19 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp có đáp án (phần 2)

Câu 1:

Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là

A. 24

B. 120

C. 60

D. 16

Xem đáp án

Đáp án là A

Xếp bạn Chi ngồi giữa có 1 cách.

Số cách xếp 4 bạn sinh An, Bình, Dũng, Lệ vào 4 chỗ còn lại là

một hoán vị của 4 phần tử nên có có 4! = 24 cách.

Vậy có 1.24 = 24 cách xếp.

Câu 2:

Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?

A. 345600

B. 725760

C.103680

D.518400

Xem đáp án

Đáp án là C

Số các hoán vị về màu bi khi xếp thành dãy là 3!

Số cách xếp 3 viên bi đen khác nhau thành dãy là 3!

Số cách xếp 4 viên bi đỏ khác nhau thành dãy là 4!

Số cách xếp 5 viên bi xanh khác nhau thành dãy là 5!

Số cách xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau là 3!. 3!. 4!. 5! = 103680 cách.

Câu 3:

Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 4 người ngồi vào 6 chỗ trên một bàn dài?

A.15

B. 720

C. 30

D. 360

Xem đáp án

Đáp án là D

Số cách xếp khác nhau cho 4 người ngồi vào 6 chỗ trên một bàn dài là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.

Suy ra có $A_{6}^{4} = 360$ cách.

Câu 4:

Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn ra 3 người vào ban thường vụ. Nếu cần chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ bí thư, phó bí thư, ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn?

A. 210

B. 200

C. 180

D. 150

Xem đáp án

Đáp án là A

Số cách chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ bí thư, phó bí thư, ủy viên thường vụ từ 7 người là số các chỉnh hợp chập ba của bảy phần tử.

Vậy có $A_{7}^{3} = 210$ .

Câu 5:

Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên?

A.9880

B. 59280

C. 2300

D. 455

Xem đáp án

Đáp án là A

Nhóm học sinh 3 người được chọn (không phân biệt nam, nữ - công việc) là một tổ hợp chập 3 của 40 (học sinh).

Vì vậy, số cách chọn nhóm học sinh là $c_{40}^{3} = \frac{40!}{37! . 3!} = 9880$

Câu 6:

Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông)?

A. 10

B. 30

C. 6

D. 60

Xem đáp án

Đáp án là A

Cắm 3 bông hoa giống nhau, mỗi bông vào 1 lọ nên ta sẽ lấy 3 lọ bất kỳ trong 5 lọ khác nhau để cắm bông.

Vậy số cách cắm bông bằng số cách chọn 3 lọ từ 5 lọ - và bằng số

tổ hợp chập 3 của 5 phần tử (lọ hoa).

Như vậy, ta có $C_{5}^{3} = \frac{5!}{2! . 3!} = 10$ cách.

Câu 7:

Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?

A. 15

B. 20

C. 60

D. Một số khác

Xem đáp án

Đáp án là B

Cứ 3 điểm phân biệt không thẳng hàng tạo thành một tam giác.

Số tam giác cần tìm chính là một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử (điểm).

Như vậy, ta có $C_{6}^{3} = 20$ tam giác.

Câu 8:

Cho 10 điểm phân biệt $A_{1}, A_{2}, . . . . . A_{10}$ trong đó có 4 điểm $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ thẳng hàng, ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 điểm trên?

A. 96 tam giác.

B. 60 tam giác.

C. 116 tam giác.

D. 80 tam giác.

Xem đáp án

Đáp án là C

Số cách lấy 3 điểm từ 10 điểm phân biệt là $C_{10}^{3} = 120$

Số cách lấy 3 điểm bất kì trong 4 điểm $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ là $C_{4}^{3} = 4$

Khi lấy 3 điểm bất kì trong 4 điểm $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ thì sẽ không tạo thành tam giác.

Như vậy, số tam giác tạo thành : 120- 4 = 116 tam giác.

Câu 9:

Cho hai đường thẳng song song $d_{1}$ và $d_{2}$ . Trên $d_{1}$ lấy 17 điểm phân biệt, trên $d_{2}$ lầy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 37 điểm này.

A. 5690

B.5960

C. 5950

D. 5590

Xem đáp án

Đáp án là C

Một tam giác được tạo bởi ba điểm phân biệt nên ta xét:

TH1. Chọn 1 điểm thuộc $d_{1}$ và 2 điểm thuộc $d_{2}$ : có $c_{17}^{1} . c_{20}^{2}$ tam giác.

TH2. Chọn 2 điểm thuộc $d_{1}$ và 1 điểm thuộc $d_{2}$ : có $c_{17}^{2} . c_{20}^{1}$ tam giác.

Như vậy, ta có $C_{17}^{1} . C_{20}^{2} + C_{17}^{2} . C_{20}^{1} = 5950$ tam giác cần tìm.

Câu 10:

Số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là:

A. 10

B. 20

C. 18

D. 22

Xem đáp án

Đáp án là B

Hai đường tròn phân biệt cho tối đa hai giao điểm.

Và 5 đường tròn phân biệt cho số giao điểm tối đa khi 2 đường tròn bất kỳ trong 5 đường tròn đôi một cắt nhau.

Vậy số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là $2 . C_{5}^{2} = 20$

Câu 11:

Với đa giác lồi 10 cạnh thì số đường chéo là

A. 90

B. 45

C. 35

D. Một số khác.

Xem đáp án

Đáp án là C

Đa giác lồi 10 cạnh thì có 10 đỉnh.

Lấy hai điểm bất kỳ trong 10 đỉnh của đa giác lồi ta được số đoạn thẳng gồm cạnh và đường chéo của đa giác lồi.

Do đó, tổng số cạnh và đường chéo của đa giác là: $C_{10}^{2}$

Suy ra,số đường chéo cần tìm là $C_{10}^{2} - 10 = \frac{10!}{8! . 2!} - 10 = 35$

Câu 12:

Cho đa giác đều n đỉnh, $n \in N$ và $n \geq 3$ Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo.

A. n= 15

B.n = 27

C.n = 8

D.n = 18

Xem đáp án

Đáp án là D

Đa giác lồi n đỉnh thì có n cạnh.

Nối 2 điểm bất kì từ n điểm này ta được 1 đường chéo hoặc 1 cạnh của đa giác.

Do đó, số đường chéo bằng tổng số đoạn thẳng được dựng từ n điểm trừ đi số cạnh.

TỔng số đoạn thẳng được dựng từ n điểm là số tổ hợp chập 2 của n phần tử.

Như vậy, tổng số đoạn thẳng là $C_{n}^{2}$

Số cạnh của đa giác lồi là n

Suy ra số đường chéo của đa giác đều n đỉnh là:

$C_{n}^{2} - n = \frac{n!}{(n - 2)! . 2!} - n = \frac{n . (n - 1)}{2} - n = \frac{n (n - 3)}{2}$

Theo bài ra, ta có $\{\begin{array}{l} n \geq 3 \\ \frac{n (n - 3)}{2} = 135 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} n \geq 3 \\ n^{2} - 3 n - 270 = 0 \end{array} \Leftrightarrow n = 18$

Câu 13:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được tạo ra từ các số khác 0 mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ?

A. $4! C_{4}^{1} C_{5}^{1}$

B. $3! C_{3}^{2} C_{5}^{2}$

C. $4! C_{4}^{2} C_{5}^{2}$

D. $3! C_{4}^{2} C_{5}^{2}$

Xem đáp án

Đáp án là C

Số cách chọn 2 số chẵn trong tập hợp $\{2; 4; 6; 8\}$ là: $C_{4}^{2}$ cách.

Số cách chọn 2 số lẻ trong tập hợp $\{1; 3; 5; 7; 9\}$ là: $C_{5}^{2}$ cách.

Số cách hoán vị 4 chữ số đã chọn lập thành 1 số tự nhiên là: 4! cách.

Vậy có $4! . C_{4}^{2} . C_{5}^{2}$ số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 14:

Một túi đựng 6 bi trắng, 5 bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó. Hỏi có bao nhiêu cách lấy mà 4 viên bi lấy ra có đủ hai màu.

A. 300

B. 310

C. 320

D. 330

Xem đáp án

Đáp án là B

Các viên bi lấy ra có đủ cả 2 màu nên ta có các trường hợp:

Số bi trắng	Số bi xanh	Số cách chọn
1	3	$C_{6}^{1} . C_{5}^{3}$
2	2	$C_{6}^{2} . C_{5}^{2}$
3	1	$C_{6}^{3} . C_{5}^{1}$

Vậy có tất cả cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

$C_{6}^{1} . C_{5}^{3}$ + $C_{6}^{2} . C_{5}^{2}$ + $C_{6}^{3} . C_{5}^{1}$ =310

Câu 15:

Từ 20 người cần chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư kí và 3 ủy viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đoàn đại biểu ?

A. 4651200

B.4651300

C. 4651400

D. 4651500

Xem đáp án

Đáp án A

Số cách chọn 1 người trong 20 người làm trưởng đoàn là: $C_{20}^{1}$ cách.

Số cách chọn 1 người trong 19 người còn lại làm phó đoàn là: $C_{19}^{1}$ cách.

Số cách chọn 1 người trong 18 người còn lại làm thư kí là: $C_{18}^{1}$ cách.

Số cách chọn 3 người trong 17 người còn lại làm ủy viên là: $C_{17}^{3}$ cách.

Vậy số cách chọn đoàn đại biểu là $C_{20}^{1} . C_{19}^{1} . C_{18}^{1} . C_{17}^{3} = 4651200$ .

Câu 16:

Một nhóm đoàn viên thanh niên tình nguyện về sinh hoạt tại một xã nông thôn gồm có 21 đoàn viên nam và 15 đoàn viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân chia 3 nhóm về 3 ấp để hoạt động sao cho mỗi ấp có 7 đoàn viên nam và 5 đoàn viên nữ?

A. $3 C_{36}^{12}$

B. $C_{36}^{12}$

C. $3 C_{21}^{7} C_{15}^{5}$

D. $C_{21}^{7} C_{15}^{5} C_{14}^{7} C_{10}^{5}$

Xem đáp án

Đáp án là D

Nhóm thứ 1: chọn 7 nam từ 21 bạn nam, chọn 5 nữ từ 15 bạn nữ nên số cách chọn nhóm thứ nhất là: $C_{21}^{7} . C_{15}^{5}$ cách.

Nhóm thứ 2: chọn 7 nam từ 14 bạn nam còn lại, chọn 5 nữ từ 10 bạn nữ còn lại nên số cách chọn nhóm thứ hai là: $C_{14}^{7} . C_{10}^{5}$ cách.

Số cách chọn nhóm thứ ba là: $C_{7}^{7} . C_{5}^{5}$ cách.

Vậy có $(C_{21}^{7} . C_{15}^{5}) . (C_{14}^{7} . C_{10}^{5}) . (C_{7}^{7} . C_{4}^{5}) = C_{21}^{7} C_{15}^{5} C_{14}^{7} C_{10}^{5}$ cách chia nhóm.

Câu 17:

Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong số học sinh giỏi đó sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh?

A.85

B. 58

C. 508

D. 805

Xem đáp án

Đáp án là D

Số cách chọn 6 học sinh bất kì trong 12 học sinh là: $C_{12}^{6}$ cách.

Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 10 ( hay 6 học sinh từ khối 11 và 12) là: $C_{7}^{6}$ cách.

Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 11 (hay 6 học sinh từ khối 10 và 12) là: $C_{8}^{6}$ cách.

Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 12 (hay 6 học sinh từ khối 10 và 11) là: $C_{9}^{6}$ cách.

Vậy có $C_{12}^{6} - (C_{7}^{6} + C_{8}^{6} + C_{9}^{6}) = 805$ cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 18:

Một hộp bi có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi trong đó số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng.

A. 654

B. 275

C. 462

D. 357

Xem đáp án

Đáp án là B

Tổng số bi lấy ra có 4 viên mà bi đỏ nhiều hơn bi vàng nên có 2 trường hợp xảy ra:

TH1: Không có bi vàng, khi đó số bi đỏ phải từ 1 viên trở lên.

Số cách lấy 4 viên bi bất kì trong tổng số 9 viên bi (gồm 5 đỏ và 4 xanh) là: $C_{9}^{4}$ cách.

Số cách lấy 4 viên bi xanh ( khi đó bi đỏ không được lấy ra) là: $C_{4}^{4}$ cách.

$\Rightarrow$ Số cách lấy thỏa mãn trong trường hợp này là: $C_{9}^{4} - C_{4}^{4} = 125$ cách.

TH2: Có 1 viên bi vàng, khi đó số bi đỏ phải từ 2 viên trở lên.

Số cách lấy 1 viên bi vàng: $C_{3}^{1}$ cách.

Số cách lấy 3 viên bi còn lại trong đó có 2 bi đỏ và 1 bi xanh là: $C_{5}^{2} . C_{4}^{1}$ cách.

Số cách lấy 3 viên bi còn lại đều là bi đỏ là: $C_{5}^{3} . C_{4}^{0}$ cách.

$\Rightarrow$ Số cách lấy thỏa mãn trong trường hợp này là: $C_{3}^{1} . (C_{5}^{2} . C_{4}^{1} + C_{5}^{3} . C_{4}^{0}) = 150$ cách.

Vậy có 125 + 150 = 275 cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 19:

Tìm giá trị $n \in N$ thỏa mãn $C_{n + 1}^{1} + 3 C_{n + 2}^{2} = C_{n + 1}^{3}$

A. n = 12

B. n= 9

C. n = 16

D. n= 8

Xem đáp án

Đáp án là A

Điều kiện: $n \geq 2$ và $n \in N$

Ta có

$C_{n + 1}^{1} + 3 C_{n + 2}^{2} = C_{n + 1}^{3} \Leftrightarrow \frac{(n + 1)!}{1! . n!} + 3 . \frac{(n + 2)!}{2! . n!} = \frac{(n + 1)!}{3! . (n - 2)!}$

$\Leftrightarrow n + 1 + 3 . \frac{(n + 1) . (n + 2)}{2} = \frac{(n - 1) . n . (n + 1)}{6} \Leftrightarrow 1 + 3 . \frac{(n + 2)}{2} = \frac{(n - 1) . n}{6}$

( vì n + 1 > 0 nên chia cả 2 vế cho n +1).

$\Leftrightarrow 6 + 3.3 (n + 2) = (n - 1) . n \Leftrightarrow 6 + 9 n + 18 = n^{2} - n \Leftrightarrow n^{2} - 10 n - 24 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} n = - 2 (L) \\ n = 12 (t m) \end{cases}$