7 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu (Vận dụng)

Trắc nghiệm Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu (Vận dụng)

Đề số 1

Trắc nghiệm Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu (Vận dụng)

774 lượt thi
7 câu hỏi
10 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho $Δ A B C$ vuông tại A, M là trung điểm của AC, Gọi D,E lần lượt là hình chiếu A và C xuống đường thẳng BM. So sánh $B D + B E$ và AB

A. $B D + B E > 2 A B$

B. $B D + B E < 2 A B$

C. $B D + B E = 2 A B$

D. $B D + B E < A B$

Xem đáp án

Đáp án A

$Δ A B M$ vuông tại A (gt) nên BA < BM (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Mà $B M = B D + D M \Rightarrow B A < B D + D M$ (1)

Mặt khác, $B E = B E - M E \Rightarrow B A < B E - M E$ (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta được: $2 A B < B D + B E + M D - M E$ (3)

Vì M là trung điểm của AC(gt) $\Rightarrow A M = M C$ (tính chất trung điểm)

Xét tam giác vuông ADM và tam giác vuông CEM có

AM = MC (cmt)

$\hat{A D M} = \hat{E M C}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow Δ A D M = Δ C E M$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow M D = M E$ (hai cạnh tương ứng) (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow B D + B E > 2 A B$

Câu 2:

Cho $Δ A B C$ vuông tại A, M là trung điểm của AC, Gọi D, E lần lượt là hình chiếu A và C xuống đường thẳng BM. Chọn câu đúng nhất

A. $A D + C E < 2 A B$

B. $A D + E C < A C$

C. $A B + E C = A C$

D. Cả A, B đều đúng

Xem đáp án

Đáp án D

Vì M là trung điểm AC(gt) $\Rightarrow A M = M C$ (tính chất trung điểm)

Xét tam giác ADM và tam giác CEM có:

$A M = M C$ (cmt)

$\hat{A D M} = \hat{E M C}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow Δ A D M = Δ C E M$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow A D = C E$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $Δ A B D$ vuông tại D nên $A D < A B$

$\Rightarrow 2 A D < 2 A B \Rightarrow A D + A D < 2 A B$ hay $A D + C E < 2 A B$ (A đúng)

$Δ A D M$ vuông tại D nên $A D < A M$ (1)

$Δ C E M$ vuông tại E nên $E C < C M$ (2)

Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:

$A D + E C < A M + C M$ hay $A D + E C < A C$ (B đúng)

Vậy A, B đều đúng

Câu 3:

Cho $Δ A B C$ vuông tại A. Trên cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm D và E (D,E không trùng với các đỉnh của $Δ A B C$ ). Chọn đáp án đúng nhất

A. $D E > B E > B C$

B. $D E < B E < B C$

C. $D E > B E = B C$

D. $D E < B E = B C$

Xem đáp án

Đáp án B

Vì D nằm giữa A và B nên suy ra $A D < A B$ . Mà AD và AB lần lượt là hình chiếu của ED và EB trên AB $\Rightarrow E D < E B$ (1) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Vì E nằm giữa A và C nên suy ra $A E < A C$ . Mà AE và AC lần lượt là hình chiếu của EB và BC trên AC $\Rightarrow E B < B C$ (2) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Từ (1), (2) $\Rightarrow E D < E B < B C$

Câu 4:

Cho $Δ A B C$ có $90^{0} < \hat{A} < 180^{0}$ . Trên cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm M và N (M, N không trùng với các đỉnh của $Δ A B C$ ). Chọn đáp án đúng nhất

A. $B A < B N < B C$

B. $B A > B N > B C$

C. $C A < C M < C B$

D. Cả A,C đều đúng

Xem đáp án

Đáp án D

Từ B kẻ BH vuông góc với AC, vì $\hat{B A C}$ là góc tù nên H nằm ngoài đoạn thẳng AC

Khi đó BA,BN,BC là đường xiên kẻ từ B đến AC,HA,HN,HC lần lượt là các hình chiếu của BA,BN,BC trên AC

Ta có: $H A < H N < H C$ nên $B A < B N < B C$ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Từ C kẻ CK vuông góc với AC, vì $\hat{B A C}$ là góc tù nên K nằm ngoài đoạn thẳng AB

Khi đó CA,CM,CB à các đường xiên kẻ từ C đém AB,AK,KM,KB lần lượt là các hình chiếu của CA,CM,CB trên AB

Ta có: $K A < K M < K B$ nên $C A < C M < C B$ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Chọn D

Câu 5:

Cho D là một điểm nằm trong $Δ A B C$ . Nếu AD = AB thì:

A. AB = AC

B. AB > AC

C. AB < AC

D. $A B \leq A C$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi E là giao điểm BD và AC, kẻ $A P ⊥ B D$

Gọi AD = AB (gt) mà PD và BP lần lượt là hình chiếu của AB và AB trên BE

$\Rightarrow P D = B P$ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Do $P E > P D = P B$ nên $A E > A D$ (1). Mặt khác, $A C > A E$ (2) nên từ (1) và (2) $\Rightarrow A C > A B$

Câu 6:

Cho $Δ A B C$ có $\hat{C} = 90^{o}, A C < B C$ , kẻ $C H ⊥ A B$ . Trên các cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho $B M = B C, C N = C H$ . Chọn câu đúng nhất

A. $M N ⊥ A C$

B. $A C + B C < A B + C H$

C. Cả A,B đều sai

D. Cả A,B đều đúng

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $B M = B C (g t) \Rightarrow Δ B M C$ cân tại B (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \hat{M C B} = \hat{C M B}$ (1) (tính chất tam giác cân)

Lại có : $\{\begin{matrix} \hat{B C M} + \hat{M C A} = \hat{A C B} = 90^{o} (g t) \\ \hat{C M H} + \hat{M C H} = 90^{o} (g t) \end{matrix} (2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \hat{M C H} = \hat{M C N}$

Xét $Δ M H C$ và $Δ M N C$ có:

$\begin{array}{l} M C c h u n g \\ \hat{M C H} = \hat{M C N} (c m t) \\ N C = H C (g t) \\ \Rightarrow Δ M H C = Δ M N C (c . g . c) \end{array}$

$\Rightarrow \hat{M N C} = \hat{M H C} = 90^{o}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow M N ⊥ A C$ nên A đúng

Xét $Δ A M N$ có AN là đường vuông góc hạ từ A xuống MN và AM là đường xiên nên suy ra $A M > A N$ (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)

Ta có :

$\begin{array}{l} \{\begin{matrix} B M = B C (g t) \\ H C = C N (g t) \\ A M > A N (c m t) \end{matrix} \\ \Rightarrow B M + M A + H C > B C + C N + N A \\ \Leftrightarrow A B + H C > B C + A C \end{array}$

Câu 7:

Cho góc $\hat{x O y} = 60^{o}$ , A là điểm trên tia Ox, B là điểm trên tia Oy (A,B không trùng với O)

Chọn câu đúng nhất

A. $O A + O B \leq 2 A B$

B. $O A + O B = 2 A B$ khi OA = OB

C. $O A + O B \geq 2 A B$

D. Cả A,B đều đúng

Xem đáp án

Đáp án D

Kẻ tia phân giác Ot của $\hat{x O y}$ nên $\hat{x O t} = \hat{y O t} = \frac{\hat{x O y}}{2} = \frac{60^{o}}{2} = 30^{o}$

Gọi I là giao của Ot và AB; H,K lần lần lượt là hình chiếu của A, B trên tia Ot

Xét $Δ O A H$ có $\hat{A O H} = 30^{o}$ nên $O A = 2 A H$ .

Vì AH, AI lần lượt là đường vuông góc, đường xiên kẻ từ A đến Ot nên $A H \leq A I$ do đó $O A \leq 2 A I$ (1)

Xét $Δ O B K$ có $\hat{B O K} = 30^{o}$ nên $O B = 2 B K$ .

Vì BK, BI lần lượt là đường vuông góc, đường xiêm kẻ từ B đến Ot nên $B K \leq B I$ do đó $O B \leq 2 B I$

Từ (1) và (2) theo vế với vế ta được: $O A + O B \leq 2 A I + 2 B I = 2 (A I + B I) = 2 A B$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi H,I,K trùng nhau hay $A B ⊥ O t$ nên $\hat{A I O} = \hat{B I O} = 90^{o}$

Xét $Δ O A I$ và $Δ O B I$ có :

$\hat{A I O} = \hat{B I O} = 90^{o}$

OI cạnh chung

$\hat{A O I} = \hat{B O I}$ (vì Ot là tia phân giác của $\hat{x O y}$ )

$\Rightarrow Δ O A I = Δ O B I (g . c . g)$

$\Rightarrow O A = O B$ (hai cạnh tương ứng)

Vậy $O A + O B = 2 A B$ hay $O A = O B$

Bắt đầu thi ngay