20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số có đáp án (Thông hiểu)

Câu 1:

Hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

A. a > 0

B. a < 0

C. a = 0

D. $a \leq 0$

Xem đáp án

Đáp án A

Quan sát đồ thị ta thấy: $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty; \lim_{x \to - \infty} y = - \infty$ nên a > 0

Câu 2:

Hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

A. a > 0

B. a < 0

C. a = 0

D. $a \leq 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Quan sát đồ thị ta thấy: $\lim_{x \to + \infty} y = - \infty; \lim_{x \to - \infty} y = + \infty$ nên a < 0

Câu 3:

Nếu điểm cực tiểu của đồ thị hàm số bậc ba nằm ở trục hoành thì:

A. Điểm cực đại cũng nằm ở trục hoành

B. Điểm cực đại nằm phía dưới trục hoành

C. Điểm cực đại nằm bên trái trục tung

D. Điểm cực đại nằm phía trên trục hoành

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số bậc ba luôn có: $y_{C D} > y_{C T}$ nên nếu $y_{C T} = 0 \Rightarrow y_{C D} > 0$

Do đó điểm cực đại nằm phía trên trục hoành

Câu 4:

Cho hàm số y = f(x) có hai cực trị cực đại, cực tiểu thỏa mãn $y_{C D} . y_{C T} = 0$ . Khi đó:

A. Đồ thị hàm số có 3 điểm chung với Ox

B. Đồ thị hàm số có 2 điểm chung với Ox

C. Đồ thị hàm số có 1 điểm chung với Ox

D. Đồ thị hàm số không có điểm chung với Ox

Xem đáp án

Đáp án B

Vì $y_{C D} . y_{C T} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} y_{C D} = 0 \\ y_{C T} = 0 \end{matrix}$ hay một trong hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên trục hoành.

Khi đó đồ thị hàm số chỉ có 2 giao điểm chung với Ox

Câu 5:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có hai điểm cực trị thỏa mãn: $y_{C D} . y_{C T} > 0$ . Khi đó đồ thị hàm số có mấy điểm chung với trục Ox?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số có 2 cực trị thì có bảng biến thiên ở các dạng sau:

Quan sát BBT ta thấy:

Nếu $y_{C D} . y_{C T} > 0$ thì $y_{C D} > 0; y_{C T} > 0$ hoặc $y_{C D} < 0; y_{C T} < 0$ , do đó đường thẳng y = 0 chỉ cắt đồ thị hàm số tại duy nhất 1 điểm

Câu 6:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c (a > 0)$ . Chọn kết luận đúng:

A. $\lim_{x \to \pm \infty} y = - \infty$

B. $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty$

C. $\lim_{x \to - \infty} y = - \infty$

D. $\lim_{x \to \pm \infty} y = 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Vì a > 0 nên $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to - \infty} y = + \infty$

Câu 7:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c (a < 0)$ . Chọn kết luận đúng:

A. $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to - \infty} y$

B. $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty$

C. $\lim_{x \to - \infty} y = + \infty$

D. $\lim_{x \to + \infty} y \neq \lim_{x \to - \infty} y$

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số bậc bốn luôn có: $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to - \infty} y$

Câu 8:

Cho hàm số $y = \sqrt{2} x^{4} - x^{2}$

A. $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty$

B. $\lim_{x \to + \infty} y = - \infty$

C. $\lim_{x \to + \infty} y = \sqrt{2}$

D. $\lim_{x \to + \infty} y = 0$

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số $y = \sqrt{2} x^{4} - x^{2}$ có $a = \sqrt{2} > 0$ nên $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{2} x^{4} - x^{2}) = + \infty$

Câu 9:

Cho hàm số $y = (2 \sqrt{2} - 3) x^{4} + \sqrt{2} x^{2} - 1$ . Chọn kết luận đúng:

A. $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty$

B. $\lim_{x \to + \infty} y = - \infty$

C. $\lim_{x \to + \infty} y = 2 \sqrt{2} - 3$

D. $\lim_{x \to + \infty} y = - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số $y = (2 \sqrt{2} - 3) x^{4} + \sqrt{2} x^{2} - 1$ có $a = 2 \sqrt{2} - 3 < 0$ nên $\lim_{x \to + \infty} = \lim_{x \to + \infty} ((2 \sqrt{2} - 3) x^{4} + \sqrt{2} x^{2} - 1) = - \infty$

Câu 10:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c (a > 0)$ có ba cực trị. Nếu $y_{C T} > 0$ thì đồ thị hàm số:

A. Cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

B. Cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt

C. Nằm hoàn toàn phía trên trục hoành

D. Nằm hoàn toán phía dưới trục hoành

Xem đáp án

Đáp án C

Đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương có ba cực trị và hệ số a > 0 có dạng:

Quan sát đồ thị ta thấy nếu $y_{C T} > 0$ thì đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục hoành

Câu 11:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Chọn kết luận đúng:

A. a > 0

B. a = 0

C. a < 0

D. $a \neq 0$

Xem đáp án

Đáp án A

Từ BBT ta thấy $\lim_{x \to \pm \infty} y = + \infty$ nên a > 0

Câu 12:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = x^{4} - x^{2} + 1$

B. $y = - x^{3} + 3 x + 1$

C. $y = x^{3} - 3 x + 1$

D. $y = - x^{2} + x - 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào dạng đồ thị:

+ Đồ thị hàm số có dạng chữ “N” $\Rightarrow$ đồ thị hàm số bậc 3.

+ Khi $x \to + \infty \Rightarrow y \to + \infty \Rightarrow$ hệ số của $x^{3}$ là dương

Từ hai kết luận trên ta thấy chỉ có hàm số $y = x^{3} - 3 x + 1$ thỏa mãn

Câu 13:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?

A. $y = x^{2} - 2 x - 1$

B. $y = x^{3} - 2 x - 1$

C. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 1$

D. $y = - x^{3} + 2 x - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có nét cuối đi lên nên $a > 0 \Rightarrow$ loại đáp án D.

Hàm số có 2 điểm cực trị và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt $\Rightarrow$ hàm số là hàm bậc 3 $\Rightarrow$ loại đáp án A và C

Câu 14:

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?

A. $y = - x^{4} - 2 x^{2} + 3$

B. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 3$

C. $y = - x^{4} - 2 x^{2} - 3$

D. $y = x^{4} + 2 x^{2} - 3$

Xem đáp án

Đáp án D

Từ dạng đồ thị ta có a > 0 nên loại A, C.

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (0; - 3)

Do hàm số chỉ có một điểm cực trị nên y' = 0 phải có duy nhất một nghiệm $x_{0}$ và $y (x_{0}) = - 3$

Kiểm tra ta chỉ thấy đáp án D là phù hợp.

Ngoài ra, đáp án B bị loại vì phương trình y' = 0 ở đáp án B có 3 nghiệm phân biệt

Câu 15:

Hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}}{x - 1}$ xác định khi:

A. $x \in R$

B. $x \neq 1$

C. $x > 1$

D. $x \neq - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số xác định khi $\{\begin{matrix} x^{2} - 2 x + 1 \geq 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow x \neq 1$ do $x^{2} - 2 x + 1 = {(x - 1)}^{2} \geq 0$

Câu 16:

Hàm số nào dưới đây không có cực trị?

A. $y = \frac{x - 2}{x + 1}$

B. $y = x^{2}$

C. $y = x^{3} - 3 x$

D. $y = - x^{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Dễ thấy hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ là hàm phân thức bậc nhất nên không có cực trị.

Ngoài ra, có thể kiểm tra được các cực trị của mỗi hàm số được cho ở ba đáp án B, C, D

Câu 17:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A. $y = - x^{4} + 2 x^{2}$

B. $y = x^{4} - 2 x^{2}$

C. $y = - x^{2} + 2 x$

D. $y = x^{3} + 2 x^{2} - x - 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị nên hàm số cần tìm là hàm số bậc 4 $\Rightarrow$ loại đáp án C và D.

Đồ thị hàm số hướng xuống dưới nên hệ số a < 0 $\Rightarrow$ loại B

Câu 18:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c (a \neq 0)$ có 1 cực trị. Khi đó, nếu đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục hoành (không có điểm chung với trục hoành) thì:

A. $a > 0, b \geq 0, c > 0$

B. $a > 0. b \leq 0, c > 0$

C. $a > 0, b \geq 0$

D. $a < 0, b < 0, c < 0$

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số chỉ có 1 cực trị thì y' = 0 có 1 nghiệm $\Leftrightarrow a b \geq 0$ , khi đó đồ thị có dạng:

Trong hai trường hợp trên ta thấy nếu đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phái trên trục hoành thì chỉ xảy ra trường hợp a > 0, do đó và điểm cực tiểu (0; c) cũng phải nằm phía trên trục hoành hay c > 0

Câu 19:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị (C) chỉ có 2 điểm chung với trục hoành. Chọn kết luận đúng:

A. Điểm cực đại của hàm số là nghiệm của phương trình f(x) = 0

B. Điểm cực tiểu của hàm số là nghiệm của phương trình f(x) = 0

C. Đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào

D. Một trong hai nghiệm đó là điểm cực trị của hàm số

Xem đáp án

Đáp án D

Quan sát các dạng đồ thị của hàm số bậc ba:

Ta thấy đồ thị hàm số bậc ba chỉ có 2 điểm chung với trục hoành nếu một trong hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên trục hoành hay một trong hai điểm cực trị của hàm số là nghiệm của phương trình f(x) = 0

Câu 20:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x = \frac{1}{2}$

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là: y = 2

C. Hàm số gián đoạn tại x = -1

D. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó

Xem đáp án

Đáp án D

Đáp án A: xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{2 x - 1}{x + 1} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x = \frac{1}{2}$ . Do đó A đúng.

Đáp án B: đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là: $y = \frac{2}{1} = 2$ . Do đó B đúng.

Đáp án C: hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ có ĐK: $x \neq - 1$ nên nó gián đoạn tại x = - 1 nên C đúng.

Đáp án D: hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ có $y' = \frac{3}{{(x + 1)}^{2}} > 0; \forall x \neq - 1$ nên nó đồng biến trên từng khoảng xác định $(- \infty; - 1); (- 1; + \infty)$ . Do đó D sai vì ta không thể nói đồng biến trên tập xác định của hàm số