30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Tích của vecto với một số có đáp án tiếp theo (Mới nhất)

Câu 1:

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Xem đáp án

(hình 1.26)
Gọi G là trọng tâm của

Δ M P R

suy ra

\vec{G M} + \vec{G P} + \vec{G R} = \vec{0}

(*)
Mặt khác

2 \vec{G M} = \vec{G A} + \vec{G B,}

2 \vec{G P} = \vec{G C} + \vec{G D},

2 \vec{G R} = \vec{G E} + \vec{G F} .

\Rightarrow 2 (\vec{G M} + \vec{G P} + \vec{G R}) = \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} + \vec{G E} + \vec{G F}

Kết hợp với (*) ta được

\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} + \vec{G E} + \vec{G F} = \vec{0}

\begin{array}{l} \Leftrightarrow (\vec{G A} + \vec{G F}) + (\vec{G B} + \vec{G C}) + (\vec{G D} + \vec{G E}) = \vec{0} \\ \Leftrightarrow 2 \vec{G S} + 2 \vec{G N} + 2 \vec{G Q} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow \vec{G S} + \vec{G N} + \vec{G Q} = \vec{0} \end{array}

Suy ra G là trọng tâm của

Δ S N Q

Vậy

Δ M P R

và

Δ S N Q

có cùng trọng tâm.

Câu 2:

Cho các tam giác $A B C, A' B' C'$ có G, G’ lần lượt là trọng tâm . Chứng minh rằng: $\vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = 3 \vec{G G'}$ . Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm .

Xem đáp án

Ta có $\vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'}$

$= (\vec{A G} + \vec{G G'} + \vec{G' A'}) + (\vec{B G} + \vec{G G'} + \vec{G' B'}) + (\vec{C G} + \vec{G G'} + \vec{G' C'})$

$= 3 \vec{G G'} + (\vec{A G} + \vec{B G} + \vec{C G}) + (\vec{G' A} + \vec{G' B} + \vec{G' C}) = 3 \vec{G G'}$

Suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm là

$\vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = \vec{0}$

Câu 3:

Cho tam giác ABC có A' là điểm đối xứng của A qua B, B' là điểm đối xứng của B qua C, C' là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.

Xem đáp án

Tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm

$\Leftrightarrow \vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{A B} + 2 \vec{B C} + 2 \vec{C A} = \vec{0} \Leftrightarrow 2. \vec{0} = \vec{0}$ (đúng)

Câu 4:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Xem đáp án

G là trọng tâm $Δ A N P$ $\Rightarrow \vec{G A} + \vec{G N} + \vec{G P} = \vec{0}$

Ta có $\vec{A C} + \vec{N M} + \vec{P Q} = \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A C} = \vec{0}$

Suy ra $\vec{G A} + \vec{G N} + \vec{G P} = \vec{G C} + \vec{G M} + \vec{G Q} \Rightarrow \vec{G C} + \vec{G M} + \vec{G Q} = \vec{0}$

Do đó G là trọng tâm $Δ C M Q$

Câu 5:

Cho $Δ A B C$ và $Δ A' B' C'$ có cùng trọng tâm G, gọi $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ là trọng tâm các tam giác $B C A', C A B', A B C'$ .Chứng minh rằng $Δ G_{1} G_{2} G_{3}$ cũng có trọng tâm G

Xem đáp án

Vì $Δ A B C$ và $Δ A' B' C'$ có cùng trọng tâm G suy ra $\vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = \vec{0}$

Vì $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ là trọng tâm các tam giác $B C A', C A B', A B C'$ nên

$\begin{array}{l} 3 \vec{A G_{1}} + 3 \vec{B G_{2}} + 3 \vec{C G_{3}} \\ = (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A A'}) + (\vec{B C} + \vec{B A} + \vec{B B'}) + (\vec{C A} + \vec{C B} + \vec{C C'}) \end{array}$

$= \vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = \vec{0}$

Suy ra $\vec{A G_{1}} + \vec{B G_{2}} + \vec{C G_{3}} = \vec{0}$ do đó G là trọng tâm $Δ G_{1} G_{2} G_{3}$

Câu 6:

Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G. Gọi $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $Δ A B C, Δ B C D, Δ C D A, Δ D A B$ . Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tứ giác $G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}$

Xem đáp án

G là trọng tâm tứ giác $G_{1} G_{2} G_{3} G_{4} \Leftrightarrow \vec{G G_{1}} + \vec{G G_{2}} + \vec{G G_{3}} + \vec{G G_{4}} = \vec{0}$ (*)

Vì là trong tâm $Δ A B C \Rightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = 3 \vec{G G_{1}}$ , tương tự ta có

$\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = 3 \vec{G G_{2}}$ , $\vec{G C} + \vec{G D} + \vec{G A} = 3 \vec{G G_{3}}$ , $\vec{G D} + \vec{G A} + \vec{G B} = 3 \vec{G G_{4}}$

Do đó (*) $\Leftrightarrow 3 (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D}) = \vec{0}$ (đúng) đpcm

Câu 7:

Cho tam giác ABC đều và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ lần lượt là điểm đối xứng M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng tam giác ABC và $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ có cùng trọng tâm.

Xem đáp án

Gọi D, E, F tương ứng là giao điểm của $M A_{1}, M B_{1}, M C_{1}$ với các cạnh BC, CA, AB. O là trọng tâm đều $Δ A B C$

Ta có $\vec{M A_{1}} + \vec{M B_{1}} + \vec{M C_{1}} = 2 (\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F})$

Mặt khác theo bài tập 6 (dạng 2) thì $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O}$

Suy ra do đó O là trọng tâm tam giác $A_{1}, B_{1}, C_{1}$

Câu 8:

Cho các tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. Gọi $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ lần lượt là hình chiếu của O lên BC, CA, AB. Lấy các điểm $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ lần lượt thuộc các tia $O A_{1}, O B_{1}, O C_{1}$ sao cho $O A_{2} = a, O B_{2} = b, O C_{2} = c$ . Chứng minh O là trọng tâm tam giác $A_{2} B_{2} C_{2}$

Xem đáp án

Ta có $\vec{O A_{2}} + \vec{O B_{2}} + \vec{O C_{2}} = \frac{O A_{2}}{O A_{1}} \vec{O A_{1}} + \frac{O B_{2}}{O B_{1}} \vec{O B_{1}} + \frac{O C_{2}}{O C_{1}} \vec{O C_{1}}$

$= a \frac{\vec{O A_{1}}}{O A_{1}} + b \frac{\vec{O B_{1}}}{O B_{1}} + c \frac{\vec{O C_{1}}}{O C_{1}} = \vec{0}$ (Theo định lý con nhím)

Do đó O là trọng tâm tam giác $A_{2} B_{2} C_{2}$

Câu 9:

Cho các tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. Gọi $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ lần lượt là hình chiếu của O lên BC, CA, AB. Lấy các điểm $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ lần lượt thuộc các tia $O A_{1}, O B_{1}, O C_{1}$ sao cho $O A_{2} = a, O B_{2} = b, O C_{2} = c$ . Chứng minh O là trọng tâm tam giác $A_{2} B_{2} C_{2}$

Xem đáp án

Ta có $\vec{O A_{2}} + \vec{O B_{2}} + \vec{O C_{2}} = \frac{O A_{2}}{O A_{1}} \vec{O A_{1}} + \frac{O B_{2}}{O B_{1}} \vec{O B_{1}} + \frac{O C_{2}}{O C_{1}} \vec{O C_{1}}$

$= a \frac{\vec{O A_{1}}}{O A_{1}} + b \frac{\vec{O B_{1}}}{O B_{1}} + c \frac{\vec{O C_{1}}}{O C_{1}} = \vec{0}$ (Theo định lý con nhím)

Do đó O là trọng tâm tam giác $A_{2} B_{2} C_{2}$

Câu 10:

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$

A. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{3}$ .

B. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{4}$ .

C. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{9}$ .

D. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính

\frac{A B}{2}

Xem đáp án

b) Với I là điểm được xác định ở câu a, ta có: $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C} = 9 \vec{M I} + (2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C}) = 9 \vec{M I}$

và $\vec{M B} - \vec{M A} = \vec{A B}$ nên $| 2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C} | = | \vec{M B} - \vec{M A} | \Leftrightarrow | 9 \vec{M I} | = | \vec{A B} | \Leftrightarrow M I = \frac{A B}{9}$

Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{9}$ .

Chọn C

Câu 11:

Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau :

a) $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} + \vec{M C}|$

A.Tập hợp các điểm M là đường trung trực của EF

B. M là đường thẳng đi qua A song song với BC

C. M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{9}$

D.Cả A, B, C đều sai

Xem đáp án

a) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC suy ra

$\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M E}$ và $\vec{M A} + \vec{M C} = 2 \vec{M F}$

Khi đó $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} + \vec{M C}|$

$\Leftrightarrow |2 \vec{M E}| = |2 \vec{M F}| \Leftrightarrow M E = M F$

Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của EF

Chọn A

Câu 12:

b) $\vec{M A} + \vec{M B} = k (\vec{M A} + 2 \vec{M B} - 3 \vec{M C})$ với k là số thực thay đổi

A. M là đường trung trực của EF , E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC

B. M là đường thẳng đi qua A song song vơi BC

C. M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{9}$ .

D. Với H là điểm thỏa mãn

\vec{A H} = \frac{3}{2} \vec{A C}

, M là đường thẳng đi qua E và song song với HB, E là trung điểm của AB

Xem đáp án

b) Ta có $\vec{M A} + 2 \vec{M B} - 3 \vec{M C} = \vec{M A} + 2 (\vec{M A} + \vec{A B}) - 3 (\vec{M A} + \vec{A C})$

$= 2 \vec{A B} - 3 \vec{A C} = 2 \vec{A B} - 2 \vec{A H} = 2 \vec{H B}$

Với H là điểm thỏa mãn

\vec{A H} = \frac{3}{2} \vec{A C}

Suy ra $\vec{M A} + \vec{M B} = k (\vec{M A} + 2 \vec{M B} - 3 \vec{M C})$

$\Leftrightarrow 2 \vec{M E} = 2 k \vec{H B} \Leftrightarrow \vec{M E} = k \vec{H B}$

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua E và song song với HB

Chọn D

Câu 13:

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\vec{A M} = k \vec{A B}, \vec{D N} = k \vec{D C}$ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

A. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AC và BD,

B. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AD và BC,

C. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AB và DC,

D. Cả A, B, C đều sai

Xem đáp án

(hình 1.29)
Gọi O, O' lần lượt là trung điểm của AD và BC, ta có

\vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O O'} + \vec{O' B}

và

\vec{D C} = \vec{D O} + \vec{O O'} + \vec{O' C}

Suy ra

\vec{A B} + \vec{D C} = 2 \vec{O O'}

Tương tự vì O, I lần lượt là trung điểm của AD và MN nên

\vec{A M} + \vec{D N} = 2 \vec{O I}

Do đó

\vec{O I} = \frac{1}{2} (k \vec{A B} + k \vec{D C}) = k \vec{O O'}

Vậy khi k thay đổi, tập hợp điểm I là đường thẳng OO'

Chọn B

Câu 14:

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$

A. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{2}$ với I là trung điểm của AB

B. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{3}$ với I là trung điểm của AB

C. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{4}$ với I là trung điểm của AB

D. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính

\frac{A B}{5}

với I là trung điểm của AB

Xem đáp án

a) Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{2}$ với I là trung điểm của AB

Chọn A

Câu 15:

Trên hai tia Ox và Oy của góc xOy lấy hai điểm M, N sao cho $O M + O N = a$ với a là số thực cho trước. tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thằng MN

Xem đáp án

Gọi hai điểm $M_{0}, N_{0}$ lần lượt thuộc tia Ox và Oy sao cho $O M_{0} = O N_{0} = \frac{a}{2}$ . Giả sử $O M = k, 0 \leq k \leq a$ khi đó ta có $\vec{M I} = \frac{a - k}{a} \vec{M_{0} N_{0}}$ . Do đó tập hợp điểm I là đoạn $M_{0} N_{0}$

Câu 16:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và DC của tứ giác ABCD. Các đoạn thẳng AN và BM cắt nhau tại P. Biết $\vec{P M} = \frac{1}{5} \vec{B M}; \vec{A P} = \frac{2}{5} \vec{A N}$ . tứ giác ABCD là hình gì?

A. hình bình hành

B. hình thang

C.hình chữ nhật

D.hình vuông

Xem đáp án

Ta có: $\vec{A B} = \vec{A M} + \vec{M B} = \vec{A M} + 5 \vec{M P}$

$\begin{array}{l} = 5 \vec{A P} - 4 \vec{A M} = 2 \vec{A N} - 2 \vec{A D} \\ = 2 (\vec{A D} + \vec{D N}) - 2 \vec{A D} \end{array}$

$= 2 \vec{D N} = \vec{D C} \Rightarrow A B C D$ là hình bình hành.

Chọn A

Câu 17:

Cho tam giác ABC có các cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thoả mãn: $a^{2} \vec{G A} + b^{2} \vec{G B} + c^{2} \vec{G C} = \vec{0} .$ là tam giác gì ?

A. đều

B. cân tại A

C. thường

D. Vuông tại B

Xem đáp án

G là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{G A} = - \vec{G B} - \vec{G C} .$

Suy ra $a^{2} \vec{G A} + b^{2} \vec{G B} + c^{2} \vec{G C} = \vec{0} .$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a^{2} (- \vec{G B} - \vec{G C}) + b^{2} \vec{G B} + c \vec{G C} = \vec{0} . \\ \Leftrightarrow (b^{2} - a^{2}) \vec{G B} + (c^{2} - a^{2}) \vec{G C} = \vec{0} . (*) \end{array}$

Vì $\vec{G B}$ và $\vec{G C}$ là hai vecơ không cùng phương, do đó (*) tương đương với:

$\{\begin{cases} b^{2} - a^{2} = 0 \\ c^{2} - a^{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c$ hay tam giác ABC đều.

Chọn A

Câu 18:

Cho tam giác có trung tuyến AA' và B' , C' là các điểm thay đổi trên CA, AB thoả mãn $\vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = \vec{0}$ . Chứng minh BB', CC' là các trung tuyến của tam giác ABC

Xem đáp án

Giả sử $\vec{A B'} = m \vec{A C}, \vec{A C'} = n \vec{A B}$

Suy ra $\vec{B B'} = \vec{A B'} - \vec{A B} = m \vec{A C} - \vec{A B}$

và $\vec{C C'} = \vec{A C'} - \vec{A C} = n \vec{A B} - \vec{A C}$

Mặt khác A' là trung điểm của BC nên $\vec{A A'} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$

Do đó $\vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) + m \vec{A C} - \vec{A B} + n \vec{A B} - \vec{A C} = \vec{0}$

hay $(n - \frac{1}{2}) \vec{A B} + (m - \frac{1}{2}) \vec{A C} = \vec{0}$

Vì $\vec{A B}, \vec{A C}$ không cùng phương suy ra $m = n = \frac{1}{2}$ do đó B', C' lần lượt là trung điểm của CA, AB

Vậy BB', CC' là các trung tuyến của tam giác ABC.

Câu 19:

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .tứ giác ABCD là hình gì?

A. hình bình hành

B. hình thang

C.hình chữ nhật

D. hình vuông

Xem đáp án

Đặt $\vec{O A} = x \vec{A C}, \vec{O C} = y \vec{A C}, \vec{O B} = z \vec{B D}, \vec{O D} = t \vec{B D}$

Suy ra $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0} \Leftrightarrow (x + y) \vec{A C} + (z + t) \vec{B D} = \vec{0}$

Do đó $x = - y; z = - t \Rightarrow O A = O C, O B = O D$ nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

Chọn A

Câu 20:

Cho ABC có A', B', C' là các điểm thay đổi trên BC, CA, AB sao cho $A A', B B', C C'$ đồng quy và thoả mãn $\vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = \vec{0}$ Chứng minh $A A', B B', C C'$ là các trung tuyến của tam giác ABC

Xem đáp án

Giả sử $\vec{A' B} = k \vec{A' C}, \vec{B' C} = m \vec{B' A}, \vec{C' A} = n \vec{C' B}$

$\vec{A' B} = k \vec{A' C} \Leftrightarrow \vec{A B} - \vec{A A'} = k (\vec{A C} - \vec{A A'}) \Leftrightarrow \vec{A A'} = \frac{\vec{A B} - k \vec{A C}}{1 - k}$

Tương tự ta có $\vec{B B'} = \frac{\vec{B C} - m \vec{B A}}{1 - m} = \frac{(m - 1) \vec{A B} + \vec{A C}}{1 - m}$

$\vec{C C'} = \frac{\vec{C A} - n \vec{C B}}{1 - n} = \frac{- n \vec{A B} + (n - 1) \vec{A C}}{1 - n}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow (\frac{1}{1 - k} - 1 - \frac{n}{1 - n}) \vec{A B} + (\frac{- k}{1 - k} + \frac{1}{1 - m} - 1) \vec{A B} = \vec{0} \end{array}$

Suy ra $\Rightarrow \frac{1}{1 - k} - 1 - \frac{n}{1 - n} = \frac{- k}{1 - k} + \frac{1}{1 - m} - 1 = 0 \Rightarrow k = m = n$

Mặt khác theo định lí Xêva ta có $k m n = - 1$ nên $k = m = n = - 1$

Vậy $A A', B B', C C'$ là các trung tuyến của tam giác ABC

Câu 21:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi G là trọng tâm tam giác ABC. A', B', C' là các điểm thỏa mãn: $\vec{O A} = 3 \vec{O A'}, \vec{O B} = 3 \vec{O B'}, \vec{O C} = 3 \vec{O C'}$ . Chứng minh rằng G là trực tâm tam giác A'B'C'.

Xem đáp án

G là trọng tâm tam giác ABC nên $3 \vec{O G} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$

Do đó $\vec{O G} = \vec{O A'} + \vec{O B'} + \vec{O C'}$

Suy ra G là trực tâm tam giác

A' B' C'

Câu 22:

Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Đường thẳng AM cắt BC tại D, BM cắt CA tại E và CM cắt AB tại F. Chứng minh rằng nếu $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = \vec{0}$ thì M là trọng tâm tam giác ABC.

Xem đáp án

Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau

Cho ba véc tơ $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ đôi một không cùng phương và thỏa mãn điều kiện :

$\{\begin{matrix} m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0} \\ m' \vec{a} + n' \vec{b} + p' \vec{c} = \vec{0} \end{matrix} (m, m' \neq 0)$

Chứng minh rằng : $\frac{m}{m'} = \frac{n}{n'} = \frac{p}{p'}$ . Thật vậy :

Dễ thấy $m, m' \neq 0$ thì suy ra ngay n, n’, p, p’ cũng phải khác không.

Từ giả thiết ta có : $\{\begin{matrix} \vec{a} = \frac{n}{m} \vec{b} + \frac{p}{m} \vec{c} \\ \vec{a} = \frac{n'}{m'} \vec{b} + \frac{p'}{m'} \vec{c} \end{matrix}$

vì một véc tơ chỉ phân tích được một cách duy nhất qua hai véc tơ không cùng phương nên $\frac{n}{m} = \frac{n'}{m'}; \frac{p}{m} = \frac{p'}{m'} \Rightarrow \frac{m}{m'} = \frac{n}{n'} = \frac{p}{p'}$

Trở lại bài toán

Ta có $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = \vec{0} \Leftrightarrow$ $\frac{A D}{M A} \vec{M A} + \frac{B E}{M B} \vec{M B} + \frac{C F}{M C} \vec{M C} = \vec{0}$

Mặt khác $\frac{A D}{M A} = \frac{S_{A B D}}{S_{A B M}} = \frac{S_{A D C}}{S_{A C M}} = \frac{S}{S - S_{a}}$ , tương tự $\frac{B E}{M B} = \frac{S}{S - S_{b}}$ và $\frac{C F}{M C} = \frac{S}{S - S_{c}}$

(với $S = S_{A B C}, S_{a} = S_{M B C}, S_{b} = S_{M C A}, S_{c} = S_{M A B}$ )

Do đó ta có $\frac{\vec{M A}}{S - S_{a}} + \frac{\vec{M B}}{S - S_{b}} + \frac{\vec{M C}}{S - S_{c}} = \vec{0}$

Mặt khác ta cũng có $S_{a} \vec{M A} + S_{b} \vec{M B} + S_{c} \vec{M C} = \vec{0}$

Áp dụng bổ đề suy ra $\frac{\frac{1}{S - S_{a}}}{S_{a}} = \frac{\frac{1}{S - S_{b}}}{S_{b}} = \frac{\frac{1}{S - S_{c}}}{S_{c}} \Leftrightarrow S_{a} = S_{b} = S_{c}$ hay M trùng trọng tâm tam giác ABC

Câu 23:

Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất $T = |\vec{M A} + \vec{M B} - \vec{M C}|$

Xem đáp án

Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI thì $\vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C} = \vec{0}$

Khi đó : $T = |(\vec{M I} + \vec{I A}) + (\vec{M I} + \vec{I B}) - (\vec{M I} + \vec{I C})|$ $= |\vec{M I} + \vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C}|$ $= |\vec{M I}|$

Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên đường thẳng d.

Câu 24:

Cho tam giác ABC và A'B'C' là các tam giác thay đổi, có trọng tâm G và G' cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $T = A A' + B B' + C C'$

Xem đáp án

Vì $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ và $\vec{G' A'} + \vec{G' B'} + \vec{G' C'} = \vec{0}$ nên

$\begin{array}{l} \vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = \vec{A G} + \vec{G G'} + \vec{G' A} + \vec{B G} + \\ + \vec{G G'} + \vec{G' B'} + \vec{C G} + \vec{G G'} + \vec{G' C'} \end{array}$

$= 3 \vec{G G'} - (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) + (\vec{G' A'} + \vec{G' B'} + \vec{G' C'})$

Do đó: $A A' + B B' + C C' = |\vec{A A'}| + |\vec{B B'}| + |\vec{C C'}|$ $\geq |\vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'}|$ $= 3 |\vec{G G'}| = 3 G G'$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vectơ $\vec{A A'}, \vec{B B'}, \vec{C C'}$ cùng hướng

Vậy giá trị nhỏ nhất T là $3 G G'$

Câu 25:

Cho tam giác ABC, đường thẳng d và ba số $α, β, γ$ sao cho $α + β + γ \neq 0$ . Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức $T = |α \vec{M A} + β \vec{M B} + γ \vec{M C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án

Do $α + β + γ \neq 0$ nên tồn tại duy nhất điểm I sao cho $α \vec{I A} + β \vec{I B} + γ \vec{I C} = \vec{0}$

Ta có $α \vec{M A} + β \vec{M B} + γ \vec{M C} = α (\vec{M I} + \vec{I A}) + β (\vec{M I} + \vec{I B}) + γ (\vec{M I} + \vec{I C})$

$= (α + β + γ) \vec{M I} + α \vec{I A} + β \vec{I B} + γ \vec{I C}$ $= (α + β + γ) \vec{M I}$

Do đó $T = |α + β + γ| . M I$

Suy ra T nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên đường thẳng d

Câu 26:

Cho tam giác ABC. Tìm điểm M trên đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC sao cho $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}|$

a) Đạt giá trị lớn nhất

Xem đáp án

G là trọng tâm tam giác ABC ta có $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = 3 |\vec{M G}|$

a) M là giao điểm của tia GO với (C)

Câu 27:

b) Đạt giá trị nhỏ nhất

Xem đáp án

b) M là giao điểm của tia OG với (C)

Câu 28:

Cho tam giác ABC. M, N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho $\vec{B M} = k \vec{B C}, \vec{C N} = k \vec{C A}, \vec{A P} = k \vec{A B}$ .

Chứng minh rằng các đoạn thẳng AM, BN, CP là ba cạnh của một tam giác nào đó.

Xem đáp án

Ta có $\vec{A M} + \vec{B N} + \vec{C P} = \vec{0}$

Suy ra $\vec{A M} = - (\vec{B N} + \vec{C P}) \Rightarrow |\vec{A M}| = |\vec{B N} + \vec{C P}| \leq |\vec{B N}| + |\vec{C P}|$

Vì $\vec{B N}$ và $\vec{C P}$ không cùng phương nên không thể xảy ra dấu bằng do đó

$A M < B N + C P$ . Tương tự ta có $B N < A M + C P, C P < A M + B N$

Do đó các đoạn thẳng AM, BN, CP là ba cạnh của một tam giác nào đó.

Câu 29:

Cho tứ giác ABCD, M là điểm thuộc đoạn CD. Gọi $p, p_{1}, p_{2}$ lần lượt là chu vi của các tam giác $A M B, A C B, A D B$ . Chứng minh rằng $p < \max \{p_{1}; p_{2}\}$

Xem đáp án

Ta có: $\vec{A M} = \frac{M D}{C D} \vec{A C} + \frac{M C}{C D} \vec{A D} \Rightarrow A M < \frac{M D}{C D} A C + \frac{M C}{C D} A D$

và $\vec{B M} = \frac{M D}{C D} \vec{B C} + \frac{M C}{C D} \vec{B D} \Rightarrow B M = \frac{M D}{C D} B C + \frac{M C}{C D} B D$

Từ đó suy ra $\begin{array}{l} A M + B M < \frac{M D}{C D} (A C + B C) + \frac{M C}{C D} (A D + B D) \\ \Rightarrow A M + B M < (\frac{M D}{C D} + \frac{M C}{C D}) . \max \{A C + B C; A D + B D\} \\ \Rightarrow p < \max \{A C + B C + A B; A D + B D + A B\} \end{array}$

Hay $p < \max \{p_{1}; p_{2}\}$

Câu 30:

Trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 lấy 2n+1 điểm $P_{i}, i = 1, 2, ..., 2 n + 1 (n \in N)$ ở cùng phía với đối với đường kính nào đó. Chứng minh rằng $|\sum_{i = 1}^{2 n + 1} \vec{O P_{i}}| \geq 1$

Xem đáp án

Ta chứng minh bằng quy nạp

+ Với n=0: hiển nhiên

+ Giả sử BĐT đúng với n=k ta đi chứng minh đúng với n=k+1 hay $|\sum_{i = 1}^{2 k + 3} \vec{O P_{i}}| \geq 1$

Trong 2k+3 vectơ ta chọn hai vectơ có góc lớn nhất, giả sử $\vec{O P_{1}}, \vec{O P_{2 k + 3}}$ .

Đặt $\vec{O A} = \vec{O P_{1}} + \vec{O P_{2 k + 3}}$ , $\vec{O B} = \sum_{i = 2}^{2 k + 2} \vec{O P_{i}}$ .

Suy ra điểm A, B nằm trong góc $\hat{P_{1} O P_{2 k + 3}}$ do đó $\hat{A O B} \leq 90^{0}$ $\Rightarrow |\vec{O A} + \vec{O B}| \geq |\vec{O B}|$

Mặt khác theo giả thiết quy nạp ta có $|\vec{O B}| = |\sum_{i = 2}^{2 k + 2} \vec{O P_{i}}| \geq 1$

Suy ra $|\sum_{i = 1}^{2 k + 3} \vec{O P_{i}}| = |\vec{O A} + \vec{O B}| \geq |\vec{O B}| \geq 1$