ. Vì vậy, không nhẩm được nghiệm của phương trình.

Ta thấy: $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = {(x + 1)}^{3}$ . Tách ra thành hằng đẳng thức để giải phương trình.

• Giải chi tiết

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 2018 = 0 \Leftrightarrow (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) - 2019 = 0$

$\Leftrightarrow {(x + 1)}^{3} = 2019 \Leftrightarrow x = - 1 + \sqrt[3]{2019}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 1 + \sqrt[3]{2019}$

Câu 5:

Giải phương trình $x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$ (1)

Xem đáp án

• Giải chi tiết

Đặt $t = x^{2} (t \geq 0)$

Phương trình (1) trở thành $t^{2} + 3 t - 4 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 4 t - t - 4 = 0 \Leftrightarrow t (t + 4) - (t + 4) = 0$

$\Leftrightarrow (t - 1) (t + 4) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 4 \end{array}$

Vì $t \geq 0 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow x^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x \in \{- 1; 1\}$

Câu 6:

Giải phương trình

(x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) = 9

Xem đáp án

Giải chi tiết

$(x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) = 9 \Leftrightarrow (x + 1) (x + 7) (x + 3) (x + 5) = 9$

$\Leftrightarrow (x^{2} + 8 x + 7) (x^{2} + 8 x + 15) = 9$ (1)

Đặt $t = x^{2} + 8 x + 7$

Phương trình (1) trở thành $t (t + 8) = 9 \Leftrightarrow t^{2} + 8 t - 9 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 9 t - t - 9 = 0$

$\Leftrightarrow (t - 1) (t + 9) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 9 \end{array}$

- Với $t = 1 \Rightarrow x^{2} + 8 x + 6 = 0$

Phương trình có nghiệm là $[\begin{array}{l} x = - 4 + \sqrt{10} \\ x = - 4 - \sqrt{10} \end{array}$

- Với $t = - 9 \Rightarrow x^{2} + 8 x + 16 = 0 \Leftrightarrow {(x + 4)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x = - 4$

Phương trình có nghiệm $x \in \{- 4 - \sqrt{10}; - 4; - 4 + \sqrt{10}\}$

Câu 7:

Giải phương trình

2 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} - 5 x + 2 = 0

(1)

Xem đáp án

Giải chi tiết

Đây là phương trình đối xứng

- Nếu x = 0 thì $(1) \Leftrightarrow 2 = 0$ (vô lý)

Suy ra $x \neq 0$ . Chia cả 2 vế cho $x^{2}$ , ta được

$2 x^{2} - 5 x + 6 - \frac{5}{x} + \frac{2}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow 2 (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) - 5 (x + \frac{1}{x}) + 6 = 0$ (2)

Đặt $t = x + \frac{1}{x} \Rightarrow t^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2$ phương trình (2) trở thành

$2 (t^{2} - 2) - 5 t + 6 = 0 \Leftrightarrow 2 t^{2} - 5 t + 2 = 0 \Leftrightarrow (2 t - 1) (t - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 2 \\ t = \frac{1}{2} \end{array}$

+ Với $t = 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x^{2} - 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

+ Với $t = \frac{1}{2} \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 x^{2} - x + 2 = 0$ (vô nghiệm vì $Δ = 15 < 0$ )

Câu 8:

Giải phương trình ${(x + 1)}^{4} - 2 {(x + 1)}^{3} - 3 = 0$

Xem đáp án

Giải chi tiết

Đặt $t = (x + 1)$

Ta có phương trình: $t^{4} - 2 t^{3} - 3 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow t^{4} + t^{3} - 3 t^{3} - 3 = 0 \Leftrightarrow t^{3} (t + 1) - 3 (t^{3} + 1) = 0 \Leftrightarrow t^{3} (t + 1) - 3 (t + 1) (t^{2} - t + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow (t + 1) (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 3) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 3 = 0 \end{array} \end{array}$

Trường hợp 1: t = -1 thì $x + 1 = - 1 \Rightarrow x = - 2$

Trường hợp 2:

$t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 3 = 0 \Leftrightarrow t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 - 2 = 0 \Leftrightarrow {(t - 1)}^{3} = 2 \Leftrightarrow t - 1 = \sqrt[3]{2}$

$\Leftrightarrow t = 1 + \sqrt[3]{2} \Leftrightarrow x + 1 = 1 + \sqrt[3]{2} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{2}$

Phương trình có nghiệm là $x = \sqrt[3]{2}; x = - 2$

Câu 9:

Giải phương trình $4 x + \frac{3}{x - 1} = 11$

Xem đáp án

• Giải chi tiết

Điều kiện xác định: $x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$

$4 x + \frac{3}{x - 1} = 11 \Leftrightarrow \frac{4 x (x - 1)}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} = \frac{11 (x - 1)}{x - 1} \Leftrightarrow 4 x (x - 1) + 3 = 11 (x - 1)$

\Leftrightarrow 4 x^{2} - 4 x + 3 = 11 x - 11 \Leftrightarrow 4 x^{2} - 15 x + 14 = 0 \Leftrightarrow (4 x - 7) (x - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = \frac{7}{4} \end{array}

Vậy nghiệm của phương trình là $x \in \{\frac{7}{4}; 2\}$

Câu 10:

Giải phương trình

\frac{6 x + 22}{x + 2} - \frac{2 x + 7}{x + 3} = \frac{x + 4}{x^{2} + 5 x + 6}

Xem đáp án

Giải chi tiết

Điều kiện xác định $\{\begin{cases} x + 2 \neq 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq - 2 \\ x \neq - 3 \end{cases}$

$\frac{6 x + 22}{x + 2} - \frac{2 x + 7}{x + 3} = \frac{x + 4}{x^{2} + 5 x + 6} \Leftrightarrow \frac{(6 x + 22) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} - \frac{(2 x + 7) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{x + 4}{(x + 2) (x + 3)}$

$\Leftrightarrow (6 x + 22) (x + 3) - (2 x + 7) (x + 2) = x + 4$

$\Leftrightarrow (6 x^{2} + 40 x + 66) - (2 x^{2} + 11 x + 14) = x + 4$

$\Leftrightarrow 4 x^{2} + 28 x + 48 = 0 \Leftrightarrow 4 (x + 3) (x + 4) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 3 \\ x = - 4 \end{array}$

Kết hợp điều kiện ta được x = -4 là nghiệm của phương trình.

Câu 11:

Giải phương trình

\frac{2 x - 1}{x^{3} + 1} - \frac{2}{x^{2} - x + 1} = - \frac{1}{x + 1}

Xem đáp án

Giải chi tiết

Điều kiện xác định $x \neq - 1$

$\frac{2 x - 1}{x^{3} + 1} - \frac{2}{x^{2} - x + 1} = - \frac{1}{x + 1} \Leftrightarrow \frac{2 x - 1}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} - \frac{2}{x^{2} - x + 1} = - \frac{1}{x + 1}$

$\Leftrightarrow \frac{2 x - 1}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} - \frac{2 (x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = - \frac{x^{2} - x + 1}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

$\Leftrightarrow 2 x - 1 - 2 (x + 1) = - (x^{2} - x + 1)$

$\Leftrightarrow 2 x - 1 - 2 x - 2 = - x^{2} + x - 1$

$\Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow (x + 1) (x - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \end{array}$

Kết hợp điều kiện ta được x = 2 là nghiệm của phương trình.

Câu 12:

Giải phương trình $\frac{x^{2} + 1}{3 x} - \frac{3 x}{x^{2} + 1} = \frac{5}{2}$

Xem đáp án

Điều kiện xác định $x \neq 0$

Đặt $t = \frac{x^{2} + 1}{3 x}$ . Ta có phương trình $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow 2 t^{2} - 5 t + 2 = 0 \Leftrightarrow (2 t - 1) (t - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 2 \\ t = \frac{1}{2} \end{array}$

- Với $t = 2 \Rightarrow \frac{x^{2} + 1}{3 x} = 2 \Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 1 = 0$

$Δ' = 8$ . Phương trình có nghiệm $\{\begin{cases} x = 3 + 2 \sqrt{2} \\ x = 3 - 2 \sqrt{2} \end{cases}$

- Với $t = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x^{2} + 1}{3 x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ (vô nghiệm vì $Δ = - 7$ )

Phương trình có nghiệm $x \in \{3 - 2 \sqrt{2}; 3 + 2 \sqrt{2}\}$

Câu 13:

Giải phương trình $|x^{2} + 3 x - 1| = 3$

Xem đáp án

Giải chi tiết

$|x^{2} + 3 x - 1| = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} + 3 x - 1 = 3 \\ x^{2} + 3 x - 1 = - 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} + 3 x - 4 = 0 \\ x^{2} + 3 x + 2 = 0 \end{array}$

+ $x^{2} + 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 2 x + x + 2 = 0 \Leftrightarrow x (x + 2) + x + 2 = 0 \Leftrightarrow (x + 1) (x + 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = - 2 \end{array}$

+ $x^{2} + 3 x - 4 = 0$

$Δ = 3^{2} + 4.4 = 9 + 16 = 25 > 0$ . Phương trình $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ có nghiệm $[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 4 \end{array}$

Phương trình có nghiệm là $S = \{- 2; - 1; 1; - 4\}$

Câu 14:

Giải phương trình $|5 - 2 x| = 2 x - 5$

Xem đáp án

Giải chi tiết

Đây thuộc trường hợp $|A| = - A \Leftrightarrow A \leq 0$

$|5 - 2 x| = 2 x - 5 \Leftrightarrow 2 x - 5 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 x \leq - 5 \Leftrightarrow x \geq \frac{5}{2}$

Vậy $x \geq \frac{5}{2}$ là nghiệm của phương trình.

Câu 15:

Giải phương trình $|x + 9| = 2 x + 3$ (1)

Xem đáp án

Giải chi tiết

Trường hợp 1: $x + 9 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - 9$

$(1) \Leftrightarrow x + 9 = 2 x + 3 \Leftrightarrow x = 6$ (thỏa mãn)

Trường hợp 2: $x + 9 < 0 \Leftrightarrow x < - 9$

$(1) \Leftrightarrow - (x + 9) = 2 x + 3 \Leftrightarrow - x - 9 = 2 x + 3 \Leftrightarrow 3 x = - 12 \Leftrightarrow x = - 4$ (không thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 6.

Câu 16:

Giải phương trình $|x^{2} - x + 2| = |x^{2} - 4 x|$

Xem đáp án

Giải chi tiết

$|x^{2} - x + 2| = |x^{2} - 4 x| \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - x + 2 = x^{2} - 4 x \\ x^{2} - x + 2 = - x^{2} + 4 x \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 x = - 2 \\ 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{2}{3} \\ 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0 \end{array}$

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 4 x - x + 2 = 0 \Leftrightarrow 2 x (x - 2) - (x - 2) = 0 \Leftrightarrow (x - 2) (2 x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = \frac{1}{2} \end{array}$

Phương trình có tập nghiệm là $S = \{- \frac{2}{3}; \frac{1}{2}; 2\}$

Câu 17:

Giải phương trình

|x - 1| = |2 - x| = 2 x

(1)

Xem đáp án

Phân tích đề bài

Phương trình có hai biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối.

Để giải phương trình ta chia khoảng phá dấu trị tuyệt đối.

$|2 - x| = [\begin{array}{l} 2 - x k h i x \leq 2 \\ x - 2 k h i x > 2 \end{array}$ ; $|x - 1| = [\begin{array}{l} x - 1 k h i x \geq 1 \\ 1 - x k h i x < 1 \end{array}$

Giải chi tiết

Ta có: $|2 - x| = [\begin{array}{l} 2 - x k h i x \leq 2 \\ x - 2 k h i x > 2 \end{array}$ ; $|x - 1| = [\begin{array}{l} x - 1 k h i x \geq 1 \\ 1 - x k h i x < 1 \end{array}$

Trường hợp 1: Với $x > 2$ thì $(1) \Leftrightarrow x - 1 + x - 2 = 2 x \Leftrightarrow - 3 = 0$ (vô lí)

Trường hợp 2: Với $1 \leq x \leq 2$ thì $(1) \Leftrightarrow x - 1 + 2 - x = 2 x \Leftrightarrow 2 x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ (không thỏa mãn)

Trường hợp 3: Với $x < 1$ thì $(1) \Leftrightarrow 1 - x + 2 - x = 2 x \Leftrightarrow 4 x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}$ (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{3}{4}$

Câu 18:

Giải phương trình $\sqrt{x^{2} + x + 7} = 3$

Xem đáp án

Giải chi tiết

Điều kiện xác định $x^{2} + x + 7 \geq 0 \Leftrightarrow {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{27}{4} \geq 0$ (luôn đúng với mọi x)

$\sqrt{x^{2} + x + 7} = 3 \Leftrightarrow x^{2} + x + 7 = 9 \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 2 x - x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow (x + 2) (x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 1 \end{array}$

Phương trình có nghiệm $x \in \{- 2; 1\}$

Câu 19:

Giải phương trình

\sqrt{3 x - 2} = \sqrt{5 x - 8}

Xem đáp án

Giải chi tiết

$\sqrt{3 x - 2} = \sqrt{5 x - 8} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - 2 \geq 0 \\ 3 x - 2 = 5 x - 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq \frac{2}{3} \\ - 2 x = - 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq \frac{2}{3} \\ x = 3 \end{cases} \Leftrightarrow x = 3$

Phương trình có nghiệm là x = 3

Câu 20:

Giải phương trình $\sqrt{2 x^{2} + 17 x - 3} = 5 - x$

Xem đáp án

Giải chi tiết

$\sqrt{2 x^{2} + 17 x - 3} = 5 - x \Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 - x \geq 0 \\ 2 x^{2} + 17 x - 3 = {(5 - x)}^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \leq 5 \\ 2 x^{2} + 17 x - 3 = 25 - 10 x + x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \leq 5 \\ x^{2} + 27 x - 28 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \leq 5 \\ [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 28 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 28 \end{array}$

Phương trình có nghiệm là $x \in \{- 28; 1\}$

Câu 21:

Giải phương trình

\sqrt{x + 3} + \sqrt{3 x + 1} = 4

Xem đáp án

Giải chi tiết

Điều kiện xác định $\{\begin{cases} x + 3 \geq 0 \\ 3 x + 1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - 3 \\ x \geq - \frac{1}{3} \end{cases} \Leftrightarrow x \geq - \frac{1}{3}$

$\begin{array}{l} \sqrt{x + 3} + \sqrt{3 x + 1} = 4 \Leftrightarrow {(\sqrt{x + 3} + \sqrt{3 x + 1})}^{2} = 16 \\ \Leftrightarrow x + 3 + 3 x + 1 + 2 \sqrt{(x + 3) (3 x + 1)} = 16 \\ \Leftrightarrow 2 \sqrt{(x + 3) (3 x + 1)} = 12 - 4 x \\ \Leftrightarrow \sqrt{3 x^{2} + 10 x + 3} = 6 - 2 x \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 6 - 2 x \geq 0 \\ 3 x^{2} + 10 x + 3 = {(6 - 2 x)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \leq 3 \\ x^{2} - 34 x + 33 = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \leq 3 \\ [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 33 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow x = 1 \end{array}$

Kết hợp điều kiện $x \geq - \frac{1}{3}$ . Vậy nghiệm của phương trình là x = 1

Ở ví dụ 4, ta thực hiện ta thực hiện biến đổi bình phương hai vế vì cả hai vế cùng không âm.

Nếu phương trình có dạng $\sqrt{A (x)} - \sqrt{B (x)} = C$ thì ta phải biến đổi để cả hai vế cùng không âm, tiếp đó bình phương.

Câu 22:

Giải phương trình

2 x^{2} - 11 x + 8 = 3 \sqrt{2 x^{2} - 11 x + 6}

Xem đáp án

Giải chi tiết

Điều kiện xác định $2 x^{2} - 11 x + 6 \geq 0$

Đặt $t = \sqrt{2 x^{2} - 11 x + 6}$ (điều kiện $t \geq 0$ ). Phương trình (1) trở thành:

$t^{2} + 2 = 3 t \Leftrightarrow t^{2} - 3 t + 2 = 0 \Leftrightarrow (t - 1) (t - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = 2 \end{array}$

- Với t = 1 $\Rightarrow 2 x^{2} - 11 x + 6 = 1 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 11 x + 5 = 0 \Leftrightarrow (2 x - 1) (x - 5) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ x = 5 \end{array}$

- Với t = 2 $\Rightarrow 2 x^{2} - 11 x + 6 = 4 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 11 x + 2 = 0$

$Δ = 11^{2} - 4.2.2 = 105$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $[\begin{array}{l} x = \frac{11 + \sqrt{105}}{4} \\ x = \frac{11 - \sqrt{105}}{4} \end{array}$

Thay vào điều kiện, ta nhận được tập nghiệm của phương trình là $x \in \{\frac{11 \pm \sqrt{105}}{4}; \frac{1}{2}; 5\}$

Câu 23:

Giải các phương trình sau:

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Xem đáp án

a) Nghiệm của phương trình là $x \in \{0; 1; 2\}$

Câu 24:

Giải các phương trình sau:

b, $x^{4} - 4 x^{3} + 8 x + 3 = 0$

Xem đáp án

b) Gợi ý: $x^{4} - 4 x^{3} + 8 x + 3 = 0 \Leftrightarrow (x + 1) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 1) = 0$ (Bài toán 3 – dạng 1.1)

Nghiệm của phương trình là

x \in \{- 1; 1 \pm \sqrt{2}; 3\}

Câu 25:

Giải các phương trình sau

c, $4 x^{4} - 7 x^{2} - 2 = 0$

Xem đáp án

c) Nghiệm của phương trình là $x \in \{\pm \sqrt{2}\}$ (Bài toán 1 – dạng 1.2)

Câu 26:

Giải các phương trình sau:

d,

x^{6} - 5 x^{3} + 4 = 0

Xem đáp án

d) Đặt $t = x^{3}$ . Nghiệm của phương trình là $x \in \{1; \sqrt[3]{4}\}$

Câu 27:

Giải các phương trình sau:

e,

(x - 1) (x - 2) (x + 4) (x + 5) = 112

Xem đáp án

e) Gợi ý: $(x - 1) (x + 4) (x - 2) (x + 5) = 112 \Leftrightarrow (x^{2} + 3 x - 4) (x^{2} + 3 x - 10) = 112$

Đặt $t = x^{2} + 3 x - 4$ . Ta có phương trình $t^{2} - 6 t - 112 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 8 \\ t = 14 \end{array}$

Với $t = - 8 \Rightarrow x \in \emptyset$

Với $t = 14 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = - 6 \end{array}$

Nghiệm của phương trình là $x \in \{- 6; 3\}$

Câu 28:

Giải các phương trình sau:

f,

(x^{2} + 3 x + 2) (x^{2} + 7 x + 12) = 24

Xem đáp án

f) Gợi ý: $(x^{2} + 3 x + 2) (x^{2} + 7 x + 12) = 24 \Leftrightarrow (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 24$

Nghiệm của phương trình là $x \in \{- 5; 0\}$

Câu 29:

Giải các phương trình sau:

2 x^{4} - 13 x^{3} + 24 x^{2} - 13 x + 2 = 0

Xem đáp án

g) Gợi ý: $2 x^{4} - 13 x^{3} + 24 x^{2} - 13 x + 2 = 0 \Rightarrow 2 x^{2} - 13 x + 24 - \frac{13}{x} + \frac{2}{x^{2}} = 0$

$\Leftrightarrow 2 (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) - 13 (x + \frac{1}{x}) + 24 = 0$

Đặt $t = x + \frac{1}{x}$ Ta có phương trình:

$\Leftrightarrow 2 (t^{2} - 2) - 13 t + 24 = 0 \Leftrightarrow 2 t^{2} - 13 t + 20 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 4 \\ t = \frac{5}{2} \end{array}$

Với $t = 4 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{3}$

Với $t = \frac{5}{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = \frac{1}{2} \end{array}$

Câu 30:

Giải các phương trình sau: h, $x^{4} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + 8 x + 4 = 0$

Xem đáp án

h) Các hệ số của phương trình cộng lại bằng 0 nên phương trình nhận x = 1 là nghiệm.

$x^{4} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + 8 x + 4 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x + 2) (x^{2} - 5 x - 2) = 0$

Nghiệm của phương trình là $x \in \{- 2; 1; \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}\}$

Câu 31:

Giải các phương trình sau:

a) $\frac{1}{x + 1} + \frac{x - 1}{x - 3} = \frac{2 x + 2}{x^{2} - 2 x - 3}$

Xem đáp án

a) Điều kiện xác định: $x \neq - 1; x \neq 3$

$\begin{array}{l} \frac{1}{x + 1} + \frac{x - 1}{x - 3} = \frac{2 x + 2}{x^{2} - 2 x - 3} \Leftrightarrow \frac{x - 3}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{(x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 3)} = \frac{2 x + 2}{(x + 1) (x - 3)} \\ \Leftrightarrow x - 3 + x^{2} - 1 = 2 x + 2 \Leftrightarrow x^{2} - x - 6 = 0 \Leftrightarrow (x + 2) (x - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 3 \end{array} \end{array}$

Kết hợp điều kiện thì nghiệm của phương trình là x = -2.

Câu 32:

Giải các phương trình sau: $\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{3}{x - 2} = \frac{2 x^{2}}{8 - x^{3}}$

Xem đáp án

b) Điều kiện xác định $x \neq 2$

$\begin{array}{l} \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{3}{x - 2} = \frac{2 x^{2}}{8 - x^{3}} \\ \Leftrightarrow \frac{(x + 1) (x - 2)}{(x^{2} + 2 x + 4) (x - 2)} - \frac{3 (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} = - \frac{2 x^{2}}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} \end{array}$

$\Rightarrow x^{2} - x - 2 - 3 x^{2} - 6 x - 12 = - 2 x^{2} \Leftrightarrow - 7 x = 14 \Leftrightarrow x = - 2$ (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là x = -2

Câu 33:

Giải các phương trình sau: $\frac{1}{x (x + 1)} + \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{3}{10}$

Xem đáp án

c) Điều kiện xác định $x \notin \{- 3; - 2; - 1; 0\}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{x (x + 1)} + \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{3}{10} \\ \Leftrightarrow \frac{(x + 1) - x}{x (x + 1)} + \frac{(x + 2) - (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{(x + 3) - (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{3}{10} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3} = \frac{3}{10} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3} = \frac{3}{10} \\ \Rightarrow 10 (x + 3) - 10 x = 3 x (x + 3) \end{array}$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} + 9 x - 30 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 5 \\ x = 2 \end{array}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là $x \in \{- 5; 2\}$

Câu 34:

Giải các phương trình sau $\frac{x^{2} + x + 5}{2 x + 1} + \frac{5 (2 x + 1)}{x^{2} + x + 5} = 6$

Xem đáp án

d) Điều kiện xác định $x \neq - \frac{1}{2}$

Đặt $t = \frac{x^{2} + x + 5}{2 x + 1}$ . Ta có phương trình $t + \frac{5}{t} = 6 \Leftrightarrow t^{2} - 6 t + 5 = 0 \Leftrightarrow (t - 1) (t - 5) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = 5 \end{array}$

Với $t = 1 \Rightarrow \frac{x^{2} + x + 5}{2 x + 1} = 1 \Leftrightarrow x^{2} - x + 4 = 0$ (vô nghiệm)

Với $t = 5 \Rightarrow \frac{x^{2} + x + 5}{2 x + 1} = 5 \Leftrightarrow x^{2} - 9 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 9 \end{array}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là $x \in \{0; 9\}$

Câu 35:

Giải các phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sau:

|2 x^{2} - 5 x + 4| = 2

Xem đáp án

a) $[\begin{array}{l} 2 x^{2} - 5 x + 4 = 2 \\ 2 x^{2} - 5 x + 4 = - 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0 \\ 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0 \end{array}$

* $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0 \Leftrightarrow (2 x - 1) (x - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = \frac{1}{2} \end{array}$

* $2 x^{2} - 5 x + 6 = 0$

$Δ = - 23 < 0$ . Phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là $x \in \{\frac{1}{2}; 2\}$

Câu 36:

Giải các phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sau: $|x^{2} + 2 x| = |2 x + 9|$

Xem đáp án

b) $|x^{2} + 2 x| = |2 x + 9| \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} + 2 x = 2 x + 9 \\ x^{2} + 2 x = - 2 x - 9 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = 9 \\ x^{2} + 4 x + 9 = 0 \end{array}$

* $x^{2} = 9 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = - 3 \end{array}$

* $x^{2} + 4 x + 9 = 0 \Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} + 5 = 0$ . Phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là $x \in \{- 3; 3\}$

Câu 37:

Giải các phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sau: $|x^{2} - 4 x + 4| = - x^{2} + 4 x - 4$

Xem đáp án

c) $\begin{array}{l} |x^{2} - 4 x + 4| = - (x^{2} - 4 x + 4) \\ \Rightarrow x^{2} - 4 x + 4 \leq 0 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} \leq 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \end{array}$

Lưu ý: Vì $A^{2} \geq 0$ nên khi giải phương trình $A^{2} \leq 0$ tương đương A= 0

Câu 38:

Giải các phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sau: $|4 x - 1| = x^{2} + 3 x - 1$

Xem đáp án

d) $|4 x - 1| = x^{2} + 3 x - 1$

- Trường hợp 1: $x \geq \frac{1}{4}$

Ta có phương trình $4 x - 1 = x^{2} + 3 x - 1 \Leftrightarrow x^{2} - x = 0 \Leftrightarrow x (x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}$

Kết hợp điều kiện suy ra x = 1

-Trường hợp 2: $x < \frac{1}{4}$

Ta có phương trình $1 - 4 x = x^{2} + 3 x - 1 \Leftrightarrow x^{2} + 7 x - 2 = 0$

$Δ = 57$ . Phương trình có hai nghiệm phân biệt $[\begin{array}{l} x = \frac{- 7 + \sqrt{57}}{2} \\ x = \frac{- 7 - \sqrt{57}}{2} \end{array}$

Kết hợp điều kiện suy ra $x = \frac{- 7 - \sqrt{57}}{2}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x \in \{\frac{- 7 - \sqrt{57}}{2}; 1\}$

Câu 39:

Giải các phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sau: $|3 - 2 x| + |x - 5| = 5 x$

Xem đáp án

e) - Trường hợp 1: $x \geq 5$

Ta có phương trình $2 x - 3 + x - 5 = 5 x \Leftrightarrow x = - 4$ (không thỏa mãn điều kiện)

- Trường hợp 2: $\frac{3}{2} \leq x < 5$

Ta có phương trình $2 x - 3 + 5 - x = 5 x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ (không thỏa mãn điều kiện)

- Trường hợp 3: $x < \frac{3}{2}$

Ta có phương trình $3 - 2 x + 5 - x = 5 x \Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1

Câu 40:

Giải các phương trình vô tỉ sau

a)

\sqrt{2 x^{2} - 4 x + 11} = 3

Xem đáp án

a) Điều kiện xác định: $2 x^{2} - 4 x + 11 \geq 0$ (luôn đúng)

$\sqrt{2 x^{2} - 4 x + 11} = 3 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 4 x + 11 = 9 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 4 x + 2 = 0 \Leftrightarrow 2 {(x - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Vậy nghiệm của phương trình là x=1

Câu 41:

Giải các phương trình vô tỉ sau $\sqrt{7 - 2 x} = \sqrt{4 x - 3}$

Xem đáp án

b) $\sqrt{7 - 2 x} = \sqrt{4 x - 3} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 - 2 x \geq 0 \\ 7 - 2 x = 4 - 3 x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \leq \frac{7}{2} \\ x = - 3 \end{cases}$

Vậy nghiệm của phương trình là x = -3

Câu 42:

Giải các phương trình vô tỉ sau $\sqrt{3 x^{2} + 1} = 2 x + 1$

Xem đáp án

c, $\sqrt{3 x^{2} + 1} = 2 x + 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 1 \geq 0 \\ 3 x^{2} + 1 = 4 x^{2} + 4 x + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - \frac{1}{2} \\ x^{2} + 4 x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 (t h o û a m a õ n) \\ x = - 4 (l o a ï i) \end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là x = 0

Câu 43:

Giải các phương trình vô tỉ sau $\sqrt{3 x + 7} - \sqrt{x + 1} = 2$

Xem đáp án

d) $\sqrt{3 x + 7} - \sqrt{x + 1} = 2$

Điều kiện xác định:

$\{\begin{cases} 3 x + 7 \geq 0 \\ x + 1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \geq - 1$

$\begin{array}{l} \sqrt{3 x + 7} - \sqrt{x + 1} = 2 \Leftrightarrow \sqrt{3 x + 7} = \sqrt{x + 1} + 2 \\ \Leftrightarrow 3 x + 7 = x + 1 + 4 \sqrt{x + 1} + 4 \\ \Leftrightarrow x + 1 = 2 \sqrt{x + 1} \end{array}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x + 1} - 2) \sqrt{x + 1} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 3 \end{array}$ (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là $x \in \{- 1; 3\}$

Câu 44:

Giải các phương trình vô tỉ sau

3 x^{2} + 21 x + 18 + 2 \sqrt{x^{2} + 7 x + 7} = 2

Xem đáp án

e) $3 x^{2} + 21 x + 18 + 2 \sqrt{x^{2} + 7 x + 7} = 2$

Đặt $t = \sqrt{x^{2} + 7 x + 7}$ (điều kiện $t \geq 0$ ). Phương trình trở thành:

$3 t^{2} - 3 + 2 t = 2 \Leftrightarrow 3 t^{2} + 2 t - 5 = 0 \Leftrightarrow (t - 1) (3 t + 5) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - \frac{5}{3} \end{array}$

Vì $t \geq 0$ nên $t = 1 \Rightarrow x^{2} + 7 x + 7 = 1 \Leftrightarrow (x + 1) (x + 6) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 6 \\ x = - 1 \end{array}$

Thay x= -6 và x = -1 vào điều kiện thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là

x \in \{- 6; - 1\}