10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2. Lập phương trình chính tắc của elip

Câu 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của elip đi qua điểm (5; 0) và có tiêu cự bằng $2 \sqrt{5}$ là

A. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ ;

C. $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

D.

\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{20} = 1

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của elip có dạng là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Do elip đi qua điểm (5; 0) nên ta có $\frac{5^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1$ hay $\frac{25}{a^{2}} = 1,$ do đó a² = 25.

Do elip có tiêu cự bằng $2 \sqrt{5}$ nên ta có $2 c = 2 \sqrt{5},$ suy ra $c = \sqrt{5}$ Do đó c = 5.

Ta có c² = a² – b² nên b² = a² – c² = 25 – 5 = 20.

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ .

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một elip có một tiêu điểm $F_{1} (- \sqrt{3}; 0)$ và đi qua điểm $A (1; \frac{\sqrt{3}}{2})$ có phương trình chính tắc là

A. $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ;

B. $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ;

C. $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ ;

D.

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1

.

Xem đáp án

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một elip có một tiêu điểm F1 ( căn bậc hai 3; 0) và đi qua điểm A ( 1; căn bậc hai 3/2) có phương trình chính tắc là (ảnh 1)

Câu 3:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm N(0; 1) và $M (1; \frac{\sqrt{3}}{2})$ là

A. $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ;

B. $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ;

C. $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ ;

D.

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1

.

Xem đáp án

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm N(0; 1) và M ( 1; căn bậc hai 3/ 2) là (ảnh 1)

Câu 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một elip đi qua điểm $M (0; \sqrt{32})$ và có một giao điểm với trục Ox là A₁(6; 0). Phương trình của elip đó là

A. $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ;

B. $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{32} = 1$ ;

C. $\frac{x^{2}}{144} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ;

D.

\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{32} = 0

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Một giao điểm của elip với trục Ox là A₁(6; 0) suy ra a = 6 (do a > 0).

Elip đi qua $M (0; \sqrt{32})$ nên ta có $\frac{0}{a^{2}} + \frac{32}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow b^{2} = 32$ .

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{32} = 1.$

Câu 5:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của elip đi qua M(0; 3) và tổng khoảng cách từ một điểm trên elip tới hai tiêu điểm là $2 \sqrt{34}$ là

A. $\frac{x^{2}}{34} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ ;

B. $\frac{x^{2}}{34} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ;

C. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{34} = 1$ ;

D.

\frac{x^{2}}{34} + \frac{y^{2}}{9} = 0

.

Xem đáp án

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của elip đi qua M(0; 3) và tổng khoảng cách từ một (ảnh 1)

Câu 6:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, elip có hai tiêu điểm F₁(–1; 0); F₂(1; 0) và tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu điểm bằng 10 có phương trình là

A. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ ;

B. $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ ;

C. $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{25} = 0$ ;

D.

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{34} = 1

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Tiêu điểm F₁(–1; 0) suy ra c = 1.

Tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu điểm bằng 10 suy ra 2a = 10 nên a = 5.

Ta có c² = a² – b² nên b² = a² – c² = 5² – 1² = 24.

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ .

Câu 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của elip có một đỉnh A₁(–5; 0) và một tiêu điểm F₂(2; 0) là

A. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{21} = 1$ ;

B. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ;

C. $\frac{x^{2}}{29} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ ;

D.

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{29} = 1

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Elip có một đỉnh A₁(–5; 0) nên a = 5.

Elip có một tiêu điểm F₂(2; 0) nên c = 2.

Ta có c² = a² – b² nên b² = a² – c² = 5² – 2² = 21.

Vậy phương trình của elip đó là $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{21} = 1$ .

Câu 8:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0). Biết tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu điểm gấp đôi độ dài trục bé (2b) và có tiêu cự bằng $4 \sqrt{3} .$ Phương trình chính tắc của elip đó l

A. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$

B. $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1.$

C. $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{24} = 1.$

D.

\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{16} = 1.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu điểm bằng 2a, độ dài trục bé là 2b.

Theo bài, 2a = 2.2b, do đó a = 2b.

Mà elip có tiêu cự bằng $4 \sqrt{3},$ nên ta có $2 c = 4 \sqrt{3}$ suy ra $c = 2 \sqrt{3}$

Ta có c² = a² – b² nên ${(2 \sqrt{3})}^{2} = {(2 b)}^{2} - b^{2}$ hay 3b² = 12 nên b = 2 (do b > 0).

Suy ra a = 2b = 4.

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$

Câu 9:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip đi qua điểm $A (2; \sqrt{3})$ và có tỉ số của tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu điểm với tiêu cự bằng $\frac{2}{\sqrt{3}} .$ Phương trình chính tắc của elip là

A. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$

B. $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1.$

C. $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$

D.

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1.

Xem đáp án

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip đi qua điểm A( 2, căn bậc hai 3) và có tỉ số của tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip (ảnh 1)

Câu 10:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip có hai tiêu điểm F₁, F₂. Biết elip đi qua điểm $M (\frac{3 \sqrt{5}}{5}; - \frac{4 \sqrt{5}}{5})$ và tam giác MF₁F₂ vuông tại M. Khi đó phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với $a > b > 0$ . Tổng S = a² + b² là

A. 13

B. 11

C. 10;

D. 9.

Xem đáp án