183 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác có đáp án (Mới nhất)

Câu 1:

Tìm tập xác định của hàm số $y = \cot^{2} (\frac{2 π}{3} - 3 x)$

· Điều kiện: $\sin (\frac{2 π}{3} - 3 x) \neq 0 \Leftrightarrow \frac{2 π}{3} - 3 x \neq k π \Leftrightarrow x \neq \frac{2 π}{9} - k \frac{π}{3}$

· TXĐ: $D = ℝ \ \{\frac{2 π}{9} + k \frac{π}{3}, k \in ℤ\}$ .

Câu 2:

Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{\tan 2 x}{\sin x + 1} + \cot (3 x + \frac{π}{6})$

Xem đáp án

· Điều kiện: $\{\begin{cases} \sin x \neq - 1 \\ \sin (3 x + \frac{π}{6}) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq - \frac{π}{2} + k 2 π \\ x \neq - \frac{π}{18} + \frac{k π}{3} \end{cases}$

· Vậy TXĐ: $D = ℝ \ \{- \frac{π}{2} + k 2 π, - \frac{π}{18} + \frac{k π}{3}; k \in ℤ\}$

Câu 3:

Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{\tan 5 x}{\sin 4 x - \cos 3 x}$

Xem đáp án

· Ta có: $\sin 4 x - \cos 3 x = \sin 4 x - \sin (\frac{π}{2} - 3 x)$

$= 2 \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sin (\frac{7 x}{2} - \frac{π}{4})$

· Điều kiện: $\{\begin{cases} \cos 5 x \neq 0 \\ \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \neq 0 \\ \sin (\frac{7 x}{2} + \frac{π}{4}) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq \frac{π}{10} + k \frac{π}{5} \\ x \neq \frac{π}{2} + k 2 π \\ x \neq - \frac{π}{14} + \frac{k 2 π}{7} \end{cases}$

· Vậy TXĐ: $D = ℝ \ \{\frac{π}{10} + \frac{k π}{5}; \frac{π}{2} + k 2 π, - \frac{π}{14} + \frac{k 2 π}{7}\}$ .

Câu 4:

Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau: $y = \cos^{2} x - 1$ .

Xem đáp án

Ta biến đổi: $y = \cos^{2} x - 1 = \frac{1 + \cos 2 x}{2} - 1 = \frac{1}{2} \cos 2 x - \frac{1}{2} .$

Do đó f là hàm số tuần hoàn với chu kì $Τ = \frac{2 π}{2} = π$ .

Câu 5:

Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau: $y = \sin (\frac{2}{5} x) . \cos (\frac{2}{5} x)$ .

Xem đáp án

Ta biến đổi: $y = \sin (\frac{2}{5} x) . \cos (\frac{2}{5} x) = \frac{1}{2} \sin (\frac{4}{5} x)$ .

Do đó f là hàm số tuần hoàn với chu kì $Τ = \frac{2 π}{(\frac{4}{5})} = \frac{5 π}{2}$ .

Câu 6:

Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau: $y = \cos x + \cos (\sqrt{3} . x)$

Xem đáp án

Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn $\Rightarrow$ có số thực dương T thỏa : $f (x + Τ) = f (x) \Leftrightarrow \cos (x + Τ) + \cos \sqrt{3} (x + Τ) = \cos x + \cos \sqrt{3} x$

$x = 0 \Rightarrow \cos Τ + \cos \sqrt{3} Τ = 2 \Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos Τ = 1 \\ \cos \sqrt{3} Τ = 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} Τ = 2 n π \\ \sqrt{3} Τ = 2 m π \end{cases} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{m}{n}$ vô lí, do $m, n \in ℤ \Rightarrow \frac{m}{n}$ là số hữu tỉ.

Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.

Câu 7:

Chứng minh rằng hàm số sau là hàm số tuần hoàn và tìm chu kì của nó: $y = \frac{1}{\sin x}$ .

Xem đáp án

Tập xác định: $D = ℝ \ \{k π, k \in ℤ\}$ .

Ta xét đẳng thức $f (x + Τ) = f (x) \Leftrightarrow \frac{1}{\sin (x + Τ)} = \frac{1}{\sin x} \Leftrightarrow \sin (x + Τ) = \sin x .$

Chọn $x = \frac{π}{2}$ thì $\sin x = 1$ và do đó $\sin (\frac{π}{2} + Τ) = 1 \Leftrightarrow \frac{π}{2} + Τ = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ .$

Số dương nhỏ nhất trong các số T là $2 π$ .

Rõ ràng $\forall x \in D, x + k 2 π \in D, x + k 2 π \in D$ và $f (x + k 2 π) = \frac{1}{\sin (x + k 2 π)} = \frac{1}{\sin x} = f (x)$

Vậy f là hàm số tần hoàn với chu kì $Τ = 2 π$ .

Câu 8:

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f (x) = \sin (2 x + \frac{9 π}{2})$

Xem đáp án

Tập xác định $D = ℝ$ , là một tập đối xứng. Do đó $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ .

Ta có $f (x) = \sin (2 x + \frac{9 π}{2}) = \sin (2 x + \frac{π}{2} + 4 π) = \sin (2 x + \frac{π}{2}) = \cos 2 x$ .

Có $f (- x) = \cos (- 2 x) = \cos 2 x = f (x)$ .

Vậy hàm số $f (x)$ là hàm số chẵn.

Câu 9:

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f (x) = \tan x + \cot x$

Xem đáp án

Hàm số có nghĩa $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos x \neq 0 \\ \sin x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq \frac{π}{2} + k π \\ x \neq l π \end{cases}$ (với $k, l \in ℤ$ ).

Tập xác định $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, l π |k, l \in ℤ\}$ , là một tập đối xứng. Do đó $\forall x \in D$ thì $- x \in D$

Ta có $f (- x) = \tan (- x) + \cot (- x) = - \tan x - \cot x = - (\tan x + \cot x) = - f (x)$ .

Vậy hàm số $f (x)$ là hàm số lẻ.

Câu 10:

Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = \tan^{7} 2 x . \sin 5 x$

Xem đáp án

Hàm số có nghĩa khi $\cos 2 x \neq 0$ $\Leftrightarrow 2 x \neq \frac{π}{2} + k π$ $\Leftrightarrow x \neq \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, k \in ℤ$ .

Tập xác định $D = ℝ \ \{\frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, k \in ℤ\}$ , là một tập đối xứng. Do đó $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ .

Ta có $f (- x) = \tan^{7} (- 2 x) . \sin (- 5 x) = \tan^{7} 2 x . \sin 5 x = f (x)$ .

Vậy hàm số $f (x)$ là hàm số chẵn.

Câu 11:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

y = 4 \sin x \cos x + 1

Xem đáp án

Ta có $y = 2 \sin 2 x + 1$ .

Do $- 1 \leq \sin 2 x \leq 1 \Rightarrow - 2 \leq 2 \sin 2 x \leq 2 \Rightarrow - 1 \leq 2 \sin 2 x + 1 \leq 3$

$\Rightarrow - 1 \leq y \leq 3$ .

* $y = - 1 \Leftrightarrow \sin 2 x = - 1 \Leftrightarrow 2 x = - \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + k π$ .

* $y = 3 \Leftrightarrow \sin 2 x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3, giá trị nhỏ nhất bằng -1.

Câu 12:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau $y = 4 - 3 \sin^{2} 2 x$

Xem đáp án

Ta có: $0 \leq \sin^{2} x \leq 1 \Rightarrow 1 \leq 4 - 3 \sin^{2} x \leq 4$

* $y = 1 \Leftrightarrow \sin^{2} x = 1 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π$ .

* $y = 4 \Leftrightarrow \sin^{2} x = 0 \Leftrightarrow x = k π$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng 1.

Câu 13:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau

y = \sin x - \frac{1}{\sin x}

trong khoảng $0 < x < π$

Xem đáp án

Vì $0 < x < π$ nên $0 < \sin x \leq 1$ ,do đó $\sin x \leq \frac{1}{\sin x}$

Vậy hàm số đạt giá trị , lớn nhất là 0 tại $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2}$ .

Câu 14:

Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{1 - 2 x}{\sin 2 x}$ .

A. $D = ℝ \ \{k π, k \in ℤ\}$

B. $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k 2 π, k 2 π, k \in ℤ\}$ .

C. $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$ .

D. $D = ℝ \ \{k \frac{π}{2}, k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \sin 2 x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \frac{π}{2} .$

Vậy $D = ℝ \ \{k \frac{π}{2}, k \in ℤ\}$ .

Câu 15:

Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{3}{\cos x + 1}$

A. $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\}$ .

B. $D = ℝ \ \{k 2 π, k \in ℤ\}$ .

C. $D = ℝ \ \{π + k 2 π, k \in ℤ\}$ .

D. $D = ℝ \ \{π + k π, k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Điều kiện $\cos x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow \cos x \neq - 1 \Leftrightarrow x \neq π + k 2 π, k \in ℤ$

Suy ra tập xác định $D = ℝ \ \{π + k 2 π, k \in ℤ\}$ .

Câu 16:

Tập xác định của hàm số $y = \sqrt{\sin x - 1}$ là

A. $ℝ$ .

B. $\{k π | k \in ℤ\}$ .

C. $\{\frac{π}{2} + k 2 π | k \in ℤ\}$ .

D. $\{\frac{π}{2} + k π | k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Điều kiện: $\sin x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow \sin x \geq 1 \Leftrightarrow \sin x = 1$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$

Tập xác định $D = \{\frac{π}{2} + k 2 π | k \in ℤ\}$

Câu 17:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin x}}$ .

A. $D = ℝ \ \{k 2 π, k \in ℤ\}$ .

B. $D = ℝ \ \{π + k 2 π, k \in ℤ\}$ .

C. $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\}$ .

D. $D = ℝ \ \{- \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án C

$y = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin x}}$ xác định khi $1 - \sin x > 0.$

Có $- 1 \leq \sin x \leq 1, \forall x \in ℝ \Rightarrow 1 - \sin x \geq 0 \forall x \in ℝ$

Do đó $1 - \sin x > 0 \Leftrightarrow 1 - \sin x \neq 0 \Leftrightarrow \sin x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$

Vậy $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\} .$

Câu 18:

Tập xác định D của hàm số $y = \tan 3 x$ là

A. $D = ℝ \ \{\frac{k π}{3}, k \in ℤ\}$ .

B. $D = ℝ \ \{\frac{π}{6} + \frac{k π}{3}, k \in ℤ\}$ .

C. $D = ℝ \ \{k π, k \in ℤ\}$ .

D. $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Điều kiện: $cos 3 x \neq 0 \Leftrightarrow 3 x \neq \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{6} + \frac{k π}{3} (k \in ℤ) .$

Tập xác định: $D = ℝ \ \{\frac{π}{6} + \frac{k π}{3}, k \in ℤ\} .$

Câu 19:

Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{\tan x}{\sin x - 1}$

A. $ℝ .$

B. $ℝ \ \{\frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\}$ .

C. $ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$ .

D. $ℝ \ \{k π, k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos x \neq 0 \\ \sin x \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq \frac{π}{2} + k π \\ x \neq \frac{π}{2} + k 2 π \end{cases} (k \in ℤ)$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$

Câu 20:

Tập xác định của hàm số $y = \tan (2 x + \frac{π}{6})$ là

A. $ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$ .

B. $ℝ \ \{\frac{- π}{6} + \frac{k π}{2}, k \in ℤ\}$ .

C. $ℝ \ \{\frac{π}{6} + k π, k \in ℤ\}$ .

D. $ℝ \ \{\frac{π}{6} + \frac{k π}{2}, k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Điều kiện: $\cos (2 x + \frac{π}{6}) \neq 0 \Leftrightarrow 2 x + \frac{π}{6} \neq \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}, k \in ℤ$ .

Do đó tập xác định $D = ℝ \ \{\frac{π}{6} + \frac{k π}{2}, k \in ℤ\}$ .

Câu 21:

Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{1 - \cos x} + \cot x$ .

A. $ℝ \ \{k π, k \in ℤ\}$ .

B. $(- \infty; 1]$ .

C. $ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$ .

D. $[- 1; 1] \ \{0\}$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 - \cos x \geq 0 \\ \sin x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos x \leq 1 \\ x \neq k π \end{cases} \Leftrightarrow x \neq k π, k \in ℤ$ .

Tập xác định của hàm số $D = ℝ \ \{k π, k \in ℤ\}$ .

Câu 22:

Hàm số $y = \sqrt{\frac{\sin x - 1}{3 + \sin x}}$ có tập xác định là

A. $ℝ \ \{\frac{π}{2} + k 2 π | k \in ℤ\}$

B. $ℝ$ .

C. $\emptyset$ .

D. $\{\frac{π}{2} + k 2 π | k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án D

+) Ta có: $\sin x - 1 \leq 0, \forall x \in ℝ$ và $3 + \sin x \geq 2$ > $0, \forall x \in ℝ$

+) Nên hàm số xác định khi và chỉ khi $\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Câu 23:

Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \sin x}}$ .

A. $ℝ \ \{k π | k \in ℤ\}$ .

B. $ℝ \ \{\frac{π}{2} + k 2 π | k \in ℤ\}$ .

C. $ℝ$ .

D. $ℝ \ \{k 2 π | k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{1 + \cos x}{1 - \sin x} \geq 0 \\ 1 - \sin x \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \sin x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

Vậy tập xác định của hàm số là: $ℝ \ \{\frac{π}{2} + k 2 π | k \in ℤ\}$ .

Câu 24:

Tập xác định của hàm số $y = \frac{\cot x}{\cos x - 1}$ là

A. $ℝ \ \{k \frac{π}{2}, k \in ℤ\}$ .

B. $ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$ .

C. $ℝ \ \{k π, k \in ℤ\}$ .

D. $ℝ \ \{k 2 π, k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Điều kiện xác định của hàm số là $\{\begin{cases} \sin x \neq 0 \\ \cos x \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq k π \\ x \neq l 2 π \end{cases} (k, l \in ℤ) \Rightarrow x \neq k π, k \in ℤ .$

Vậy, tập xác định của hàm số $y = \frac{\cot x}{\cos x - 1}$ là $ℝ \ \{k π, k \in ℤ\}$ .

Câu 25:

Tập xác định của hàm số $f (x) = \frac{1}{1 - \cos x}$ là

A. $ℝ \ \{(2 k + 1) \frac{π}{2} |k \in ℤ\}$ .

B. $ℝ \ \{(2 k + 1) π |k \in ℤ\}$ .

C. $ℝ \ \{k π |k \in ℤ\}$ .

D. $ℝ \ \{k 2 π |k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Chọn D

Điều kiện: $1 - \cos x \neq 0 \Leftrightarrow \cos x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq k 2 π, k \in ℤ$ .

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = ℝ \ \{k 2 π |k \in ℤ\}$ .

Câu 26:

Tìm tập xác định D của hàm số

y = \frac{1}{\sin (x - \frac{π}{2})}

A. $D = R \ \{(2 k + 1) π, k \in ℤ\}$

B. $D = R \ \{\frac{k π}{2}, k \in ℤ\}$

C. $D = R \ \{(2 k + 1) \frac{π}{2}, k \in ℤ\}$

D.

D = R \ \{k π, k \in ℤ\}

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số $y = \frac{1}{\sin (x - \frac{π}{2})}$ xác định khi $\sin (x - \frac{π}{2}) \neq 0 \Leftrightarrow x - \frac{π}{2} \neq k π \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x \neq (1 + 2 k) \frac{π}{2}, k \in ℤ .$

Câu 27:

Hàm số $y = \frac{\tan 2 x}{1 - \tan x}$ có tập xác định là

A. $ℝ$ .

B. $ℝ \ \{\frac{π}{4} + k \frac{π}{2} | k \in ℤ\}$ .

C. $ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π | k \in ℤ\}$ .

D. $ℝ \ \{\frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, \frac{π}{2} + k π | k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Chọn D

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos 2 x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \\ \tan x \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq \frac{π}{4} + k \frac{π}{2} \\ x \neq \frac{π}{2} + k π \\ x \neq \frac{π}{4} + k π \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq \frac{π}{4} + k \frac{π}{2} \\ x \neq \frac{π}{2} + k π \end{cases}$ .

Câu 28:

Tập xác định của hàm số $y = \frac{3 + \cot \frac{x}{2}}{\cos x + 1}$ là:

A. $ℝ \ \{k π |k \in ℤ\} .$

B. $ℝ \ \{k 2 π |k \in ℤ\} .$

C. $ℝ \ \{π + k 2 π |k \in ℤ\} .$

D.

ℝ \ \{\frac{π}{2} + k 2 π |k \in ℤ\} .

Xem đáp án

Chọn A

Điều kiện: $\{\begin{cases} \sin \frac{x}{2} \neq 0 \\ \cos x \neq - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{x}{2} \neq k π \\ x \neq π + k 2 π \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq k 2 π \\ x \neq π + k 2 π \end{cases} \Leftrightarrow x \neq k π, k \in ℤ .$

Vậy $D = ℝ \ \{k π |k \in ℤ\} .$

Câu 29:

Cho các hàm số

$(1) y = \sin 3 x . (2) y = \frac{\tan x + 3}{\cos^{2} x + 2} . (3) y = \frac{2 \cos x - 1}{\sin^{2} x + 1}$

$(4) y = \sqrt{1 - \sin x} . (5) y = \sqrt{\frac{2 \cos x + 3}{\sin x + 1}} .$

Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số có tập xác định là $ℝ$

A.4 .

B. 1 .

C. 3 .

D. 2

Xem đáp án

Chọn C

$(1) y = \sin 3 x$ có $D = ℝ$ .

$(2) y = \frac{\tan x + 3}{\cos^{2} x + 2}$ có điều kiện là $\{\begin{cases} \cos x \neq 0 \\ \cos^{2} x + 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π, (k \in ℤ) .$

$(3) y = \frac{2 \cos x - 1}{\sin^{2} x + 1}$ có $D = ℝ$ .

$(4) y = \sqrt{1 - \sin x}$ có điều kiện là $\sin x \leq 1$ luôn đúng $\forall x \in ℝ$ .

$(5) y = \sqrt{\frac{2 \cos x + 3}{\sin x + 1}}$ có điều kiện là $\{\begin{cases} \frac{2 \cos x + 3}{\sin x + 1} \geq 0 \\ \sin x + 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \neq \frac{- π}{2} + k 2 π, (k \in ℤ)$

Vậy các hàm số $(1), (3), (4)$ có tập xác định là $ℝ$ .

Câu 30:

Tập xác định của hàm số $y = \frac{\cos x - 2}{1 + \sin x}$ là

A. $ℝ \ \{k π | k \in ℤ\}$ .

B. $ℝ \ \{- \frac{π}{2} + k π | k \in ℤ\}$ .

C. $ℝ \ \{k 2 π | k \in ℤ\}$ .

D. $ℝ \ \{- \frac{π}{2} + k 2 π | k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Chọn D

Điều kiện: $1 + \sin x \neq 0 \Leftrightarrow \sin x \neq - 1 \Leftrightarrow x \neq - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) .$ .

Vậy tập xác định của hàm số là $D = ℝ \ \{- \frac{π}{2} + k 2 π | k \in ℤ\}$ .

Câu 31:

Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{s inx + 1}}$ là

A. $ℝ \ \{\frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\}$ .

B. $ℝ \ \{- \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\}$ .

C. $ℝ \ \{- \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$ .

D. $ℝ$ .

Xem đáp án

Chọn B

Hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{s inx + 1}}$ xác định khi: $s inx + 1 > 0 \Leftrightarrow s inx + 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{- π}{2} + k 2 π$

TXĐ: $D = ℝ \ \{- \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\}$ .

Câu 32:

Tập xác định của hàm số $y = \frac{s inx + 1}{s inx - 2}$ là

A. $(- 2; + \infty)$

B. $(2; + \infty)$

C. $ℝ \ \{2\}$ .

D. $ℝ$ .

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $- 1 \leq s inx \leq 1, \forall x \in ℝ .$ Do đó $s inx - 2 \neq 0, \forall x \in ℝ$ . Vậy tập xác định $D = ℝ$

Câu 33:

Hàm số $y = \frac{2 \sin x + 1}{1 - \cos x}$ xác định khi

A. $x \neq \frac{π}{2} + k 2 π$ .

B. $x \neq k π$ .

C. $x \neq k 2 π$ .

D.

x \neq \frac{π}{2} + k π

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số xác định khi và chỉ khi $1 - \cos x \neq 0 \Leftrightarrow \cos x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq k 2 π$ với $k \in ℤ$ .

Câu 34:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Các hàm số $y = \sin x, y = \cos x, y = \cot x$ đều là hàm số chẵn.

B. Các hàm số $y = \sin x, y = \cot x, y = \tan x$ đều là hàm số lẻ.

C. Các hàm số $y = \sin x, y = \cot x, y = \tan x$ đều là hàm số chẵn.

D. Các hàm số $y = \sin x, y = \cos x, y = \cot x$ đều là hàm số lẻ.

Xem đáp án

Chọn B

Các hàm số $y = \sin x, y = \cot x, y = \tan x$ đều là hàm số lẻ.

Câu 35:

Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. y= cot 4x .

B. $y = \tan 6 x$ .

C. $y = \sin 2 x$ .

D. $y = \cos x$ .

Xem đáp án

Chọn D

Hàm số có tập xác định $D = R$ .

Ta có .

Và .

Vậy hàm số là hàm số chẵn.

Câu 36:

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

A. $y = \tan x$ .

B. $y = \cos x$ .

C. $y = \sin x$ .

D. $y = \cot x$ .

Xem đáp án

Chọn B

Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Nên hàm số y= cos x có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Câu 37:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = \cos x$ .

B. $y = \tan x$ .

C. $y = s i n x$ .

D. $y = \cot x$ .

Xem đáp án

Chọn A

Hàm số $y = \cos x$ có tập xác định là $ℝ$ và $\cos (- x) = \cos x \forall x \in ℝ \Rightarrow y = \cos x$ là hàm số chẵn.

Hàm số $y = s i n x, y = \tan x, y = \cot x$ là hàm số lẻ.

Câu 38:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. $y = 1 + \sin x$ .

B. $y = x . \tan x$ .

C. $y = \sin^{5} x$ .

D. $y = \cos x . \sin^{2} x$ .

Xem đáp án

Chọn C

Xét hàm số $y = f (x) = \sin^{5} x$ có tập xác định $D = ℝ$ .

Ta có $\{\begin{cases} \forall x \in ℝ \Rightarrow - x \in ℝ \\ f (- x) = \sin^{5} (- x) = - \sin^{5} x = - f (x) \end{cases}$

Vậy hàm số $y = \sin^{5} x$ là hàm số lẻ.

Xét hàm số $y = f (x) = 1 + \sin x$ có tập xác định $D = ℝ$ .

Ta có $\{\begin{cases} \forall x \in ℝ \Rightarrow - x \in ℝ \\ f (- x) = 1 + \sin (- x) = 1 - \sin x \end{cases}, \{\begin{cases} f (- x) \neq f (x) \\ f (- x) \neq - f (x) \end{cases}$

Vậy hàm số $y = 1 + \sin x$ là hàm số không chẵn, không lẻ.

Xét hàm số $y = f (x) = x . \tan x$ có tập xác định $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$ .

Ta có $\{\begin{cases} \forall x \in D \Rightarrow - x \in D \\ f (- x) = (- x) . \tan (- x) = x . \tan x = f (x) \end{cases}$

Vậy hàm số $y = x . \tan x$ là hàm số chẵn.Xét hàm số $y = f (x) = \cos x . \sin^{2} x$ có tập xác định $D = ℝ$ .

Ta có $\{\begin{cases} \forall x \in ℝ \Rightarrow - x \in ℝ \\ f (- x) = \cos (- x) \sin^{2} (- x) = \cos x \sin^{2} x = f (x) \end{cases}$

Vậy hàm số $y = \cos x . \sin^{2} x$ là hàm số chẵn.

Câu 39:

Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. $y = - 2 \sin x$ .

B. $y = 2 \sin 2 x$ .

C. $y = \sin x - \cos x$ .

D. $y = - 2 \cos x$

Xem đáp án

Chọn D

Nhận xét, cả 4 đáp án đều có tập xác định là $D = ℝ$ là tập đối xứng.

Đáp ánA. $f (x) = - 2 \sin x, f (- x) = - 2 \sin (- x) = 2 \sin x$

$\Rightarrow f (- x) = - f (x)$ . Vậy $y = - 2 \sin x$ là hàm số lẻ.

- Đáp án

B. $f (x) = 2 \sin 2 x, f (- x) = 2 \sin (- 2 x) = - 2 \sin 2 x$

$\Rightarrow f (- x) = - f (x)$ . Vậy $y = 2 \sin 2 x$ là hàm số lẻ.

- Đáp án

C. $f (x) = \sin x - \cos x, f (- x) = \sin (- x) - \cos (- x) = - \sin x - \cos x$

$\Rightarrow f (x) \neq f (- x)$ . Vậy $y = \sin x - \cos x$ là hàm số không chẵn không lẻ.

- Đáp án

D. $f (x) = - 2 \cos x, f (- x) = - 2 \cos (- x) = - 2 \cos (x)$

$\Rightarrow f (x) = f (- x)$ . Vậy $y = - 2 \cos x$ là hàm số chẵn.

Câu 40:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn trên $ℝ$ ?

A. $y = \sin (\frac{π}{2} - x)$ .

B. $y = \tan x$ .

C.

y = \sin x

.

D.

y = \sin (x + \frac{π}{6})

.

Xem đáp án

Chọn A

$y = \sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ là hàm số chẵn trên $ℝ$ .

Câu 41:

Cho hàm số $y = \frac{1}{\cos x}$ . Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Hàm số có tập xác định là $ℝ \ \{0\}$ .

B. Đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.

C. Hàm số đó là hàm số lẻ trên $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$ .

D. Hàm số đó là hàm số lẻ trên $ℝ$ .

Xem đáp án

Chọn B

Hàm số $y = \frac{1}{\cos x}$ là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận tung làm trục đối xứng.

Câu 42:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. $y = x^{2} \cos x$ .

B. $y = \sin 2 x$ .

C. $y = \sin^{2} x$ .

D. $y = \cos 2 x$ .

Xem đáp án

Chọn B

Hàm số $y = \sin 2 x$ là hàm số lẻ vì:

Hàm số có tập xác định là $ℝ$ nên $\forall x \in ℝ \Rightarrow - x \in ℝ$ và $y (- x) = \sin 2 (- x) = - \sin 2 x = - y (x)$ .

Câu 43:

Trong các hàm số sau, hàm số nào không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ?

A. $y = \sin (x + \frac{π}{4}) + \tan (x + \frac{π}{4})$ .

B. $y = \tan x - \frac{1}{\sin x}$ .

C. $y = \sin^{4} x - \cos^{4} x$ .

D.

y = \cos x

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

Xét hàm số $y = \sin (x + \frac{π}{4}) + \tan (x + \frac{π}{4})$ , tập xác định $D = ℝ \ \{\frac{π}{4} + k π; k \in ℤ\}$

Rõ ràng $D$ không là tập đối xứng, chẳng hạn $- \frac{π}{4} \in D$ nhưng $\frac{π}{4} \notin D$ .

Nên hàm này không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.

Câu 44:

Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn.

A. $y = \cot x$ .

B. $y = \sin x$ .

C. $y = \tan x$ .

D. $y = \cos x$

Xem đáp án

Chọn D

Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

Hàm số $y = \tan x; y = \cot x; y = \sin x$ là hàm số lẻ.

Câu 45:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn?

A. $y = \cos (x + \frac{π}{3})$ .

B.

y = |\sin x|

.

C.

y = 1 - \sin x

.

D.

y = \sin x + \cos x

.

Xem đáp án

Chọn B

TXĐ: $ℝ$

$\forall x \in ℝ \Rightarrow - x \in ℝ$

Và $y (- x) = |\sin (- x)| = |- \sin x| = |\sin x| = y (x)$

Vậy hàm số trên là hàm số chẵn

Câu 46:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = \tan x$ .

B. $y = \sin x$ .

C. $y = \cos x$ .

D. $y = \cot x$ .

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số $y = \tan x, y = \sin x, y = \cot x$ là các hàm số lẻ.

Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn

Câu 47:

Hàm số nào sau đây là hàm số tuần hoàn với chu kỳ $T = π$ ?

A. $y = \sin x$ .

B. $y = 2 \sin x$ .

C. $y = \sin 2 x$ .

D. $y = 2 + \sin x$ .

Xem đáp án

Chọn C

Xét hàm số $y = \sin 2 x$ ta có:

$y (x + π) = \sin [2 (x + π)] = \sin (2 x + 2 π) = \sin 2 x = y (x), \forall x \in ℝ$

Do đó hàm số $y = \sin 2 x$ tuần hoàn với chu kỳ $T = π$ .

Câu 48:

Hàm số nào sau đây tuần hoàn với chu kì $T = \frac{π}{2}$ ?

A. $y = \tan \frac{x}{3}$ .

B. $y = \tan \frac{x}{2}$ .

C. $y = \tan 3 x$ .

D. $y = \tan 2 x$ .

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: Hàm số $y = \tan 2 x$ có tập xác định là $D = ℝ \ \{\frac{π}{4} + k \frac{π}{2}\}$ .

a) $\forall x \in D$ ta có $x + \frac{π}{2} \in D$

b) $y (x + \frac{π}{2}) = \tan 2 (x + \frac{π}{2}) = \tan (2 x + π) = \tan 2 x$ .

Giả sử có số $0 < T < \frac{π}{2}$ thỏa mãn cả hai tính chất a) và b) sao cho: $y (x + T) = y (x)$

Với $x = 0$ ta có $\tan 2 T = \tan 0 \Rightarrow T = \frac{π}{2} + k π$

$0 < T < \frac{π}{2} \Rightarrow 0 < \frac{π}{2} + k π < 1 \Rightarrow - \frac{1}{2} < k < \frac{1}{2} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow T = \frac{π}{2}$ trái với điều giả sử.

Suy ra $T = \frac{π}{2}$ là số dương nhỏ nhất thỏa mãn cả hai tính chất a) và b).

Vậy hàm số $y = \tan 2 x$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{π}{2}$ .

Câu 49:

Chọn khẳng định sai?

A. Hàm số $y = \tan x + \sin x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $2 π .$

B. Hàm số $y = \cos x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $2 π .$

C. Hàm số $y = \cot x + \tan x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $π .$

D. Hàm số $y = \sin x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $π$

Xem đáp án

Hàm số $y = \sin x$ và $y = c o s x$ tuần hoàn với chu kì $2 π .$

Hàm số $y = \tan x$ và $y = c o t x$ tuần hoàn với chu kì $π .$

Nên khẳng định sai là D

Câu 50:

Chu kỳ tuần hoàn của hàm số $y = \cot (3 x + \frac{π}{6})$ là

A. $π$ .

B. $\frac{2 π}{3}$ .

C. $\frac{π}{3}$ .

D. $2 π$ .

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số $y = \cot (3 x + \frac{π}{6})$ có chu kỳ tuần hoàn là $\frac{π}{3}$ .

Câu 51:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số $y = \sin x$ tuần hoàn với chu kì $π$ .

B. Hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn với chu kì $2 π$ .

C. Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $\frac{π}{2}$ .

D. Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $π$ .

Xem đáp án

Chọn D

Hàm số $y = \sin x$ và $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2 π$ . Hàm số $y = \tan x$ và $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $π$ .

Câu 52:

Trong bốn hàm số: $(1) y = \cos 2 x; (2) y = \sin x; (3) y = \tan 2 x; (4) y = \cot 4 x$ có mấy hàm số tuần hoàn với chu kỳ $π$ ?

A. 3.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn D

Hàm số $y = \cos 2 x$ tuần hoàn với chu kỳ $π$ .

Hàm số $y = \sin x$ tuần hoàn với chu kỳ $2 π$ .

Hàm số $y = \tan 2 x$ tuần hoàn với chu kỳ $\frac{π}{2}$ .

Hàm số $y = \cot 4 x$ tuần hoàn với chu kỳ $\frac{π}{4}$ .

Câu 53:

Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

A. $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kỳ $π$ .

B. $y = \cos x$ là hàm nghịch biến trên $(0; π)$ .

C. $y = \cos x$ là hàm chẵn.

D.

y = \cos x

có tập xác định

ℝ

.

Xem đáp án

Chọn A

Vì hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kỳ $2 π$ .

Câu 54:

Hàm số $y = \frac{1}{1 + \tan^{2} x} + \frac{1}{1 + \cot^{2} 2 x}$ có chu kì là:

A. $T = \frac{π}{2}$ .

B. $T = 2 π$ .

C. $T = π$ .

D. $T = 4 π$ .

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $y = \frac{1}{1 + \tan^{2} x} + \frac{1}{1 + \cot^{2} 2 x} = \cos^{2} x + \sin^{2} 2 x = \frac{1 + \cos 2 x}{2} + \frac{1 - \cos 4 x}{2} = \frac{- 1}{2} \cos 4 x + \frac{1}{2} \cos 2 x + 1$

Do hàm số $y_{1} = \cos 4 x$ có chu kì $T_{1} = \frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}$ , hàm số $y_{2} = \cos 2 x$ có chu kì $T_{2} = \frac{2 π}{2} = π$

Vậy hàm số đã cho có chu kì $T = π$

Câu 55:

Chu kì tuần hoàn của hàm số $y = \cot x$ là

A. $π$ .

B. $2 π$ .

C. $k π$ , (

k \in ℤ

).

D. $k 2 π$ , (

k \in ℤ

).

Xem đáp án

Chọn A

Dựa vào sách giáo khoa, $T = π$ là chu kì tuần hoàn của hàm số $y = \cot x$ .

Câu 56:

Chu kỳ tuần hoàn của hàm số $y = \tan x$ là

A. $2 π$

B. $π$

C. $\frac{π}{2}$

D.

3 π

Xem đáp án

Chọn B

Theo tính chất của hàm số $y = \tan x .$

Câu 57:

Chu kỳ tuần hoàn của hàm số $y = \cos x$

A. $T = \frac{π}{2}$ .

B. $T = π$ .

C. $T = 2$ .

D. $T = 2 π$ .

Xem đáp án

Chọn D

Hàm số lượng giác: $y = \cos x$ có chu kỳ là $2 π$ .

Câu 58:

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = 3 \cos 2 x - 5$ lần lượt là

A. $- 8$ và -2 .

B. 2 và 8 .

C. -5 và 3 .

D. -5 và 2 .

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $- 1 \leq \cos 2 x \leq 1 \Rightarrow - 8 \leq 3 \cos 2 x - 5 \leq - 2 \Leftrightarrow - 8 \leq y \leq - 2$

+/ $y = - 8 \Leftrightarrow \cos 2 x = - 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π$

+/ $y = - 2 \Leftrightarrow \cos 2 x = 1 \Leftrightarrow x = k π$

Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = 3 \cos 2 x - 5$ lần lượt là –8 và –2.

Câu 59:

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = 7 - 2 \sin (x + \frac{π}{4})$ lần lượt là

A. 4 và 7.

B. 5 và 9.

C. -2 và 7.

D. -2 và 2.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $- 1 \leq \sin (x + \frac{π}{4}) \leq 1 \Leftrightarrow - 2 \leq - 2 \sin (x + \frac{π}{4}) \leq 2 \Leftrightarrow 5 \leq 7 - 2 \sin (x + \frac{π}{4}) \leq 9$

Từ đó ta có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho lần lượt là 5 và 9.

Câu 60:

Tìm tập giá trị của hàm số $y = 2 \cos 3 x + 1$ .

A. $[- 3; 1]$ .

B. $[- 3; - 1]$ .

C. $[- 1; 3]$ .

D. $[1; 3]$ .

Xem đáp án

Tập xác định : $D = ℝ$ .

Ta có: $- 1 \leq \cos 3 x \leq 1 \Leftrightarrow - 1 \leq 2 \cos 3 x + 1 \leq 3 \Leftrightarrow - 1 \leq y \leq 3$ .

Mà hàm số đã cho liên tục trên $D = ℝ$ .

Vậy tập giá trị của hàm số là $[- 1; 3]$ .

Câu 61:

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = 3 \cos x + 4$ là

A. 7.

B. 5.

C. 8.

D. 6.

Xem đáp án

Chọn C

Do $- 1 \leq \cos x \leq 1 \forall x \in ℝ$ nên $1 \leq 3 \cos x + 4 \leq 7, \forall x \in ℝ$

Nên $\max_{ℝ} y = 7$ đạt được khi $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k 2 π, (k \in ℤ)$ .

$\min_{ℝ} y = 1$ đạt được khi $\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = π + k 2 π, (k \in ℤ)$ .

Suy ra $\max_{ℝ} y + \min_{ℝ} y = 8$ .

Câu 62:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y = 3 \sin (x + \frac{π}{4})$ là:

A. 0.

B. -3.

C. 3.

D. -1.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $- 1 \leq \sin (x + \frac{π}{4}) \leq 1 \Rightarrow - 3 \leq 3 \sin (x + \frac{π}{4}) \leq 3$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3 \sin (x + \frac{π}{4})$ là -3

Câu 63:

Hàm số $y = \sin x$ có tập giá trị là:

A. $ℝ$ .

B. $[- 1; 1]$ .

C. $[- π; π]$ .

D. $[0; π]$

Xem đáp án

Chọn B

Hàm số $y = \sin x$ có tập giá trị trong đoạn $[- 1; 1]$

Câu 64:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = 2 \sin x + 1$ là

A. $- 1$ .

B. $1$ .

C. $- \frac{1}{2}$ .

D. $3$ .

Xem đáp án

Chọn D

Vì $\sin x \leq 1, \forall x \in ℝ$ nên $y = 2 \sin x + 1 \leq 3, \forall x \in ℝ$

$y = 3$ khi $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, (k \in ℤ)$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = 2 \sin x + 1$ là $3$ .

Câu 65:

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = 4 \sqrt{\sin x + 3} - 1$ lần lượt là

A. $\sqrt{2}$ và $2$ .

B. $4 \sqrt{2}$ và

8

.

C. $2$ và 4.

D.

4 \sqrt{2} - 1

và

7

.

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $\sin x = t \Rightarrow - 1 \leq t \leq 1$ . Xét hàm số $y = 4 \sqrt{t + 3} - 1$ có $y^{'} = \frac{2}{\sqrt{t + 3}} > 0 \forall t \in [- 1; 1]$

Do đó

\max_{[- 1; 1]} y = y (1) = 7; \min_{[- 1; 1]} y = y (- 1) = 4 \sqrt{2} - 1

Câu 66:

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 - \cos^{2} x$ là

A. 2 và -1.

B. 2 và 0.

C. 2 và 1.

D. 3 và 1.

Xem đáp án

Chọn C

$\forall x \in ℝ, 0 \leq \cos^{2} x \leq 1 \Leftrightarrow - 1 \leq - \cos^{2} x \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq y \leq 2$

Câu 67:

Cho hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $[\frac{- 3 π}{2}; \frac{5 π}{2}]$ có đồ thị như hình vẽ. Tìm những giá trị x để hàm số nhận giá trị âm.

A. .

B. .

C. .

D. .

Xem đáp án

Chọn A

Trên các khoảng đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành nên hàm số nhận giá trị âm.

Câu 68:

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y = 3 - 2 \cos^{2} x$ lần lượt là

A. $y_{\max} = 5, y_{\min} = 1$ .

B.

y_{\max} = 1, y_{\min} = - 1

.

C.

y_{\max} = 3, y_{\min} = 1

.

D.

y_{\max} = 5, y_{\min} = - 1

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $0 \leq \cos^{2} x \leq 1 \Leftrightarrow - 2 \leq - 2 \cos^{2} x \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq 3 - 2 \cos^{2} x \leq 3$ .

Vậy $y_{\max} = 3, y_{\min} = 1$ .

Câu 69:

Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $y = 2 \cos x - \sin x$ .

A. $M = \sqrt{\frac{11}{2}}$ .

B. $M = \sqrt{5}$ .

C. $M = \sqrt{3}$ .

D. $M = \sqrt{6}$ .

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $y = 2 \cos x - \sin x = \sqrt{5} (\frac{2}{\sqrt{5}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{5}} \sin x) = \sqrt{5} \cos (x + α)$ với góc $α \in [0; 2 π]$ thỏa mãn $\cos α = \frac{2}{\sqrt{5}}; \sin α = \frac{1}{\sqrt{5}}$ .

Do đó: $y \leq \sqrt{5}$ hay giá trị lớn nhất của hàm số là $M = \sqrt{5}$ khi $\cos (x + α) = 1 \Leftrightarrow x = - α + k 2 π, (k \in ℤ)$ .

Câu 70:

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{2} \cos 2 x - 1$ trên đoạn $[- \frac{π}{6}; \frac{3 π}{8}]$ . khi đó $M . m$ bằng

A. -1.

B. $2 - 2 \sqrt{2} .$

C. $2 - \sqrt{2} .$

D.

2 \sqrt{2} - 2.

Xem đáp án

Chọn C

$x \in [- \frac{π}{6}; \frac{3 π}{8}] \Rightarrow 2 x \in [- \frac{π}{3}; \frac{3 π}{4}] \Rightarrow - \frac{\sqrt{2}}{2} \leq \cos 2 x \leq \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq \sqrt{2} \cos 2 x - 1 \leq \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \Rightarrow M = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1; m = - 2 \Rightarrow M . m = 2 - \sqrt{2} .$

Câu 71:

Tập giá trị hàm số y= 5sinx- 12cosx là

A. $[- 12; 5]$ .

B. $[- 13; 13]$ .

C. $[- 17; 17]$ .

D. $(- 13; 13)$ .

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $y = 5 \sin x - 12 \cos x = 13. (\frac{5 \sin x - 12 \cos x}{13}) = 13. (\sin α \sin x - \cos α \cos x) = - 13 \cos (x + α)$

(với $\sin α = \frac{5}{13}, c o s α = \frac{12}{13})$

Lại có: $- 1 \leq \cos (x + α) \leq 1 \Leftrightarrow - 13 \leq - 13 \cos (x + α) \leq 13$

Vậy tập giá trị hàm số $y = 5 \sin x - 12 \cos x$ là $[- 13; 13]$

Câu 72:

Hàm số $y = 4 - 11 \cos^{3} x$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương?

A. 15.

B. 14.

C.13.

D.23.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $- 1 \leq \cos x \leq 1 \Rightarrow - 1 \leq \cos^{3} x \leq 1 \Rightarrow - 11 \leq - 11 \cos^{3} x \leq 11 \Rightarrow - 7 \leq 4 - 11 \cos^{3} x \leq 15.$

Suy ra các giá trị nguyên của hàm số $y = 4 - 11 \cos^{3} x$ là: $S = \{- 7; - 6; - 5; ....; 0; 1; 2; ...; 15\} .$

Nên có tất cả 23 giá trị nguyên.

Câu 73:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = 5 \sin 2 x + 12 \cos 2 x$ là

A. 10.

B. 12.

C. 17.

D. 13.

Xem đáp án

Chọn D

Cách 1

Ta có: $M \in ℝ$ là giá trị lớn nhất của hàm số $y = 5 \sin 2 x + 12 \cos 2 x$ trên $ℝ$ nếu $\exists x_{0} \in ℝ$ sao cho $y (x_{0}) = M$ và $M \geq y (x), \forall x \in ℝ$

Suy ra phương trình $5 \sin 2 x + 12 \cos 2 x = M$ phải có nghiệm.

Phương trình $5 \sin 2 x + 12 \cos 2 x = M$ có nghiệm $\Leftrightarrow M^{2} \leq 5^{2} + 12^{2} = 169 = 13^{2} \Rightarrow - 13 \leq M \leq 13$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = 5 \sin 2 x + 12 \cos 2 x$ bằng 13.

Câu 74:

Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?

Media VietJack

A. $y = \cot x$ .

B. $y = \sin 2 x$ .

C. $y = \sin x$ .

D. $y = \cos 2 x$ .

Xem đáp án

Chọn D

Câu 75:

Cho đồ thị với $x \in [- π; π]$ . Đây là đồ thị của hàm số của hàm số nào?

Media VietJack

A. $y = \cos x$ .

B. $y = - \cos x$ .

C. $y = \sin x$ .

D. $y = \cos |x|$

Xem đáp án

Chọn B

Cách 1: Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm $(0; - 1)$ và $(π; 1)$ . Thay các điểm trên vào các hàm số ở các phương án thì chỉ có phương án B thỏa mãn.

Cách 2: Từ hình vẽ ta suy ra hàm số đồng biến trên đoạn $[0; π]$ . Trong các phương án chỉ có hàm số ở phương án B thỏa mãn.

Câu 76:

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = \sin x$ , hãy tìm số nghiệm của phương trình: $\sin x = \frac{1}{2018}$ trên đoạn $[\frac{- 5 π}{2}; \frac{5 π}{2}]$ .

Media VietJack

A. 4.

B. 6.

C. 10.

D. 5.

Xem đáp án

Chọn D

Nhìn đồ thị ta thấy, đường thẳng $y = \frac{1}{2018}$ cắt đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $[\frac{- 5 π}{2}; \frac{5 π}{2}]$ tại 5 điểm phân biệt.

Câu 77:

Hình bên là một phần đồ thị của hàm số nào sau đây?

Media VietJack

A. $y = \cos \frac{2 x}{3}$ .

B. $y = \sin \frac{2 x}{3}$ .

C. $y = \cos \frac{3 x}{2}$

D. $y = \sin \frac{3 x}{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Quan sát đồ thị hàm số đi qua điểm $(\frac{3 π}{4}; 0)$

Suy ra đó là đồ thị hàm số $y = c o s \frac{2 x}{3}$ .

Câu 78:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = \sin \frac{3 x}{2} .$

B. $y = \sin \frac{2 x}{3} .$

C. $y = cos \frac{3 x}{2} .$

D. $y = cos \frac{2 x}{3} .$

Xem đáp án

Chọn D

Ta thấy đồ thị hàm số đã cho đối xứng qua trục $O y$ nên hàm số cần tìm là hàm số chẵn, loại hai phương án A và B.

Ta lại có $y (3 π) = 1$ mà $cos \frac{2 (3 π)}{3} = cos (2 π) = 1$ cho nên ta chọn phương ánD.

Câu 79:

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

A. Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2 π$ .

B. Hàm số $y = \sin x$ nghịch biến trên khoảng $(\frac{π}{2}; π)$ .

C. Hàm số $y = \cot x$ đồng biến trên khoảng $(\frac{π}{2}; π)$ .

D. Hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn với chu kì $π$ .

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số $y = \cot x$ nghịch biến trên khoảng $(\frac{π}{2}; π)$ .

Câu 80:

Hàm số $y = \tan x$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(0; π)$ .

B. $(- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2})$ .

C. $(- \frac{3 π}{2}; \frac{π}{2})$

D. $(- 2 π; - π)$ .

Xem đáp án

Chọn B

Tập xác định: $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$ .

Hàm số $y = \tan x$ đồng biến trên khoảng $(- \frac{π}{2} + k π; \frac{π}{2} + k π)$ nên đồng biến trên khoảng $(- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2})$ .

Câu 81:

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. Hàm số $y = \cot x$ đồng biến trên khoảng $(0; π)$ .

B. Hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên khoảng $(\frac{3 π}{2}; \frac{5 π}{2})$ .

C. Hàm số $y = \sin x$ nghịch biến trên khoảng $(π; 2 π)$ .

D. Hàm số $y = \cos x$ đồng biến trên khoảng $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ .

Xem đáp án

Chọn A

Ta có các lưu ý sau:

* Hàm số $y = \cot x$ nghịch biến trên mỗi khoảng mà nó xác định.

* Hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên mỗi khoảng $(- \frac{π}{2} + k 2 π; \frac{π}{2} + k 2 π)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(\frac{π}{2} + k 2 π; \frac{3 π}{2} + k 2 π)$ .

* Hàm số $y = \cos x$ đồng biến trên mỗi khoảng $(- π + k 2 π; k 2 π)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(k 2 π; π + k 2 π)$ .

Câu 82:

Cho hàm số $y = \sin x$ . Khẳng định nào dưới đây sai?

A. Hàm số đã cho là hàm lẻ.

B. Hàm số đã cho có tập giá trị là $[- 1; 1]$ .

C. Hàm số đã cho đồng biến trên $(0; 2 π)$ .

D. Hàm số đã cho có tập xác định

ℝ

.

Xem đáp án

• Hàm số $y = \sin x$ có tập xác định: $D = ℝ$ .

• Hàm số $y = \sin x$ có tập giá trị: $T = [- 1; 1]$ .

Ta có: $\forall x \in ℝ \Rightarrow - x \in ℝ$ . Mà $y (- x) = \sin (- x) = - \sin x = - f (x)$ .

Do đó hàm số $y = \sin x$ là hàm lẻ.

• Hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên khoảng $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ và nghịch biến trên $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ .

Vậy đáp án C sai.

Câu 83:

Cho ba hàm số $y = s in x; y = cos x; y = tan x$ . Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên $(0; \frac{3 π}{2})$ ?

A. 1.

B. 3.

C. 0.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số $y = s in x$ đồng biến trên $(0; \frac{π}{2})$ và nghịch biến trên $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ .

Hàm số $y = cos x$ nghịch biến trên $(0; \frac{π}{2})$ .

Hàm số $y = tan x$ gián đoạn tại $\frac{π}{2}$ .

Vậy không có hàm số nào đồng biến trên $(0; \frac{3 π}{2})$ .

Câu 84:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \frac{2019}{\sin x} .$

A. $D = ℝ .$

B. $D = ℝ \ \{0\} .$

C.

D = ℝ \ \{k π, k \in ℤ\} .

D.

D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\} .

Xem đáp án

Hàm số xác định khi và chỉ khi $\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k π, k \in ℤ .$

Vật tập xác định $D = ℝ \ \{k π, k \in ℤ\} .$ Chọn C

Câu 85:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \frac{1 - \sin x}{\cos x - 1} .$

A. $D = ℝ .$

B. $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\} .$

C. $D = ℝ \ \{k π, k \in ℤ\} .$

D.

D = ℝ \ \{k 2 π, k \in ℤ\} .

Xem đáp án

Hàm số xác định khi và chỉ khi $\cos x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow \cos x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq k 2 π, k \in ℤ .$

Vậy tập xác định $D = ℝ \ \{k 2 π, k \in ℤ\} .$ Chọn D

Câu 86:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \frac{1}{\sin (x - \frac{π}{2})} .$

A. $D = ℝ \ \{k \frac{π}{2}, k \in ℤ\} .$

B. $D = ℝ \ \{k π, k \in ℤ\} .$

C. $D = ℝ \ \{(1 + 2 k) \frac{π}{2}, k \in ℤ\} .$

D.

D = ℝ \ \{(1 + 2 k) π, k \in ℤ\} .

Xem đáp án

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{2}) \neq 0 \Leftrightarrow x - \frac{π}{2} \neq k π \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ .$

Vậy tập xác định $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\} .$ Chọn C

Câu 87:

Tìm tập xác định D của hàm số

y = \frac{1}{\sin x - \cos x} .

A. $D = ℝ .$

B. $D = ℝ \ \{- \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ\} .$

C. $D = ℝ \ \{\frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ\} .$

D. $D = ℝ \ \{\frac{π}{4} + k π, k \in ℤ\} .$

Xem đáp án

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \sin x - \cos x \neq 0 \Leftrightarrow \tan x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ .$

Vậy tập xác định $D = ℝ \ \{\frac{π}{4} + k π, k \in ℤ\} .$ Chọn D

Câu 88:

Hàm số $y = \tan x + \cot x + \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x}$ không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. $(k 2 π; \frac{π}{2} + k 2 π)$ với $k \in ℤ .$

B. $(π + k 2 π; \frac{3 π}{2} + k 2 π)$ với $k \in ℤ .$

C. $(\frac{π}{2} + k 2 π; π + k 2 π)$ với $k \in ℤ .$

D.

(π + k 2 π; 2 π + k 2 π)

với

k \in ℤ .

Xem đáp án

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \sin x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \sin 2 x \neq 0 \Leftrightarrow 2 x \neq k π \Leftrightarrow x \neq \frac{k π}{2}, k \in ℤ .$

Ta chọn $k = 3 \overset{}{\to} x \neq \frac{3 π}{2}$ nhưng điểm $\frac{3 π}{2}$ thuộc khoảng $(π + k 2 π; 2 π + k 2 π)$ .

Vậy hàm số không xác định trong khoảng $(π + k 2 π; 2 π + k 2 π)$ . Chọn D

Câu 89:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \cot (2 x - \frac{π}{4}) + \sin 2 x .$

A. $D = ℝ \ \{\frac{π}{4} + k π, k \in ℤ\} .$

B. $D = \emptyset .$

C. $D = ℝ \ \{\frac{π}{8} + k \frac{π}{2}, k \in ℤ\} .$

D. $D = ℝ .$

Xem đáp án

Hàm số xác định $\sin (2 x - \frac{π}{4}) \neq 0 \Leftrightarrow 2 x - \frac{π}{4} \neq k π \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{8} + \frac{k π}{2}, k \in ℤ .$

Vậy tập xác định $D = ℝ \ \{\frac{π}{8} + k \frac{π}{2}, k \in ℤ\} .$ Chọn C

Câu 90:

Tìm tập xác định D của hàm số

y = 3 \tan^{2} (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) .

A. $D = ℝ \ \{\frac{3 π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\} .$

B. $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\} .$

C. $D = ℝ \ \{\frac{3 π}{2} + k π, k \in ℤ\} .$

D. $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\} .$

Xem đáp án

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \cos^{2} (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) \neq 0 \Leftrightarrow \frac{x}{2} - \frac{π}{4} \neq \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x \neq \frac{3 π}{2} + k 2 π, k \in ℤ .$

Vậy tập xác định $D = ℝ \ \{\frac{3 π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\} .$ Chọn A

Câu 91:

Hàm số $y = \frac{\cos 2 x}{1 + \tan x}$ không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. $(\frac{π}{2} + k 2 π; \frac{3 π}{4} + k 2 π)$ với $k \in ℤ .$

B. $(- \frac{π}{2} + k 2 π; \frac{π}{2} + k 2 π)$ với $k \in ℤ .$

C. $(\frac{3 π}{4} + k 2 π; \frac{3 π}{2} + k 2 π)$ với $k \in ℤ .$

D.

(π + k 2 π; \frac{3 π}{2} + k 2 π)

với

k \in ℤ .

Xem đáp án

Hàm số xác định khi và chỉ khi $1 + \tan x \neq 0$ và $\tan x$ xác định

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \tan x \neq - 1 \\ \cos x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq - \frac{π}{4} + k π \\ x \neq \frac{π}{2} + k π \end{cases}, k \in ℤ .$

Ta chọn $k = 0 \overset{}{\to} \{\begin{cases} x \neq - \frac{π}{4} \\ x \neq \frac{π}{2} \end{cases}$ nhưng điểm $- \frac{π}{4}$ thuộc khoảng $(- \frac{π}{2} + k 2 π; \frac{π}{2} + k 2 π) .$

Vậy hàm số không xác định trong khoảng $(- \frac{π}{2} + k 2 π; \frac{π}{2} + k 2 π)$ . Chọn B

Câu 92:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \frac{3 \tan x - 5}{1 - \sin^{2} x} .$

A. $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\} .$

B. $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\} .$

C. $D = ℝ \ \{π + k π, k \in ℤ\} .$

D. $\cos x \neq \pm 1 \Leftrightarrow \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k π, k \in ℤ .$

Xem đáp án

Hàm số xác định khi và chỉ khi $1 - \sin^{2} x \neq 0$ và $\tan x$ xác định

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \sin^{2} x \neq 1 \\ \cos x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ .$

Vậy tập xác định $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\} .$ Chọn B

Câu 93:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \sqrt{\sin x + 2} .$

A. $D = ℝ .$

B.

D = [- 2; + \infty) .

C.

D = [0; 2 π] .

D. $D = \emptyset .$

Xem đáp án

Ta có $- 1 \leq \sin x \leq 1 \overset{}{\to} 1 \leq \sin x + 2 \leq 3, \forall x \in ℝ .$

Do đó luôn tồn tại căn bậc hai của $\sin x + 2$ với mọi $x \in ℝ .$

Vậy tập xác định $D = ℝ .$ Chọn A

Câu 94:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \sqrt{\sin x - 2} .$

A. $D = ℝ .$

B.

ℝ \ \{k π, k \in ℤ\} .

C.

D = [- 1; 1] .

D. $D = \emptyset .$

Xem đáp án

Ta có $- 1 \leq \sin x \leq 1 \overset{}{\to} - 3 \leq \sin x - 2 \leq - 1, \forall x \in ℝ .$

Do đó không tồn tại căn bậc hai của $\sin x - 2.$

Vậy tập xác định $D = \emptyset .$ Chọn D

Câu 95:

Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin x}} .$

A. $D = ℝ \ \{k π, k \in ℤ\} .$

B. $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\} .$

C. $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\} .$

D. $D = \emptyset .$

Xem đáp án

Hàm số xác định khi và chỉ khi $1 - \sin x > 0 \Leftrightarrow \sin x < 1.$

Mà $- 1 \leq \sin x \leq 1$ nên $(*) \Leftrightarrow \sin x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ .$

Vậy tập xác định $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\} .$ Chọn C

Câu 96:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \sqrt{1 - \sin 2 x} - \sqrt{1 + \sin 2 x} .$

A. $D = \emptyset .$

B. $D = ℝ .$

C. $D = [\frac{π}{6} + k 2 π; \frac{5 π}{6} + k 2 π], k \in ℤ .$

D.

D = [\frac{5 π}{6} + k 2 π; \frac{13 π}{6} + k 2 π], k \in ℤ .

Xem đáp án

Ta có $- 1 \leq \sin 2 x \leq 1 \Rightarrow \{\begin{cases} 1 + \sin 2 x \geq 0 \\ 1 - \sin 2 x \geq 0 \end{cases}, \forall x \in ℝ .$

Vậy tập xác định $D = ℝ .$ Chọn B

Câu 97:

Tìm tập xác định D của hàm số

y = \sqrt{5 + 2 \cot^{2} x - \sin x} + \cot (\frac{π}{2} + x) .

A. $D = ℝ \ \{\frac{k π}{2}, k \in ℤ\} .$

B. $D = ℝ \ \{- \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\} .$

C. $D = ℝ .$

D.

D = ℝ \ \{k π, k \in ℤ\} .

Xem đáp án

Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời

$5 + 2 \cot^{2} x - \sin x \geq 0, \cot (\frac{π}{2} + x)$ xác định và $\cot x$ xác định.

Ta có $\{\begin{cases} 2 \cot^{2} x \geq 0 \\ - 1 \leq \sin x \leq 1 \overset{}{\to} 5 - \sin x \geq 0 \end{cases} \overset{}{\to} 5 + 2 \cot^{2} x - \sin x \geq 0, \forall x \in ℝ .$

$\cot (\frac{π}{2} + x)$ xác định $\Leftrightarrow \sin (\frac{π}{2} + x) \neq 0 \Leftrightarrow \frac{π}{2} + x \neq k π \Leftrightarrow x \neq - \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ .$

$\cot x$ xác định $\Leftrightarrow \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k π, k \in ℤ .$

Do đó hàm số xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq - \frac{π}{2} + k π \\ x \neq k π \end{cases} \Leftrightarrow x \neq \frac{k π}{2}, k \in ℤ .$

Vậy tập xác định $D = ℝ \ \{\frac{k π}{2}, k \in ℤ\} .$ Chọn A

Câu 98:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \tan (\frac{π}{2} \cos x) .$

A. $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$ .

B. $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\}$ .

C. $D = ℝ$ .

D. $D = ℝ \ \{k π, k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Hàm số xác định khi và chỉ khi $\frac{π}{2} . \cos x \neq \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow \cos x \neq 1 + 2 k (*)$ .

Do $k \in ℤ$ nên $(*) \Leftrightarrow \cos x \neq \pm 1 \Leftrightarrow \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k π, k \in ℤ .$

Vậy tập xác định $D = ℝ \ \{k π, k \in ℤ\} .$ Chọn D

Câu 99:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = \sin x .$

B. $y = \cos x .$

C. $y = \tan x .$

D.

y = \cot x .

Xem đáp án

Nhắc lại kiến thức cơ bản:

= Hàm số $y = \sin x$ là hàm số lẻ.

= Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

= Hàm số $y = \tan x$ là hàm số lẻ.

= Hàm số $y = \cot x$ là hàm số lẻ.

Vậy B là đáp án đúng. Chọn B

Câu 100:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = - \sin x .$

B. $y = \cos x - \sin x .$

C. $y = \cos x + \sin^{2} x .$

D. $y = \cos x \sin x .$

Xem đáp án

Tất các các hàm số đều có TXĐ: $D = ℝ$ . Do đó $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.$

Bây giờ ta kiểm tra $f (- x) = f (x)$ hoặc $f (- x) = - f (x) .$

= Với $y = f (x) = - \sin x$ . Ta có $f (- x) = - \sin (- x) = \sin x = - (- \sin x)$

$\overset{}{\to} f (- x) = - f (x)$ . Suy ra hàm số $y = - \sin x$ là hàm số lẻ.

= Với $y = f (x) = \cos x - \sin x .$ Ta có $f (- x) = \cos (- x) - \sin (- x) = \cos x + \sin x$

$\overset{}{\to} f (- x) \neq \{- f (x), f (x)\}$ . Suy ra hàm số $y = \cos x - \sin x$ không chẵn không lẻ.

= Với $y = f (x) = \cos x + \sin^{2} x$ . Ta có $f (- x) = \cos (- x) + \sin^{2} (- x)$

$= \cos (- x) + {[\sin (- x)]}^{2} = \cos x + {[- \sin x]}^{2} = \cos x + \sin^{2} x$

$\overset{}{\to} f (- x) = f (x)$ . Suy ra hàm số $y = \cos x + \sin^{2} x$ là hàm số chẵn. Chọn C

= Với $y = f (x) = \cos x \sin x .$ Ta có $f (- x) = \cos (- x) . \sin (- x) = - \cos x \sin x$

$\overset{}{\to} f (- x) = - f (x)$ . Suy ra hàm số $y = \cos x \sin x$ là hàm số lẻ.

Câu 101:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = \sin 2 x .$

B.

y = x \cos x .

C.

y = \cos x . \cot x .

D.

y = \frac{\tan x}{\sin x} .

Xem đáp án

= Xét hàm số $y = f (x) = \sin 2 x .$

TXĐ: $D = ℝ$ . Do đó $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.$

Ta có $f (- x) = \sin (- 2 x) = - \sin 2 x = - f (x) \overset{}{\to} f (x)$ là hàm số lẻ.

= Xét hàm số $y = f (x) = x \cos x .$

TXĐ: $D = ℝ$ . Do đó $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.$

Ta có $f (- x) = (- x) . \cos (- x) = - x \cos x = - f (x) \overset{}{\to} f (x)$ là hàm số lẻ.

= Xét hàm số $y = f (x) = \cos x \cot x .$

TXĐ: $D = ℝ \ \{k π (k \in ℤ)\} .$ Do đó $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.$

Ta có $f (- x) = \cos (- x) . \cot (- x) = - \cos x \cot x = - f (x) \overset{}{\to} f (x)$ là hàm số lẻ.

= Xét hàm số $y = f (x) = \frac{\tan x}{\sin x} .$

TXĐ: $D = ℝ \ \{k \frac{π}{2} (k \in ℤ)\} .$ Do đó $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.$

Ta có $f (- x) = \frac{\tan (- x)}{\sin (- x)} = \frac{- \tan x}{- \sin x} = \frac{\tan x}{\sin x} = f (x) \overset{}{\to} f (x)$ là hàm số chẵn. Chọn D

Câu 102:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = |\sin x| .$

B.

y = x^{2} \sin x .

C. $y = \frac{x}{\cos x} .$

D.

y = x + \sin x .

Xem đáp án

Ta kiểm tra được A là hàm số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ.

Chọn A

Câu 103:

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

A. $y = \sin x \cos 2 x .$

B. $y = \sin^{3} x . \cos (x - \frac{π}{2}) .$

C. $y = \frac{\tan x}{\tan^{2} x + 1} .$

D.

y = \cos x \sin^{3} x .

Xem đáp án

Ta dễ dàng kiểm tra được A, C, D là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.

Xét đáp án B, ta có $y = f (x) = \sin^{3} x . \cos (x - \frac{π}{2}) = \sin^{3} x . \sin x = \sin^{4} x$ . Kiểm tra được đây là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung. Chọn B

Câu 104:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. $y = \cos x + \sin^{2} x .$

B. $y = \sin x + \cos x .$

C. $y = - \cos x .$

D. $y = \sin x . \cos 3 x .$

Xem đáp án

Ta kiểm tra được đáp án A và C là các hàm số chẵn. Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án D là hàm số lẻ. Chọn D

Câu 105:

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

A. $y = \cot 4 x .$

B. $y = \frac{\sin x + 1}{\cos x} .$

C. $y = \tan^{2} x .$

D.

y = |\cot x| .

Xem đáp án

Ta kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Chọn A

Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án C và D là các hàm số chẵn.

Câu 106:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. $y = \sin (\frac{π}{2} - x) .$

B. $y = \sin^{2} x .$

C. $y = \frac{\cot x}{\cos x} .$

D. $y = \frac{\tan x}{\sin x} .$

Xem đáp án

Viết lại đáp án A là $y = \sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x .$

Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ.

Chọn C

Câu 107:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. $y = 1 - \sin^{2} x .$

B. $y = |\cot x| . \sin^{2} x .$

C. $y = x^{2} \tan 2 x - \cot x .$

D.

y = 1 + |\cot x + \tan x| .

Xem đáp án

Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ. Chọn C

Câu 108:

Cho hàm số $f (x) = \sin 2 x$ và $g (x) = \tan^{2} x .$ Chọn mệnh đề đúng

A. $f (x)$ là hàm số chẵn, $g (x)$ là hàm số lẻ.

B. $f (x)$ là hàm số lẻ, $g (x)$ là hàm số chẵn.

C. $f (x)$ là hàm số chẵn, $g (x)$ là hàm số chẵn.

D. $f (x)$ và $g (x)$ đều là hàm số lẻ.

Xem đáp án

= Xét hàm số $f (x) = \sin 2 x .$

TXĐ: $D = ℝ$ . Do đó $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.$

Ta có $f (- x) = \sin (- 2 x) = - \sin 2 x = - f (x) \overset{}{\to} f (x)$ là hàm số lẻ.

= Xét hàm số $g (x) = \tan^{2} x .$

TXĐ: $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)\} .$ Do đó $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.$

Ta có $g (- x) = {[\tan (- x)]}^{2} = {(- \tan x)}^{2} = \tan^{2} x = g (x) \overset{}{\to} f (x)$ là hàm số chẵn.

Chọn B

Câu 109:

Cho hai hàm số $f (x) = \frac{\cos 2 x}{1 + \sin^{2} 3 x}$ và $g (x) = \frac{|\sin 2 x| - \cos 3 x}{2 + \tan^{2} x}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $f (x)$ lẻ và $g (x)$ chẵn.

B. $f (x)$ và $g (x)$ chẵn.

C. $f (x)$ chẵn, $g (x)$ lẻ.

D.

f (x)

và

g (x)

lẻ.

Xem đáp án

= Xét hàm số $f (x) = \frac{\cos 2 x}{1 + \sin^{2} 3 x} .$

TXĐ: $D = ℝ$ . Do đó $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.$

Ta có $f (- x) = \frac{\cos (- 2 x)}{1 + \sin^{2} (- 3 x)} = \frac{\cos 2 x}{1 + \sin^{2} 3 x} = f (x) \overset{}{\to} f (x)$ là hàm số chẵn.

= Xét hàm số $g (x) = \frac{|\sin 2 x| - \cos 3 x}{2 + \tan^{2} x} .$

TXĐ: $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)\}$ . Do đó $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.$

Ta có $g (- x) = \frac{|\sin (- 2 x)| - \cos (- 3 x)}{2 + \tan^{2} (- x)} = \frac{|\sin 2 x| - \cos 3 x}{2 + \tan^{2} x} = g (x) \overset{}{\to} g (x)$ là hàm số chẵn.

Vậy $f (x)$ và $g (x)$ chẵn. Chọn B

Câu 110:

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

A. $y = \frac{1}{\sin^{3} x} .$

B.

y = \sin (x + \frac{π}{4}) .

C.

y = \sqrt{2} \cos (x - \frac{π}{4}) .

D.

y = \sqrt{\sin 2 x} .

Xem đáp án

Viết lại đáp án B là $y = \sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\sin x + \cos x) .$

Viết lại đáp án C là $y = \sqrt{2} \cos (x - \frac{π}{4}) = \sin x + \cos x .$

Kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Chọn A

Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ.

Xét đáp án D.

= Hàm số xác định $\Leftrightarrow \sin 2 x \geq 0 \Leftrightarrow 2 x \in [k 2 π; π + k 2 π] \Leftrightarrow x \in [k π; \frac{π}{2} + k π]$

$\overset{}{\to} D = [k π; \frac{π}{2} + k π] (k \in ℤ) .$

= Chọn $x = \frac{π}{4} \in D$ nhưng $- x = - \frac{π}{4} \notin D.$ Vậy $y = \sqrt{\sin 2 x}$ không chẵn, không lẻ.

Câu 111:

Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Đồ thị hàm số $y = |\sin x|$ đối xứng qua gốc tọa độ O

B. Đồ thị hàm số $y = \cos x$ đối xứng qua trục Oy

C. Đồ thị hàm số $y = |\tan x|$ đối xứng qua trục Oy.

D. Đồ thị hàm số $y = \tan x$ đối xứng qua gốc tọa độ O

Xem đáp án

Ta kiểm tra được hàm số $y = |\sin x|$ là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục Oy. Do đó đáp án A sai. Chọn A

Câu 112:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = 2 \cos (x + \frac{π}{2}) + \sin (π - 2 x) .$

B. $y = \sin (x - \frac{π}{4}) + \sin (x + \frac{π}{4}) .$

C. $y = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) - \sin x .$

D.

y = \sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x} .

Xem đáp án

Viết lại đáp án A là $y = 2 \cos (x + \frac{π}{2}) + \sin (π - 2 x) = - 2 \sin x + \sin 2 x .$

Viết lại đáp án B là $y = \sin (x - \frac{π}{4}) + \sin (x + \frac{π}{4}) = 2 \sin x . \cos \frac{π}{4} = \sqrt{2} \sin x .$

Viết lại đáp án C là $y = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) - \sin x = \sin x + \cos x - \sin x = \cos x .$

Ta kiểm tra được đáp án A và B là các hàm số lẻ. Đáp án C là hàm số chẵn. Chọn C

Xét đáp án D.

= Hàm số xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \sin x \geq 0 \\ \cos x \geq 0 \end{cases} \overset{}{\to} D = [k 2 π; \frac{π}{2} + k 2 π] (k \in ℤ) .$

= Chọn $x = \frac{π}{4} \in D$ nhưng $- x = - \frac{π}{4} \notin D.$ Vậy $y = \sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}$ không chẵn, không lẻ.

Câu 113:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ ?

A. $y = x^{4} + \cos (x - \frac{π}{3}) .$

B. $y = x^{2017} + \cos (x - \frac{π}{2}) .$

C. $y = 2015 + \cos x + \sin^{2018} x .$

D. $y = \tan^{2017} x + \sin^{2018} x .$

Xem đáp án

Viết lại đáp án B là $y = x^{2017} + \cos (x - \frac{π}{2}) = y = x^{2017} + \sin x .$

Ta kiểm tra được đáp án A và D không chẵn, không lẻ. Đáp án B là hàm số lẻ. Đáp án C là hàm số chẵn. Chọn B

Câu 114:

Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Hàm số $y = \sin x$ tuần hoàn với chu kì $2 π .$

B. Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2 π .$

C. Hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn với chu kì $2 π .$

D. Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $π .$

Xem đáp án

Chọn C Vì hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn với chu kì $π .$

Câu 115:

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A. $y = \sin x$

B. $y = x + \sin x$

C.

y = x \cos x .

D. $y = \frac{\sin x}{x} .$

Xem đáp án

Chọn A

Hàm số $y = x + \sin x$ không tuần hoàn. Thật vậy:

= Tập xác định $D = ℝ$ .

= Giả sử $f (x + T) = f (x), \forall x \in D$

$\Leftrightarrow (x + T) + \sin (x + T) = x + \sin x, \forall x \in D \Leftrightarrow T + \sin (x + T) = \sin x, \forall x \in D (*)$

Cho $x = 0$ và $x = π$ , ta được $\{\begin{cases} T + \sin x = \sin 0 = 0 \\ T + \sin (π + T) = \sin π = 0 \end{cases}$

$\overset{}{\to} 2 T + \sin T + \sin (π + T) = 0 \Leftrightarrow T = 0$ . Điều này trái với định nghĩa là $T > 0$ .

Vậy hàm số $y = x + \sin x$ không phải là hàm số tuần hoàn.

Tương tự chứng minh cho các hàm số $y = x \cos x$ và $y = \frac{\sin x}{x}$ không tuần hoàn.

Câu 116:

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn?

A. $y = \cos x .$

B. $y = \cos 2 x .$

C. $y = x^{2} \cos x$

D. $y = \frac{1}{\sin 2 x} .$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 117:

Tìm chu kì T của hàm số $y = \sin (5 x - \frac{π}{4}) .$

A. $T = \frac{2 π}{5} .$

B. $T = \frac{5 π}{2} .$

C. $T = \frac{π}{2} .$

D.

T = \frac{π}{8} .

Xem đáp án

Hàm số $y = \sin (a x + b)$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{2 π}{|a|}$ .

Áp dụng: Hàm số $y = \sin (5 x - \frac{π}{4})$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{2 π}{5} .$ Chọn A

Câu 118:

Tìm chu kì T của hàm số

y = \cos (\frac{x}{2} + 2016) .

A. $T = 4 π .$

B. $T = 2 π .$

C. $T = - 2 π .$

D. $T = π .$

Xem đáp án

Hàm số $y = \cos (a x + b)$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{2 π}{|a|}$ .

Áp dụng: Hàm số $y = \cos (\frac{x}{2} + 2016)$ tuần hoàn với chu kì $T = 4 π .$ Chọn A

Câu 119:

Tìm chu kì T của hàm số

y = - \frac{1}{2} \sin (100 π x + 50 π) .

A. $T = \frac{1}{50} .$

B.

T = \frac{1}{100} .

C.

T = \frac{π}{50} .

D.

T = 200 π^{2} .

Xem đáp án

Hàm số $y = - \frac{1}{2} \sin (100 π x + 50 π)$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{2 π}{100 π} = \frac{1}{50} .$

Chọn A

Câu 120:

Tìm chu kì T của hàm số $y = \cos 2 x + \sin \frac{x}{2} .$

A. $T = 4 π .$

B. $T = π .$

C. $T = π .$

D. $T = \frac{π}{2} .$

Xem đáp án

Hàm số $y = \cos 2 x$ tuần hoàn với chu kì $T_{1} = \frac{2 π}{2} = π .$

Hàm số $y = \sin \frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì $T_{2} = \frac{2 π}{\frac{1}{2}} = 4 π .$

Suy ra hàm số $y = \cos 2 x + \sin \frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì $T = 4 π .$ Chọn A

Nhận xét. T là bội chung nhỏ nhất của $T_{1}$ và $T_{2} .$

Câu 121:

Tìm chu kì T của hàm số

y = \cos 3 x + \cos 5 x .

A. $T = π .$

B. $T = 3 π .$

C. $T = 2 π .$

D. $T = 5 π .$

Xem đáp án

Hàm số $y = \cos 3 x$ tuần hoàn với chu kì $T_{1} = \frac{2 π}{3} .$

Hàm số $y = \cos 5 x$ tuần hoàn với chu kì $T_{2} = \frac{2 π}{5} .$

Suy ra hàm số $y = \cos 3 x + \cos 5 x$ tuần hoàn với chu kì $T = 2 π .$ Chọn C

Câu 122:

Tìm chu kì T của hàm số $y = 3 \cos (2 x + 1) - 2 \sin (\frac{x}{2} - 3) .$

A. $T = 2 π .$

B.

T = 4 π

C. $T = 6 π$

D.

T = π .

Xem đáp án

Hàm số $y = 3 \cos (2 x + 1)$ tuần hoàn với chu kì $T_{1} = \frac{2 π}{2} = π .$

Hàm số $y = - 2 \sin (\frac{x}{2} - 3) .$ tuần hoàn với chu kì $T_{2} = \frac{2 π}{\frac{1}{2}} = 4 π .$

Suy ra hàm số $y = 3 \cos (2 x + 1) - 2 \sin (\frac{x}{2} - 3)$ tuần hoàn với chu kì $T = 4 π .$ Chọn B

Câu 123:

Tìm chu kì T của hàm số $y = \sin (2 x + \frac{π}{3}) + 2 \cos (3 x - \frac{π}{4}) .$

A. $T = 2 π .$

B. $T = π .$

C. $T = 3 π .$

D.

T = 4 π .

Xem đáp án

Hàm số $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ tuần hoàn với chu kì $T_{1} = \frac{2 π}{2} = π .$

Hàm số $y = 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ tuần hoàn với chu kì $T_{2} = \frac{2 π}{3} .$

Suy ra hàm số $y = \sin (2 x + \frac{π}{3}) + 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ tuần hoàn với chu kì $T = 2 π .$ Chọn A

Câu 124:

Tìm chu kì T của hàm số $y = \tan 3 π x .$

A. $T = \frac{π}{3} .$

B. $T = \frac{4}{3} .$

C. $T = \frac{2 π}{3} .$

D. $T = \frac{1}{3} .$

Xem đáp án

Hàm số $y = \tan (a x + b)$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{π}{|a|}$ .

Áp dụng: Hàm số $y = \tan 3 π x$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{1}{3} .$ Chọn D

Câu 125:

Tìm chu kì T của hàm số $y = \tan 3 x + \cot x .$

A. $T = 4 π .$

B. $T = π .$

C. $T = 3 π .$

D. $T = \frac{π}{3} .$

Xem đáp án

Hàm số $y = \cot (a x + b)$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{π}{|a|}$ .

Áp dụng: Hàm số $y = \tan 3 x$ tuần hoàn với chu kì $T_{1} = \frac{π}{3} .$

Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $T_{2} = π .$

Suy ra hàm số $y = \tan 3 x + \cot x$ tuần hoàn với chu kì $T = π .$ Chọn B

Nhận xét. T là bội chung nhỏ nhất của $T_{1}$ và $T_{2} .$

Câu 126:

Tìm chu kì T của hàm số

y = \cot \frac{x}{3} + \sin 2 x .

A. $T = 4 π .$

B. $T = π .$

C. $T = 3 π .$

D. $T = \frac{π}{3} .$

Xem đáp án

Hàm số $y = \cot \frac{x}{3}$ tuần hoàn với chu kì $T_{1} = 3 π .$

Hàm số $y = \sin 2 x$ tuần hoàn với chu kì $T_{2} = π .$

Suy ra hàm số $y = \cot \frac{x}{3} + \sin 2 x$ tuần hoàn với chu kì $T = 3 π .$ Chọn C

Câu 127:

Tìm chu kì T của hàm số

y = \sin \frac{x}{2} - \tan (2 x + \frac{π}{4}) .

A. $T = 4 π .$

B. $T = π .$

C. $T = 3 π .$

D.

T = 2 π .

Xem đáp án

Hàm số $y = \sin \frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì $T_{1} = 4 π .$

Hàm số $y = - \tan (2 x + \frac{π}{4})$ tuần hoàn với chu kì $T_{2} = \frac{π}{2} .$

Suy ra hàm số $y = \sin \frac{x}{2} - \tan (2 x + \frac{π}{4})$ tuần hoàn với chu kì $T = 4 π .$ Chọn A

Câu 128:

Tìm chu kì T của hàm số

y = 2 \cos^{2} x + 2017.

A. $T = 3 π .$

B. $T = 2 π .$

C.

T = π .

D.

T = 4 π .

Xem đáp án

Ta có $y = 2 \cos^{2} x + 2017 = \cos 2 x + 2018.$

Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì $T = π .$ Chọn C

Câu 129:

Tìm chu kì T của hàm số $y = 2 \sin^{2} x + 3 \cos^{2} 3 x .$

A. $T = π .$

B.

T = 2 π .

C.

T = 3 π .

D. $T = \frac{π}{3} .$

Xem đáp án

Ta có $y = 2. \frac{1 - \cos 2 x}{2} + 3. \frac{1 + \cos 6 x}{2} = \frac{1}{2} (3 \cos 6 x - 2 \cos 2 x + 5) .$

Hàm số $y = 3 \cos 6 x$ tuần hoàn với chu kì $T_{1} = \frac{2 π}{6} = \frac{π}{3} .$

Hàm số $y = - 2 \cos 2 x$ tuần hoàn với chu kì $T_{2} = π .$

Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì $T = π .$ Chọn A

Câu 130:

Tìm chu kì T của hàm số $y = \tan 3 x - \cos^{2} 2 x .$

A. $T = π .$

B.

T = \frac{π}{3} .

C.

T = \frac{π}{2} .

D.

T = 2 π .

Xem đáp án

Ta có $y = \tan 3 x - \frac{1 + \cos 4 x}{2} = \frac{1}{2} (2 \tan 3 x - \cos 4 x - 1) .$

Hàm số $y = 2 \tan 3 x$ tuần hoàn với chu kì $T_{1} = \frac{π}{3} .$

Hàm số $y = - \cos 4 x$ tuần hoàn với chu kì $T_{2} = \frac{2 π}{4} = \frac{π}{2} .$

Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì $T = π .$ Chọn C

Câu 131:

Hàm số nào sau đây có chu kì khác $π$ ?

A. $y = \sin (\frac{π}{3} - 2 x) .$

B. $y = \cos 2 (x + \frac{π}{4}) .$

C. $y = \tan (- 2 x + 1) .$

D.

y = \cos x \sin x .

Xem đáp án

Chọn C Vì $y = \tan (- 2 x + 1)$ có chu kì $T = \frac{π}{|- 2|} = \frac{π}{2} .$

Nhận xét. Hàm số $y = \cos x \sin x = \frac{1}{2} \sin 2 x$ có chu kỳ là $π .$

Câu 132:

Hàm số nào sau đây có chu kì khác $2 π$ ?

A. $y = \cos^{3} x .$

B.

y = \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} .

C.

y = \sin^{2} (x + 2) .

D.

y = \cos^{2} (\frac{x}{2} + 1) .

Xem đáp án

Hàm số $y = \cos^{3} x = \frac{1}{4} (\cos 3 x + 3 \cos x)$ có chu kì là $2 π .$

Hàm số $y = \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sin x$ có chu kì là $2 π .$

Hàm số $y = \sin^{2} (x + 2) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (2 x + 4)$ có chu kì là $π .$ Chọn C

Hàm số $y = \cos^{2} (\frac{x}{2} + 1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (x + 2)$ có chu kì là $2 π .$

Câu 133:

Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau?

A. $y = \cos x$ và $y = \cot \frac{x}{2} .$

B. $y = \sin x$ và $y = \tan 2 x .$

C. $y = \sin \frac{x}{2}$ và $y = \cos \frac{x}{2} .$

D. $y = \tan 2 x$ và

y = \cot 2 x .

Xem đáp án

Hai hàm số $y = \cos x$ và $y = \cot \frac{x}{2}$ có cùng chu kì là $2 π .$

Hai hàm số $y = \sin x$ có chu kì là $2 π .$ , hàm số $y = \tan 2 x$ có chu kì là $\frac{π}{2} .$ Chọn B

Hai hàm số $y = \sin \frac{x}{2}$ và $y = \cos \frac{x}{2}$ có cùng chu kì là

Hai hàm số $y = \tan 2 x$ và $y = \cot 2 x$ có cùng chu kì là $\frac{π}{2} .$

Câu 134:

Cho hàm số $y = \sin x$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(\frac{π}{2}; π)$ , nghịch biến trên khoảng $(π; \frac{3 π}{2})$ .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2})$ , nghịch biến trên khoảng $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$ , nghịch biến trên khoảng $(- \frac{π}{2}; 0)$ .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ , nghịch biến trên khoảng $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ .

Xem đáp án

Ta có thể hiểu thế này Hàm số $y = \sin x$ đồng biến khi góc x thuộc gốc phần tư thứ IV và thứ I; nghịch biến khi góc x thuộc gốc phần tư thứ II và thứ III .

Chọn D

Câu 135:

Với $x \in (\frac{31 π}{4}; \frac{33 π}{4})$ , mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số $y = \cot x$ nghịch biến.

B. Hàm số $y = \tan x$ nghịch biến.

C. Hàm số $y = \sin x$ đồng biến.

D. Hàm số

y = \cos x

nghịch biến.

Xem đáp án

Ta có $(\frac{31 π}{4}; \frac{33 π}{4}) = (- \frac{π}{4} + 8 π; \frac{π}{4} + 8 π)$ thuộc gốc phần tư thứ I và II. Chọn C

Câu 136:

Với $x \in (0; \frac{π}{4})$ , mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Cả hai hàm số $y = - \sin 2 x$ và $y = - 1 + \cos 2 x$ đều nghịch biến.

B. Cả hai hàm số $y = - \sin 2 x$ và $y = - 1 + \cos 2 x$ đều đồng biến.

C. Hàm số $y = - \sin 2 x$ nghịch biến, hàm số $y = - 1 + \cos 2 x$ đồng biến.

D. Hàm số $y = - \sin 2 x$ đồng biến, hàm số $y = - 1 + \cos 2 x$ nghịch biến.

Xem đáp án

Ta có $x \in (0; \frac{π}{4}) \to 2 x \in (0; \frac{π}{2})$ thuộc góc phần tư thứ I. Do đó

= $y = \sin 2 x$ đồng biến $\overset{}{\to} y = - \sin 2 x$ nghịch biến.

= $y = \cos 2 x$ nghịch biến $\overset{}{\to} y = - 1 + \cos 2 x$ nghịch biến.

Chọn A

Câu 137:

Hàm số

y = \sin 2 x

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. $(0; \frac{π}{4})$ .

B.

(\frac{π}{2}; π)

.

C.

(π; \frac{3 π}{2})

.

D.

(\frac{3 π}{2}; 2 π)

.

Xem đáp án

Xét A. Ta có $x \in (0; \frac{π}{4}) \to 2 x \in (0; \frac{π}{2})$ thuộc gốc phần tư thứ I nên hàm số $y = \sin 2 x$ đồng biến trên khoảng này. Chọn A

Câu 138:

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng $(- \frac{π}{3}; \frac{π}{6})$ ?

A. $y = \tan (2 x + \frac{π}{6})$ .

B. $y = \cot (2 x + \frac{π}{6})$ .

C. $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ .

D. $y = \cos (2 x + \frac{π}{6})$ .

Xem đáp án

Với $x \in (- \frac{π}{3}; \frac{π}{6}) \to 2 x \in (- \frac{2 π}{3}; \frac{π}{3}) \to 2 x + \frac{π}{6} \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ thuộc góc phần tư thứ IV và thứ nhất nên hàm số $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ đồng biến trên khoảng $(- \frac{π}{3}; \frac{π}{6})$ . Chọn C

Câu 139:

Đồ thị hàm số $y = \cos (x - \frac{π}{2})$ được suy từ đồ thị $(C)$ của hàm số $y = \cos x$ bằng cách:

A. Tịnh tiến $(C)$ qua trái một đoạn có độ dài là $\frac{π}{2} .$

B. Tịnh tiến $(C)$ qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{π}{2} .$

C. Tịnh tiến $(C)$ lên trên một đoạn có độ dài là $\frac{π}{2} .$

D. Tịnh tiến $(C)$ xuống dưới một đoạn có độ dài là $\frac{π}{2} .$

Xem đáp án

Nhắc lại lý thuyết

Cho $(C)$ là đồ thị của hàm số $y = f (x)$ và $p > 0$ , ta có:

+ Tịnh tiến $(C)$ lên trên $p$ đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y = f (x) + p$ .

+ Tịnh tiến $(C)$ xuống dưới $p$ đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y = f (x) - p$ .

+ Tịnh tiến $(C)$ sang trái $p$ đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y = f (x + p)$ .

+ Tịnh tiến $(C)$ sang phải $p$ đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y = f (x - p)$ .

Vậy đồ thị hàm số $y = \cos (x - \frac{π}{2})$ được suy từ đồ thị hàm số $y = \cos x$ bằng cách tịnh tiến sang phải $\frac{π}{2}$ đơn vị. Chọn B

Câu 140:

Đồ thị hàm số

y = \sin x

được suy từ đồ thị

(C)

của hàm số

y = \cos x

bằng cách:

A. Tịnh tiến $(C)$ qua trái một đoạn có độ dài là $\frac{π}{2} .$

B. Tịnh tiến $(C)$ qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{π}{2} .$

C. Tịnh tiến $(C)$ lên trên một đoạn có độ dài là $\frac{π}{2} .$

D. Tịnh tiến $(C)$ xuống dưới một đoạn có độ dài là $\frac{π}{2} .$

Xem đáp án

Ta có

y = \sin x = \cos (\frac{π}{2} - x) = \cos (x - \frac{π}{2}) .

Chọn B

Câu 141:

Đồ thị hàm số $y = \sin x$ được suy từ đồ thị $(C)$ của hàm số $y = \cos x + 1$ bằng cách:

A. Tịnh tiến $(C)$ qua trái một đoạn có độ dài là $\frac{π}{2}$ và lên trên 1 đơn vị.

B. Tịnh tiến $(C)$ qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{π}{2}$ và lên trên 1 đơn vị.

C. Tịnh tiến $(C)$ qua trái một đoạn có độ dài là $\frac{π}{2}$ và xuống dưới 1 đơn vị.

D. Tịnh tiến $(C)$ qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{π}{2}$ và xuống dưới 1 đơn vị.

Xem đáp án

Ta có $y = \sin x = \cos (\frac{π}{2} - x) = \cos (x - \frac{π}{2}) .$

= Tịnh tiến đồ thị $y = \cos x + 1$ sang phải $\frac{π}{2}$ đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = \cos (x - \frac{π}{2}) + 1.$

= Tiếp theo tịnh tiến đồ thị $y = \cos (x - \frac{π}{2}) + 1$ xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = \cos (x - \frac{π}{2}) .$ Chọn D

Câu 142:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = 1 + \sin 2 x .$

B. $y = \cos x .$

C. $y = - \sin x .$

D. $y = - \cos x .$

Xem đáp án

Ta thấy tại $x = 0$ thì $y = 1$ . Do đó loại đáp án C và D.

Tại $x = \frac{π}{2}$ thì $y = 0$ . Do đó chỉ có đáp án B thỏa mãn. Chọn B

Câu 143:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = \sin \frac{x}{2} .$

B. $y = \cos \frac{x}{2} .$

C. $y = - \cos \frac{x}{4} .$

D. $y = \sin (- \frac{x}{2}) .$

Xem đáp án

Ta thấy:

Tại $x = 0$ thì $y = 0$ . Do đó loại B và C.

Tại $x = π$ thì $y = - 1$ . Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có D thỏa. Chọn D

Câu 144:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = \cos \frac{2 x}{3} .$

B. $y = \sin \frac{2 x}{3} .$

C. $y = \cos \frac{3 x}{2} .$

D.

y = \sin \frac{3 x}{2} .

Xem đáp án

Ta thấy:

Tại $x = 0$ thì $y = 1$ . Do đó ta loại đáp án B và D.

Tại $x = 3 π$ thì $y = 1$ . Thay vào hai đáp án A và C thì chit có A thỏa mãn. Chọn A

Câu 145:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,D

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A.

y = \sin (x - \frac{π}{4}) .

B.

y = \cos (x + \frac{3 π}{4}) .

C.

y = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) .

D.

y = \cos (x - \frac{π}{4}) .

Xem đáp án

Ta thấy hàm số có GTLN bằng 1 và GTNN bằng -1. Do đó loại đáp án C.

Tại $x = 0$ thì $y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Do đó loại đáp án D.

Tại $x = \frac{3 π}{4}$ thì $y = 1$ . Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có A thỏa mãn. Chọn A

Câu 146:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A.

y = \sin (x - \frac{π}{4}) .

B. $y = \cos (x - \frac{π}{4}) .$

C.

y = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) .

D.

y = \sqrt{2} \cos (x + \frac{π}{4}) .

Xem đáp án

Ta thấy hàm số có GTLN bằng $\sqrt{2}$ và GTNN bằng $- \sqrt{2}$ . Do đó lại A và B.

Tại $x = \frac{3 π}{4}$ thì $y = - \sqrt{2}$ . Thay vào hai đáp án C và D thỉ chỉ có D thỏa mãn. Chọn D

Câu 147:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = \sin x .$

B. $y = |\sin x| .$

C. $y = \sin |x| .$

D.

y = - \sin x .

Xem đáp án

Ta thấy tại $x = 0$ thì $y = 0$ . Cả 4 đáp án đều thỏa.

Tại $x = \frac{π}{2}$ thì $y = - 1$ . Do đó chỉ có đáp án D thỏa mãn. Chọn D

Câu 148:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = \cos x .$

B. $y = - \cos x$

C. $y = \cos |x| .$

D.

y = |\cos x| .

Xem đáp án

Ta thấy tại

x = 0

thì

y = - 1.

Do đó chỉ có đáp án B thỏa mãn. Chọn B

Câu 149:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = |\sin x| .$

B. $y = \sin |x| .$

C. $y = \cos |x| .$

D.

y = |\cos x| .

Xem đáp án

Ta thấy hàm số có GTNN bằng 0. Do đó chỉ có A hoặc D thỏa mãn.

Ta thấy tại x=0 thì y=0. Thay vào hai đáp án A và D chỉ có duy nhất A thỏa mãn.

Chọn A

Câu 150:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = \tan x .$

B. $y = \cot x .$

C. $y = |\tan x| .$

D.

y = |\cot x| .

Xem đáp án

Ta thấy hàm số có GTNN bằng 0. Do đó ta loại đáp án A và B.

Hàm số xác định tại $x = π$ và tại $x = π$ thì $y = 0$ . Do đó chỉ có C thỏa mãn. Chọn C

Câu 151:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A.

y = \sin (x - \frac{π}{2}) - 1.

B.

y = 2 \sin (x - \frac{π}{2}) .

C.

y = - \sin (x - \frac{π}{2}) - 1.

D. $y = \sin (x + \frac{π}{2}) + 1.$

Xem đáp án

Ta thấy hàm số có GTLN bằng 0, GTNN bằng -2 Do đó ta loại đán án B vì $y = 2 \sin (x - \frac{π}{2}) \in [- 2; 2] .$

Tại x=0 thì y=-2. Thử vào các đáp án còn lại chỉ có A thỏa mãn. Chọn A

Câu 152:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = 1 + \sin |x| .$

B. $y = |\sin x|$ .

C.

y = 1 + |\cos x|

D.

y = 1 + |\sin x|

Xem đáp án

Ta có $y = 1 + |\cos x| \geq 1$ và $y = 1 + |\sin x| \geq 1$ nên loại C và D.

Ta thấy tại x=0 thì y=1. Thay vào hai đáp án A và B thì chỉ có A thỏa. Chọn A

Câu 153:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = 1 + \sin |x| .$

B. $y = |\sin x|$ .

C. $y = 1 + |\cos x|$ .

D. $y = 1 + |\sin x|$ .

Xem đáp án

Ta có $y = 1 + |\cos x| \geq 1$ và $y = 1 + |\sin x| \geq 1$ nên loại C và D.

Ta thấy tại $x = π$ thì y=0. Thay vào hai đáp án A và B thì chỉ có B thỏa. Chọn B

Câu 154:

Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y = 3 \sin x - 2.$

A.

M = 1, m = - 5.

B. $M = 3, m = 1.$

C.

M = 2, m = - 2.

D.

M = 0, m = - 2.

Xem đáp án

Ta có $- 1 \leq \sin x \leq 1 \overset{}{\to} - 3 \leq 3 \sin x \leq 3 \overset{}{\to} - 5 \leq 3 \sin x - 2 \leq 1$

$\overset{}{\to} - 5 \leq y \leq 1 \overset{}{\to} \{\begin{cases} M = 1 \\ m = - 5 \end{cases} .$ Chọn A

Câu 155:

Tìm tập giá trị T của hàm số

y = 3 \cos 2 x + 5.

A. $T = [- 1; 1] .$

B. $T = [- 1; 11] .$

C. $T = [2; 8] .$

D.

T = [5; 8] .

Xem đáp án

Ta có $- 1 \leq \cos 2 x \leq 1 \overset{}{\to} - 3 \leq 3 \cos 2 x \leq 3 \overset{}{\to} 2 \leq 3 \cos 2 x + 5 \leq 8$

$\overset{}{\to} 2 \leq y \leq 8 \overset{}{\to} T = [2; 8] .$ Chọn C

Câu 156:

Tìm tập giá trị T của hàm số $y = 5 - 3 \sin x .$

A. $T = [- 1; 1] .$

B. $T = [- 3; 3] .$

C. $T = [2; 8] .$

D. $T = [5; 8] .$

Xem đáp án

Ta có $- 1 \leq \sin x \leq 1 \overset{}{\to} 1 \geq - \sin x \geq - 1 \overset{}{\to} 3 \geq - 3 \sin x \geq - 3$

$\overset{}{\to} 8 \geq 5 - 3 \sin x \geq 2 \overset{}{\to} 2 \leq y \leq 8 \overset{}{\to} T = [2; 8] .$ Chọn C

Câu 157:

Cho hàm số

y = - 2 \sin (x + \frac{π}{3}) + 2

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

y \geq - 4, \forall x \in ℝ .

B.

y \geq 4, \forall x \in ℝ .

C.

y \geq 0, \forall x \in ℝ .

D.

y \geq 2, \forall x \in ℝ .

Xem đáp án

Ta có $- 1 \leq \sin (x + \frac{π}{3}) \leq 1 \overset{}{\to} 2 \geq - 2 \sin (x + \frac{π}{3}) \geq - 2$

$\overset{}{\to} 4 \geq - 2 \sin (x + \frac{π}{3}) + 2 \geq 0 \overset{}{\to} 4 \geq y \geq 0$ . Chọn C

Câu 158:

Hàm số $y = 5 + 4 \sin 2 x \cos 2 x$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 3

B.4

C.5

D.6

Xem đáp án

Ta có $y = 5 + 4 \sin 2 x \cos 2 x = 5 + 2 \sin 4 x$ .

Mà $- 1 \leq \sin 4 x \leq 1 \overset{}{\to} - 2 \leq 2 \sin 4 x \leq 2 \overset{}{\to} 3 \leq 5 + 2 \sin 4 x \leq 7$

$\overset{}{\to} 3 \leq y \leq 7 \overset{y \in ℤ}{\to} y \in \{3; 4; 5; 6; 7\}$ nên y có 5 giá trị nguyên. Chọn C

Câu 159:

Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số

y = - \sqrt{2} \sin (2016 x + 2017)

.

A. $m = - 2016 \sqrt{2} .$

B. $m = - \sqrt{2} .$

C. $m = - 1.$

D. $m = - 2017 \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Ta có $- 1 \leq \sin (2016 x + 2017) \leq 1 \overset{}{\to} \sqrt{2} \geq - \sqrt{2} \sin (2016 x + 2017) \geq - \sqrt{2} .$

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \sqrt{2} .$ Chọn B

Câu 160:

Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y = \frac{1}{\cos x + 1} .$

A. $m = \frac{1}{2} .$

B. $m = \frac{1}{\sqrt{2}} .$

C. $m = 1.$

D.

m = \sqrt{2} .

Xem đáp án

Ta có $- 1 \leq \cos x \leq 1$ .

Ta có $\frac{1}{\cos x + 1}$ nhỏ nhất khi và chỉ chi $\cos x$ lớn nhất $\Leftrightarrow \cos x = 1$ .

Khi $\cos x = 1 \overset{}{\to} y = \frac{1}{\cos x + 1} = \frac{1}{2} .$ Chọn A

Câu 161:

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = \sin x + \cos x

. Tính

P = M - m .

A. $P = 4.$

B. $P = 2 \sqrt{2} .$

C. $P = \sqrt{2} .$

D. $P = 2.$

Xem đáp án

Ta có $y = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) .$

Mà $- 1 \leq \sin (x + \frac{π}{4}) \leq 1 \overset{}{\to} - \sqrt{2} \leq \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) \leq \sqrt{2}$

$\overset{}{\to} \{\begin{cases} M = \sqrt{2} \\ m = - \sqrt{2} \end{cases} \to P = M - m = 2 \sqrt{2} .$ Chọn B

Câu 162:

Tập giá trị T của hàm số $y = \sin 2017 x - \cos 2017 x .$

A. $T = [- 2; 2] .$

B. $T = [- 4034; 4034] .$

C. $T = [- \sqrt{2}; \sqrt{2}] .$

D.

T = [0; \sqrt{2}] .

Xem đáp án

Ta có $y = \sin 2017 x - \cos 2017 x = \sqrt{2} \sin (2017 x - \frac{π}{4})$ .

Mà $- 1 \leq \sin (2017 x - \frac{π}{4}) \leq 1 \overset{}{\to} - \sqrt{2} \leq \sqrt{2} \sin (2017 x - \frac{π}{4}) \leq \sqrt{2}$

$\overset{}{\to} - \sqrt{2} \leq y \leq \sqrt{2} \overset{}{\to} T = [- \sqrt{2}; \sqrt{2}] .$ Chọn C

Câu 163:

Hàm số

y = \sin (x + \frac{π}{3}) - \sin x

có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A.1

B.2

C.3

D.4

Xem đáp án

Áp dụng công thức $\sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2}$ , ta có

$\sin (x + \frac{π}{3}) - \sin x = 2 \cos (x + \frac{π}{6}) \sin \frac{π}{6} = \cos (x + \frac{π}{6}) .$

Ta có $- 1 \leq \cos (x + \frac{π}{6}) \leq 1 \overset{}{\to} - 1 \leq y \leq 1 \overset{y \in ℤ}{\to} y \in \{- 1; 0; 1\} .$ Chọn C

Câu 164:

Hàm số $y = \sin^{4} x - \cos^{4} x$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = x_{0}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

x_{0} = k 2 π, k \in ℤ .

B. $x_{0} = k π, k \in ℤ .$

C.

x_{0} = π + k 2 π, k \in ℤ .

D. $x_{0} = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ .$

Xem đáp án

Ta có $y = \sin^{4} x - \cos^{4} x = (\sin^{2} x + \cos^{2} x) (\sin^{2} x - \cos^{2} x) = - \cos 2 x .$

Mà $- 1 \leq \cos 2 x \leq 1 \overset{}{\to} - 1 \geq - \cos 2 x \geq 1 \overset{}{\to} - 1 \geq y \geq 1$ .

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \cos 2 x = 1 \Leftrightarrow 2 x = k 2 π \Leftrightarrow x = k π (k \in ℤ) .$ Chọn B

Câu 165:

Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số

y = 1 - 2 |\cos 3 x| .

A.

M = 3, m = - 1.

B.

M = 1, m = - 1.

C.

M = 2, m = - 2.

D.

M = 0, m = - 2.

Xem đáp án

Ta có $- 1 \leq \cos 3 x \leq 1 \overset{}{\to} 0 \leq |\cos 3 x| \leq 1 \overset{}{\to} 0 \geq - 2 |\cos 3 x| \geq - 2$

$\overset{}{\to} 1 \geq 1 - 2 |\cos 3 x| \geq - 1 \overset{}{\to} 1 \geq y \geq - 1 \overset{}{\to} \{\begin{cases} M = 1 \\ m = - 1 \end{cases} .$ Chọn B

Câu 166:

Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số

y = 4 \sin^{2} x + \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{4}) .

A. $M = \sqrt{2} .$

B. $M = \sqrt{2} - 1.$

C. $M = \sqrt{2} + 1.$

D. $M = \sqrt{2} + 2.$

Xem đáp án

Ta có $y = 4 \sin^{2} x + \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{4}) = 4 (\frac{1 - \cos 2 x}{2}) + \sin 2 x + \cos 2 x$

$= \sin 2 x - \cos 2 x + 2 = \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{4}) + 2.$

Mà $- 1 \leq \sin (2 x - \frac{π}{4}) \leq 1 \overset{}{\to} - \sqrt{2} + 2 \leq \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{4}) + 2 \leq \sqrt{2} + 2$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $2 + \sqrt{2} .$ Chọn D

Câu 167:

Tìm tập giá trị T của hàm số

y = \sin^{6} x + \cos^{6} x .

A. $T = [0; 2] .$

B. $T = [\frac{1}{2}; 1] .$

C. $T = [\frac{1}{4}; 1] .$

D.

T = [0; \frac{1}{4}] .

Xem đáp án

Ta có $y = \sin^{6} x + \cos^{6} x = {(\sin^{2} x + \cos^{2} x)}^{2} - 3 \sin^{2} x \cos^{2} x (\sin^{2} x + \cos^{2} x)$

$= 1 - 3 \sin^{2} x \cos^{2} x = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2 x = 1 - \frac{3}{4} . \frac{1 - \cos 4 x}{2} = \frac{5}{8} + \frac{3}{8} \cos 4 x .$

Mà $- 1 \leq \cos 4 x \leq 1 \overset{}{\to} \frac{1}{4} \leq \frac{5}{8} + \frac{3}{8} \cos 4 x \leq 1 \overset{}{\to} \frac{1}{4} \leq y \leq 1.$ Chọn C

Câu 168:

Cho hàm số $y = \cos^{4} x + \sin^{4} x$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $y \leq 2, \forall x \in ℝ .$

B. $y \leq 1, \forall x \in ℝ .$

C.

y \leq \sqrt{2}, \forall x \in ℝ .

D. $y \leq \frac{\sqrt{2}}{2}, \forall x \in ℝ .$

Xem đáp án

Ta có $y = \cos^{4} x + \sin^{4} x = {(\sin^{2} x + \cos^{2} x)}^{2} - 2 \sin^{2} x \cos^{2} x = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 x$

$= 1 - \frac{1}{2} . \frac{1 - \cos 4 x}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x .$

Mà $- 1 \leq \cos 4 x \leq 1 \overset{}{\to} \frac{1}{2} \leq \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x \leq 1 \overset{}{\to} \frac{1}{2} \leq y \leq 1$ . Chọn B

Câu 169:

Hàm số $y = 1 + 2 \cos^{2} x$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = x_{0}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

x_{0} = π + k 2 π, k \in ℤ .

B.

x_{0} = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ .

C.

x_{0} = k 2 π, k \in ℤ .

D.

x_{0} = k π, k \in ℤ .

Xem đáp án

Ta có $- 1 \leq \cos x \leq 1 \overset{}{\to} 0 \leq \cos^{2} x \leq 1 \overset{}{\to} 1 \leq 1 + 2 \cos^{2} x \leq 3.$

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .

Dấu $'' =''$ xảy ra $\Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π .$ Chọn B

Câu 170:

Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số $y = \sin^{2} x + 2 \cos^{2} x .$

A. $M = 3, m = 0.$

B. $M = 2, m = 0.$

C. $M = 2, m = 1.$

D.

M = 3, m = 1.

Xem đáp án

Ta có $y = \sin^{2} x + 2 \cos^{2} x = (\sin^{2} x + \cos^{2} x) + \cos^{2} x = 1 + \cos^{2} x$

Do $- 1 \leq \cos x \leq 1 \overset{}{\to} 0 \leq \cos^{2} x \leq 1 \overset{}{\to} 1 \leq 1 + \cos^{2} x \leq 2 \overset{}{\to} \{\begin{cases} M = 2 \\ m = 1 \end{cases} .$ Chọn C

Câu 171:

Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $y = \frac{2}{1 + \tan^{2} x} .$

A. $M = \frac{1}{2} .$

B.

M = \frac{2}{3} .

C.

M = 1.

D.

M = 2.

Xem đáp án

Ta có $y = \frac{2}{1 + \tan^{2} x} = \frac{2}{\frac{1}{\cos^{2} x}} = 2 \cos^{2} x$ .

Do $0 \leq \cos^{2} x \leq 1 \overset{}{\to} 0 \leq y \leq 2 \overset{}{\to} M = 2.$ Chọn D

Câu 172:

Gọi m,M lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 8 \sin^{2} x + 3 \cos 2 x$ . Tính $P = 2 M - m^{2} .$

A.

P = 1.

B.

P = 2.

C.

P = 112.

D.

P = 130.

Xem đáp án

Ta có $y = 8 \sin^{2} x + 3 \cos 2 x = 8 \sin^{2} x + 3 (1 - 2 \sin^{2} x) = 2 \sin^{2} x + 3.$

Mà $- 1 \leq \sin x \leq 1 \overset{}{\to} 0 \leq \sin^{2} x \leq 1 \overset{}{\to} 3 \leq 2 \sin^{2} x + 3 \leq 5$

$\overset{}{\to} 3 \leq y \leq 5 \overset{}{\to} \{\begin{cases} M = 5 \\ m = 3 \end{cases} \overset{}{\to} P = 2 M - m^{2} = 1.$ Chọn A

Câu 173:

Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số

y = 2 \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin 2 x

.

A.

m = 2 - \sqrt{3} .

B. $m = - 1.$

C.

m = 1.

D.

m = - \sqrt{3} .

Xem đáp án

Ta có $y = 2 \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin 2 x = 1 - \cos 2 x + \sqrt{3} \sin 2 x$

$\begin{array}{l} = \sqrt{3} \sin 2 x - \cos 2 x + 1 = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x - \frac{1}{2} \cos 2 x) + 1 \\ = 2 (\sin 2 x \cos \frac{π}{6} - \sin \frac{π}{6} \cos 2 x) + 1 = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6}) + 1. \end{array}$

Mà $- 1 \leq \sin (2 x - \frac{π}{6}) \leq 1 \overset{}{\to} - 1 \leq 1 + 2 \sin (2 x - \frac{π}{6}) \leq 3 \overset{}{\to} - 1 \leq y \leq 3.$

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1 Chọn B

Câu 174:

Tìm tập giá trị T của hàm số

y = 12 \sin x - 5 \cos x .

A. $T = [- 1; 1] .$

B. $T = [- 7; 7] .$

C. $T = [- 13; 13] .$

D.

T = [- 17; 17] .

Xem đáp án

Ta có $y = 12 \sin x - 5 \cos x = 13 (\frac{12}{13} \sin x - \frac{5}{13} \cos x) .$

Đặt $\frac{12}{13} = \cos α \overset{}{\to} \frac{5}{13} = \sin α$ . Khi đó $y = 13 (\sin x \cos α - \sin α \cos x) = 13 \sin (x - α)$

$\overset{}{\to} - 13 \leq y \leq 13 \overset{}{\to} T = [- 13; 13] .$ Chọn C

Câu 175:

Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số

y = 4 \sin 2 x - 3 \cos 2 x .

A.

M = 3.

B.

M = 1.

C.

M = 5.

D.

M = 4.

Xem đáp án

Ta có $y = 4 \sin 2 x - 3 \cos 2 x = 5 (\frac{4}{5} \sin 2 x - \frac{3}{5} \cos 2 x)$ .

Đặt $\frac{4}{5} = \cos α \overset{}{\to} \frac{3}{5} = \sin α$ . Khi đó $y = 5 (\cos α \sin 2 x - \sin α \cos 2 x) = 5 \sin (2 x - α)$

$\overset{}{\to} - 5 \leq y \leq 5 \overset{}{\to} M = 5.$ Chọn C

Câu 176:

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = \sin^{2} x - 4 \sin x + 5

. Tính

P = M - 2 m^{2} .

A.

P = 1.

B.

P = 7.

C.

P = 8.

D. $P = 2.$

Xem đáp án

Ta có $y = \sin^{2} x - 4 \sin x + 5 = {(\sin x - 2)}^{2} + 1.$

Do $- 1 \leq \sin x \leq 1 \overset{}{\to} - 3 \leq \sin x - 2 \leq - 1 \overset{}{\to} 1 \leq {(\sin x - 2)}^{2} \leq 9$

$\overset{}{\to} 2 \leq {(\sin x - 2)}^{2} + 1 \leq 10 \overset{}{\to} \{\begin{cases} M = 10 \\ m = 2 \end{cases} P = M - 2 m^{2} = 2.$ Chọn D

Câu 177:

Hàm số $y = \cos^{2} x - \cos x$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A.1

B.2

C.3

D.4

Xem đáp án

Ta có $y = \cos^{2} x - \cos x = {(\cos x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} .$

Mà $- 1 \leq \cos x \leq 1 \overset{}{\to} - \frac{3}{2} \leq \cos x - \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} \overset{}{\to} 0 \leq {(\cos x - \frac{1}{2})}^{2} \leq \frac{9}{4}$

$\overset{}{\to} - \frac{1}{4} \leq {(\cos x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \leq 2 \overset{}{\to} - \frac{1}{4} \leq y \leq 2 \overset{y \in ℤ}{\to} y \in \{0; 1; 2\}$ nên có 3 giá trị thỏa mãn. Chọn C

Câu 178:

Hàm số $y = \cos^{2} x + 2 \sin x + 2$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_{0}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

x_{0} = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ .

B.

x_{0} = - \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ .

C.

x_{0} = π + k 2 π, k \in ℤ .

D.

x_{0} = k 2 π, k \in ℤ .

Xem đáp án

Ta có $y = \cos^{2} x + 2 \sin x + 2 = 1 - \sin^{2} x + 2 \sin x + 2$

$= - \sin^{2} x + 2 \sin x + 3 = - {(\sin x - 1)}^{2} + 4.$

Mà $- 1 \leq \sin x \leq 1 \overset{}{\to} - 2 \leq \sin x - 1 \leq 0 \overset{}{\to} 0 \leq {(\sin x - 1)}^{2} \leq 4$

$\overset{}{\to} 0 \geq - {(\sin x - 1)}^{2} \geq - 4 \overset{}{\to} 4 \geq - {(\sin x - 1)}^{2} + 4 \geq 0$ .

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0.

Dấu $'' =''$ xảy ra $\Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) .$ Chọn B

Câu 179:

Tìm giá trị lớn nhất M và nhất m của hàm số

y = \sin^{4} x - 2 \cos^{2} x + 1

A.

M = 2, m = - 2.

B.

M = 1, m = 0.

C.

M = 4, m = - 1.

D.

M = 2, m = - 1.

Xem đáp án

Ta có $y = \sin^{4} x - 2 \cos^{2} x + 1 = \sin^{4} x - 2 (1 - \sin^{2} x) + 1 = {(\sin^{2} x + 1)}^{2} - 2.$

Do $0 \leq \sin^{2} x \leq 1 \overset{}{\to} 1 \leq \sin^{2} x + 1 \leq 2 \overset{}{\to} 1 \leq {(\sin^{2} x + 1)}^{2} \leq 4$

$\overset{}{\to} - 1 \leq {(\sin^{2} x + 1)}^{2} - 2 \leq 2 \overset{}{\to} \{\begin{cases} M = 2 \\ m = - 1 \end{cases} .$ Chọn D

Câu 180:

Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y = 4 \sin^{4} x - \cos 4 x$ .

A. $m = - 3.$

B. $m = - 1.$

C. $m = 3.$

D.

m = - 5.

Xem đáp án

Ta có $y = 4 \sin^{4} x - \cos 4 x = 4. {(\frac{1 - \cos 2 x}{2})}^{2} - (2 \cos^{2} 2 x - 1)$

$= - \cos^{2} 2 x - 2 \cos 2 x + 2 = - {(\cos 2 x + 1)}^{2} + 3 \leq 3.$

Mà $- 1 \leq \cos 2 x \leq 1 \overset{}{\to} 0 \leq \cos 2 x + 1 \leq 2 \overset{}{\to} 0 \leq {(\cos 2 x + 1)}^{2} \leq 4$

$\overset{}{\to} - 1 \leq - {(\cos 2 x + 1)}^{2} + 3 \leq 3 \overset{}{\to} m = - 1.$ Chọn B

Câu 181:

Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số

y = \sqrt{7 - 3 \cos^{2} x} .

A.

M = \sqrt{10}, m = 2.

B.

M = \sqrt{7}, m = 2.

C.

M = \sqrt{10}, m = \sqrt{7} .

D.

M = 0, m = 1.

Xem đáp án

Ta có $- 1 \leq \cos x \leq 1 \overset{}{\to} 0 \leq \cos^{2} x \leq 1$

$\overset{}{\to} 4 \leq 7 - 3 \cos^{2} x \leq 7 \overset{}{\to} 2 \leq \sqrt{7 - 3 \cos^{2} x} \leq \sqrt{7}$ . Chọn B

Câu 182:

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được cho bởi một hàm số $y = 4 \sin [\frac{π}{178} (t - 60)] + 10$ với $t \in ℤ$ và $0 < t \leq 365$ . Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

A. 28 tháng 5.

B. 29 tháng 5.

C. 30 tháng 5.

D. 31 tháng 5

Xem đáp án

Vì $\sin [\frac{π}{178} (t - 60)] \leq 1 \overset{}{\to} y = 4 \sin [\frac{π}{178} (t - 60)] + 10 \leq 14.$

Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất $\Leftrightarrow y = 14 \Leftrightarrow \sin [\frac{π}{178} (t - 60)] = 1$

$\Leftrightarrow \frac{π}{178} (t - 60) = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow t = 149 + 356 k .$

Do $0 < t \leq 365 \overset{}{\to} 0 < 149 + 356 k \leq 365 \Leftrightarrow - \frac{149}{356} < k \leq \frac{54}{89} \overset{k \in ℤ}{\to} k = 0$ .

Với $k = 0 \overset{}{\to} t = 149$ rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2017 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).

Chọn B

Câu 183:

Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức $h = 3 \cos (\frac{π t}{8} + \frac{π}{4}) + 12.$ Mực nước của kênh cao nhất khi:

A.13 (giờ).

B.14 (giờ).

C.15 (giờ).

D.16 (giờ).

Xem đáp án

Mực nước của kênh cao nhất khi h lớn nhất

$\Leftrightarrow \cos (\frac{π t}{8} + \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow \frac{π t}{8} + \frac{π}{4} = k 2 π$ với $0 < t \leq 24$ và $k \in ℤ .$

Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn. Chọn B

Vì với $t = 14 \overset{}{\to} \Leftrightarrow \frac{π t}{8} + \frac{π}{4} = 2 π$ (đúng với $k = 1 \in ℤ$ )