10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Cực trị của hàm số có đáp án (P2) (Vận dụng)

Câu 1:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ . Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ sau:

Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x) - 4 x$ là

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt: $g (x) = f (x) - 4 x$

Ta có: $g^{'} (x) = f^{'} (x) - 4, g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = 4$

Dựa vào đồ thị, suy ra phương trình $f^{'} (x) = 4$ có 2 nghiệm $x_{1}; x_{2}$ trong đó $x_{1} = - 1$ là nghiệm kép và $x_{2} > 1$ là nghiệm đơn.

$\Rightarrow$ Phương trình $g^{'} (x) = 0$ có 2 nghiệm $x_{1}; x_{2}$ nhưng $g^{'} (x)$ đổi dấu duy nhất 1 lần khi qua nghiệm $x_{2}$ này. Vậy hàm số $y = f (x) - 4 x$ có một điểm cực trị.

Câu 2:

Tìm m đề đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + 1$ có ba điểm cực trị $A (0; 1), B, C$ thỏa mãn BC = 4

A. $m = \sqrt{2}$

B. $m = 4$

C. $m = \pm 4$

D. $m = \pm \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Tập xác định: $D = ℝ$

$y' = 4 x^{3} - 4 m x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = m \end{array}$

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow m > 0$

Tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số:

$A (0; 1), B (\sqrt{m}; - m^{2} + 1), C (- \sqrt{m}; - m^{2} + 1)$

Theo giả thiết $B C = 4 \Leftrightarrow 4 m = 16 \Leftrightarrow m = 4$ ( thỏa mãn).

Câu 3:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y = x^{4} - 2 (m + 1) x^{2} + m^{2}$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

A. m = 0

B. m = -1, m = 0

C. m = 1

D. m = 1, m = 0

Xem đáp án

Đáp án A

Cách 1: PP tự luận

Ta có $y^{'} = 4 x (x^{2} - m - 1)$

Xét $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = m + 1 \end{array}$ . Để đồ thị số có ba điểm cực trị thì $m > - 1$

Tọa độ ba điểm cực trị là $A (0; m^{2}), B (\sqrt{m + 1}; - 2 m - 1), C (- \sqrt{m + 1}; - 2 m - 1)$

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC thì $H (0; - 2 m - 1)$

Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi $A H = B H$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(m + 1)}^{4}} = \sqrt{m + 1} \Leftrightarrow {(m + 1)}^{4} = m + 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 (t m) \\ m = - 1 (k t m) \end{array}$

Chú ý: Điều kiện ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân có thể sử dụng $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$ hoặc $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ .

Cách 2: PP trắc nghiệm

Điều kiện để đồ thị hàm trùng phương $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có ba điểm cực trị là $a b < 0 \Leftrightarrow m > - 1$

Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi $b^{3} + 8 a = 0$ $\Leftrightarrow - 8 {(m + 1)}^{3} + 8 = 0 \Leftrightarrow m = 0$

Câu 4:

Cho hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị là $x = - 2, x = - 1, x = 2$ và có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ .Khi đó hàm số $y = f (x^{2} - 2)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5

B. 8

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Đáp án A

Vì hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị là x = -2, x = -1, x = 2 và có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ nên f'(x) = 0 có ba nghiệm là x = -2, x = -1, x = 2 (ba nghiệm bội lẻ).

Xét hàm số $g (x) = f (x^{2} - 2)$ có $g^{'} (x) = 2 x . f^{'} (x^{2} - 2)$

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ f^{'} (x^{2} - 2) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} - 2 = - 2 \\ x^{2} - 2 = - 1 \\ x^{2} - 2 = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \end{array}$

Do $g^{'} (x) = 0$ có các nghiệm bội lẻ $x = \pm 1; x = \pm 2; x = 0$ suy ra $g^{'} (x)$ đổi dấu năm lần nên hàm số $y = f (x^{2} - 2)$ có năm điểm cực trị.

Câu 5:

Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của m sao cho hàm số $y = x^{4} - 2 (m - 1) x^{2} + m^{2} - m$ có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng

A. 2

B. 3

C. -5

D. 1

Xem đáp án

Đáp án A

Tập xác định $D = ℝ$

$y^{'} = 4 x^{3} - 4 (m - 1) x; y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = m - 1 \end{array}$

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi $m > 1 (*)$

Với điều kiện $(*)$ , đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là $A (0; m^{2} - m)$ , $B (\sqrt{m - 1}; m - 1)$ , $C (- \sqrt{m - 1}; m - 1)$ . Ta có $\vec{A B} = (\sqrt{m - 1}; - m^{2} + 2 m - 1)$ , $\vec{A C} = (- \sqrt{m - 1}; - m^{2} + 2 m - 1)$ .

Dễ thấy tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A

Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi:

$\vec{A B} . \vec{A C} = 0 \Leftrightarrow - (m - 1) + {(m - 1)}^{4} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 2 \end{array}$

Đối chiều điều kiện $(*)$ ta có m = 2. Vậy $S = \{2\}$ nên tổng tất cả các phần tử của S là 2.

Câu 6:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $ℝ$ và có bảng xét dấu f'(x) như sau

Hỏi hàm số $y = f (x^{2} - 2 x)$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $g (x) = f (x^{2} - 2 x)$ . Ta có $g^{'} (x) = (2 x - 2) f^{'} (x^{2} - 2 x)$

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x^{2} - 2 x = - 2 \\ x^{2} - 2 x = 1 \\ x^{2} - 2 x = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x^{2} - 2 x + 2 = 0 \\ x^{2} - 2 x - 1 = 0 \\ x^{2} - 2 x - 3 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 1 \pm \sqrt{2} \\ x = - 1 \\ x = 3 \end{array}$

Trong đó các nghiệm -1, 1, 3 là nghiệm bội lẻ và $1 \pm \sqrt{2}$ là nghiệm bội chẵn. Vì vậy hàm số g'(x) chỉ đổi dấu khi đi qua các nghiệm -1, 1, 3.

Ta có $g^{'} (0) = - 2 f^{'} (0) < 0$ (do $f^{'} (0) > 0$ ).

Bảng xét dấu g'(x)

Vậy hàm số $y = f (x^{2} - 2 x)$ có đúng 1 điểm cực tiểu là x = 1

Câu 7:

Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị như hình bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số $g (x) = f (- x^{3} + 3 x)$ là

A. 9

B. 3

C. 7

D. 5

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $g^{'} (x) = (- 3 x^{2} + 3) f^{'} (- x^{3} + 3 x)$ ;

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 3 x^{2} + 3 = 0 (1) \\ f^{'} (- x^{3} + 3 x) = 0 (2) \end{array}$

$(1) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array}$ ;

$(2) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - x^{3} + 3 x = a (a < - 2) \\ - x^{3} + 3 x = b (- 2 < b < 0) \\ - x^{3} + 3 x = c (0 < c < 2) \end{array}$

Xét hàm số $h (x) = - x^{3} + 3 x$ có đồ thị như hình vẽ

Dựa vào đồ thị hàm số $y = h (x)$ , ta được:

$- x^{3} + 3 x = a \Leftrightarrow x = x_{1} - x^{3} + 3 x = b \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{2} \\ x = x_{3} \\ x = x_{4} \end{array} - x^{3} + 3 x = c \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{5} \\ x = x_{6} \\ x = x_{7} \end{array}$

Nhận xét: Tất cả 9 nghiệm của pt g'(x) = 0 đều là nghiệm đơn

$\Rightarrow$ Hàm số $y = g (x)$ có 9 điểm cực trị.

Câu 8:

Cho hàm số bậc năm y = f(x) liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ như trong hình bên. Tìm số điểm cực đại của hàm số $y = e^{f (x)} . π^{f^{3} (x)}$

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $y = g (x) = e^{f (x)} . π^{f^{3} (x)}$

$\begin{array}{l} g^{'} (x) = {(e^{f (x)} . π^{f^{3} (x)})}^{'} = {(e^{f (x)})}^{'} . π^{f^{3} (x)} + e^{f (x)} . {(π^{f^{3} (x)})}^{'} \\ = f^{'} (x) e^{f (x)} . π^{f^{3} (x)} + e^{f (x)} . π^{f^{3} (x)} . \ln π .3 f^{'} (x) . f^{2} (x) \end{array} = f^{'} (x) e^{f (x)} . π^{f^{3} (x)} (1 + 3 \ln π . f^{2} (x))$

Do $e^{f (x)} . π^{f^{3} (x)} (1 + 3 \ln π . f^{2} (x)) > 0, \forall x \in ℝ$ nên ta có g'(x) và f'(x) cùng dấu.

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) ta suy ra dấu của g'(x) từ đó có bảng biến thiên của hàm số đã cho như sau

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đã cho có 2 điểm cực đại.

Câu 9:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như trong hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = f (|x| + m - 2020)$ có 5 điểm cực trị ?

A. 2024

B. 2022

C. 2020

D. 2018

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt: $g (x) = f (|x| + m - 2020)$ . Ta có: $g (x) = g (- x)$ , do vậy hàm số $y = g (x)$ có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Để g(x) có điểm cực trị trên $ℝ$ , khi đó ta chỉ cần xét hàm g(x) với $x \geq 0$ có hai điểm cực trị có hoành độ $0 < x_{1} < x_{2}$

Ta có $g' (x) = f' (x + m - 2020)$ , suy ra

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + m - 2020 = 3 \\ x + m - 2020 = 5 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2023 - m = x_{1} \\ x = 2025 - m = x_{2} \end{array}$

Vậy $0 < x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow 0 < 2023 - m \Leftrightarrow m < 2023$

Câu 10:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 m x + 2$ cắt đường tròn (C) tâm I(1;1), bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất?

A. $m = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{3}$

B. $m = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

C. $m = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{2}$

D. $m = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

$y^{'} = 3 x^{2} - 3 m$

Hàm số có hai điểm cực trị khi $m > 0 (1)$

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 m x + 2$ có phương trình

$y = - 2 m x + 2 \Leftrightarrow 2 m x + y - 2 = 0$

Diện tích tam giác IAB là

$S_{Δ I A B} = \frac{1}{2} . I A . I B . \sin \hat{A I B} = \frac{1}{2} .1.1. \sin \hat{A I B} = \frac{1}{2} \sin \hat{A I B} \leq \frac{1}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $\hat{A I B} = 90 °$ tức là $Δ I A B$ vuông tại I.

Khi đó $d (I, A B) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{|2 m x_{I} + y_{I} - 2|}{\sqrt{{(2 m)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 2 |2 m - 1| = \sqrt{2} . \sqrt{4 m^{2} + 1} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \\ m = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} \end{array} (2)$

Từ (1) và (2) ta được $m = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{2}$