15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Tính chất ba đường cao của tam giác có đáp án (Thông hiểu)

Câu 1:

Cho $Δ A B C$ cân tại A, trung tuyến AM. Biết $B C = 24 c m, A M = 5 c m$ . Tính độ dài các cạnh AB và AC

A. $A B = A C = 13 c m$

B. $A B = A C = 14 c m$

C. $A B = A C = 15 c m$

D. $A B = A C = 16 c m$

Xem đáp án

Đáp án A

Vì $Δ A B C$ cân tại A(gt) mà AM là trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác đó

Vì AM là trung tuyến của nên M là trung điểm của BC

$\Rightarrow B M = \frac{B C}{2} = 24 : 2 = 12 c m$

Xét $Δ A M B$ vuông tại M có: $A B^{2} = A M^{2} + B M^{2}$ ( Định lí Pytago)

$\Rightarrow A B^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 169 \Rightarrow A B = \sqrt{169} = 13 c m$

Vậy $A B = A C = 13 c m$

Câu 2:

Cho $Δ A B C$ cân tại A, trung tuyến AM. Biết $B C = 6 c m, A M = 4 c m$ . Tính độ dài các cạnh AB và AC

A. $A B = A C = 5 c m$

B. $A B = A C = 7 c m$

C. $A B = A C = 6 c m$

D. $A B = A C = 4 c m$

Xem đáp án

Đáp án A

Vì $Δ A B C$ cân tại A(gt) mà AM là trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác đó

Vì AM là trung tuyến của $Δ A B C$ nên M là trung điểm của BC

$\Rightarrow B M = \frac{B C}{2} = 6 : 2 = 3 c m$

Xét $Δ A M B$ vuông tại M có: $A B^{2} = A M^{2} + B M^{2}$ ( Định lí Pytago)

$\Rightarrow A B^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25 \Rightarrow A B = \sqrt{25} = 5 c m$

Vậy $A B = A C = 5 c m$

Câu 3:

Đường cao của tam giác đều cạnh a có bình phương độ dài là

A. $\frac{3 a^{2}}{4}$

B. $\frac{a^{2}}{4}$

C. $\frac{3 a^{2}}{2}$

D. $\frac{3 a}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Xét tam giác ABC đều cạnh $A B = A C = B C = a$ có AM là đường trung tuyến suy ra AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay $A M ⊥ B C$ tại M

Ta có: $M B = M C = \frac{B C}{2} = \frac{a}{2}$

Xét tam giác AMC vuông tại M, theo định lí Pytago ta có:

$A M^{2} = A C^{2} - M C^{2} = a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{3 a^{2}}{4}$

Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh a là $\frac{3 a^{2}}{4}$

Câu 4:

Đường cao của tam giác đều cạnh 4 có bình phương độ dài đường cao là

A. 16

B. 12

C. 14

D. 10

Xem đáp án

Đáp án B

Xét tam giác ABC đều cạnh $A B = A C = B C = 4$ có AM là đường trung tuyến suy ra AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay $A M ⊥ B C$ tại M

Ta có: $M B = M C = \frac{B C}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Xét tam giác AMC vuông tại M, theo định lí Pytago ta có:

$A M^{2} = A C^{2} - M C^{2} = 4^{2} - 2^{2} = 16 - 4 = 12$

Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh 4 là 12

Câu 5:

Cho $Δ A B C$ nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho $B I = A C$ . Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho $C K = A B$

1: Chọn câu đúng

A. AI > AK

B. AI < AK

C. AI = 2AK

D. AI = AK

Xem đáp án

Đáp án D

Xét $Δ A B D$ có: $\hat{A_{1}} + \hat{B_{1}} = 90^{o}$ (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau )

Xét $Δ A E C$ có: $\hat{A_{1}} + \hat{C_{1}} = 90^{o}$ (trong tam giác vuông2 góc nhọn phụ nhau )

$\Rightarrow \hat{B_{1}} = \hat{C_{1}}$ (1)

Lại có: $\{\begin{matrix} \hat{B_{1}} + \hat{B_{2}} = 180^{o} \\ \hat{C_{1}} + \hat{C_{2}} = 180^{o} \end{matrix}$ (2) (hai góc kề bù)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \hat{B_{2}} = \hat{C_{2}}$

Xét $Δ A B I$ và $Δ K C A$ có:

$\begin{array}{l} A B = C K (g t) \\ \hat{B_{2}} = \hat{C_{2}} (c m t) \\ B I = A C (g t) \\ \Rightarrow Δ A B I = Δ K C A (c . g . c) \end{array}$

$\Rightarrow A I = A K$ (hai cạnh tương ứng)

Câu 6:

Cho $Δ A B C$ nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho $B I = A C$ . Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho $C K = A B$

2: $Δ A I K$ là tam giác gì?

A. $Δ A I K$ là tam giác cân tại B

B. $Δ A I K$ là tam giác vuông cân tại A

C. $Δ A I K$ là tam giác vuông

D. $Δ A I K$ là tam giác đều

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $A I = A K (c m t) \Rightarrow Δ A I K$ cân tại A (*)

$Δ A B I = Δ K C A (c m t) \Rightarrow \hat{A I B} = \hat{C A K}$ (3) (hai góc tương ứng)

Xét $Δ_{v} A I D$ có: $\hat{A I D} + \hat{I A D} = 90^{o}$ (4) (trong tam giác vuông2 góc nhọn phụ nhau )

Từ (3),(4) $\Rightarrow \hat{I A D} + \hat{C A K} = 90^{o} \Rightarrow Δ A I K$ vuông tại A (**)

Từ (*)(**) $\Rightarrow Δ A I K$ vuông cân tại A

Câu 7:

Cho $Δ A B C$ vuông cân tại B. Trên cạnh AB lấy điểm H. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BH = BD

1: Chọn câu đúng

A. $D H ⊥ A C$

B. $\hat{C D I} = 60^{o}$

C. $D H ⊥ A B$

D. $Δ H B D$ đều

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi I là giao điểm của DH và AC

$Δ A B C$ vuông cân tại B(gt) nên $\hat{C} = 45^{0}$

$Δ H B D$ có : $\hat{H B D} = 90^{0}; B H = B D (g t)$ nên $Δ H B D$ vuông cân tại B suy ra $\hat{B D H} = 45^{0}$ hay $\hat{C D I} = 45^{0}$

Xét $Δ D C I$ có: $\hat{C} = \hat{C D I} = 45^{0}$ (cmt) suy ra $\hat{D I C} = 180^{0} - (\hat{C} + \hat{C D I}) = 180^{0} - (45^{0} - 45^{0}) = 90^{0}$

Vậy $D H ⊥ A C$

Câu 8:

Cho $Δ A B C$ vuông cân tại B. Trên cạnh AB lấy điểm H. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BH = BD

2: Gọi CH cắt AD tại K. Tính số đo góc CKA

A. $\hat{C K A} = 85^{0}$

B. $\hat{C K A} = 80^{0}$

C. $\hat{C K A} = 60^{0}$

D. $\hat{C K A} = 90^{0}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi I là giao điểm của DH và AC

Sử dụng kết quả câu trước ta có: $D I ⊥ A C$

Xét $Δ A D C$ có: $A B ⊥ D C; D I ⊥ A C$ nên H là trực tâm của $Δ A D C$

Suy ra CK là đường cao thứ ba của $Δ A D C$ hay $C K ⊥ A D$

Do đó $\hat{C K A} = 90^{0}$

Câu 9:

Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B $(M A < M B)$ . Vẽ tia Mx vuông góc với AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho $M A = M C, M D = M B$ . Tia AC cắt BD ở E. Tính $\hat{A E B}$

A. $30^{\circ}$

B. $45^{\circ}$

C. $60^{\circ}$

D. $90^{\circ}$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì $M x ⊥ A B \Rightarrow \hat{A M x} = 90^{o}$

Xét $Δ A M C$ có: $\{\begin{cases} \hat{A M C} = 90^{o} \\ M A = M C (g t) \end{cases} \Rightarrow \hat{M A C} = \hat{M C A} = 45^{0}$ (tính chất tam giác cân)

Do đó $\hat{D C E} = \hat{M C A} = 45^{0}$ (đối đỉnh)

Xét $Δ B M D$ có: $\{\begin{matrix} \hat{B M D} = 90^{o} \\ M B = M D (g t) \end{matrix} \Rightarrow \hat{M B D} = \hat{M D B} = 45^{0}$ (tính chất tam giác cân)

Xét $Δ C D E$ có: $\hat{C D E} = \hat{D C E} = 45^{0}$

$\Rightarrow \hat{C D E} + \hat{D C E} = 90^{o} \Rightarrow \hat{D E C} = 90^{o}$

Lại có: $\hat{D E C} + \hat{A E B} = 180^{0}$ (kề bù)

$\Rightarrow \hat{A E B} = 180^{0} - \hat{D E C} = 180^{0} - 90^{o} = 90^{o}$

Câu 10:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho $A E = A D$ . Kéo dài CD cắt BE tại I. Tính số đo góc $\hat{B I C}$

A. $30^{\circ}$

B. $45^{\circ}$

C. $60^{\circ}$

D. $90^{\circ}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi K là giao của ED và BC

$Δ A B C$ vuông cân tại A(gt) nên $\hat{C} = 45^{0}$

$Δ A D E$ có: $\hat{D A E} = 90^{0}; A D = A E (g t)$ nên $Δ A D E$ vuông cân tại A suy ra $\hat{A E D} = 45^{0}$ hay $\hat{C E K} = 45^{0}$

Xét $Δ C E K$ có: $\hat{C} = \hat{C E K} = 45^{0}$ (cmt) suy ra:

$\hat{E K C} = 180^{0} - (\hat{C} + \hat{C E K}) = 180^{0} - (45^{0} + 45^{0}) = 90^{0}$

Vậy $E K ⊥ B C$

Xét $Δ B C E$ có: $B A ⊥ E C; E K ⊥ B C$ nên D là trực tâm của $Δ B C E$

Suy ra CI là đường cao thứ ba của $Δ B C E$ hay $C I ⊥ B E$

Do đó $\hat{B I C} = 90^{0}$

Câu 11:

Cho $Δ A B C$ cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại I. Tia AI cắt BC tại M. Khi đó $Δ M E D$ là tam giác gì?

A. Tam giác cân

B. Tam giác vuông cân

C. Tam giác vuông

D. Tam giác đều

Xem đáp án

Đáp án A

Xét $Δ A B C$ có BD và CE là đường cao cắt nhau tại I suy ra AI là đường cao của tam giác đó

Mà AI cắt BC tại M nên $A M ⊥ B C$

Vì $Δ A B C$ cân tại A (gt) nên AM là đường cao cũng chính là đường trung trực của tam giác đó (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow B M = M C$ (tính chất đường trung trực)

Vì $\{\begin{cases} C E ⊥ A B \\ B D ⊥ A C \end{cases} \Rightarrow \hat{B E C} = \hat{B D C} = 90^{0}$

Xét $Δ B E C$ có M là trung điểm của BC nên suy ra EM là trung tuyến của $Δ_{v} B E C$

$\Rightarrow E M = \frac{B C}{2}$ (1) (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông)

Xét $Δ B D C$ có M là trung tuyến của BC nên suy ra DM là trung tuyến của $Δ_{v} B D C$

$\Rightarrow D M = \frac{B C}{2}$ (2) (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông)

Từ (1)(2) $\Rightarrow E M = D M \Rightarrow Δ E M D$ cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Câu 12:

Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AH và BK cắt nhau tại D

1: Biết $\hat{A C B} = 50^{0}$ , tính $\hat{H D K}$

A. $130^{\circ}$

B. $50^{\circ}$

C. $60^{\circ}$

D. $90^{\circ}$

Xem đáp án

Đáp án A

Xét tam giác CHK có $\hat{H C K} + \hat{C H K} + \hat{C K H} = 180^{0}$ (1) (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Xét tam giác DHK có $\hat{H G D} + \hat{D H K} + \hat{D K H} = 180^{0}$ (2) (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Từ (1) và (2) suy ra :

$\begin{array}{l} \hat{H C K} + \hat{C H K} + \hat{C K H} + \hat{H G D} + \hat{D H K} + \hat{D K H} = 180^{0} + 180^{0} \\ \Rightarrow \hat{H C K} + \hat{C H K} + \hat{C K H} + \hat{H G D} + \hat{D H K} + \hat{D K H} = 360^{0} \\ \Rightarrow \hat{H C K} + \hat{D H C} + \hat{D H K} + \hat{D K C} = 360^{0} \end{array}$

Mà $\hat{D H C} = 90^{o}; \hat{D K C} = 90^{o}; \hat{H C K} = 50^{0}$

Suy ra $\hat{H D K} = 360^{0} - 90^{o} - 90^{o} - 50^{0} = 130^{0}$

Câu 13:

Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AH và BK cắt nhau tại D

2: Nếu $D A = D B$ thì tam giác ABC là tam giác

A. Cân tại A

B. Cân tại B

C. Cân tại C

D. Đều

Xem đáp án

Đáp án C

Nếu $D A = D B$ thì tam giác DAB cân tại D suy ra $\hat{D B A} = \hat{D A B}$ (1) (tính chất tam giác cân)

Xét tam giác AHB có $\hat{A B H} = 90^{0} - \hat{B A H}$ (2)

Xét tam giác ABK có $\hat{B A K} = 90^{0} - \hat{A B K}$ (3)

Từ (1)(2)(3) ta suy ra $\hat{A B H} = \hat{B A K}$ hay $\hat{A B C} = \hat{B A C}$ suy ra tam giác ABC cân tại C

Câu 14:

Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AH và BK cắt nhau tại D

1: Biết $\hat{A C B} = 50^{0}$ , tính $\hat{H D K}$

A. $130^{\circ}$

B. $50^{\circ}$

C. $136^{\circ}$

D. $90^{\circ}$

Xem đáp án

Đáp án C

Xét tam giác CHK có $\hat{H C K} + \hat{C H K} + \hat{C K H} = 180^{0}$ (1) (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Xét tam giác DHK có $\hat{H G D} + \hat{D H K} + \hat{D K H} = 180^{0}$ (2) (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Từ (1) và (2) suy ra :

$\begin{array}{l} \hat{H C K} + \hat{C H K} + \hat{C K H} + \hat{H G D} + \hat{D H K} + \hat{D K H} = 180^{0} + 180^{0} \\ \Rightarrow \hat{H C K} + \hat{C H K} + \hat{C K H} + \hat{H G D} + \hat{D H K} + \hat{D K H} = 360^{0} \\ \Rightarrow \hat{H C K} + \hat{D H C} + \hat{D H K} + \hat{D K C} = 360^{0} \end{array}$

Mà $\hat{D H C} = 90^{o}; \hat{D K C} = 90^{o}; \hat{H C K} = 44^{0}$

Suy ra $\hat{H D K} = 360^{0} - 90^{o} - 90^{o} - 44^{0} = 136^{0}$

Câu 15:

Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AH và BK cắt nhau tại D

2: Nếu $D A = D B$ và $\hat{B A C} = 60^{0}$ thì tam giác ABC là tam giác

A. Cân tại A

B. Cân tại B

C. Cân tại C

D. Đều

Xem đáp án

Đáp án D

Nếu $D A = D B$ thì tam giác DAB cân tại D suy ra $\hat{D B A} = \hat{D A B}$ (1) (tính chất tam giác cân)

Xét tam giác AHB có $\hat{A B H} = 90^{0} - \hat{B A H}$ (2)

Xét tam giác ABK có: $\hat{B A K} = 90^{0} - \hat{A B K}$ (3)

Từ (1)(2)(3) ta suy ra $\hat{A B H} = \hat{B A K}$ hay $\hat{A B C} = \hat{B A C}$ suy ra tam giác ABC cân tại C

Lại có $\hat{B A C} = 60^{0}$ (gt) nên $Δ A B C$ là tam giác đều