7 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chủ đề 6: Phương pháp bất đẳng thức trong chứng minh các bài toán thực tế

Câu 1:

Ba con đường cắt nhau tạo ra một tam giác. Trong tam giác đó phải đặt xí nghiệp ở đâu để tổng độ dài các con đường từ xí nghiệp ra các con đường là ngắn nhất?

Xem đáp án

Ba con đường cắt nhau tạo ra một tam giác. Trong tam giác đó phải đặt xí nghiệp ở đâu để (ảnh 1)

Giả sử các giao điểm của ba con đường là các đỉnh của một tam giác ABC và $A B \geq B C \geq A C$ . Đặt khoảng cách từ điểm D bất kỳ đến các cạnh của tam giác $A B, B C, C A$ lần lượt là x, y và z.

Khi đó diện tích của tam giác ABC bằng tổng diện tích của tam giác $A D B, B D C$ và ADC:

$S = \frac{1}{2} x . A B + \frac{1}{2} y . B C + \frac{1}{2} z . A C \leq \frac{1}{2} (x + y + z) . A B$ .

Từ đó ta có bất đẳng thức $x + y + z \geq \frac{2 S}{A B}$ , trong đó dấu bất đắng thức chỉ xảy ra:

Hoặc khi z=y=0, nếu $A B > B C$ ,

Hoặc khi z=0, nếu $A B = B C < A C$ ,

Hoặc khi z, y, z bất kỳ, nếu $A B = B C = A C$ .

Như vậy, ứng với các trường hợp ta có kết luận:

- Xí nghiệp phải đặt ở đỉnh đối diện với cạnh lớn nhất.

- Nếu có hai cạnh lớn nhất bằng nhau, thì xí nghiệp đặt ở điểm bất kì trên cạnh nhỏ nhất.

- Nếu cả ba cạnh bằng nhau thì xí nghiệp đặt bất kì đầu trong tam giác kể cả trên một cạnh nào đó.

Câu 2:

Hãy chọn hướng mở một con đường đi qua thành phố sao cho tổng các khoảng cách từ nó tới hai điểm dân cư đã có là nhỏ nhất.

Hãy chọn hướng mở một con đường đi qua thành phố sao cho tổng các khoảng cách từ nó tới (ảnh 1)

Xem đáp án

Hãy chọn hướng mở một con đường đi qua thành phố sao cho tổng các khoảng cách từ nó tới (ảnh 2)

Giả sử $A C \geq B C$ (C là vị trí thành phố, còn B và A là vị trí của hai điểm dân cư). Gọi D là điểm đối xứng với B qua điểm C. Con đường ta cần tìm có thể cắt đoạn AB tại E hoặc cắt đoạn AD tại F.

1) Trường hợp thứ nhất.

Diện tích $S_{A B C} = S_{A E C} + S_{B E C}$

Nghĩa là $S_{A B C} = \frac{1}{2} x . C E + \frac{1}{2} y . C E = \frac{1}{2} (x + y) . C E$

2) Trường hợp thứ hai. Tương tự như phần 1 (x là khoảng cách từ A đến CF, y là khoảng cách từ B đến CF), diện tích $S_{A C D} = S_{A F C} + S_{D F C}$

Nghĩa là: $S_{A C D} = \frac{1}{2} x . C F + \frac{1}{2} y . C F = \frac{1}{2} (x + y) . C F$ .

Vì vậy giá trị x+y nhỏ nhất khi các giá trị CE hoặc CF tương ứng càng lớn. Độ dài này lớn nhất khi $E \equiv F \equiv A$ .

Nếu $A C > B C = D C$ hoặc trường hợp $A C = B C = D C$ thì con đường đi qua B hoặc đi qua A đều như nhau.

Kết luận: Con đường phải đi qua điểm dân cư cách thành phố xa hơn, còn nếu thành phố C cách đều hai điểm dân cư thì con đường đi qua bất cứ điểm dân cư nào.

Câu 3:

Người ta đào một con mương với thiết diện cắt ngang là một hình thang cân, đáy và cạnh bên có cùng độ dài là a. Độ dài của đáy lớn (bề ngang của mặt mương) hình thang là bao nhiêu để diện tích của mặt cắt là lớn nhất (cho lưu lượng nước thoát qua lớn nhất).

Xem đáp án

Người ta đào một con mương với thiết diện cắt ngang là một hình thang cân, đáy và cạnh bên (ảnh 1)

Người ta đào một con mương với thiết diện cắt ngang là một hình thang cân, đáy và cạnh bên có cùng

Đặt x là độ dài của hình chiếu cạnh bên hình thang xuống đáy lớn (bề rộng mương). Khi đó:

$S = \frac{1}{2} (a + a + x + x) . \sqrt{a^{2} - x^{2}} = (a + x) \sqrt{a^{2} - x^{2}}$

Hay: $S^{2} = {(a + x)}^{3} (a - x)$

Hoặc: $S^{2} = \frac{1}{3} (a + x) (a + x) (a + x) (3 a - 3 x),0 < x < a$ .

Áp dụng hệ quả 3 ở trên ta có:

$\frac{1}{3} (a + x) (a + x) (a + x) (3 a - 3 x)$

$\leq \frac{1}{3} {(\frac{a + x + a + x + a + x + 3 a - 3 x}{4})}^{4}$

$= \frac{1}{3} {(\frac{3 a}{2})}^{4} = \frac{27}{16} a^{4}$

Vậy $S_{\max} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} a^{2}$ khi $x = \frac{a}{2}$ .

Lúc này, cạnh lớn của hình thang có chiều dài là 2a, góc nhọn của nó là 60⁰.

Câu 4:

Từ một miếng bìa hình vuông cạnh a, người ta cắt bốn góc những hình vuông bằng nhau sao cho phần còn lại của miếng bìa theo những đường chấm thành một hộp có thể tích lớn nhất (hình vẽ).

Từ một miếng bìa hình vuông cạnh a, người ta cắt bốn góc những hình vuông bằng nhau sao (ảnh 1)

Xem đáp án

Nếu ta ký hiệu y là thể tích của hình hộp chữ nhật, còn x là đương cao của hộp, thì: $y = {(a - 2 x)}^{2} x$ .

Ta có: $y = \frac{1}{4} (a - 2 x) . (a - 2 x) .4 x$

$\leq \frac{1}{4} {(\frac{a - 2 x + a - 2 x + 4 x}{3})}^{3}$

$= \frac{2 a^{3}}{27}$

Dấu “=” xảy ra khi $x = \frac{a}{6}$ .

Kết luận: thể tích hình hộp lớn nhất là $\frac{2 a^{3}}{27}$ khi $x = \frac{a}{6}$ .

Câu 5:

Bên cạnh một con sông đào thẳng người ta phải làm một khu vườn hình chữ nhật có diện tích cho trước S. Người ta muốn rào khu vườn bằng hàng rào ngắn nhất là bao nhiêu? Biết rằng về phía sông thì không phải làm hàng rào.

Xem đáp án

Ta kí hiệu x là độ dài của cạnh khu vườn mà nó vuông góc với con kênh. Khi đó độ dài của hàng rào được tính: $P = 2 x + \frac{S}{x}, x > 0$ .

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: $P \geq 2 \sqrt{2 x . \frac{S}{x}}$ .

Như vậy P đạt được giá trị nhỏ nhất là $P_{\min} = 2 \sqrt{2 S}$ khi $2 x = \frac{S}{x}$ , nghĩa là $x = \sqrt{\frac{S}{2}}$ . Từ đây ta cũng tính được cạnh kia của hình chữ nhật.

Câu 6:

Từ tất cả hình chữ nhật với chu vi đã cho, thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

Xem đáp án

Đặt 2a là chu vi đã cho của những hình chữ nhật. Khi đó tổng x+y của hai cạnh hình chữ nhật x và y là một đại lượng không đổi a, nhưng diện tích xy là một biến số, mà ta muốn có giá trị lớn nhất.

Trung bình cộng của hai đại lượng là $m = \frac{x + y}{2}$ .

Ta kí hiệu $d = \frac{x - y}{2}$ , ta nhận được $x = m + d, y = m - d$ .

Vì vậy: $x y = (m + d) (m - d) = m^{2} - d^{2} = \frac{{(x + y)}^{2}}{4} - d^{2}$ .

Vì $d^{2}$ là một số dương nên ta có: $\sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}$ , ở đây dấu bằng thì xảy ra khi d=0 hoặc là x=y=m.

Câu 7:

Trong một đường tròn cho trước, hãy nội tiếp một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Xem đáp án

Gọi bán kính đường tròn là R và cạnh AB của hình chữ nhật cần tìm là x. Theo định lí Pythagore, ta có: $B C = \sqrt{4 R^{2} - x^{2}}$ , từ đó suy ra biểu thức của diện tích S là $S = x \sqrt{4 R^{2} - x^{2}}$ .

Hàm số này và hàm số $y = S^{2}$ đạt giá trị cực đại với cùng một giá trị của x. Mà $y = x^{2} (4 R^{2} - x^{2})$ .

Đặt $x^{2} = z$ , ta có: $y = z (4 R^{2} - z) = - z^{2} + 4 R^{2} z$ .

Nghĩa là $y_{\max}$ đạt được khi $z = 2 R^{2}$ tức là khi $x = R \sqrt{2}$ .

Ta nhận thấy rằng khi $A B = x = R \sqrt{2}$ thì $B C = R \sqrt{2}$ , ta nhìn thấy hình chữ nhật cần tìm là hình vuông. Hay ta có kết luận: “Trong các hình chữ nhật nội tiếp cùng một đường tròn thì hình vuông có diện tích lớn nhất”.