Ta có : $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2+\left(n+1\right)}-\frac{1}{n^2+n}$ 

$=\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{n-(n+2)}{n(n+\text{}1)(n+2)}=\frac{-2}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}<0$

Do đó $\left(u_n\right)$ là dãy giảm.

Chọn đáp án B.

Ta có:

$$\begin{gathered} 0=\frac{0}{0+1};\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1};\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1} \\ \frac{3}{4}=\frac{3}{3+1};\frac{4}{5}=\frac{4}{4+1} \end{gathered}$$

Suy ra $u_n=\frac{n}{n+1}$

Chọn đáp án B

Ta có:

$\begin{array}{l}{u}_{n+1}-u_n=\frac{3{(n+1)}^2-2(n+1)+1}{n+2}-\frac{3n^2-2n+1}{n+1}\\ =\frac{3n^2+\text{}4n+\text{}2}{n+\text{}2}-\frac{3n^2-2n+1}{n+1}\\ =\frac{(3n^2+\text{}4n+\text{}2).(n+1)-(3n^2-2n+1).(n+2)\text{}}{(n\text{}+2).(n+\text{}1)}\\ =\frac{3n^2+7n}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>0\end{array}$ 

nên dãy $\left(u_n\right)$ là dãy tăng

Chọn đáp án A

Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left(u_n\right)$ là:

$u_n=u_1+\left(n-1\right).0,1\Rightarrow u_7=-0,1+\left(7-1\right).0,1=0,5$ 

Chọn đáp án C.

Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}{u}_2-u_3+u_5=10\\ u_4+u_6=26\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}(u_1+d)-(u_1+2d)+(u_1+4d)=10\\ (u_1+3d)+(u_1+5d)=26\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+3d=10\\ 2u_1+8d=26\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta có công sai d=3.

Chọn đáp án C

Theo giả thiết thì ta được một cấp số cộng có n+2 số hạng với $u_1=-3,u_{n+2}=23.$

Khi đó $u_{n+2}=u_1+\left(n+1\right)d\iff n+1=\frac{u_{n+2}-u_1}{d}=\frac{23-\left(-3\right)}{2}=13\iff n=12$

Chọn đáp án A.

Ba số $5+m;7+2m;17+m$ theo thứ tự $u_1,u_2,u_3$ lập thành cấp số cộng nên

$\begin{array}{l}{u}_1+u_3=2u_2\iff \left(5+m\right)+\left(17+m\right)=2\left(7+2m\right)\\ \iff 2m+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}22=14\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4m\iff -2m=-8\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\iff m=4\end{array}$ 

Chọn đáp án C.

Các số 5; 9; 13; 17..... theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng $\left(u_n\right)$ nên

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1=5\\ d=u_2-u_1=4\end{array}\right.\stackrel{CTTQ}{\to }{u}_n=u_1+\left(n-1\right)d=5+4\left(n-1\right)=4n+1$ 

Chọn đáp án C.

Ta có: 

$\begin{array}{l}{S}_8=\frac{n}{2}.\left[2.u_1+\text{}(n-1)d\right]\iff 72=\frac{8}{2}.\left[2.u_1+(8-1).(-2)\right]\\ \iff 72=4.(2u_1-14)\iff 2u_1-14=18\\ \iff 2u_1=32\iff u_1=16\end{array}$

Chọn đáp án A

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{u}_{12}=23\\ S_{12}=144\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{u}_1+11d=23\\ \frac{12}{2}\left(u_1+u_{12}\right)=144\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{c}{u}_1+11d=23\\ u_1+\text{}23=24\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=\frac{23-u_1}{11}=2\end{array}\right.\end{array}$

Chọn đáp án A

Ta có: $u_2+u_{23}=60\iff \left(u_1+d\right)+\left(u_1+22d\right)=60\iff 2u_1+23d=60.$ 

Khi đó $S_{24}=\frac{n}{2}.\left[2u_1+\text{}(n-1)d\right]=\frac{24}{2}\left(2u_1+23d\right)=12.60=720.$

Chọn đáp án C

Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_7=26\\ {u_2}^2+{u_6}^2=466\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_1+6d=26\\ {\left(u_1+d\right)}^2+{\left(u_1+5d\right)}^2=466\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=13-3d\left(1\right)\\ {\left(u_1+d\right)}^2+{\left(u_1+5d\right)}^2=466\left(2\right)\end{array}\right..\end{array}$

Thay (1) và (2) ta được:

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}{\left(13-2d\right)}^2+{\left(13+2d\right)}^2=466\iff 8d^2+338=466\\ \iff 8d^2=128\iff d^2=16\end{array} \\ \iff \left[\begin{array}{l}d=4\Rightarrow u_1=1\\ d=-4\Rightarrow u_1=25\end{array}\right. \end{gathered}$$ 

Chọn đáp án A

Kiểm tra đáp án

A. $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{{(n+1)}^2\text{}+3(n+1)\text{}+\text{}3}{n^2+\text{}n\text{}+\text{}1}=\frac{n^2+5n+7}{n^2+n+1},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ , không phải là hằng số.

Vậy $( u_n)$ không phải là cấp số nhân .

B. $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\left(n+3\right){.3}^{n+1}}{\left(n+2\right){.3}^n}=\frac{3\left(n+3\right)}{n+2},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ , không phải là hằng số.

Vậy $( u_n)$  không phải là cấp số nhân .

C. Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra $u_1=2;u_2=3;u_3=2;u_4=3;\mathrm{...}$

Vì $\frac{u_3}{u_2}\ne \frac{u_2}{u_1}$nên $( u_n)$ không phải là cấp số nhân .

D. $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{{\left(-4\right)}^{2\left(n+1\right)+1}}{{\left(-4\right)}^{2n+1}}=\frac{{\left(-4\right)}^{2n+2\text{}+\text{}1}}{{\left(-4\right)}^{2n+1}}={(-4)}^2=16,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ .

 Vậy $( u_n)$ là một cấp số nhân.

Chọn đáp án D

Vì $q<0,u_2>0$ nên $u_3<0$ .

Do đó $u_3=-\sqrt{u_2.u_4}=-\sqrt{4.9}=-6$ 

Ta có: $u_2^2=u_1.u_3\Rightarrow u_1=\frac{u_2^2}{u_3}=\frac{4^2}{-6}=-\frac{8}{3}$ .        

Chọn đáp án A

Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. Theo đề bài, ta có

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_5=51\\ u_2+u_6=102\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_1.q^4=51\\ u_1.q+u_1.q^5=102\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\left(1+q^4\right)=51\left(1\right)\\ u_{1}q\left(1+q^4\right)=102\left(2\right)\end{array}\right.$

Lấy (2) chia (1)  ta được

$q=2\Rightarrow u_1=3\Rightarrow u_n={3.2}^{n-1}$

Mặt khác $u_n=12288\iff {3.2}^{n-1}=12288\iff 2^{n-1}=2^{12}\iff n=13$

Chọn đáp án D

Ta có: $1,x^2,6-x^2$ lập thành cấp số nhân khi và chỉ  khi:

$\begin{array}{l}{\left(x^2\right)}^2=1.\text{}(6-x^2)\iff x^4=6-x^2\iff x^4+\text{}x{}^2-6=0\\ \iff x^2=2\iff x=\pm \sqrt{2}\end{array}$

Chọn đáp án B.

$u_1=18,u_2=54\Rightarrow q=\frac{u_2}{u_1}=3.$ 

Lại có $u_n=39366\iff u_1.q^{n-1}=39366\iff {18.3}^{n-1}=39366\iff 3^{n-1}=3^7\iff n=8$

Vậy ${\text{S}}_8=18.\frac{1-3^8}{1-3}=59040$

Chọn đáp án B.

Theo giả thiết ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(x+6y\right)+\left(8x+y\right)=2\left(5x+2y\right)\\ \left(x-1\right)\left(x-3y\right)={\left(y+2\right)}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=3y\\ \left(3y-1\right)\left(3y-3y\right)={\left(y+2\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3y\\ 0={\left(y+2\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-6\\ y=-2\end{array}\right..$

Suy ra $x^2+y^2=40.$

Chọn đáp án A.

Ta có :

$\begin{array}{l}{u}_{n+1}-u_n=\left[-{\left(n+1\right)}^2+n+1+1\right]-\left[-n^2+n+1\right]\\ =-n^2-2n-1+n+2+n^2-n-1=-2n<0\forall n\ge 1\end{array}$

Do đó $\left(u_n\right)$ là một dãy giảm.

Chọn đáp án D

Ta có $u_{n+1}=\frac{a.{\left(n+1\right)}^2}{\left(n+1\right)+1}=\frac{a{\left(n+1\right)}^2}{n+\text{}2}$.

Chọn đáp án A

Ta có:

8 = 7.1 + 1

15 = 7.2 + 1

22 = 7.3 + 1

29 = 7.4 + 1

36 = 7.5 + 1

Suy ra số hạng tổng quát $u_n=7n+1$.

Chọn đáp án C.

Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{2n-11}{3n+1}-\frac{2n-13}{3n-2}=\frac{35}{(3n+1)(3n-2)}>0$ với mọi $n\ge 1$

Suy ra $u_{n+1}>u_n\forall n\ge 1\Rightarrow$ dãy $\left(u_n\right)$ là dãy tăng.

Mặt khác: $u_n=\frac{2}{3}-\frac{35}{3(3n-2)}\Rightarrow -11\le u_n<\frac{2}{3}\forall n\ge 1$

Vậy dãy $\left(u_n\right)$  là dãy bị chặn.

Chọn đáp án A

Ta có: $u_n>0\forall n\ge 1$

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt{{(n+1)}^2+(n+1)+1}}=\sqrt{\frac{n^2+n+1}{n^2+3n+3}}<1\forall n\in \mathbb{N}*$

$\Rightarrow u_{n+1}<u_n\forall \ge 1\Rightarrow$ dãy $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

Mặt khác: $0<u_n<1\Rightarrow$ dãy $\left(u_n\right)$ là dãy bị chặn.

Chọn đáp án C

Ta có:

$$\begin{gathered} u_6=27\iff u_1+5d=27\iff -3+5d=27 \\ \iff 5d=30\iff d=6 \end{gathered}$$ 

Chọn đáp án B

Từ giả thiết bài toán, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{u}_1+4d+3(u_1+2d)-(u_1+d)=-21\\ 3(u_1+6d)-2(u_1+3d)=-34\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3u_1+9d=-21\\ u_1+12d=-34\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ d=-3\end{array}\right.$

Số hạng thứ 100 của cấp số: $u_{100}=u_1+99d=2+\text{}99.(-3)=-295$

Chọn đáp án B

Vì các số -4; 1; 6; x theo thứ tự $u_1,u_2,u_3,u_4$ lập thành cấp số cộng nên:

$u_4-u_3=u_3-u_2\Rightarrow x-6=6-1\iff x=11$

Chọn đáp án D.

Ba số $C_n^1;C_n^2;C_n^3$ theo thứ tự $u_1,u_2,u_3$ lập thành cấp số cộng nên

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}{u}_1+u_3=2u_2\iff C_n^1+C_n^3=2C_n^2\left(n\ge 3\right)\\ \iff \frac{n!}{(n-1)!.1!}+\text{\hspace{0.33em}\hspace{0.17em}}\frac{n!}{(n-3)!.3!}=2.\frac{n!}{(n-2)!.2!}\\ \iff n+\frac{\left(n-2\right)\left(n-1\right)n}{6}=2.\frac{\left(n-1\right)n}{2}\end{array} \\ \iff 1+\frac{n^2-3n+2}{6}=n-1\iff n^2-9n+14 \\ \iff \left[\begin{array}{l}n=2\\ n=7\end{array}\right.\iff n=7\left(n\ge 3\right). \end{gathered}$$

Chọn đáp án B.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}15=u_3=u_1+2d\\ d=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=19\\ d=-2\end{array}\right.$ 

$\Rightarrow u_n=u_1+\left(n-1\right)d=19\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}(n-1).(-2)=-2n+21.$

Chọn đáp án A

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-5\\ d=3\end{array}\right.\stackrel{n\leftrightarrow u_n=100}{\to }100=u_n=u_1+\left(n-1\right)d=-5+(n-1).3\\ \iff 100=3n-8\iff 3n=108\iff n=36\end{array}$

Chọn đáp án D

Ta có: $u_2+u_8+u_9+u_{15}=100$

$\begin{array}{l}\iff u_1+\text{}d+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{u}_1+\text{}7d+\text{\hspace{0.17em}}{u}_1+\text{}8d+\text{}{u}_1+\text{}14d=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}100\\ \iff 4u_1+30d=100\iff 2u_1+15d=50.\end{array}$

Khi đó $S_{16}=\frac{16}{2}\left(2u_1+15d\right)=8.50=400$ 

Chọn đáp án D.

Theo giả thiết $\frac{1}{b+c};\frac{1}{c+a};\frac{1}{a+b}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}\frac{2}{c+a}=\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}\iff \frac{2}{c+a}=\frac{a+\text{}b+\text{}b+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}c}{(b+\text{}c).(\text{}a+\text{}b)}\\ \iff \frac{c+a}{2}=\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{a+c+\text{}2b}\end{array} \\ \iff {\left(a+c\right)}^2+2b\left(c+a\right)=2\left(b^2+ab+bc+ac\right) \\ \iff a^2+c^2+2ac+2bc+2bc=2\left(b^2+ab+bc+ac\right) \\ \iff a^2+c^2=2b^2. \end{gathered}$$

Chọn đáp án C.

Dãy (u_n) là cấp số nhân

$\iff u_n=q{u}_{n-1}\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)\iff \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3}=\cdots =q\left(u_n\cancel{=}0\right),$ q là công bội.

Xét đáp án A: $128;-64;32;-16;8;\mathrm{...}\Rightarrow \frac{u_2}{u_1}=-\frac{1}{2}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3}\Rightarrow$Chọn A.

Xét đáp án B: $\sqrt{2};2;4;4\sqrt{2};\mathrm{....}\Rightarrow \frac{u_2}{u_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cancel{=}2=\frac{u_3}{u_2}\Rightarrow$loại B.

Tương tự, ta cũng loại các đáp án C, D.

Chọn đáp án A.

Các đáp án A, B, C đều là các cấp số nhân công bội lần lượt là $2;3;\frac{1}{2}$ 

Xét đáp án D: $\frac{1}{\pi };\frac{1}{{\pi }^2};\frac{1}{{\pi }^4};\frac{1}{{\pi }^6};\cdots \Rightarrow \frac{u_2}{u_1}=\frac{1}{\pi }\cancel{=}\frac{1}{{\pi }^2}=\frac{u_3}{u_2}$

Chọn đáp án D.

Cấp số nhân: $\frac{1}{2}\text{; }\frac{1}{4}\text{; }\frac{1}{8}\text{; }\cdots \text{; }\frac{1}{4096}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{2}\\ q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{1}{2}\end{array}\right.\Rightarrow u_n=\frac{1}{2}.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{1}{2^n}.$

$u_n=\frac{1}{4096}\iff \frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^{12}}\iff n=12$ 

Chọn đáp án B.

Để ba số - 4 ; x ; - 9 theo thứ tự  lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi :

$x^2=(-4).(-9)=36\iff x=\pm 6$

Chọn đáp án C.

Giả sử 4 góc A, B, C, D (với A< B< C< D) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thỏa yêu cầu với công bội q. Ta có

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}A+B+C+D=360\\ D=27A\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}A\left(1+q+q^2+q^3\right)=360\\ A{q}^3=27A\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}q=3\\ A=9\\ D=A{q}^3=243\end{array}\right.\Rightarrow A+D=9\text{}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}243=252.\end{array}$

Chọn đáp án C.

Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_1=7,d=5.$

Gọi n là số ô trên bàn cờ thì $u_1+u_2+\cdots +u_n=25450=S_n.$ 

Ta có $25450=S_n=n{u}_1+\frac{n\left(n-1\right)}{2}d=7n+\frac{n^2-n}{2}.5$

$\iff 5n^2+9n-50900=0\iff n=100$

Chọn đáp án B