8 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 3. Nhị thức Newton (Thông hiểu) có đáp án

Câu 1:

Số hạng chứa x³y trong khai triển ${(x y + \frac{1}{y})}^{5}$ là:

A. 3x³y;

B. 5x³y;

C. 10x³y;

D. 4x³y.

Xem đáp án

Số hạng chứa x^3y trong khai triển (xy+ 1/y)^5 là: (ảnh 2)

Câu 2:

Hệ số của số hạng chứa ab³ trong khai triển (a + 2b)⁴ là:

A. 32ab³;

B. 32;

C. 8;

D. 8ab³.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cách 1: Ta có:

(a + 2b)⁴

= a⁴ + 4a³.2b + 6a².(2b)² + 4a.(2b)³ + (2b)⁴

= a⁴ + 8a³b + 24a²b² + 32ab³ + 16b⁴

Số hạng chứa ab³ trong khai triển (a + 2b)⁴ là: 32ab³.

Vậy hệ số chứa ab³ trong khai triển (a + 2b)⁴ là 32.

Do đó ta chọn phương án B.

Cách 2:

Số hạng tổng quát trong khai triển (a + 2b)⁴ là:

$C_{4}^{k} a^{4 - k} {(2 b)}^{k}$ (với 0 ≤ k ≤ 4 và k ∈ ℤ).

$= C_{4}^{k} a^{4 - k} 2^{k} b^{k} = 2^{k} C_{4}^{k} a^{4 - k} b^{k}$

Để số hạng trên là số hạng chứa ab³ thì $\{\begin{cases} 4 - k = 1 \\ k = 3 \end{cases} \Leftrightarrow k = 3 (t m)$

Khi đó ta có số hạng đó là $2^{3} C_{4}^{3} a^{4 - 3} b^{3} = 32 a^{3} b$

Vậy hệ số của số hạng chứa ab³ trong khai triển (a + 2b)⁴ là 32.

Câu 3:

Số hạng không chứa x trong khai triển $P (x) = {(x^{3} - \frac{1}{x^{2}})}^{5}$ (x ≠ 0) (theo chiều số mũ của x giảm dần) là số hạng thứ:

A. 3;

B. 6;

C. 4;

D. 5.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo nhị thức Newton, ta có:

$P (x) = {(x^{3} - \frac{1}{x^{2}})}^{5}$

$= {(x^{3})}^{5} + 5. {(x^{3})}^{4} . (- \frac{1}{x^{2}}) + 10. {(x^{3})}^{3} . {(- \frac{1}{x^{2}})}^{2} + 10. {(x^{3})}^{2} . {(- \frac{1}{x^{2}})}^{3} + 5. x^{3} . {(- \frac{1}{x^{2}})}^{4} + {(- \frac{1}{x^{2}})}^{5}$

$= x^{15} - 5. x^{12} . \frac{1}{x^{2}} + 10. x^{9} . \frac{1}{x^{4}} - 10. x^{6} . \frac{1}{x^{6}} + 5. x^{3} . \frac{1}{x^{8}} - \frac{1}{x^{10}}$

$= x^{15} - 5. x^{10} + 10. x^{5} - 10 + 5. \frac{1}{x^{5}} - \frac{1}{x^{10}}$

Ta thấy số hạng không chứa x là số hạng thứ 4 (theo chiều số mũ của x giảm dần).

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 4:

Cho x là số thực dương. Khai triển nhị thức ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{4}$ , ta có hệ số của số hạng chứa x^m bằng 6. Giá trị của m là:

A. m = 6;

B. m = 8;

C. m = 2;

D. m = 2 hoặc m = 6.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo công thức nhị thức Newton, ta có: ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{4}$

$= {(x^{2})}^{4} + 4. {(x^{2})}^{3} . \frac{1}{x} + 6. {(x^{2})}^{2} . {(\frac{1}{x})}^{2} + 4. x^{2} . {(\frac{1}{x})}^{3} + {(\frac{1}{x})}^{4}$

$= x^{8} + 4. x^{6} . \frac{1}{x} + 6. x^{4} . \frac{1}{x^{2}} + 4. x^{2} . \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

$= x^{8} + 4. x^{5} + 6. x^{2} + 4. \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{4}}$

Ta thấy số hạng có hệ số bằng 6 là 6x².

Suy ra m = 2.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 5:

Giá trị của biểu thức ${(3 + \sqrt{2})}^{4} + {(3 - \sqrt{2})}^{4}$ bằng:

A. 193;

B. –386;

C. 772;

D. 386.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

⦁ ${(3 + \sqrt{2})}^{4} = 3^{4} + {4.3}^{3} . \sqrt{2} + {6.3}^{2} . {(\sqrt{2})}^{2} + 4.3. {(\sqrt{2})}^{3} + {(\sqrt{2})}^{4}$ .

⦁ ${(3 - \sqrt{2})}^{4} = 3^{4} + {4.3}^{3} . (- \sqrt{2}) + {6.3}^{2} . {(- \sqrt{2})}^{2} + 4.3. {(- \sqrt{2})}^{3} + {(- \sqrt{2})}^{4}$ .

Suy ra ${(3 + \sqrt{2})}^{4} + {(3 - \sqrt{2})}^{4} = 2. [3^{4} + {6.3}^{2} . {(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{4}]$

= 2.(81 + 6.9.2 + 4) = 386.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 6:

Cho x là số thực dương, số hạng chứa x trong khai triển ${(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{4}$ là:

A. 24x;

B. 12x;

C. 24;

D. 12.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{4}$

$= x^{4} + 4 x^{3} . (\frac{2}{\sqrt{x}}) + 6 x^{2} . {(\frac{2}{\sqrt{x}})}^{2} + 4 x . {(\frac{2}{\sqrt{x}})}^{3} + {(\frac{2}{\sqrt{x}})}^{4}$

$= x^{4} + 4 x^{3} . \frac{2}{\sqrt{x}} + 6 x^{2} . \frac{4}{x} + 4 x . \frac{8}{x \sqrt{x}} + \frac{16}{x^{2}}$

$= x^{4} + 8 x^{2} \sqrt{x} + 24 x + \frac{32}{\sqrt{x}} + \frac{16}{x^{2}}$

Số hạng chứa x trong khai triển ${(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{4}$ là 24x.

Do đó ta chọn phương án A.

Câu 7:

Biết rằng trong khai triển ${(\frac{x}{2} + \frac{a}{x})}^{5}$ (với x ≠ 0), hệ số của số hạng chứa $\frac{1}{x^{3}}$ là 640. Khi đó giá trị của a bằng:

A. a = 4;

B. a = –4;

C. n ∈ {–4; 4};

D. a ∈ ∅.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${(\frac{x}{2} + \frac{a}{x})}^{5}$

$= {(\frac{x}{2})}^{5} + 5. {(\frac{x}{2})}^{4} . (\frac{a}{x}) + 10. {(\frac{x}{2})}^{3} . {(\frac{a}{x})}^{2} + 10. {(\frac{x}{2})}^{2} . {(\frac{a}{x})}^{3} + 5. \frac{x}{2} . {(\frac{a}{x})}^{4} + {(\frac{a}{x})}^{5}$

$= \frac{x^{5}}{2^{5}} + 5. \frac{x^{4}}{2^{4}} . \frac{a}{x} + 10. \frac{x^{3}}{2^{3}} . \frac{a^{2}}{x^{2}} + 10. \frac{x^{2}}{2^{2}} . \frac{a^{3}}{x^{3}} + 5. \frac{x}{2} . \frac{a^{4}}{x^{4}} + \frac{a^{5}}{x^{5}}$

$= \frac{1}{2^{5}} x^{5} + \frac{5 a}{2^{4}} x^{3} + \frac{10. a^{2}}{2^{3}} x + \frac{10 a^{3}}{2^{2}} . \frac{1}{x} + \frac{5 a^{4}}{2} . \frac{1}{x^{3}} + \frac{a^{5}}{x^{5}}$

Số hạng chứa $\frac{1}{x^{3}}$ trong khai triển ${(\frac{x}{2} + \frac{a}{x})}^{5}$ là: $\frac{5 a^{4}}{2} . \frac{1}{x^{3}}$ .

Theo đề, ta có hệ số của số hạng chứa $\frac{1}{x^{3}}$ là 640.

Tức là, $\frac{5 a^{4}}{2} = 640$ .

⇔ 5a⁴ = 1 280

⇔ a⁴ = 256

⇔ a = 4 hoặc a = –4.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 8:

Giá trị n nguyên dương thỏa mãn $A_{n}^{2} - C_{n + 1}^{n - 1} = 5$ là:

A. n = –2;

B. n = 5;

C. n ∈ {–2; 5};

D. n ∈ ∅.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $A_{n}^{2} - C_{n + 1}^{n - 1} = 5$ (n ∈ ℤ, n ≥ 2)

$\Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)!} - \frac{(n + 1)!}{(n - 1)! (n + 1 - n + 1)!} = 5$

$\Leftrightarrow \frac{n (n - 1) (n - 2)!}{(n - 2)!} - \frac{(n + 1) n (n - 1)!}{(n - 1)! 2!} = 5$

$\Leftrightarrow n (n - 1) - \frac{(n + 1) n}{2} = 5$

⇔ 2n² – 2n – n² – n = 10

⇔ n² – 3n – 10 = 0

⇔ n = 5 hoặc n = –2.

Vì n nguyên dương nên ta nhận n = 5.

Vậy ta chọn phương án D.