Đáp án B

Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA

Vì M là trung điểm  BC(gt) $\Rightarrow MA=MB$ (tính chất trung điểm)

Xét $\Delta MAB$ và $\Delta MNC$ có:

$\begin{array}{l}MB=MC\left(cmt\right)\\ AM=MN\left(gt\right)\end{array}$

$\widehat{AMB}=\widehat{NMC}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta MAB=\Delta MNC(c-g-c)\Rightarrow NC=AB$ (1) (2 cạnh tương ứng)

Xét $\Delta ACN$ có: $AN<AC+CN$ (2) (bất đẳng thức tam giác)

Từ (1) (2) $\Rightarrow AN<AC+AB$

Mặt khác, $AN=2AM\left(gt\right)\Rightarrow 2AM<AB+AC$

Đáp án C

Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = AB

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta AKE$ có:

AE chung

$AB=AK$ (cách dựng)

$\widehat{BAE}=\widehat{KAE}$ (vì AD là tia phân giác $\widehat{BAC}$)

$\Rightarrow \Delta ABE=\Delta AKE(c.g.c)$

$\Rightarrow EB=EK$ (hai cạnh tương ứng)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta CEK$ ta có: $EC-EK<KC$ mà $EB=EK$ (cmt) suy ra $EC-EB<KC$ (1)

Mặt khác $KC=AC-AK=AC-AB$ (vì AB = AK theo cách dựng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $EC-EB<AC-AB$

Đáp án A

Gọi giao điểm của AO và BC là D. Do O nằm trong $\Delta ABC$ nên D nằm giữa B và C $\Rightarrow BC=BD+DC(*)$

Xét $\Delta ABD$ có: $AD<AB+BD$ (bất đẳng thức tam giác)

Xét $\Delta OCD$ có: $OC<OD+DC\left(2\right)$ (bất đẳng thức tam giác)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

$\begin{array}{l}OA+OD+OC<AB+BD+OD+DC\\ \Rightarrow OA+OC<AB+BD+DC(**)\end{array}$

Từ (*) và (**) ta có $OA+OC<AB+BC$

Đáp án B

Gọi I là giao điểm của BM và AC

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta IMC$ ta có: $MC<MI+IC$   (1)

Cộng MB vào hai vế (1) ta được:

$\begin{array}{l}MC+MB<MI+IC+MB\\ \Rightarrow MC+MB<MI+MB+IC\\ \Rightarrow MC+MB<IB+IC\left(2\right)\end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta IBA$ ta có: $IB<IA+AB$   (3)

Cộng IC vào hai vế (3) ta được

$\begin{array}{l}IB+IC<IA+AB+IC\\ \Rightarrow IB+IC<IA+IC+AB\\ \Rightarrow IB+IC<AB+AC\left(4\right)\end{array}$

Từ (2) và (4) suy ra $MB+MC<AB+AC$

Đáp án A

$\Delta ABC$ cân tại A

Trường hợp 1: $AB=AC=5cm\Rightarrow BC=17-5-5=7cm$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}AB+AC=5+5=10>BC=7cm\\ AB+BC=5+7=12>AC=5cm\\ BC+AC=7+5=12>AB=5cm\end{array}\right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Trường hợp 2: $BC=5cm\Rightarrow AB=AC=(17-5):2=6cm$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}AB+AC=6+6=12>BC=5cm\\ AB+BC=5+6=11>AC=6cm\\ BC+AC=6+5=11>AB=6cm\end{array}\right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Vậy nếu $\Delta ABC$ cân tại A có: $\left[\begin{array}{l}AB=AC=5cm\Rightarrow BC=7cm\\ BC=5cm\Rightarrow AB=AC=5cm\end{array}\right.$

Vậy $BC=7cm$ hoặc $BC=5cm$

Đáp án D

$\Delta ABC$ cân tại A

Trường hợp 1: $AB=AC=6cm\Rightarrow BC=20-6-6=8cm$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}AB+AC=6+6=12>BC=8cm\\ AB+BC=6+8=14>AC=6cm\\ BC+AC=8+6=14>AB=6cm\end{array}\right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Trường hợp 2: $BC=6cm\Rightarrow AB=AC=(20-6):2=7cm$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}AB+AC=7+7=14>BC=6cm\\ AB+BC=7+6=13>AC=7cm\\ BC+AC=6+7=13>AB=7cm\end{array}\right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Vậy nếu $\Delta ABC$ cân tại A có: $\left[\begin{array}{l}AB=AC=6cm\Rightarrow BC=8cm\\ BC=6cm\Rightarrow AB=AC=7cm\end{array}\right.$

Vậy BC = 8cm hoặc BC = 6cm

Đáp án B

Xét tam giác AED có $AE+ED>AD$ (1) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Xét tam giác ECD có $CE+DE>CD$ (2) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Xét tam giác EBC có $ED+EC>BC$ (3) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Xét tam giác ABE có $AE+EB>AB$ (4) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Từ (1), (2), (3), (4) ta có:

$AE+DE+CE+DE+BE+CE+AE+BE>AD+CD+BC+AB$

Mà $AE+EC=AC;DE+BE=BD$ nên $2(AC+BD)>AD+CD+BC+AB$

Đáp án A

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta MIN$ ta có : $MN<MI+IN$ (1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào  ta có: $EF<IF+IE$  (2)

Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:

$\begin{array}{l}MN+EF<MI+IN+IF+IE\\ \Rightarrow MN+EF<(MI+IF)+(NI+IE)\\ \Rightarrow MN+EF<MF+NE\end{array}$

Đáp án A

Kéo dài BM cắt AC tại E

Xét tam giác BEC có $BE<EC+BC$ và xét tam giác AME có $MA<ME+EA$ (quan hệ giữa các cạnh trong tam giác)

Suy ra $MA+MB<ME+MB+EA<BE+EA<EC+BC+EA$ mà $EC+EA=AC$

Vậy $MA+MB<AC+BC$

Đáp án C

Nối các đoạn thẳng MA,MB,MC

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta AMB$ ta được: $MA+MB>AB$  (1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta BMC$ ta được: $MB+MC>BC$  (2)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta CMA$ ta được: $MC+MA>CA$  (3)

Cộng (1),(2),(3) theo vế với vế ta được:

$\begin{array}{l}MA+MB+MB+MC+MC+MA>AB+BC+CA\\ \Rightarrow 2(MA+MB+MC)>AB+BC+CA\\ \Rightarrow MA+MB+MC>\frac{AB+BC+CA}{2}\end{array}$

Đáp án D

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c. Nửa chu vi tam giác là $\frac{a+b+c}{2}$

Ta có:

$\begin{array}{l}a<b+c\Rightarrow a+a<a+b+c\\ \Rightarrow 2a<a+b+c\Rightarrow a<\frac{a+b+c}{2}\end{array}$

Tương tự ta cũng có $b<\frac{a+b+c}{2};c<\frac{a+b+c}{2}$

Đáp án D

Nối các đoạn thẳng MA,MB,MC

Nối các đoạn thẳng MA,MB,MC

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $∆AMB$ ta được: MA + MB > AB  (1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $∆BMC$ ta được: MB + MC > BC   (2)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $∆CMA$ ta được: MC + MA > CA   (3)

Cộng (1),(2),(3) theo vế với vế ta được:

MA + MB + MB + MC + MC + MA > AB + BC + CA

$$\begin{gathered} \Rightarrow 2\left(MA+MB+MC\right)>AB+BC+CA \\ \Rightarrow MA+MB+MC>\frac{AB+BC+CA}{2} \end{gathered}$$

Đáp án D

Xét $\Delta AMB$ có: $AM<AB-BM$ (bất đẳng thức tam giác)      

Xét $\Delta AMC$ có: $AM<AC-CM$ (bất đẳng thức tam giác)

Vì M nằm giữa B và C (gt) $\Rightarrow BC=BM+MC$

Cộng theo từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được:

$2AM<AB+AC-(BM+MC)\Rightarrow 2AM<AB+AC-BC$

Đáp án D

Xét $∆AMB$ có: $AM<AB-BM$ (bất đẳng thức tam giác)   (1)

Xét $∆AMC$ có: $AM<AC-CM$ (bất đẳng thức tam giác)  (2)

Vì M nằm giữa B và C (gt) $\Rightarrow BC=BM+MC$

Cộng (1) và (2) theo từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được:

$\begin{array}{l}AM+AM<AB+BM+AC+MC\\ \Rightarrow 2AM<AB+(MB+MC)+AC\\ \Rightarrow 2AM<AB+AC+BC\end{array}$

Đáp án C

Trên tia đối của tia MA ta lấy điểm A' sao cho $MA=MA\text{'}$

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta A\text{'}MC$ có:

$AM=A\text{'}M$ (cách vẽ)

$MB=MC$ (vì M là trung điểm BC)

$\widehat{AMB}=\widehat{A\text{'}MC}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta AMB=\Delta A\text{'}MC(c.g.c)$

$\Rightarrow AB=A\text{'}C$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\Delta \text{ACA'}$ có: $\text{A'C-AC<}AA\text{'}<A\text{'}C+AC$ (bất đẳng thức tam giác)

Mà $AB=A\text{'}C$ (cmt); $AA\text{'}=2AM$ (theo cách vẽ) nên ta có:

$\begin{array}{l}AB-AC<2AM<AB+AC\\ \Rightarrow \frac{AB-AC}{2}<2AM<\frac{AB+AC}{2}\end{array}$

Đáp án A

Gọi M là trung điểm của BC

Xét $\Delta BCE$ vuông tại E, M là trung điểm BC nên $ME=\frac{1}{2}BC$

Xét $\Delta BCF$ vuông tại F, M là trung điểm BC nên $MF=\frac{1}{2}BC$

Do đó: $ME+MF=\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}BC\Rightarrow ME+MF=BC$  (1)

Ba điểm M,E,F nằm trên cạnh của tam giác ABC nên không thể thẳng hàng do đó ba điểm M,E,F tạo thành một tam giác

Xét $\Delta MEF$ có: $ME+MF>EF$ (bất đẳng thức tam giác)         (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC > EF

Đáp án B

Nối đoạn thẳng AM

Xét $∆AMB$ có: $AM<AB-BM$ (bất đẳng thức tam giác)   (1)

Xét $∆AMC$ có: $AM<AC-CM$ (bất đẳng thức tam giác)  (2)

Vì M nằm giữa B và C (gt) $\Rightarrow BC=BM+MC$

Cộng (1) và (2) theo từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được:

$\begin{array}{l}AM+AM<AB+BM+AC+MC\\ \Rightarrow 2AM<AB+(MB+MC)+AC\\ \Rightarrow 2AM<AB+AC+BC\\ \Rightarrow AM<\frac{AB+AC+BC}{2}\end{array}$

Do đó AM nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC