12 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có đáp án (Thông hiểu)

Câu 1:

Cho hình vẽ sau

1: Biết MG = 3cm. Tính MR

A. 1cm

B. 2cm

C. 3cm

D. 4,5cm

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: MR, NS là hai đường trung tuyến của tam giác MNP và chúng cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác MNP

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có: $\frac{M G}{M R} = \frac{2}{3} \Rightarrow M R = \frac{3}{2} M G = \frac{3}{2} .3 = 4, 5 (c m)$

Vậy MR = 4,5cm

Câu 2:

Cho hình vẽ sau

2: Biết GS = 1,5cm. Tính NG

A. 1,5cm

B. 3cm

C. 2,25cm

D. 1cm

Xem đáp án

Đáp án B

Theo câu trước ta có G là trọng tâm của tam giác MNP.

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:

$\frac{N G}{N S} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{N G}{G S} = 2 \Rightarrow N G = 2 G S = 2.1, 5 = 3 (c m)$

Vậy NG = 3cm

Câu 3:

Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và G là trọng tâm. Độ dài đoạn AG là

A. 4,5 cm

B. 3 cm

C. 6 cm

D. 4 cm

Xem đáp án

Đáp án C

Vì G là trọng tâm tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên $A G = \frac{2}{3} A M$ (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Do đó $A G = \frac{2}{3} .9 = 6$

Câu 4:

Tam giác ABC có trung tuyến AM = 15cm và G là trọng tâm. Độ dài đoạn AG là

A. 7,5 cm

B. 5 cm

C. 10 cm

D. 22,5 cm

Xem đáp án

Đáp án C

Vì G là trọng tâm tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên

$A G = \frac{2}{3} A M$ ( tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Do đó $A G = \frac{2}{3} .15 = 10 c m$

Câu 5:

Cho G là trọng tâm của tam giác đều. Chọn câu đúng

A. $G A = G B = G C$

B. $G A = G B > G C$

C. $G A < G B < G C$

D. $G A > G B > G C$

Xem đáp án

Đáp án A

Các tia AG, BG và CG cắt BC, AC, AB lần lượt tại D, E, F thì D, E, F theo thứ tự lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB

Mà $A C = A B = B C$ (do tam giác ABC là tam giác đều), do đó $B D = D C = C E = E A = A F = F B$

Xét $Δ A E B$ và $Δ A F C$ ta có:

$\begin{array}{l} A B = A C \\ \hat{A} c h u n g \\ A E = A F \\ \Rightarrow Δ A E B = Δ A F C (c . g . c) \end{array}$

$\Rightarrow B E = C F$ (1)

Chứng minh tương tự ta có $Δ B E C = Δ A D C (c . g . c) \Rightarrow B E = A D$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $A D = B E = C F$ (3)

Theo đề bài G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$G A = \frac{2}{3} A D; G B = \frac{2}{3} B E; G C = \frac{2}{3} C F$

Vì thế từ (3) ta suy ra $G A = G B = G C$

Câu 6:

Cho G là trọng tâm của tam giác đều. D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Chọn câu đúng

A. $G D > G E > G F$

B. $G D < G E < G F$

C. $G D > G E = G F$

D. $G D = G E = G F$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì D,E,F lần lượt là trung điểm của BC,AC,AB nên

$\begin{array}{l} B D + C E = B C \\ Δ G B C \\ B G + C G > B C \\ B D = \frac{2}{3} B D; C G = \frac{2}{3} C E \\ \frac{2}{3} B D + \frac{2}{3} C E > B G + C G \Rightarrow \frac{2}{3} (B D + C E) > B G + C G \\ \Rightarrow B D + C E > \frac{2}{3} B C \\ B D = D C = \frac{1}{2} B C; C E = E A = \frac{1}{2} A C; A F = F B = \frac{1}{2} A B \end{array}$

Mặt khác $A C = A B = B C$ (do tam giác ABC là tam giác đều), do đó $B D = D C = C E = E A = A F = F B$

Xét $Δ A E B$ và $Δ A F C$ ta có:

$\begin{array}{l} A B = A C \\ \hat{A} c h u n g \\ A E = A F \\ \Rightarrow Δ A E B = Δ A F C (c . g . c) \end{array}$

$\Rightarrow B E = C F$ (1)

Chứng minh tương tự ta có $Δ B E C = Δ A D C (c . g . c) \Rightarrow B E = A D$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $A D = B E = C F$ (3)

Theo đề bài G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$G A = \frac{2}{3} A D; G B = \frac{2}{3} B E; G C = \frac{2}{3} C F \Rightarrow G D = \frac{1}{3} A D; G E = \frac{1}{3} B E; G F = \frac{1}{3} C F$

Kết hợp với (3) ta được: $G D = G E = G F$

Câu 7:

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD; CE sao cho BD = CE. Khi đó tam giác ABC

A. Cân tại B

B. Cân tại C

C. Vuông tại A

D. Cân tại A

Xem đáp án

Đáp án D

Hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G suy ra G là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra $B G = \frac{2}{3} B D; C H = \frac{2}{3} C E$ mà $B D = C E \Rightarrow B G = C G$ . Từ đó: $B D - B G = C E - C G \Rightarrow G D = G E$

Xét tam giác BGE và tam giác CGD có:

$\hat{B G E} = \hat{C G D}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow Δ B G E = Δ C D G (c . g . c) \Rightarrow B E = C D \Rightarrow \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} A C$

Do đó AB = AC hay tam giác ABC cân tại A

Đáp án cần chọn là D

$\begin{array}{l} B G = C G \\ G D = G E \end{array}$

Câu 8:

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài cạnh BC biết $B D = 9 c m; C E = 12 c m$

A. BC = 12cm

B. BC = 6cm

C. BC = 8cm

D. BC = 10cm

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi giao điểm của hai đường trung tuyến BD và CE là G thì G là trọng tâm tam giác ABC

Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có: $B G = \frac{2}{3} B D; C G = \frac{2}{3} C E$

Mà $B D = 9 c m; C E = 12 c m$ nên $B G = \frac{2}{3} .9 = 6 c m; C G = \frac{2}{3} .12 = 8 c m$

Xét tam giác BGC vuông tại G, theo định lí Pytago ta có:

$\begin{array}{l} B C^{2} = B G^{2} + C G^{2} \\ B C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100 \end{array}$

Hay $B C = 10 c m$

Vậy $B C = 10 c m$

Câu 9:

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài cạnh BC biết $B D = 4, 5 c m; C E = 6 c m$

A. BC = 6cm

B. BC = 4,5 cm

C. BC = 5cm

D. BC = 10cm

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi giao điểm của hai đường trung tuyến BD và CE là G thì G là trọng tâm tam giác ABC

Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có: $B G = \frac{2}{3} B D; C G = \frac{2}{3} C E$

Mà $B D = 4, 5 c m; C E = 6 c m$ nên $B G = \frac{2}{3} .4, 5 = 3 c m; C G = \frac{2}{3} .6 = 4 c m$

Xét tam goác BGC vuông tại G, theo định lí Pytago ta có: $B C^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$

Hay $B C = 5 c m$

Vậy $B C = 5 c m$

Câu 10:

Tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE. Chọn câu đúng

A. $B D + C E < \frac{3}{2} B C$

B. $B D + C E > \frac{3}{2} B C$

C. $B D + C E = \frac{3}{2} B C$

D. $B D + C E = B C$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi G là giao điểm của BD và CE. Trong $Δ G B C$ ta có $B G + C G > B C$

Ta lại có: $B G = \frac{2}{3} B D; C G = \frac{2}{3} C E$ (tính chất các đường trung tuyến của tam giác ABC)

Từ đó: $\frac{2}{3} B D + \frac{2}{3} C E = B G + C G \Rightarrow \frac{2}{3} (B D + C E) = B G + C G$

Mà $B G + C G > B C$

$\Rightarrow B D + C E > \frac{3}{2} B C$

Câu 11:

Cho tam giác ABC vuông tại A có: $A B = 5 c m; B C = 13 c m$ . Ba đường trung tuyến AM, BN, CE cắt nhau tại O

Độ dài trung tuyến BN là:

A. 6cm

B. $\sqrt{61} c m$

C. 12cm

D. $\sqrt{65} c m$

Xem đáp án

Đáp án B

$Δ A B C$ vuông tại A nên theo định lí Pytago ta có:

$\begin{array}{l} A B^{2} + A C^{2} = B C^{2} \Rightarrow A C^{2} = B C^{2} - A B^{2} = 13^{2} - 5^{2} = 144 \\ \Rightarrow A C = 12 \end{array}$

Ta có AM, BN, CE là các đường trung tuyến ứng với các cạnh BC,AC,AB của tam giác vuông ABC

Suy ra M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,AC,AB

$\Rightarrow A N = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} .12 = 6 c m$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABN vuông tại A ta có:

$\begin{array}{l} A B^{2} + A N^{2} = B N^{2} \Rightarrow 5^{2} + 6^{2} = B N^{2} \Rightarrow B N^{2} = 61 \\ \Rightarrow B N = \sqrt{61} c m \end{array}$

Câu 12:

Cho tam giác ABC vuông tại A có $A C = 9 c m, B C = 15 c m$ . Ba đường trung tuyến AM, BN, CE cắt nhau tại O. Độ dài trung tuyến CE là

A. 10cm

B. $\sqrt{117} c m$

C. 12cm

D. $\sqrt{106} c m$

Xem đáp án

Đáp án B

$Δ A B C$ vuông tại A nên theo định lí Pytago ta có:

$\begin{array}{l} A B^{2} + A C^{2} = B C^{2} \Rightarrow A B^{2} = B C^{2} - A C^{2} = 15^{2} - 9^{2} = 144 \\ \Rightarrow A B = 12 \end{array}$

Ta có AM, BN, CE là các đường trung tuyến ứng với các cạnh BC,AC,AB của tam giác vuông ABC

Suy ra M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,AC,AB

$\Rightarrow A E = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} .12 = 6 c m$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ACE vuông tại A ta có:

$\begin{array}{l} A C^{2} + A E^{2} = C E^{2} \Rightarrow 9^{2} + 6^{2} = C E^{2} \Rightarrow C E^{2} = 117 \\ \Rightarrow C E = \sqrt{117} c m \end{array}$