12 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Nhị thức Niu tơn có đáp án (Phần 2)

Câu 1:

Trong khai triển nhị thức ${(a + 2)}^{n + 6}, (n \in ℕ)$ . Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:

A. 17

B. 11

C. 10

D. 12

Xem đáp án

Trong khai triển ${(a + 2)}^{n + 6}, (n \in ℕ)$ có tất cả n+6 +1 = n +7 số hạng.

Do đó $n + 7 = 17 \Leftrightarrow n = 10$ .

Chọn đáp án C

Câu 2:

Tìm hệ số của $x^{12}$ trong khai triển ${(2 x - x^{2})}^{10} .$

A. $C_{10}^{8} .$

B. $C_{10}^{2} 2^{8} .$

C. $C_{10}^{2} .$

D. $- C_{10}^{2} 2^{8} .$

Xem đáp án

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

$\begin{array}{l} {(2 x - x^{2})}^{10} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . {(2 x)}^{10 - k} . {(- x^{2})}^{k} \\ = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . {(2)}^{10 - k} . {(- 1)}^{k} . x^{10 - k + 2 k} \\ = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . {(2)}^{10 - k} . {(- 1)}^{k} . x^{10 + k} . \end{array}$

Hệ số của $x^{12}$ ứng với $10 + k = 12 \Leftrightarrow k = 2$

Hệ số cần tìm $C_{10}^{2} 2^{8} .$

Chọn đáp án B

Câu 3:

Tìm số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển ${(x + \frac{1}{2 x})}^{9} .$

A. $- \frac{1}{8} C_{9}^{3} x^{3} .$

B. $\frac{1}{8} C_{9}^{3} x^{3} .$

C. $- C_{9}^{3} x^{3} .$

D. $C_{9}^{3} x^{3} .$

Xem đáp án

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

${(x + \frac{1}{2 x})}^{9} = \sum_{k = 0}^{9} C_{9}^{k} . x^{9 - k} . {(\frac{1}{2 x})}^{k} = \sum_{k = 0}^{9} C_{9}^{k} . {(\frac{1}{2})}^{k} . x^{9 - 2 k} .$

Hệ số của $x^{3}$ ứng với $9 - 2 k = 3 \Leftrightarrow k = 3$

Vậy số hạng cần tìm $\frac{1}{8} C_{9}^{3} x^{3} .$

Chọn đáp án B.

Câu 4:

Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển ${(x^{3} + x y)}^{21} .$

A. $C_{21}^{10} x^{40} y^{10} .$

B. $C_{21}^{10} x^{43} y^{10} .$

C. $C_{21}^{11} x^{41} y^{11} .$

D. $C_{21}^{10} x^{43} y^{10}; C_{21}^{11} x^{41} y^{11} .$

Xem đáp án

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

${(x^{3} + x y)}^{21} = \sum_{k = 0}^{21} C_{21}^{k} . {(x^{3})}^{21 - k} . {(x y)}^{k} = \sum_{k = 0}^{21} C_{21}^{k} . x^{63 - 3 k} . x^{k} . y^{k} = \sum_{k = 0}^{21} C_{21}^{k} . x^{63 - 2 k} . y^{k} .$

Suy ra khai triển ${(x^{3} + x y)}^{21}$ có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11 (ứng với k= 10) và số hạng thứ 12 (ứng với k =11).

Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là $C_{21}^{10} x^{43} y^{10}; C_{21}^{11} x^{41} y^{11}$ .

Chọn đáp án D.

Câu 5:

Tìm hệ số của $x^{5}$ trong khai triển $P (x) = x {(1 - 2 x)}^{5} + x^{2} {(1 + 3 x)}^{10} .$

A. 80

B. 3240

C. 3320

D. 259200

Xem đáp án

* Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

$x {(1 - 2 x)}^{5} = x . \sum_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} . 1^{5 - k} {(- 2 x)}^{k} = \sum_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} . {(- 2)}^{k} . x^{k + 1} .$

Suy ra, số hạng chứa $x^{5}$ tương ứng với $k + 1 = 5 \Leftrightarrow k = 4$ .

* Tương tự, ta có $x^{2} {(1 + 3 x)}^{10} = x^{2} . \sum_{l = 0}^{10} C_{10}^{l} . 1^{10 - l} . {(3 x)}^{l} = \sum_{l = 0}^{10} C_{10}^{l} {.3}^{l} . x^{l + 2}$ .

Suy ra, số hạng chứa $x^{5}$ tương ứng với $l + 2 = 5 \Leftrightarrow l = 3$ .

Vậy hệ số của $x^{5}$ cần tìm P(x) là $C_{5}^{4} . {(- 2)}^{4} + C_{10}^{3} {.3}^{3} = 3320$ .

Chọn đáp án C.

Câu 6:

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn $C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{2} + ... + C_{2 n + 1}^{n} = 2^{20} - 1$

A.n= 8

B.n = 9

C.n =10

D. n =11

Xem đáp án

Ta có $2^{2 n + 1} = {(1 + 1)}^{2 n + 1} = C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} + ... + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}$ . (1)

Lại có $C_{2 n + 1}^{0} = C_{2 n + 1}^{2 n + 1}; C_{2 n + 1}^{1} = C_{2 n + 1}^{2 n}; C_{2 n + 1}^{2} = C_{2 n + 1}^{2 n - 1}; . . .; C_{2 n + 1}^{n} = C_{2 n + 1}^{n + 1}$ . (2)

Từ (1) và (2), suy ra $C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} + ... + C_{2 n + 1}^{n} = \frac{2^{2 n + 1}}{2}$

$\Leftrightarrow C_{2 n + 1}^{1} + ... + C_{2 n + 1}^{n} = \frac{2^{2 n + 1}}{2} - C_{2 n + 1}^{0}$

$\Leftrightarrow C_{2 n + 1}^{1} + ... + C_{2 n + 1}^{n} = 2^{2 n} - 1 \Leftrightarrow 2^{20} - 1 = 2^{2 n} - 1 \Leftrightarrow n = 10$ .

Vậy n =10 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án C.

Câu 7:

Tìm hệ số của $x^{5}$ trong khai triển : $P (x) = (1 + x) + 2 {(1 + x)}^{2} + ... + 8 {(1 + x)}^{8} .$

A. 630

B. 635

C. 636

D.637

Xem đáp án

Các biểu thức $(1 + x), {(1 + x)}^{2}, \dots, {(1 + x)}^{4}$ không chứa số hạng chứa $x^{5}$ .

Hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $5 {(1 + x)}^{5}$ là $5 C_{5}^{5} .$

Hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $6 {(1 + x)}^{6}$ là $6 C_{6}^{5} .$

Hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $7 {(1 + x)}^{7}$ là $7 C_{7}^{5} .$

Hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $8 {(1 + x)}^{8}$ là $8 C_{8}^{5} .$

Vậy hệ số của $x^{5}$ trong khai triển P(x) là $5 C_{5}^{5} + 6 C_{6}^{5} + 7 C_{7}^{5} + 8 C_{8}^{5} = 636$ .

Chọn đáp án C.

Câu 8:

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn $C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{3} + ... + C_{2 n + 1}^{2 n + 1} = 1024$

A.n =5

B.n =9

C.n =10

D.n= 4

Xem đáp án

Xét khai triển ${(x + 1)}^{2 n + 1} = C_{2 n + 1}^{0} x^{2 n + 1} + C_{2 n + 1}^{1} x^{2 n} + ... + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}$ .

Cho x =1 , ta được $2^{2 n + 1} = C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} + ... + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}$ .(1)

Cho x= -1, ta được $0 = - C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} - ... + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}$ . (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được :

$\begin{array}{l} 2^{2 n + 1} = 2 (C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{3} + ... + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}) \\ \Leftrightarrow 2^{2 n + 1} = 2.1024 = 2^{11} \\ \Leftrightarrow 2 n + 1 = 11 \Leftrightarrow n = 5 \end{array}$ .

Chọn đáp án A.

Câu 9:

Tìm số nguyên dương n sao cho: $C_{n}^{0} + 2 C_{n}^{1} + 4 C_{n}^{2} + ... + 2^{n} C_{n}^{n} = 243$

A. 5

B. 11

C. 12

D. 4

Xem đáp án

Xét khai triển: ${(1 + x)}^{n} = C_{n}^{0} + x C_{n}^{1} + x^{2} C_{n}^{2} + ... + x^{n} C_{n}^{n}$

Cho x= 2 ta có: $C_{n}^{0} + 2 C_{n}^{1} + 4 C_{n}^{2} + ... + 2^{n} C_{n}^{n} = 3^{n}$

Do vậy ta suy ra $3^{n} = 243 = 3^{5} \Rightarrow n = 5$ .

Chọn đáp án A

Câu 10:

Tính $S = C_{2011}^{0} + 2^{2} C_{2011}^{2} + ... + 2^{2010} C_{2011}^{2010}$

A. $\frac{3^{2011} + 1}{2}$

B. $\frac{3^{2012} - 1}{2}$

C. $3^{2011} - 1$

D. $\frac{3^{2011} - 1}{2}$

Xem đáp án

* Xét khai triển:

${(1 + x)}^{2011} = C_{2011}^{0} + x C_{2011}^{1} + x^{2} C_{2011}^{2} + ... + x^{2010} C_{2011}^{2010} + x^{2011} C_{2011}^{2011}$

* Cho x= 2 ta có được:

$3^{2011} = C_{2011}^{0} + 2. C_{2011}^{1} + 2^{2} C_{2011}^{2} + ... + 2^{2010} C_{2011}^{2010} + 2^{2011} C_{2011}^{2011}$ (1)

* Cho x= -2 ta có được:

$- 1 = C_{2011}^{0} - 2. C_{2011}^{1} + 2^{2} C_{2011}^{2} - ... + 2^{2010} C_{2011}^{2010} - 2^{2011} C_{2011}^{2011}$ (2)

* Lấy (1) + (2) ta có:

$2 (C_{2011}^{0} + 2^{2} C_{2011}^{2} + ... + 2^{2010} C_{2011}^{2010}) = 3^{2011} - 1$

Suy ra: $S = C_{2011}^{0} + 2^{2} C_{2011}^{2} + ... + 2^{2010} C_{2011}^{2010} = \frac{3^{2011} - 1}{2}$ .

Chọn đáp án D

Câu 11:

Cho khai triển $(1 + a x) {(1 - 3 x)}^{6}$ , biết hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ là 405

Tìm a

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Xem đáp án

Chọn C

Ta có:

$(1 + a x) . {(1 - 3 x)}^{6} = {(1 - 3 x)}^{6} + a x . {(1 - 3 x)}^{6} = \sum_{k = 0}^{6} C_{6}^{k} . 1^{6 - k} . {(- 3 x)}^{k} + a x . \sum_{k = 0}^{6} C_{6}^{k} . 1^{6 - k} . {(- 3 x)}^{k} = \sum_{k = 0}^{6} C_{6}^{k} . {(- 3)}^{k} . x^{k} + \sum_{k = 0}^{6} a . C_{6}^{k} . {(- 3)}^{k} . x^{k + 1}$

Do đó, hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển là:

$C_{6}^{3} . {(- 3)}^{3} + a . C_{6}^{2} . {(- 3)}^{2} = 405 \Leftrightarrow - 540 + 135 a = 405 \Leftrightarrow a = 7$

Vậy a = 7

Câu 12:

Tính giá trị của biểu thức

$M = 2^{2016} C_{2017}^{1} + 2^{2014} C_{2017}^{3} + 2^{2012} C_{2017}^{5} + \dots + 2^{0} C_{2017}^{2017}$

A. $3^{2017} + 1$

B. $1 / 2 (3^{2017} + 1)$

C. $3^{2017} - 1$

D. $1 / 2 (3^{2017} - 1)$

Xem đáp án

Ta có ${(2 + 1)}^{2017} = C_{2017}^{0} {.2}^{2017} + C_{2017}^{1} {.2}^{2016} + ... + C_{2017}^{2017} {.2}^{0}$

${(2 - 1)}^{2017} = C_{2017}^{0} {.2}^{2017} + C_{2017}^{1} {.2}^{2016} . (- 1) + ... + C_{2017}^{2017} {.2}^{0} . {(- 1)}^{2017}$

Trừ từng vế hai đẳng thức trên ta được:

$3^{2017} - 1 = 2 (C_{2017}^{1} {.2}^{2016} + C_{2017}^{3} {.2}^{2014} + ... + C_{2017}^{2017} {.2}^{0})$

Vậy $M = \frac{3^{2017} - 1}{2}$

Chọn đáp án D.