10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Nguyên hàm có đáp án (P2) (Vận dụng- Vận dụng cao)

Câu 1:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết $x^{2} + 2 x - 3$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) {.5}^{\frac{x}{2}}$ . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) {.5}^{\frac{x}{2}}$ là

A. $2 + (x + 1) \ln 5 + C$

B. $- \ln 5 + C$

C. $2 x - (\frac{x^{2}}{2} + x) \ln 5 + C$

D. $2 x + (\frac{x^{2}}{2} + x) \ln 5 + C$

Xem đáp án

Đáp án C

$x^{2} + 2 x - 3$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) {.5}^{\frac{x}{2}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x^{2} + 2 x - 3)}^{'} = f (x) {.5}^{\frac{x}{2}} \\ \Leftrightarrow 2 x + 2 = f (x) {.5}^{\frac{x}{2}} \Leftrightarrow f (x) = \frac{2 x + 2}{5^{\frac{x}{2}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = {(\frac{2 x + 2}{5^{\frac{x}{2}}})}^{'} = \frac{{2.5}^{\frac{x}{2}} - (2 x + 2) (\frac{1}{2} {.5}^{\frac{x}{2}} . \ln 5)}{{(5^{\frac{x}{2}})}^{2}} = \frac{2 - (x + 1) \ln 5}{5^{\frac{x}{2}}} \\ \Rightarrow f^{'} (x) {.5}^{\frac{x}{2}} = 2 - (x + 1) \ln 5 \end{array}$

$\Rightarrow \int f^{'} (x) {.5}^{\frac{x}{2}} d x = \int [2 - (x + 1) \ln 5] d x = 2 x - (\frac{x^{2}}{2} + x) \ln 5 + C .$

Câu 2:

Cho hàm số thỏa mãn $f^{'} (x) \sin x = f (x) c o s x + 2 \sin^{2} x . c o s 3 x; \forall x \in (0; π); f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ . Tìm $\int f (x) d x$

A. $\frac{1}{12} (\sin 2 x - \sin 4 x) + C$

B. $\frac{1}{12} (2 \sin 2 x + \sin 4 x) + C$

C. $\frac{1}{12} (\sin 4 x - 2 \sin 2 x) + C$

D. $\frac{1}{12} (2 \sin 2 x - \sin 4 x) + C$

Xem đáp án

Đáp án D

Tacó:

$f^{'} (x) \sin x = f (x) c o s x + 2 \sin^{2} x . c o s 3 x; \forall x \in (0; π)$

$\Leftrightarrow \frac{f^{'} (x) \sin x - f (x) c o s x}{\sin^{2} x} = 2 c o s 3 x$

$\Rightarrow {(\frac{f (x)}{\sin x})}^{'} = 2 c o s 3 x \Rightarrow \frac{f (x)}{\sin x} = \int 2 c o s 3 x dx$

$\Rightarrow \frac{f (x)}{\sin x} = \frac{2}{3} \sin 3 x + C_{1}$

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{3} \Rightarrow C_{1} = 0 \Rightarrow f (x) = \frac{2}{3} s i n x . \sin 3 x$

$\Rightarrow \int f (x) d x = \int \frac{2}{3} s i n x . \sin 3 x d x = \frac{1}{3} \int (c o s 2 x - \cos 4 x) dx$

$= \frac{1}{12} (2 \sin 2 x - \sin 4 x) + C$

Câu 3:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R . Biết $x + \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) . e^{x}$ , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) e^{x}$ là

A. $\cos x - \sin x + x + C$

B. $- \cos x + \sin x + x + C$

C. $\cos x - \sin x - x + C$

D. $- \cos x - \sin x - x + C$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\int f (x) e^{x} d x = x + \sin x + C \Rightarrow f (x) . e^{x} = 1 + \cos x (1)$

Lấy đạo hàm hai vế của ta được

$f^{'} (x) . e^{x} + f (x) . e^{x} = - \sin x \Leftrightarrow f^{'} (x) . e^{x} = - \sin x - \cos x - 1$

Vậy ta có $\int f^{'} (x) . e^{x} d x = - \int (\sin x + \cos x + 1) d x = \cos x - \sin x - x + C$

Câu 4:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = \{\begin{cases} e^{x} khi x \geq 0 \\ e^{- x} khi x < 0 \end{cases}$ và $f (4) = e$ . Đặt $S = f (- \ln 3) + f (\ln 3) + f (- \ln 2) + f (\ln 2) + 200$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $0 < S < 1$

B. $- 3 < S < - 2$

C. $- 2 < S < - 1$

D. $- 4 < S < - 3$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $f (x) = \{\begin{cases} e^{x} + C_{1} khi x \geq 0 \\ - e^{- x} + C_{2} khi x < 0 \end{cases}$ với $C_{1}$ và $C_{2}$ là các hằng số thực.

$f (4) = e \Rightarrow C_{1} = e - e^{4}$

$\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 1 + e - e^{4}$

$\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = - 1 + C_{2}$

Do hàm số có đạo hàm $\forall x \in ℝ \Rightarrow$ Hàm số liên tục trên $ℝ$ .

$\Rightarrow - 1 + C_{2} = 1 + e - e^{4} = f (0) \Rightarrow C_{2} = 2 + e - e^{4}$

Vậy $f (x) = \{\begin{cases} e^{x} + e - e^{4} khi x \geq 0 \\ - e^{- x} + 2 + e - e^{4} khi x < 0 \end{cases}$

$S = f (- \ln 3) + f (\ln 3) + f (- \ln 2) + f (\ln 2) + 200 = \frac{49}{6} + 4 e - 4 e^{4} + 200 \approx 0, 6$

Câu 5:

Tìm nguyên hàm $I = \int \frac{x^{2002}}{{(x + 2)}^{2005}} d x$

A. $\frac{1}{4} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2003} - \frac{1}{4} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2004} + C$

B. $\frac{1}{8012} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2003} + \frac{1}{8016} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2004} + C$

C. $\frac{1}{8008} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2002} - \frac{1}{8012} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2003} + C$

D. $\frac{1}{8012} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2003} - \frac{1}{8016} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2004} + C$

Xem đáp án

Đáp án D

$I = \int \frac{x^{2002}}{{(x + 2)}^{2005}} d x = \int {(\frac{x}{x + 2})}^{2002} . \frac{1}{x + 2} . \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Đặt $t = \frac{x}{x + 2} \Rightarrow d t = \frac{2. d x}{{(x + 2)}^{2}}$

$I = \int t^{2002} . \frac{1 - t}{2} . \frac{d t}{2} = \frac{1}{4} \int (t^{2002} - t^{2003}) . d t = \frac{1}{8012} . t^{2003} - \frac{1}{8016} . t^{2004} + C$

$\Rightarrow I = \frac{1}{8012} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2003} - \frac{1}{8016} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2004} + C$

Câu 6:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện $f (0) = 2 \sqrt{2}, f (x) > 0, \forall x \in ℝ$ và $f (x) . f^{'} (x) = (2 x + 1) \sqrt{1 + f^{2} (x)}, \forall x \in ℝ$ . Tính giá trị $f (1)$ .

A. $\sqrt{15}$

B. $2 \sqrt{6}$

C. $\sqrt{23}$

D. $\sqrt{26}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $f (x) . f' (x) = (2 x + 1) \sqrt{1 + f^{2} (x)}, \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow \frac{f (x) . f' (x)}{\sqrt{1 + f^{2} (x)}} = 2 x + 1$

$\Leftrightarrow \int \frac{f (x) . f' (x)}{\sqrt{1 + f^{2} (x)}} d x = \int (2 x + 1) d x$

$\Leftrightarrow \sqrt{1 + f^{2} (x)} = x^{2} + x + C$

Vì $f (0) = 2 \sqrt{2}$ nên $C = 3$ .

$\Rightarrow f (x) = \sqrt{{(x^{2} + x + 3)}^{2} - 1} \Rightarrow f (1) = 2 \sqrt{6}$

Câu 7:

Cho hàm số f(x) có $f (\sqrt{2}) = - 2$ và $f^{'} (x) = \frac{x}{\sqrt{6 - x^{2}}},^{} \forall x \in (- \sqrt{6}; \sqrt{6})$

Khi đó $\int_{0}^{\sqrt{3}} f (x) d x$ bằng

A. $- \frac{3 π}{4}$

B. $\frac{3 π + 6}{4}$

C. $\frac{π + 2}{4}$

D. $- \frac{3 π + 6}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $f (x) = \int f^{'} (x) d x = \int \frac{x}{\sqrt{6 - x^{2}}} d x = - \frac{1}{2} \int \frac{d (6 - x^{2})}{\sqrt{6 - x^{2}}} = - \sqrt{6 - x^{2}} + C$

$f (\sqrt{2}) = - 2$ $\Rightarrow C = 0$ $\Rightarrow f (x) = - \sqrt{6 - x^{2}}$

$\int_{0}^{\sqrt{3}} f (x) d x = \int_{0}^{\sqrt{3}} - \sqrt{6 - x^{2}} d x = - \frac{3 π + 6}{4}$

Câu 8:

Tính $\int \frac{x \ln (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} d x$ .

A. $\int \frac{x \ln (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} d x = - \frac{x \ln (x + 1)}{x + 1} + \frac{x^{2}}{2} + C$

B. $\int \frac{x \ln (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} d x = - \frac{x \ln (x + 1)}{x + 1} + \ln (x + 1) + \frac{1}{x + 1} + C$

C. $\int \frac{x \ln (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} d x = \frac{x \ln (x + 1)}{x + 1} - \frac{1}{2} \ln^{2} (x + 1) - \ln (x + 1) - \frac{1}{x + 1} + C$

D. $\int \frac{x \ln (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} d x = - \frac{x \ln (x + 1)}{x + 1} + \frac{1}{2} \ln^{2} (x + 1) + \ln (x + 1) + \frac{1}{x + 1} + C$

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $\{\begin{cases} u = x . \ln (x + 1) \\ d v = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = (\ln (x + 1) + \frac{x}{x + 1}) d x \\ v = - \frac{1}{x + 1} \end{cases}$

Ta được:

$\int \frac{x \ln (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} d x = - \frac{x \ln (x + 1)}{x + 1} + \int [\frac{\ln (x + 1)}{x + 1} + \frac{x}{{(x + 1)}^{2}}] d x$

$= - \frac{x \ln (x + 1)}{x + 1} + \int [\frac{\ln (x + 1)}{x + 1} + \frac{x + 1 - 1}{{(x + 1)}^{2}}] d x$

$= - \frac{x \ln (x + 1)}{x + 1} + \int [\frac{\ln (x + 1)}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}] d x$

$= - \frac{x \ln (x + 1)}{x + 1} + \frac{1}{2} \ln^{2} (x + 1) + \ln (x + 1) + \frac{1}{x + 1} + C$

Câu 9:

Gọi F(x) là một nguyên hàm trên R của hàm $f (x) = x^{2} e^{α x} (α \neq 0)$ sao cho $F (\frac{1}{α}) = F (0) + 1$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $1 < α < 2$

B. $α < - 2$

C. $α \geq 3$

D. $0 < α \leq 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $F (x) = \int x^{2} e^{α x} d x = \frac{1}{α} \int x^{2} d (e^{α x}) = \frac{1}{α} [x^{2} e^{α x} - \int e^{α x} 2 x d x]$

$= \frac{1}{α} (x^{2} e^{α x} - \frac{2}{α} \int x d (e^{α x})) = \frac{1}{α} (x^{2} e^{α x} - \frac{2}{α} (x e^{α x} - \int e^{α x} d x))$

$= \frac{1}{α} (x^{2} e^{α x} - \frac{2}{α} x e^{α x} + \frac{2}{α^{2}} e^{α x}) + C$

$F (\frac{1}{α}) = \frac{1}{α} (\frac{1}{α^{2}} e - \frac{2}{α^{2}} e + \frac{2}{α^{2}} e) + C = \frac{1}{α^{3}} e + C$

$F (0) = \frac{1}{α} . \frac{2}{α^{2}} + C$

Theo giả thiết $F (\frac{1}{α}) - F (0) = \frac{e - 2}{α^{3}} = 1 \Rightarrow α^{3} = e - 2 \Rightarrow α = \sqrt[3]{e - 2} \Rightarrow 0 < α \leq 1$

Câu 10:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên R, thỏa mãn $f' (x) + x f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$ và $f (0) = - 2$ . Tính f(1)

A. $f (1) = e$

B. $f (1) = \frac{1}{e}$

C. $f (1) = \frac{2}{e}$

D. $f (1) = - \frac{2}{e}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $f' (x) + x f (x) = 2 x e^{- x^{2}} \Leftrightarrow f' (x) . e^{\frac{x^{2}}{2}} + x . e^{\frac{x^{2}}{2}} . f (x) = 2 x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

$\Leftrightarrow (f (x) . e^{\frac{x^{2}}{2}})' = 2 x e^{- \frac{x^{2}}{2}} \Rightarrow f (x) . e^{\frac{x^{2}}{2}} = - 2 \int e^{- \frac{x^{2}}{2}} d (- \frac{x^{2}}{2})$

$\Rightarrow f (x) . e^{\frac{x^{2}}{2}} = - 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C$

Mà $f (0) = - 2 \Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow e^{\frac{1}{2}} f (1) = - 2 e^{- \frac{1}{2}} \Rightarrow f (1) = \frac{- 2}{e}$