28 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Tích của vecto với một số có đáp án (p2)

Câu 1:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó $\vec{M N}$ bằng:

A. $\frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{D B})$

B. $\frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{B D})$

C. $\frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{B C})$

D. $\frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{B D})$

Xem đáp án

Ta có $\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A D} + \vec{D N}; \vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B C} + \vec{C N}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 \vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A D} + \vec{D N} + \vec{M B} + \vec{B C} + \vec{C N} \\ = (\vec{M A} + \vec{M B}) + (\vec{A D} + \vec{B C}) + ( \vec{D N} + \vec{C N}) \\ = \vec{0} + (\vec{A D} + \vec{B C}) + \vec{0} = \vec{A D} + \vec{B C} \end{array}$

$\Rightarrow \vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{B C})$

Đáp án C

Câu 2:

Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{A G} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$

B. $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C})$

C. $\vec{A G} = \frac{3}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$

D. $\vec{A G} = \frac{2}{3} (\vec{A B} + \vec{A C})$

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm của BC. Theo quy tắc trung điểm ta có: $\vec{A M} = \frac{\vec{A B} + \vec{A C}}{2}$

Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có:

Đáp án B

Câu 3:

Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $2 \vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0}$

B. $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0}$

C. $2 \vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} = 4 \vec{I A}$

D. $\vec{I A} + 2 \vec{I B} + 2 \vec{I C} = \vec{0}$

Xem đáp án

* Xét tam giác IBC có IM là đường trung tuyến nên: $2 \vec{I M} = \vec{I B} + \vec{I C}$

Lại có ; I là trung điểm của AM nên $\vec{I A} + \vec{I M} = \vec{0} \Rightarrow 2 \vec{I A} + 2. \vec{I M} = \vec{0}$

Hay $\vec{I B} + \vec{I C} + 2. \vec{I M} = \vec{0}$

Đáp án A

Câu 4:

Cho tứ giác ABCD. Dựng điểm M sao cho $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = \vec{0}$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A. M là giao điểm của AC và BD

B. M là trung điểm đoạn nối hai trung điểm các cặp cạnh AB và CD

C. M là trung điểm đoạn nối hai trung điểm các cặp cạnh AD và CB

D. M là trung điểm đoạn nối hai trung điểm các đường chéo AC và BD

Xem đáp án

*Gọi E là trung điểm của AB; F là trung điểm của CD.

Theo quy tắc trung điểm ta có:

$\begin{array}{l} \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow 2 \vec{M E} + 2 \vec{M F} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{M E} + \vec{M F} = \vec{0} \end{array}$

Do đó, M là trung điểm EF. Suy ra, khẳng định B đúng.

* Tương tự trên có C và D đúng

Chọn A.

Câu 5:

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\vec{A C} - \vec{A B} = \vec{A D}$

B. $|\vec{A B} + \vec{A D}| = |\vec{A C}|$

C. $\vec{A B} = \vec{C D}$

D. $\vec{B A} + \vec{B C} = 2 \vec{O D}$

Xem đáp án

Do ABCD là hình bình hành nên: $\vec{A B} = \vec{D C}$

Suy ra, C sai.

Đáp án C

Câu 6:

Cho tứ giác ABCD. Trên các cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M, N tùy ý. Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tứ giác AMND và BMNC. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\vec{P Q} = (\vec{A B} + \vec{D C})$

B. $\vec{P Q} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{D C})$

C. $\vec{P Q} = \frac{1}{4} (\vec{A B} + \vec{D C})$

D. $\vec{P Q} = \frac{1}{4} (\vec{A B} - \vec{D C})$

Xem đáp án

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AM, MB; G, H lần lượt là trung điểm của DN, NC.

Ta có P,Q lần lượt là trung điểm của EG, FH. Khi đó

Đáp án C

Câu 7:

Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = 1 và giao điểm các đường chéo là H. Điểm M thỏa mãn điều kiện $\vec{A M} + \vec{B M} + \vec{C M} + \vec{D M} = \vec{H M}$ là:

A. Trung điềm của AB

B. Trung điểm của CD

C. Trung điểm của AD

D. Điểm H

Xem đáp án

Do H là tâm của hình vuông ABCD nên:

$\begin{array}{l} \vec{A M} + \vec{B M} + \vec{C M} + \vec{D M} \\ = \vec{A H} + \vec{H M} + \vec{B H} + \vec{H M} + \vec{C H} + \vec{H M} + \vec{D H} + \vec{H M} = 4 \vec{H M} \end{array}$

Do đó để $\vec{A M} + \vec{B M} + \vec{C M} + \vec{D M} = \vec{H M}$

$\Leftrightarrow 4 \vec{H M} = \vec{H M} \Leftrightarrow \vec{H M} = \vec{0} \Leftrightarrow H \equiv M$

Đáp án D

Câu 8:

Cho ngũ giác ABCDE. Dựng điểm M thỏa mãn điều kiện $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} + \vec{M E} = \vec{0}$ . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, H là trung điểm của DE. Khi đó:

A. M là trung điểm của GH

B. M là điểm thỏa mãn MH = 2MG

C. M là điểm thỏa mãn $\vec{M H} = \frac{3}{2} \vec{M G}$

D. M là điểm thỏa mãn $\vec{M H} = - \frac{3}{2} \vec{M G}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 9:

Cho lục giác đều ABCDEF. Biểu diễn các vectơ $\vec{D A}, \vec{B C}, \vec{E F}$ theo các vectơ $\vec{u} = \vec{A B}; \vec{v} = \vec{A E}$ . Đẳng thức nào sau đây sai?

A. $\vec{A D} = \vec{u} + \vec{v}$

B. $\vec{E F} = - \frac{1}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{v}$

C. $\vec{B C} = - \frac{1}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{v}$

D. $\vec{B C} = \frac{1}{2} \vec{u} + \frac{1}{2} \vec{v}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 10:

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Các cặp tam giác nào sau đây có cùng trọng tâm?

A. MPR và MDE

B. MPR và ABQ

C. MPR và NQS

D. MNR và PQS

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 11:

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?

A. $- 3 \vec{a} + \vec{b} v à - \frac{1}{2} \vec{a} + 6 \vec{b}$

B. $- \frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} v à \vec{2 a} + \vec{b}$

C. $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} v à - \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$

D. $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} v à \vec{a} - 2 \vec{b}$

Xem đáp án

Ta có: $(\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b}) = - (\frac{- 1}{2} \vec{a} + \vec{b})$

Do đó, hai vecto $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b}; \frac{- 1}{2} \vec{a} + \vec{b}$ cùng phương

Đáp án C

Câu 12:

Biết rằng hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương nhưng hai vectơ $2 x \vec{a} - 3 \vec{b}$ và $(2 x + 1) \vec{a} + \vec{b}$ cùng phương. Khi đó giá trị của x bằng:

A. 1/2

B. -5/6

C. 3/2

D. -3/8

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 13:

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?

A. $\vec{u} = \frac{3}{5} \vec{a} + 3 \vec{b} v à \vec{v} = 2 \vec{a} - \frac{3}{5} \vec{b}$

B. $\vec{u} = 2 \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b} v à \vec{v} = - \frac{1}{3} \vec{a} - 4 \vec{b}$

C. $\vec{u} = - \frac{2}{3} \vec{a} + 3 \vec{b} v à \vec{v} = 2 \vec{a} - 9 \vec{b}$

D. $\vec{u} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b} v à \vec{v} = \frac{1}{2} \vec{a} - 3 \vec{b}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 14:

Cho hai điểm phân biệt A, B cố định và số thực k > 0. I là trung điểm của AB. Tập hợp các điểm M sao cho $|\vec{M A} + \vec{M B}| = k$ là:

A. Đường thẳng AB

B. Đường tròn tâm I, bán kính k/2

C. Đường tròn tâm I, bán kính k

D. Đường tròn tâm I, bán kính 2k

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 15:

Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M sao cho $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M C} + \vec{M B}|$ | là:

A. Đường trung trực của BC

B. Đường tròn tâm I, bán kính R = 2AB với I nằm trên cạnh AB sao cho IA = 2IB

C. Đường trung trực của EF với E, F lần lượt là trung điểm của AB và BC

D. Đường tròn tâm I, bán kính R = 2AC với I nằm trên cạnh AB sao cho IA = 2IB

Xem đáp án

Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB; BC. Khi đó, ta có

$|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M C} + \vec{M B}| \Leftrightarrow |2 \vec{M E}| = |2 \vec{M F}| \Leftrightarrow |\vec{M E}| = |\vec{M F}|$

Do đó, M thuộc đường trung trực của EF.

Đáp án C

Câu 16:

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM và trọng tâm G. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\vec{A M} = 2 (\vec{A B} + \vec{A C})$

B. $\vec{M G} = 3 (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C})$

C. $\vec{A M} = - 3 \vec{G M}$

D. $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C})$

Xem đáp án

Câu 17:

Cho tam giác ABC có trọng tâm G và trung tuyến AM. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\vec{G A} = 2 \vec{G M}$

B. $3 (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}) = \vec{M G}$

C. $\vec{G A} + \vec{G B} + 2 \vec{G C} = \vec{0}$

D. $\vec{A M} = - 3 \vec{M G}$

Xem đáp án

Do G là trọng tâm tam giác và trung tuyến AM nên AM = 3GM.

Suy ra: $\vec{A M} = - 3 \vec{M G}$

Đáp án D

Câu 18:

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, D là trung điểm của AM. Đẳng thức nào sau đây là sai?

A. $2 \vec{D A} + \vec{D B} + \vec{D C} = \vec{0}$

B. $\vec{D A} + \vec{D B} + \vec{D C} = \vec{0}$

C. $2 \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 4 \vec{O D}$ với mọi điểm O

D. $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 2 \vec{M D}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 19:

Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Đặt $\vec{C A} = \vec{a}; \vec{C B} = \vec{b}$ . Khi đó ta có

A. $\vec{A G} = \frac{1}{3} (2 \vec{a} - \vec{b})$

B. $\vec{A G} = \frac{1}{3} (2 \vec{a} + \vec{b})$

C. $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{a} - 2 \vec{b})$

D. $\vec{A G} = \frac{1}{3} (- 2 \vec{a} + \vec{b})$

Xem đáp án

Câu 20:

Cho tam giác ABC và số thực k > 0; G là trọng tâm của tam giác ABC. Tập hợp các điểm M sao cho $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = k$ là:

A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

B. Đường tròn tâm G, bán kính k/3

C. Đường tròn tâm G, bán kính k

D. Đường tròn tâm G, bán kính 3k

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 21:

Điều kiện nào sau đây không là điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm của tam giác ABC, với M là trung điểm của BC?

A. $\vec{A M} = - \frac{3}{2} \vec{G A}$

B. $2 \vec{G M} = \vec{G A}$

C. $\vec{A G} + \vec{B G} + \vec{C G} = \vec{0}$

D. $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

Xem đáp án

G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi ít nhất 1 trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

Đáp án B

Câu 22:

Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 4MC. Khi đó biểu diễn $\vec{A M}$ theo $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ là:

A. $\vec{A M} = \frac{4}{5} \vec{A B} - \frac{1}{5} \vec{A C}$

B. $\vec{A M} = \frac{4}{5} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A C}$

C. $\vec{A M} = \frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{4}{5} \vec{A C}$

D. $\vec{A M} = 4 \vec{A B} + \vec{A C}$

Xem đáp án

Ta có: $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A B} + \frac{4}{5} \vec{B C} = \vec{A B} + \frac{4}{5} (\vec{B A} + \vec{A C}) = \frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{4}{5} \vec{A C}$

Đáp án C

Câu 23:

Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

B. $\vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

C. $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{A C}$

D. $\vec{A M} = \frac{2}{5} \vec{A B} + \frac{3}{5} \vec{A C}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 24:

Gọi M là điểm thuộc cạnh BC của tam giác ABC sao cho $3 \vec{B M} - \vec{B C} = \vec{0}$ . Khi đó $\vec{A M}$ bằng

A. $\vec{A B} + \vec{A C}$

B. $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

C. $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

D. $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 25:

Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho $\vec{M B} = \frac{1}{3} \vec{M C}$ . Khi đó vectơ $\vec{A M}$ biểu diễn theo các vectơ $\vec{u} = \vec{A B}; \vec{v} = \vec{A C}$ là

A. $\vec{A M} = \frac{3}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{v}$

B. $\vec{A M} = \frac{3}{2} \vec{v} + \frac{1}{2} \vec{u}$

C. $\vec{A M} = - \frac{3}{2} \vec{v} - \frac{1}{2} \vec{u}$

D. $\vec{A M} = - \frac{3}{2} \vec{v} + \frac{1}{2} \vec{u}$

Xem đáp án

Ta có $\vec{M B} = \frac{1}{3} \vec{M C} \Leftrightarrow 3 \vec{M B} = \vec{M C} \Leftrightarrow 3 \vec{B M} = \vec{C M}$

$\begin{array}{l} \vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} \Rightarrow 3 \vec{A M} = 3 \vec{A B} + 3 \vec{B M} (1) \\ \vec{A M} = \vec{A C} + \vec{C M} (2) \end{array}$

Lấy (1) trừ (2) ta được :

$\begin{array}{l} 2 \vec{A M} = 3 \vec{A B} + 3 \vec{B M} - (\vec{A C} + \vec{C M}) \\ = 3 \vec{A B} - \vec{A C} + (3 \vec{B M} - \vec{C M}) \\ = 3 \vec{A B} - \vec{A C} + \vec{0} = 3 \vec{A B} - \vec{A C} \\ \Rightarrow \vec{A M} = \frac{3}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C} = \frac{3}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{v} \end{array}$

Đáp án A

Câu 26:

Cho tam giác ABC, D là điểm thuộc cạnh BC sao cho DC = 2DB. Nếu $\vec{A D} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ thì m và n bằng bao nhiêu?

A. m = 1/3; n = 2/3

B. m = -1/3; n = 2/3

C. m = 1/3; n = -2/3

D. m = 2/3; n = 1/3

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 27:

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P là các điểm được xác định bởi : $\vec{M C} = 3 \vec{M B}; \vec{N A} = - 2 \vec{N B} v à \vec{A P} = x \vec{A C}$ . Khi đó M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi:

A. x = 2/5

B. x = 3/5

C. x = -3/5

D. x = -2/5

Xem đáp án

* Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{M C} = 3 \vec{M B} \Leftrightarrow \vec{M C} = 3 (\vec{M C} + \vec{C B}) \Leftrightarrow - 2 \vec{M C} = 3 \vec{C B} \\ \Leftrightarrow \vec{C B} = \frac{- 2}{3} \vec{M C} \Leftrightarrow \vec{B C} = \frac{2}{3} \vec{M C} \end{array}$

* $\begin{array}{l} \vec{N A} = - 2 \vec{N B} \Leftrightarrow \vec{N A } = - 2 (\vec{N A} + \vec{A B}) \\ \Leftrightarrow 3 \vec{N A} = - 2 A \vec{B} \Leftrightarrow \vec{A B} = \frac{- 3}{2} \vec{N A} \end{array}$

Do đó,

$\begin{array}{l} \vec{A P} = x . \vec{A C} = x . (\vec{A B} + \vec{B C}) \\ = x . (\frac{- 3}{2} \vec{N A} + \frac{2}{3} \vec{M C}) = \frac{- 3}{2} x \vec{N A} + \frac{2}{3} x \vec{M C} \\ = \frac{3}{2} x \vec{A N} + \frac{2}{3} x (\vec{A C} - \vec{A M }) \\ = \frac{3}{2} x \vec{A N} + \frac{2}{3} x . (\frac{1}{x} . \vec{A P} - \vec{A M }) \\ = \frac{3}{2} x \vec{A N} + \frac{2}{3} . \vec{A P} - \frac{2}{3} x \vec{A M } \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{3} \vec{A P} = \frac{3}{2} x \vec{A N} - \frac{2}{3} x \vec{A M } \\ \Leftrightarrow \vec{A P} = \frac{9}{2} x \vec{A N} - 2 x \vec{A M } \end{array}$

Để ba điểm M; N; P thẳng hàng thì

$\frac{9}{2} x - 2 x = 1 \Leftrightarrow \frac{5}{2} x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{2}{5}$

Đáp án A

Câu 28:

Biết rằng hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm. Đẳng thức nào sau đây là sai?

A. $\vec{A A'} + \overset{⇀}{B B'} + \overset{⇀}{C C'} = \overset{⇀}{0}$

B. $\vec{A A'} + \vec{A B'} + \vec{A C'} = \vec{0}$

C. $\vec{A B'} + \vec{B C'} + \vec{C A'} = \vec{0}$

D. $\vec{A C'} + \vec{B A'} + \vec{C B'} = \vec{0}$

Xem đáp án

Từ B suy ra A là trọng tâm của tam giác A’B’C’ (vô lí).

Lưu ý các tam giác A’B’C’, B’C’A’, C’A’B’ có cùng trọng tâm.

Đáp án B