10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Câu 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ điểm A(1; 1) đến đường thẳng Δ: 5x – 12y – 6 = 0 là

A. 13

B. –13;

C. –1;

D. 1.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Khoảng cách từ điểm A(1; 1) đến đường thẳng Δ: 5x – 12y – 6 = 0 là $d (A, Δ) = \frac{|5.1 - 12.1 - 6|}{\sqrt{5^{2} + {(- 12)}^{2}}} = 1$ .

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng x – 3y + 4 = 0 và 2x + 3y – 1 = 0 đến đường thẳng d: 3x + y + 4 = 0 bằng

A. $2 \sqrt{10}$ ;

B. $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$ ;

C. $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ;

D. 2.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Giao điểm của hai đường thẳng x – 3y + 4 = 0 và 2x + 3y – 1 = 0 là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{cases} x - 3 y + 4 = 0 \\ 2 x + 3 y - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 1 \end{cases}$ .

Suy ra tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là A(–1; 1).

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d: 3x + y + 4 = 0 bằng $d (A, Δ) = \frac{|- 3 + 1 + 4|}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

Câu 3:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ điểm M(2; 0) đến đường thẳng Δ: $\{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 2 + 4 t \end{cases}$ bằng

A. 2;

B. $\frac{2}{5}$ ;

C. $\frac{10}{\sqrt{5}}$ ;

D.

v \frac{\sqrt{5}}{2}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng Δ: $\{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 2 + 4 t \end{cases}$ viết dưới dạng phương trình tổng quát là:

$\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{4} \Leftrightarrow 4 (x - 1) = 3 (y - 2)$

⇔ 4x – 3y + 2 = 0.

Khoảng cách từ điểm M(2; 0) đến đường thẳng Δ là $d (M, Δ) = \frac{|4 \cdot 2 - 3 \cdot 0 + 2|}{\sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2}}} = 2$ .

Câu 4:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(0; 3) và C(4; 0). Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng

A. $\frac{1}{5};$

B. $\frac{1}{25};$

C. $\frac{3}{5};$

D. 3.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với B(0; 3) và C(4; 0) ta có $\vec{B C} = (4; - 3)$

Khi đó đường thẳng BC đi qua B(0; 3) và nhận $\vec{n} (3; 4)$ làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình là: 3(x – 0) + 4(y – 3) = 0 hay 3x + 4y – 12 = 0.

Khi đó khoảng cách từ A(1; 2) đến đường thẳng BC chính là chiều cao kẻ từ A của tam giác ABC, và bằng

$d (A, B C) = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 12|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{1}{5} .$

Câu 5:

Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm M(15; 1) đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng $Δ : \{\begin{cases} x = 2 + 3 t \\ y = t \end{cases}$ bằng:

A. $\sqrt{10};$

B. $\frac{1}{\sqrt{10}};$

C. $\frac{16}{\sqrt{5}};$

D.

\sqrt{5};

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình đường thẳng $Δ : \{\begin{cases} x = 2 + 3 t \\ y = t \end{cases}$ được viết thành: $\frac{x - 2}{3} = \frac{y}{1}$ hay x – 3y – 2 = 0.

Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm M(15; 1) đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng ∆ chính là khoảng cách từ điểm M đến ∆, và bằng:

$d (M, Δ) = \frac{|15 - 3 \cdot 1 - 2|}{\sqrt{1^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} .$

Câu 6:

Giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm A(−1; 2) đến đường thẳng Δ: mx + y – m + 4 = 0 bằng $2 \sqrt{5}$ là

A. m = 2;

B. m = –2 hoặc $m = \frac{1}{2}$ ;

C. $m = - \frac{1}{2}$ ;

D. Không có giá trị của m.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ bằng:

$d (A, Δ) = \frac{|m \cdot (- 1) + 2 - m + 4|}{\sqrt{m^{2} + 1^{2}}} = 2 \sqrt{5}$

$\Leftrightarrow |m - 3| = \sqrt{5} \cdot \sqrt{m^{2} + 1} \Leftrightarrow m^{2} - 6 m + 9 = 5 (m^{2} + 1)$

$\Leftrightarrow 4 m^{2} + 6 m - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 2 \\ m = \frac{1}{2} \end{array}$

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 7:

Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 8x + 6y + 100 = 0. Bán kính R của đường tròn (C) bằng

A. R = 4;

B. R = 6;

C. R = 8;

D. R = 10.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 8x + 6y + 100 = 0. Bán kính R của đường tròn (C) bằng (ảnh 1)

Vì (C) tiếp xúc với ∆ nên khoảng cách từ O đến đường thẳng ∆ chính là bán kính của đường tròn, và bằng:

$R = d (O, Δ) = \frac{|8 \cdot 0 + 6 \cdot 0 + 100|}{\sqrt{8^{2} + 6^{2}}} = \frac{100}{10} = 10.$

Câu 8:

Khoảng cách từ điểm M(0; 3) đến đường thẳng ∆: xcosα + ysinα + 3(2 – sinα) = 0 bằn

A. $\sqrt{6};$

B. 6

C. 3sinα;

D. $\frac{3}{\cos α + \sin α} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $d (M, Δ) = \frac{|0 \cdot cos α + 3 \sin α + 3 (2 - \sin α)|}{\sqrt{\cos^{2} α + \sin^{2} α}} = \frac{|6|}{\sqrt{1}} = 6.$

Câu 9:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d₁: 6x – 8y – 101 = 0 và d₂: 3x – 4y = 0 bằng:

A. 10,1;

B. 1,01;

C. 101;

D.

\sqrt{101}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có d₁ và d₂ song song với nhau nên ta chọn A(4; 3) ∈ d₂.

Khi đó $d (d_{1}, d_{2}) = d (A, d_{1}) = \frac{|6 \cdot 4 - 8 \cdot 3 - 101|}{\sqrt{6^{2} + {(- 8)}^{2}}} = \frac{101}{10} = 10, 1.$

Câu 10:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng d: 7x + y – 3 = 0 và $Δ : \{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = 2 - 7 t \end{cases}$ bằng

A. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ;

B. 15;

C. 9;

D.

\frac{9}{\sqrt{50}}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{d} (7; 1)$ nên có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{d} (1; - 7) .$

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{Δ} (1; - 7) .$

Do đó hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau.

Lấy A(–2; 2) ∈ ∆. Khi đó $d (d, Δ) = d (A, d) = \frac{|7 \cdot (- 2) + 2 - 3|}{\sqrt{7^{2} + 1^{2}}} = \frac{15}{\sqrt{50}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} .$