32 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Khái niệm và tính chất bất đẳng thức

Câu 1:

Nếu $a > b$ và $c > d$ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A. $a c > b d$

B. $a - c > b - d$

C. $a - d > b - c$

D. $- a c > - b d$

Xem đáp án

Áp dụng tính chất: Nếu $a > b$ và $c > d$ thì $a + c > b + d$ , từ đó suy ra $a - d > b - c$ .

Đáp án là C.

Câu 2:

Nếu a, b và c là các số bất kì và a > b thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A. $a c > b c$

B. $a^{2} > b^{2}$

C. $a + c > b + c$

D. $c - a > c - b$

Xem đáp án

Áp dụng tính chất: Nếu $a > b$ và c là số bất kì thì a + c > b + c.

Đáp án là C.

Câu 3:

Nếu $a > b$ và $c > d$ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A. $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$

B. $a - c > b - d$

C. $a c > b d$

D. $a + c > b + d$

Xem đáp án

Áp dụng tính chất: Nếu $a > b$ và $c > d$ thì $a + c > b + d$ .

Đáp án là D.

Câu 4:

Nếu $a > b > 0, c > d > 0$ thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng?

A. $a c > b c$

B. $a - c > b - d$

C. $a^{2} > b^{2}$

D. $a c > b d$

Xem đáp án

Áp dụng tính chất:

+ Nếu a > b và c là số dương thì ac > bc.

+ Nếu a > b > 0 thì $a^{2} > b^{2}$ .

+ Nếu $a > b > 0, c > d > 0$ thì ac > bd.

Do đó ba bất đẳng thức ở các phương án A, C, D đều đúng.

Bất đẳng thức ở phương án B không đúng, chẳng hạn 5>3,4>1 mà 5-4<3-1. Vậy đáp án là B.

Câu 5:

Sắp xếp ba số sau theo thứ tự từ bé đến lớn:

$\sqrt{6} + \sqrt{13}; \sqrt{19} v à \sqrt{3} + \sqrt{16}$ .

A. $\sqrt{19}; \sqrt{3} + \sqrt{16}; \sqrt{6} + \sqrt{13}$

B. $\sqrt{3} + \sqrt{16}; \sqrt{19}; \sqrt{6} + \sqrt{13}$

C. $\sqrt{19}; \sqrt{6} + \sqrt{13}; \sqrt{3} + \sqrt{16}$

D. $\sqrt{6} + \sqrt{13}; \sqrt{3} + \sqrt{16}; \sqrt{19}$

Xem đáp án

Đặt $a = \sqrt{6} + \sqrt{13}, b = \sqrt{19} v à c = \sqrt{3} + \sqrt{16}$ thì a, b, c đều dương.

Vì $a^{2} = 19 + 2 \sqrt{78}, b^{2} = 19, c^{2} = 19 + 2 \sqrt{48}$ nên $b^{2} < c^{2} < a^{2}$ , do đó $b < c < a$ . Đáp án là A.

Câu 6:

Cho hai số thực a, b sao cho $a > b$ .

Bất đẳng thức nào sau đây không đúng?

A. $b - a < 0$

B. $- 2 a + 3 < - 2 b + 3$

C. $a^{4} > b^{4}$

D. $a + 2 > b + 2$

Xem đáp án

Bất đẳng thức $a^{4} > b^{4}$ không đúng. Chẳng hạn $1 > - 2$ nhưng $1^{4} < {(- 2)}^{4}$ .

Các bất đẳng thức còn lại đều đúng. Đáp án là C.

Câu 7:

Cho biết hai số thực a và b có tổng bằng 3.

Khẳng định nào sau đây là đúng về tích của hai số a và b?

A. Có giá trị nhỏ nhất là $\frac{9}{4}$

B. Có giá trị lớn nhất là $\frac{9}{4}$

C. Có giá trị lớn nhất là $\frac{3}{2}$

D. Không có giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

Vì $a + b = 3$ nên $b = 3 - a$ . Do đó:

$a b = a (3 - a) = - a^{2} + 3 a = - (a^{2} - 2 . \frac{3}{2} a + \frac{9}{4}) + \frac{9}{4} = - {(a - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{4} \leq \frac{9}{4} \forall a$

$a b = \frac{9}{4} \Leftrightarrow a = b = \frac{3}{2}$ Vậy giá trị lớn nhất của a.b là $\frac{9}{4}$ (đạt được khi $a = b = \frac{3}{2}$ ).

Đáp án là B.

Câu 8:

Bất đẳng thức nào sau đây là đúng với mọi số thực x?

A. $|x| > x$

B. $|x| > - x$

C. $|x^{2}| > x^{2}$

D. $|x| \geq x$

Xem đáp án

Cách 1: Với mọi x thì $|x| \geq x$ . Đáp án là D.

Cách 2: Dùng cách loại trừ:

+ Lấy x > 0 thì $|x| = x$ nên bất đẳng thức $|x| > x$ không đúng.

+ Lấy x < 0 thì $|x| = - x$ nên bất đẳng thức $|x| > - x$ không đúng.

+ Ta có $|x^{2}| = x^{2}$ với mọi x nên bất đẳng thức $|x^{2}| > x^{2}$ không đúng.

Đáp án là D.

Câu 9:

Cho $a \geq 1, b \geq 1$ . Bất đẳng thức nào sau đây không đúng?

A. $a \geq 2 \sqrt{a - 1}$

B. $a b \geq 2 a \sqrt{b - 1}$

C. $a b \leq 2 a \sqrt{b - 1}$

D. $2 \sqrt{b - 1} \leq b$

Xem đáp án

Cách 1: Có thể thay a = b = 1 vào các bất đẳng thức $a b \leq 2 a \sqrt{b - 1}$ thì thấy ngay bất đẳng thức không đúng. Đáp án là C.

Cách 2: Do $a \geq 1$ nên $a - 1 \geq 0$ . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho a - 1 và 1 ta có $(a - 1) + 1 \geq 2 \sqrt{(a - 1) . 1}$ . Do đó $a \geq 2 \sqrt{a - 1}$ .

Tương tự $(b - 1) + 1 \geq 2 \sqrt{(b - 1) . 1}$ , hay $b \geq 2 \sqrt{b - 1}$ . (*)

Nhân hai vế của bất đẳng thức (*) với a > 0 ta được $a b \geq 2 a \sqrt{b - 1}$ .

Dùng phương pháp loại trừ, suy ra đáp án là C.

Câu 10:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x + \frac{2}{x}$ với x >0 là:

A. 4

B. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

C. $\sqrt{2}$

D. $2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Do x> 0 nên $\frac{2}{x} > 0$ .

Áp dụng bất đẳng thức cô- si cho hai số dương $x; \frac{2}{x}$ ta được:

$f (x) = x + \frac{2}{x} \geq 2 . \sqrt{x . \frac{2}{x}} = 2 \sqrt{2}$

$f (x) = 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow x = \frac{2}{x} \Leftrightarrow x^{2} = 2 \Leftrightarrow x = \sqrt{2} (x > 0)$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x + \frac{2}{x}$ với x > 0 là $2 \sqrt{2}$ .

Đáp án là D.

Câu 11:

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x² + 3x với $x \in ℝ$ là:

A. $- \frac{3}{2}$

B. $- \frac{9}{4}$

C. $- \frac{27}{4}$

D. $- \frac{81}{8}$

Xem đáp án

Ta có $x^{2} + 3 x = x^{2} + 2 . x . \frac{3}{2} + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} = {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Lại có: ${(x + \frac{3}{2})}^{2} \geq 0 \forall x \Rightarrow {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} \geq \frac{- 9}{4}$

Do đó ; $x^{2} + 3 x \geq \frac{- 9}{4}$

$x^{2} + 3 x = \frac{- 9}{4}$ khi $x = - \frac{3}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x^{2}$ + 3x là $- \frac{9}{4}$ đạt được khi $x = - \frac{3}{2}$ .

Đáp án là B.

Câu 12:

Với giá trị nào của a thì hệ phương trình $\{\begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 2 a - 1 \end{cases}$ có nghiệm (x;y) với x.y lớn nhất?

A. $a = \frac{1}{4}$

B. $a = \frac{1}{2}$

C. $a = - \frac{1}{2}$

D. $a = 1$

Xem đáp án

Ta có : $\{\begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 2 a - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x + y = 1 \\ 2 x = 2 a \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 1 - a \\ x = a \end{cases}$

Do đó :

$x y = a . (1 - a) = a - a^{2} = - (a^{2} - 2 . \frac{1}{2} a + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} = - {(a - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$

Do $- {(a - \frac{1}{2})}^{2} \leq 0 \forall a \Rightarrow - {(a - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4} \leq \frac{1}{4}$

Suy ra,giá trị lớn nhất của xy là $\frac{1}{4}$ khi $a = \frac{1}{2}$ .

Đáp án là B.

Câu 13:

Nếu m, n là các số thực thỏa mãn $m > 0; n < 0$ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A. $m > - n$

B. $n - m < 0$

C. $- m > - n$

D. $m - n < 0$

Xem đáp án

Nếu m >0 thì – m <0

Ta có: n <0 và – m <0 nên n + (-m) < 0 hay n – m < 0

Chọn B.

Câu 14:

Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a?

A. $5 a > 3 a$

B. $3 a > 5 a$

C. $5 - 3 a > 3 - 6 a$

D. $5 + a > 3 + a$

Xem đáp án

Ta có: 5 >3 nên cộng cả hai vế với a ta được: 5 + a > 3 + a

Câu 15:

Nếu a, b, c là các số thực bất kì và a < b thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A. $2 a + 5 c < 2 b + 5 c$

B. $a^{2} < b^{2}$

C. $a c > b c$

D. $a c < b c$

Xem đáp án

Do a< b mà 2 > 0 nên 2a < 2b (*)

Cộng cả 2 vế của (*) với 5c ta được: 2a + 5c < 2b + 5c

Câu 16:

Nếu a > b > 0, c > d > 0 thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng?

A. $a + c > b + d$

B. $a c > b d$

C. $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$

D. $\frac{a}{b} > \frac{d}{c}$

Xem đáp án

Nếu a> b >0 và c> d > 0 thì

* a+ c > b + d

* Từ a > b > 0 và c > 0 nên ac > bc (1)

Lại có c > d và b > 0 nên bc > bd (2)

Từ(1) và (2) suy ra: ac > bd.

* Ta có:

$\frac{a}{b} > \frac{b}{b} = 1; \frac{d}{c} < \frac{c}{c} = 1 \Rightarrow \frac{a}{b} > 1 > \frac{d}{c}$

Vậy khẳng định C sai.

Câu 17:

Nếu a, b là các số thực thỏa mãn a - b > a và a + b < b thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A. b < a

B. a < b

C. a < b < 0

D. a < 0 và b < 0

Xem đáp án

* Từ a- b > a suy ra: a – b + ( -a) > a + (-a) hay – b >0

$\Leftrightarrow$ b < 0 ( nhân cả 2 vế với -1).

* Từ a + b < b suy ra: a + b + (- b) < b + (-b)

Hay a < 0

Vậy a < 0 và b < 0 .

Câu 18:

Nếu các số thực a, b, c thỏa mãn a + 4c > b + 4c thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A. $- 2 a > - 2 b$

B. $a^{2} > b^{2}$

C. $6 a > 6 b$

D. $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

Xem đáp án

Do a + 4 c > b + 4c nên : a + 4c + (- 4c) > b + 4c + (-4c) hay a> b.

Nhân cả 2 vế với 6> 0 ta được: 6a > 6b.

Do đó C đúng

Cho a = 0, b = -2

$\Rightarrow$ -2.0<-2.-2. Nên A sai.

$\Rightarrow 0^{2} < {(- 2)}^{2}$ . Nên B sai.

$\Rightarrow \frac{1}{0}$ không tồn tại. Nên D sai.

Chọn C.

Câu 19:

Một tam giác có độ dài các cạnh là 1, 2 , x, trong đó x là số nguyên. Tìm x.

A. x = 1

B. x = 2

C. x = 3

D. x = 4

Xem đáp án

Vì độ dài các cạnh của tam giác là 1; 2; x nên áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

$1 + 2 > x; 1 + x > 2; 2 + x > 1$ do đó $1 < x < 3$ , mà x nguyên nên x= 2.

Câu 20:

Với số thực a bất kì, biểu thức nào sau đây có thể nhận giá trị âm?

A. $a^{2} + 2 a + 1$

B. $a^{2} + a + 1$

C. $a^{2} - 2 a + 1$

D. $a^{2} + 2 a - 1$

Xem đáp án

Ta có:

* a² + 2a + 1 = (a+ 1)²

* $a^{2} + a + 1 = a^{2} + 2 . \frac{1}{2} a + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {(a + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} > 0 \forall a$

* a² – 2a + 1 = (a- 1)²

Do đó, chỉ có biểu thức a² + 2a – 1 có thể nhận giá trị âm .

Câu 21:

Tìm số lớn nhất, nhỏ nhất trong các số sau: $3 + \sqrt{2}; \sqrt{15}; 2 + \sqrt{3}; 4$

A. Số nhỏ nhất là $\sqrt{15}$ , số lớn nhất là $2 + \sqrt{3}$

B. Số nhỏ nhất là $2 + \sqrt{3}$ , số lớn nhất là 4

C. Số nhỏ nhất là $\sqrt{15}$ , số lớn nhất là $3 + \sqrt{2}$

D. Số nhỏ nhất là $2 + \sqrt{3}$ , số lớn nhất là $3 + \sqrt{2}$

Xem đáp án

* Ta có 15 < 16 nên $\sqrt{15} < \sqrt{16} = 4$

$\sqrt{2} > 1 \Rightarrow 3 + \sqrt{2} > 3 + 1$ hay $3 + \sqrt{2} > 4$

* Do ${(\sqrt{15})}^{2} = 15; {(2 + \sqrt{3})}^{2} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ;

$2 > \sqrt{3} \Leftrightarrow 8 > 4 \sqrt{3} \Leftrightarrow 8 + 7 > 7 + 4 \sqrt{3}$ hay 15 $> 7 + 4 \sqrt{3}$

* Từ trên suy ra: $7 + 4 \sqrt{3} < 15 < 16 < 11 + 6 \sqrt{2}$

Nên: $2 + \sqrt{3} < \sqrt{15} < 4 < 3 + \sqrt{2}$

Câu 22:

Với giá trị thực nào của a thì hệ phương trình $\{\begin{cases} x + y = a^{2} + a + 1 \\ x - y = - a^{2} + a - 1 \end{cases}$ có nghiệm (x;y) với 3x+y nhỏ nhất?

A. $a = - \frac{5}{2}$

B. $a = \frac{3}{2}$

C. $a = - \frac{3}{2}$

D. $a = 0$

Xem đáp án

Ta có: $\{\begin{cases} x + y = a^{2} + a + 1 \\ x - y = - a^{2} + a - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = a^{2} + a + 1 \\ 2 x = 2 a \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = a^{2} + 1 \\ x = a \end{cases}$

Do đó $3 x + y = a^{2} + 3 a + 1 = {(a + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{5}{4} \geq - \frac{5}{4}$ . Dấu bằng xảy ra khi $a = - \frac{3}{2}$ .

Câu 23:

Cho các số thực x, y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 1$ .

Kí hiệu S = x + y , khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $S \leq - 2$

B. $S \geq \sqrt{2}$

C. $- \sqrt{2} \leq S \leq \sqrt{2}$

D. $- 2 \leq S \leq 2$

Xem đáp án

Ta có :

$0 \leq {(x - y)}^{2} \Leftrightarrow 0 \leq x^{2} - 2 x y + y^{2} \Leftrightarrow 2 x y \leq x^{2} + y^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 2 x y \leq x^{2} + y^{2} + x^{2} + y^{2} \Leftrightarrow {(x + y)}^{2} \leq 2 (x^{2} + y^{2}) \Leftrightarrow {(x + y)}^{2} \leq 2 \Leftrightarrow - \sqrt{2} \leq x + y \leq \sqrt{2}$

Do đó $- \sqrt{2} \leq S \leq \sqrt{2}$ .

Câu 24:

Cho số thực x < 2. Biểu thức nào luôn nhận giá trị nhỏ nhất trong các biểu thức sau: $\frac{2}{x}; \frac{2}{x + 1}; \frac{2}{x - 1}; \frac{x + 1}{2}; \frac{x}{2}$ ?

A. $\frac{2}{x}$

B. $\frac{2}{x + 1}$

C. $\frac{2}{x - 1}$

D. $\frac{x}{2}$

Xem đáp án

Do x> 2 nên 0 < x- 1 < x< x+ 1, do đó $\frac{2}{x + 1} < \frac{2}{x} < \frac{2}{x - 1}$ và $\frac{x + 1}{2} > \frac{x}{2}$ .

Hơn nữa, do x > 2 nên $\frac{x}{2} > \frac{2}{2} > \frac{2}{x}$ .

Suy ra biểu thức luôn nhận giá trị nhỏ nhất trong các biểu thức đã cho là $\frac{2}{x + 1}$ .

Câu 25:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $f (x) = x^{2} - 6 |x|$ với $x \in ℝ$ .

A. -9

B. -6

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Ta có $x^{2} - 6 |x| = {(|x| - 3)}^{2} - 9 \geq - 9$ với mọi x.

$x^{2} - 6 |x| = - 9 \Leftrightarrow |x| - 3 = 0 \Leftrightarrow |x| = 3 \Leftrightarrow x = \pm 3$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức với $x \in ℝ$ là $- 9$ , đạt được khi $x = \pm 3$ .

Câu 26:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $g (x) = x^{2} + 3 |x|$ với $x \in ℝ$ .

A. $- \frac{9}{4}$

B. $- \frac{3}{2}$

C. 0

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Ta có: $x^{2} \geq 0; 3 |x| \geq 0 \forall x \Rightarrow g (x) = x^{2} + 3 |x| \geq 0 \forall x$

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức g(x) là 0 khi x= 0.

Câu 27:

Cho hai số thực a, b tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $|a + b| = |a| + |b|$

B. $|a + b| \leq |a| + |b|$

C. $|a + b| < |a| + |b|$

D. $|a + b| > |a| + |b|$

Xem đáp án

Với 2 số thực a và b tùy ý, ta luôn có: $|a + b| \leq |a| + |b|$

Dấu “=” xảy ra khi a và b cùng dấu.

Câu 28:

Cho hai số thực a, b tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $|- a b| < |a| . |b|$

B. $|\frac{a}{b}| > \frac{|a|}{|- b|}$ với $b \neq 0$

C. Nếu $|a| < |b|$ thì $a^{2} < b^{2}$

D. $|a - b| > |a| - |b|$

Xem đáp án

* Mệnh đề C: Nếu $|a| < |b|$ $\Rightarrow$ $a^{2} < b^{2}$ là đúng.

* Mệnh đề A cần sửa thành: $|- a b| = |a| . |b|$

* Mệnh đề B cần sửa thành: $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|- b|}$ $b \neq 0$

* Mệnh đề D cần sửa thành: $|a - b| \leq |a| - |b|$

Câu 29:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = 2 x + \frac{3}{x}$ với $x > 0$ là:

A. $4 \sqrt{3}$

B. $\sqrt{6}$

C. $2 \sqrt{3}$

D. $2 \sqrt{6}$

Xem đáp án

Khi x >0 thì 2x > 0 và $\frac{3}{x} > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho 2 số dương 2x và $\frac{3}{x}$ ta được:

$2 x + \frac{3}{x} \geq 2 . \sqrt{2 x . \frac{3}{x}} = 2 \sqrt{6}$

Dấu “=” xảy ra khi $2 x = \frac{3}{x} \Leftrightarrow x = \sqrt{\frac{3}{2}} > 0$

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là $2 \sqrt{6}$ .

Câu 30:

Cho $x \geq 2$ . Giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = \frac{\sqrt{x - 2}}{x}$ là:

A. $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$

B. $\frac{2}{\sqrt{2}}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức cô- si ngược ta có: $\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}$

$\sqrt{x - 2} = \frac{1}{\sqrt{2}} . \sqrt{2 (x - 2)} \leq \frac{1}{\sqrt{2}} . \frac{2 + x - 2}{2} \Leftrightarrow \sqrt{x - 2} \leq \frac{x}{2 \sqrt{2}} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x - 2}}{x} \leq \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Suy ra, giá trị lớn nhất của hàm số f(x) là: $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ khi x = 4.

Câu 31:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = 2 x + \frac{1}{x^{2}}$ với x > 0 là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. $2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Do x> 0 nên $\frac{1}{x^{2}} > 0$ ; áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho 3 số x, x, $\frac{1}{x^{2}}$ ta được:

$f (x) = 2 x + \frac{1}{x^{2}} = x + x + \frac{1}{x^{2}} \geq 3 \sqrt[3]{x . x . \frac{1}{x^{2}} = 3}$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 3 khi x = 1.

Câu 32:

Nếu $x \geq 0$ thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x^{2} + 2 x + 5}{2 (x + 1)}$ là:

A. 2

B. 1

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{5}{2}$

Xem đáp án

Ta có: $P = \frac{x^{2} + 2 x + 5}{2 (x + 1)} = \frac{{(x + 1)}^{2} + 4}{2 (x + 1)} = \frac{x + 1}{2} + \frac{2}{x + 1}$

Vì $x \geq 0 \Rightarrow x + 1 > 0 \Rightarrow \frac{x + 1}{2} > 0; \frac{2}{x + 1} > 0$

Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho 2 số dương

$\frac{x + 1}{2}; \frac{2}{x + 1}$ : $\frac{x + 1}{2} + \frac{2}{x + 1} \geq 2 . \sqrt{\frac{x + 1}{2} . \frac{2}{x + 1}} = 2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi x = 1.