15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đáp án (P1) (Thông hiểu)

Câu 1:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $[- \frac{π}{2}; - \frac{π}{3}]$ lần lượt là:

A. $- \frac{1}{2}; - \frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $- \frac{\sqrt{3}}{2}; - 1$

C. $- \frac{\sqrt{3}}{2}; - 2$

D. $- \frac{\sqrt{2}}{2}; - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Ta có: $y' = \cos x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

Do $x \in [- \frac{π}{2}; - \frac{π}{3}]$ nên $k = - 1$ hay $x = - \frac{π}{2}$

Suy ra $y (- \frac{π}{2}) = - 1, y (- \frac{π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \{\begin{matrix} \max_{[- \frac{π}{2}; - \frac{π}{3}]} y = - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \min_{[- \frac{π}{2}; - \frac{π}{3}]} y = - 1 \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 2:

Giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ trên đoạn $[\frac{π}{6}; \frac{π}{3}]$ là:

A. $\frac{π}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{3}{π}$

C. $\frac{π}{2}$

D. $\frac{2}{π}$

Xem đáp án

TXĐ: $x \neq 0$

$f' (x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^{2}} < 0 \forall x \in [\frac{π}{6}; \frac{π}{3}]$

Thật vậy, xét hàm $g (x) = x \cos x - \sin x$ trên $[\frac{π}{6}; \frac{π}{3}]$ có:

$g' (x) = \cos x - x \sin x - \cos x = - x \sin x < 0, \forall x \in [\frac{π}{6}; \frac{π}{3}]$

Do đó hàm số g (x) nghịch biến trên $[\frac{π}{6}; \frac{π}{3}]$

Suy ra $g (x) \leq g (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} . \cos \frac{π}{6} - \sin \frac{π}{6} < 0$ hay $x \cos x - \sin x < 0$ với $\forall x \in [\frac{π}{6}; \frac{π}{3}]$

$\Rightarrow \max_{[\frac{π}{6}; \frac{π}{3}]} f (x) = f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{π}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 x + \cos x$ trên đoạn $[0; 1]$ là:

A. -1

B. 1

C. $π$

D. 0

Xem đáp án

Ta có: $y' = 2 - \sin x > 0, \forall x \in R \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $[0; 1]$

$\Rightarrow \min_{[0; 1]} y = y (0) = 1$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4:

Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = 2 x + \cos \frac{π x}{2}$ trên đoạn $[- 2; 2]$ . Giá trị của m + M bằng:

A. 2

B. -2

C. 0

D. -4

Xem đáp án

Ta có: $f (x) = 2 x + \cos \frac{π x}{2}$ $\Rightarrow f' (x) = 2 - \frac{π}{2} \sin \frac{π x}{2}$

Vì $- 1 \leq \sin \frac{π x}{2} \leq 1 \Rightarrow - \frac{π}{2} \leq \frac{π}{2} \sin \frac{π x}{2} \leq \frac{π}{2} \Rightarrow 0 < 2 - \frac{π}{2} \leq 2 - \frac{π}{2} \sin \frac{π x}{2} \leq 2 + \frac{π}{2}$

$\Rightarrow f' (x) > 0 \forall x \in [- 2; 2] \Rightarrow$ hàm số $f (x) = 2 x + \cos \frac{π x}{2}$ là hàm đồng biến trên $[- 2; 2]$

$\Rightarrow f (- 2) \leq f (x) \leq f (2), \forall x \in [- 2; 2]$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} M = \underset{[- 2; 2]}{\max f (x) = f (2) = 3} \\ m = \underset{[- 2; 2]}{\min f (x) = f (- 2) = - 5} \end{matrix}$

$\Rightarrow M + m = 3 + (- 5) = - 2$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 5:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ trên $[3; 5]$ . Khi đó M – m bằng:

A. $\frac{7}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 2

D. $\frac{3}{8}$

Xem đáp án

Xét hàm số $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ trên $[3; 5]$ có $f' (x) = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall x \in [3; 5]$

Suy ra f (x) là hàm số nghịch biến trên $[3; 5]$

Do đó: f(3) $\geq$ f(x) $\geq$ f(5) với mọi $x \in [3; 5]$ $\Rightarrow \{\begin{matrix} M = \underset{[3; 5]}{\max f (x) = f (3) = 2} \\ m = \underset{[3; 5]}{\min f (x) = f (5) = \frac{3}{2}} \end{matrix}$

Suy ra: M - m = $2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 6:

Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 1 + \frac{4}{x - 1}$ trên khoảng $(1; + \infty)$ . Tìm m?

A. $m = 2$

B. $m = 5$

C. $m = 3$

D. $m = 4$

Xem đáp án

$x > 1 \Leftrightarrow x - 1 > 0$

$\Rightarrow y = x - 1 + \frac{4}{x - 1} \geq 2 \sqrt{(x - 1) . \frac{4}{x - 1}} = 2.2 = 4$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x - 1 = \frac{4}{x - 1} \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} = 4 \Leftrightarrow x = 3$

Vậy GTNN của hàm số là m = 4 khi x = 3

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7:

Để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{1}{x} - m$ trên khoảng $(0; + \infty)$

bằng – 3 thì giá trị của tham số m là:

A. $m = \frac{11}{2}$

B. $m = \frac{19}{3}$

C. $m = 5$

D. $m = 7$

Xem đáp án

$x + \frac{1}{x} - m \overset{C a u c h y}{\geq} 2 \sqrt{x . \frac{1}{x}} - m = 2 - m \Rightarrow \min_{(0; + \infty)} y = 2 - m = - 3 \Leftrightarrow m = 5$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 8:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - 1$ trên đoạn $[2; 4]$

A. M = - 10

B. M = - 7

C. M = - 5

D. M = 1

Xem đáp án

$y' = 3 x^{2} - 10 x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 3 \in [2; 4] \\ x = \frac{1}{3} \notin [2; 4] \end{matrix}$

$f (2) = - 7, f (3) = - 10, f (4) = - 5$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - 1$ trên đoạn $[2; 4]$ là M = - 5

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9:

Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = x^{5} - 5 x^{4} + 5 x^{3} + 1$ trên đoạn $[- 1; 2]$

A. $\min_{x \in [- 1; 2]} y = - 10, \max_{x \in [- 1; 2]} y = 2$

B. $\min_{x \in [- 1; 2]} y = - 2, \max_{x \in [- 1; 2]} y = 10$

C. $\min_{x \in [- 1; 2]} y = - 10, \max_{x \in [- 1; 2]} y = - 2$

D. $\min_{x \in [- 1; 2]} y = - 7, \max_{x \in [- 1; 2]} y = 1$

Xem đáp án

Ta có: $y' = 5 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x^{2} = 0 \Leftrightarrow 5 x^{2} (x^{2} - 4 x + 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \in [- 1; 2] \\ x = 1 \in [- 1; 2] \\ x = 3 \notin [- 1; 2] \end{matrix}$

$f (- 1) = - 10, f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = - 7$

Vậy giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trên $[- 1; 2]$ lần lượt là 2 và – 10.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 10:

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 35$ trên đoạn $[- 4; 4]$ . Giá trị của M và m lần lượt là:

A. $M = 40; m = 8$

B. $M = 40; m = - 41$

C. $M = 15; m = - 41$

D. $M = 40; m = - 8$

Xem đáp án

Xét hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 35$ trên đoạn $[- 4; 4]$ , có $y' = 3 x^{2} - 6 x - 9$

Phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow \{\begin{matrix} - 4 \leq x \leq 4 \\ 3 x^{2} - 6 x - 9 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = - 1 \\ x = 3 \end{matrix}$

Tính các giá trị $f (- 4) = - 41; f (- 1) = 40; f (3) = 8; f (4) = 15$

Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lần lượt là: $M = 40; m = - 41$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 11:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{25}{x - 3}$ trên khoảng $(3; + \infty)$

A. 11

B. 10

C. 13

D. 12

Xem đáp án

$y' = 1 - \frac{25}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{{(x - 3)}^{2} - 25}{{(x - 3)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x - 3 = 5 \\ x - 3 = - 5 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 8 \in (3; + \infty) \\ x = - 2 \notin (3; + \infty) \end{matrix}$

$f (8) = 8 + \frac{25}{5} = 13 \Rightarrow \min_{(3; + \infty)} f (x) = 13$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 12:

Cho hàm số $y = \frac{2 m x + 1}{m - x}$ . Giá trị lớn nhất của hàm số trên $[2; 3]$ bằng $\frac{- 1}{3}$ khi m bằng:

A. -5

B. 0

C. 5

D. $\frac{5}{2}$

Xem đáp án

$D = R \ \{m\} \Rightarrow m \notin [2; 3]$

$\Rightarrow y' = \frac{2 m (- x + m) + 1. (2 m x + 1)}{{(- x + m)}^{2}} = \frac{2 m^{2} + 1}{{(- x + m)}^{2}} > 0, \forall x \in [2; 3]$

Hàm số luôn đồng biến trên $[2; 3]$

$\Rightarrow M a x y = f (3) = \frac{6 m + 1}{m - 3}$

$\max y = \frac{- 1}{3} \Leftrightarrow \frac{6 m + 1}{m - 3} = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow 18 m + 3 = - m + 3 \Leftrightarrow m = 0 (t m)$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 13:

Gọi m là giá trị để hàm số $y = \frac{x - m^{2}}{x + 8}$ có giá trị nhỏ nhất trên $[0; 3]$ bằng – 2. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $m^{2} \neq 16$

B. $3 < m < 5$

C. $|m| = 5$

D. $|m| < 5$

Xem đáp án

Ta có: $y = \frac{x - m^{2}}{x + 8}$ , $x \neq - 8 \Rightarrow y' = \frac{1.8 - 1. (- m^{2})}{{(x + 8)}^{2}} = \frac{m^{2} + 8}{{(x + 8)}^{2}} > 0, \forall x \neq - 8$

$\Rightarrow$ hàm số luôn đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 8), (- 8; + \infty)$

$\Rightarrow \min_{[0; 3]} y = y (0) = - \frac{m^{2}}{8} = - 2 \Rightarrow m = \pm 4$

Suy ra $|m| < 5$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 14:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 6$ giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[0; 3]$ bằng 2 khi:

A. $m = 2$

B. $m = \frac{31}{27}$

C. $m > \frac{3}{2}$

D. $m = 1$

Xem đáp án

TXĐ: D = R

$y' = 3 x^{2} - 6 m x$

Ta có: $y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 6 \\ x = 2 m \Rightarrow y = - 4 m^{3} + 6 \end{matrix}$

Xét TH1: m = 0. Hàm số đồng biến trên $[0; 3] \Rightarrow \min_{[0; 3]} y = y (0) = 6 \Rightarrow$ loại

Xét TH2: $m \geq \frac{3}{2} \Rightarrow 2 m \geq 3 > 0$ . Khi đó, hàm số nghịch biến trên $[0; 3] \subset [0; 2 m]$ $\Rightarrow \min_{[0; 3]} y = y (3) = 33 - 27 m = 2 \Rightarrow m = \frac{31}{27} < \frac{3}{2}$

(loại)

Xét TH3: $\frac{3}{2} > m > 0 \Rightarrow 3 > 2 m > 0$ thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là (0; 6) và điểm cực tiểu là $(2 m, - 4 m^{3} + 6)$

Khi đó, GTNN trên $[0; 3]$ là $y (2 m) = - 4 m^{3} + 6 \Rightarrow - 4 m^{3} + 6 = 2 \Leftrightarrow m^{3} = 1 \Leftrightarrow m = 1 (t m)$

Xét TH4: $m < 0 \Rightarrow (0; 6)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số và trên $[0; 3]$ hàm số đồng biến.

$\Rightarrow y_{\min} = 6 \Rightarrow$ loại

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 15:

Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = m x + \frac{36}{x + 1}$ trên $[0; 3]$ bằng 20. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $4 < m \leq 8$

B. $0 < m \leq 2$

C. $2 < m \leq 4$

D. $m > 8$

Xem đáp án

Ta có: $y' = m - \frac{36}{{(x + 1)}^{2}}; \forall x \in [0; 3]$ và $y (0) = 36, y (3) = 3 m + 9$

TH1: hàm số nghịch biến trên đoạn $[0; 3]$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \leq \frac{9}{4} \\ \min y = 3 m + 9 = 20 \end{matrix}$ (vô nghiệm)

TH2: phương trình $y' = m - \frac{36}{{(x + 1)}^{2}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1 + \frac{6}{\sqrt{m}}$ với m > 0

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 20 $\Leftrightarrow y (- 1 + \frac{6}{\sqrt{m}}) = 20$

$\Leftrightarrow m (- 1 + \frac{6}{\sqrt{m}}) + \frac{36}{- 1 + \frac{6}{\sqrt{m}} + 1} = 20 \Leftrightarrow - m + 6 \sqrt{m} + 6 \sqrt{m} = 20$

$\Leftrightarrow - m + 12 \sqrt{m} = 20 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 4 \\ m = 100 \end{matrix}$

Với m = 100 (loại) vì $- 1 + \frac{6}{\sqrt{100}} = - \frac{2}{5} \notin [0; 3]$

Vậy $m = 4 \in (2; 4]$

Đáp án cần chọn là: C