10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Phép chia số phức có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho số phức $z = \frac{m + 3 i}{1 - i}, m \in R$ . Số phức $w = z^{2}$ có $|w| = 9$ . Khi các giá trị của m là:

A. $m = \pm 1$ .

B. $m = \pm 2$ .

C. $m = \pm 3$ .

D. $m = \pm 4$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Cho số phức $z = a + b i (a b \neq 0)$ . Tìm phần thực của số phức $w = \frac{1}{z^{2}}$ .

A. $- \frac{a b}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$ .

B, $\frac{a^{2} + b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$ .

C. $\frac{b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$ .

D. $\frac{a^{2} - b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

$z = a + b i \Rightarrow z^{2} = {(a + b i)}^{2} = a^{2} + 2 a b i + b^{2} i^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 a b i$

$w = \frac{1}{{(a + b i)}^{2}} = \frac{1}{a^{2} - b^{2} + 2 a b i} = \frac{a^{2} - b^{2} - 2 a b i}{(a^{2} - b^{2} + 2 a b i) (a^{2} - b^{2} - 2 a b i)} = \frac{a^{2} - b^{2} - 2 a b i}{{(a^{2} - b^{2})}^{2} - {(2 a b i)}^{2}} = \frac{a^{2} - b^{2} - 2 a b i}{a^{4} + b^{4} - 2 a^{2} b^{2} - 4 a^{2} b^{2} i^{2}} = \frac{a^{2} - b^{2} - 2 a b i}{a^{4} + b^{4} - 2 a^{2} b^{2} - 4 a^{2} b^{2}} = \frac{a^{4} + b^{4} - 2 a^{2} b^{2}}{a^{4} + b^{4} + 2 a^{2} b^{2}} = \frac{a^{4} + b^{4} - 2 a^{2} b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}} = \frac{a^{2} - b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}} - \frac{2 a b}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}} i$

Nên phần thực cuả số phức w là: $\frac{a^{2} - b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$ .

Câu 3:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ và $|z^{3} + 2024 z + \bar{z}| - 2 \sqrt{3} |z + \bar{z}| = 2019$ ?

A. 2.

B. 4.

C. 3.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Vậy có bốn số phức thỏa mãn bài toán là:

$z_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i; z_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i; z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i; z_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ .

Câu 4:

Cho số phức z có tích phần thực và phần ảo bằng 625. Gọi a là phần thực của số phức $\frac{z}{3 + 4 i}$ . Giá trị nhỏ nhất của $|a|$ bằng.

A. $2 \sqrt{3}$ .

B. $3 \sqrt{3}$ .

C. $\sqrt{3}$ .

D. $4 \sqrt{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5:

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ khác 0 thỏa mãn $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ là số thuần ảo và $|z_{1} - z_{2}| = 10$ . Giá trị lớn nhất của $|z_{1}| + |z_{2}|$ bằng:

A. 10.

B. $10 \sqrt{2}$ .

C. $10 \sqrt{3}$ .

D. $20 .$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ là số thuần ảo nên ta viết lại $\frac{z_{1}}{z_{2}} = k i \Leftrightarrow z_{1} = k i z_{2}$ .

Khi đó

$|z_{1} - z_{2}| = 10 \Leftrightarrow |k i z_{2} - z_{2}| = 10 \Leftrightarrow |z_{2} (- 1 + k i)| = 10 \Leftrightarrow |z_{2}| = \frac{10}{|- 1 + k i|} = \frac{10}{\sqrt{k^{2} + 1}} \Rightarrow |z_{1}| = |k i| . |z_{2}| = |k| . \frac{10}{\sqrt{k^{2} + 1}} \Rightarrow |z_{1}| + |z_{2}| = \frac{10 |k|}{\sqrt{k^{2} + 1}} + \frac{10}{\sqrt{k^{2} + 1}} = \frac{10 (|k| + 1)}{\sqrt{k^{2} + 1}}$

Xét $y = f (t) = \frac{10 (t + 1)}{\sqrt{t^{2} + 1}} \Rightarrow 10 (t + 1) = y \sqrt{t^{2} + 1} \Leftrightarrow 100 {(t + 1)}^{2} = y^{2} (t^{2} + 1)$

$\Leftrightarrow 100 (t^{2} + 2 t + 1) = y^{2} t^{2} + y^{2} \Leftrightarrow (y^{2} - 100) t^{2} - 200 t + y^{2} - 100 = 0$

Phương trình có nghiệm

$Δ' = 100^{2} - {(y^{2} - 100)}^{2} = y^{2} (200 - y^{2}) \geq 0 \Leftrightarrow - 10 \sqrt{2} \leq y \leq 10 \sqrt{2}$

Vậy $m a x y = 10 \sqrt{2}$ khi t = 1 hay $k = \pm 1$ .

Câu 6:

Cho các số phức z và w thỏa mãn $(3 - i) |z| = \frac{z}{w - 1} + 1 - i$ . Tìm GTLN của $T = |w + i|$ .

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

B. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

C. 2.

D. $\frac{1}{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B.

Dễ dàng kiểm tra z = 0 không thỏa mãn $(3 - i) |z| = \frac{z}{w - 1} + 1 - i$ .

Ta có: $(3 - i) |z| = \frac{z}{w - 1} + 1 - i$

$\Leftrightarrow \frac{z}{w - 1} = (3 - i) |z| + i - 1 \Leftrightarrow \frac{z}{w - 1} = (3 |z| - 1) + (1 - |z|) i \Rightarrow |\frac{z}{w - 1}| = \sqrt{10 {|z|}^{2} - 8 |z| + 2} \Rightarrow |w - 1| = \sqrt{\frac{{|z|}^{2}}{10 {|z|}^{2} - 8 |z| + 2}}$

Nhận xét:

$\Leftrightarrow \{\begin{array}{l} |z| = \frac{1}{2} \\ w - 1 = \frac{1}{2} (1 + i) \\ z = \frac{1 + i}{2} . \frac{2 k}{1 - i} \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} z = \frac{i}{2} \\ w = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i \end{cases}$

Vậy MaxT= $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

Câu 7:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z. Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức $w = \frac{1}{i z}$ là một trong bốn điểm M, N, P, Q. Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là:

A. Điểm Q.

B. Điểm M.

C. Điểm N.

D. Điểm P.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Do điểm A là điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy nên gọi $z = a + b i (a, b > 0)$ .

Câu 8:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z. Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức $\frac{1}{i z}$ là một trong bốn điểm M, N, P, Q. Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là:

A. Điểm M.

B. Điểm N.

C. Điểm P.

D. Điểm Q.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Gọi $z = x + y i (x; y \in R)$ . Từ giả thiết ta có $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 1 \\ x > 0, y > 0 \end{cases}$

Ta có: $w = \frac{1}{i z} = - \frac{i}{z} = - \frac{i}{x + y i} = - \frac{i (x - y i)}{(x + y i) (x - y i)} = - \frac{y + x i}{x^{2} + y^{2}} = - y - x i$

Vì x > 0, y > 0 nên điểm biểu diễn số phức w có tọa độ là $(- y; - x)$ (đều có hoành độ và tung độ âm).

Đồng thời $w = \sqrt{{(- y)}^{2} + {(- x)}^{2}} = 1 = |z|$

Suy ra, điểm biểu diễn của số phức w nằm trong góc phần tư thứ III và cách gốc tọa độ O một khoảng bằng OA.

Quan sát hình vẽ ta thấy có điểm P thỏa mãn.

Câu 9:

Cho số phức z thay đổi, luôn có $|z| = 2$ . Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $w = (1 - 2 i) \bar{z} + 3 i$ là:

A. Đường thẳng $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2 \sqrt{5}$ .

B. Đường tròn $x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 20$ .

C. Đường tròn $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 20$ .

D. Đường tròn ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 2 \sqrt{5}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

$\Leftrightarrow a^{2} + {(b - 3)}^{2} = 20$ .

Hãy tập hợp điểm biểu diễn số phức $w = (1 - 2 i) \bar{z} + 3 i$ là đường tròn $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 20$ .

Câu 10:

Cho các số phức z thỏa mãn . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w = (3 - 4 i) z + i$ là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.

A. r=4.

B. r=5.

C. r=20.

D. r=22.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

$w = x + y i (x, y \in R) \Rightarrow z = \frac{w - i}{3 - 4 i} = \frac{x + (y - 1) i}{3 - 4 i} = \frac{3 x - 4 (y - 1) + [3 (y - 1) + 4 x] i}{25} 16 = {|z|}^{2} = {(\frac{3 x - 4 y + 4}{25})}^{2} + {(\frac{4 x + 3 y - 3}{25})}^{2} \Rightarrow x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 400 \Rightarrow r = 20 .$