22 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Hàm số liên tục có đáp án (phần 2)

Câu 1:

Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x - 1}{x^{3} - 4 x}$ . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x=-2

B. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x=0

C. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x=0,5

D. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x=2

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số đã cho không xác định tại x=0, x=-2, x=2 nên không liên tục tại các điểm đó.

Hàm số liên tục tại x=0,5 vì nó thuộc tập xác định của hàm phân thức f(x).

Câu 2:

Cho $f (x) = \frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2 - x}}{x}$ với $x ≢ 0$ . Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu để hàm số f(x) liên tục tại x=0?

A. 0

B.1

C. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

D. $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Xem đáp án

Đáp án C

$\lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2 - x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x + 2 - 2 + x}{x (\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 - x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 - x}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy hàm số liên tục tại x=0 khi và chỉ khi f(0)= $\lim_{x \to 0} f (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ và $f (2) = m^{2} - 2$ với $x ≢ 2$ . Giá trị của m để f(x) liên tục tại x =2 là:

A. $\sqrt{3}$

B. $- \sqrt{3}$

C. $\pm \sqrt{3}$

D. $\pm 3$

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số liên tục tại $x = 2 \Leftrightarrow \lim_{x \to 2} f (x) = f (2)$ .

Ta có $\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} = \lim_{x \to 2} (x - 1) = 1$ .

Vậy $m^{2} - 2 = 1 \Leftrightarrow m^{2} = 3 \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = \sqrt{3} \\ m = - \sqrt{3} \end{cases}$ .

Câu 4:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - x + 6}} x \neq 3; x \neq 2 \\ b + \sqrt{3} x = 3; b \in R \end{cases}$ . Tìm b để f(x) liên tục tại x= 3.

A. $\sqrt{3}$

B. $- \sqrt{3}$

C. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

D. $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số liên tục tại $x = 3 \Leftrightarrow \lim_{x \to 3} f (x) = f (3)$ .

$\lim_{x \to 3} \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - x + 6}} = \sqrt{\frac{3^{2} + 1}{3^{3} - 3 + 6}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$f (3) = b + \sqrt{3}$ .

Vậy: $b + \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow b = - \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{- 2}{\sqrt{3}}$ .

Câu 5:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} k h i x > 1 \\ \frac{\sqrt[]{1 - x} + 2}{x + 2} k h i x \leq 1 \end{cases}$ . Khẳng định nào sau đây đúng

A. Hàm số liên tục trên R

B. Hàm số không liên tục trên R

C. Hàm số không liên tục trên $(1; + \infty)$

D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x= 1.

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số xác định với mọi x thuộc R

Với $x < 1 \Rightarrow f (x) = \frac{\sqrt{1 - x} + 2}{x + 2} \Rightarrow$ hàm số liên tục

Với $x > 1 \Rightarrow f (x) = \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} \Rightarrow$ hàm số liên tục

Tại x= 1 ta có : $f (1) = \frac{2}{3}$

$\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[]{x} - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{(x - 1) (\sqrt{x} + 1)}{(x - 1) (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} + 1)} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} + 1} = \frac{1 + 1}{1 + 1 + 1} = \frac{2}{3}$ ;

$\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{\sqrt{1 - x} + 2}{x + 2} = \frac{\sqrt{1 - 1} + 2}{1 + 2} = \frac{2}{3} \Rightarrow \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = f (1)$

Do đó, hàm số liên tục tại x= 1.

Vậy hàm số liên tục trên R.

Câu 6:

Cho phương trình $x^{4} - 3 x^{3} + x - \frac{1}{8} = 0$ (1) .Chọn khẳng định đúng:

A. Phương trình (1) có đúng một nghiệm trên khoảng (-1;3).

B. Phương trình (1) có đúng hai nghiệm trên khoảng (-1;3).

C. Phương trình (1) có đúng ba nghiệm trên khoảng (-1;3)

D. Phương trình (1) có đúng bốn nghiệm trên khoảng (-1;3)

Xem đáp án

Đáp án D

Xét hàm số $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + x - \frac{1}{8}$ liên tục trên [-1;3] .

Ta có : $f (- 1) = \frac{23}{8}; f (0) = - \frac{1}{8}; f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16}; f (1) = - \frac{9}{8}; f (3) = \frac{23}{8}$ .Suy ra :

$f (- 1) . f (0) < 0; f (0) . f (\frac{1}{2}) < 0$ ;

$f (\frac{1}{2}) . f (1) < 0$ và $f (1) . f (3) < 0$

Do đó phương trình có ít nhất 4 nghiệm thuộc khoảng (-1;3).

Mặt khác phương trình bậc 4 có tối đa bốn nghiệm.

Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng (-1;3).

Câu 7:

Cho hàm số $f (x) = \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$ . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I)f(x) gián đoạn tại x= 1

(II)f(x) liên tục tại x =1

(III) $\lim_{x \to 1} f (x) = \frac{1}{2}$

A. Chỉ (I).

B. Chỉ (III)

C. Chỉ (I) và (III)

D. Chỉ (II) và (III)

Xem đáp án

Đáp án C

Tập xác định: $D = R \ {1}$

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{2}$

Hàm số không xác định tại x= 1. Nên hàm số gián đoạn tại x=1.

Câu 8:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{2 x + 8} - 2}{\sqrt{x + 2}} K h i x > - 2 \\ 0 x = - 2 \end{cases}$ . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I) $\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 0$ .

(II) f(x) liên tục tại x = -2

(III) f(x) gián đoạn tại x= -2

A. Chỉ (I) và (III).

B. Chỉ (I) và (II).

C. Chỉ (I).

D. Chỉ (II)

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 9:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} {(x + 1)}^{2}, x > 1 \\ x^{2} + 3, x < 1 \\ k^{2} x = 1 \end{cases}$ . Tìm k để f(x) gián đoạn tại x= 1.

A. $k \neq \pm 2$

B. $k \neq 2$

C. $k \neq - 2$

D. $k \neq \pm 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 10:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{\sqrt{x - 1}} + 2 k h i x > 1 \\ 3 x^{2} + x - 1 k h i x \leq 1 \end{cases}$ . Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A. Hàm số liên tục tại x= 1

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm

C. Hàm số không liên tục tại x= 1

D. Tất cả đều sai

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 11:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x + 1 + \sqrt[3]{x - 1}}{x} k h i x ≢ 0 \\ 2 k h i x = 0 \end{cases}$ . Tìm mệnh đề đúng

A. Hàm số liên tục tại $x_{0} = 0$

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm nhưg gián đoạn tại $x_{0} = 0$

C. Hàm số không liên tục tại $x_{0} = 0$

D. Tất cả đều sai

Xem đáp án

Đáp án A

Vậy hàm số liên tục tại x = 0.

Câu 12:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{3 - \sqrt{9 - x}}{x}, 0 < x < 9 \\ m, x = 0 \\ \frac{3}{x}, x \geq 9 \end{cases}$ . Tìm m để f(x) liên tục trên $[0; + \infty)$

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $1$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 13:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} a^{2} x^{2}, x \leq \sqrt{2}, a \in ℝ \\ (2 - a) x^{2}, x > \sqrt{2} \end{cases}$ . Giá trị của a để f(x) liên tục trên R là:

A. 1 và 2

B. 1 và -1

C. -1 và 2.

D. 1 và -2

Xem đáp án

Đáp án D

+ Tập xác định: D = R

Câu 14:

Chọn giá trị f(0) để các hàm số $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 1} - 1}{x (x + 1)}$ liên tục tại điểm x= 0.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 15:

$l i m \frac{2 n^{4} - 2 n + 4}{3 n^{4} + 2 n + 21}$ bằng:

A. 2/3

B. +∞

C. 3/4

D. 5/27

Xem đáp án

Chọn A

Câu 16:

$l i m \frac{2 n^{4} - 2 n + 9}{3 n^{4} + 2 n + 1}$ bằng:

A. 0

B. +∞

C. 2/3

D. 3/2

Xem đáp án

Chọn C

Câu 17:

$l i m \frac{5 n^{2} - 3 n^{4}}{4 n^{4} + 3 n + 7}$ bằng:

A. -3/4

B. -∞

C. 5/4

D. 3/4

Xem đáp án

Chọn A

Câu 18:

$l i m \frac{9 - 2 n + 3 n^{3}}{4 n^{2} + 2 n + 1}$ bằng:

A. 3/4

B. 5/7

C. 0

D. +∞

Xem đáp án

Chọn D

Câu 19:

Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞?

A. $u_{n} = n^{2} - 2 n^{3}$

B. $u_{n} = n^{2} - 5 n^{3} - 1$

C. $u_{n} = 2 n^{2} - 2016 n$

D. $u_{n} = 6 n^{3} - n^{4}$

Xem đáp án

Chọn C

Xét phương án C:

Câu 20:

Cho hàm số: $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{3} - 3 x - 2}{x - 2} v o i x \neq 2 \\ a v o i x = 2 \end{cases}$

Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho liên tục tại x=2

A. -2

B. -1

C. 9

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

Do đó, để hàm số liên tục tại x = 2 thì f(2) = 9

Câu 21:

Dãy số nào sau đây có giới hạn là -∞?

A. $u_{n} = n^{4} - 2 n^{3}$

B. $u_{n} = 4 n^{3} - n^{4}$

C. $u_{n} = 7 n^{2} - 8 n$

D. $u_{n} = - n^{2} + 4 n^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Xét phương án B

Câu 22:

$l i m \frac{\sqrt{4 n^{2} + 5} + \sqrt{n + 4}}{2 n - 3}$ bằng:

A. 0

B. 1

C. 2

D. +∞

Xem đáp án

Chọn B

$\lim \frac{\sqrt{4 n^{2} + 5} + \sqrt{n + 4}}{2 n - 3} = \lim \frac{\sqrt{4 + \frac{5}{n^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{4}{n^{2}}}}{2 - \frac{3}{n}} = 1$