141 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác có đáp án (Mới nhất)

Câu 1:

Phương trình $2 sin x - 1 = 0$ có tập nghiệm là

A.

S = \{\frac{π}{6} + k 2 π; \frac{5 π}{6} + k 2 π, k \in ℤ\}

^{B. $S = \{\frac{π}{3} + k 2 π; - \frac{2 π}{3} + k 2 π, k \in ℤ\}$ .}

C.

S = \{\frac{π}{6} + k 2 π; - \frac{π}{6} + k 2 π, k \in ℤ\}

.

D. $S = \{\frac{1}{2} + k 2 π, k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Ta có:

2 sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow sin x = sin \frac{π}{6} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} k \in ℤ

Chọn A

Câu 2:

Phương trình

cot x + \sqrt{3} = 0

có các nghiệm là

A. $x = \frac{π}{3} + k .2 π (k \in ℤ)$ .

B.

x = \frac{π}{6} + k . π (k \in ℤ)

.

C.

x = - \frac{π}{6} + k .2 π (k \in ℤ)

.

D.

x = - \frac{π}{6} + k . π (k \in ℤ)

.

Xem đáp án

Ta có: $cot x + \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow cot x = - \sqrt{3} \Leftrightarrow cot x = cot (- \frac{π}{6}) \Leftrightarrow x = - \frac{π}{6} + k . π (k \in ℤ)$ .

Chọn D

Câu 3:

Phương trình $sin x = cos x$ có số nghiệm thuộc đoạn $[- π; π]$ là

A. $3$ .

B. $5$

C. $2$

D. $4$

Xem đáp án

Ta có $sin x = cos x \Leftrightarrow tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π$ , ( $k \in ℤ$ ).

Theo đề $x \in [- π; π] \Leftrightarrow - π \leq \frac{π}{4} + k π \leq π \Leftrightarrow - \frac{5}{4} \leq k \leq \frac{3}{4}$ .

Mà $k \in ℤ \Rightarrow k \in \{- 1; 0\}$ .

Vậy có nghiệm thỏa yêu cầu bài toán

Chọn C

Câu 4:

Số nghiệm trên đoạn

[0; 2 π]

của phương trình

sin 2 x - 2 cos x = 0

là

A.4

B.3

C.2

D.1

Xem đáp án

Ta có: $sin 2 x - 2 cos x = 0 \Leftrightarrow 2 sin x cos x - 2 cos x = 0 \Leftrightarrow 2 cos x (sin x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} cos x = 0 \\ sin x = 1 \end{array} \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π$ , $k \in ℤ$ .

Nghiệm trên đoạn $[0; 2 π]$ ứng với $0 \leq \frac{π}{2} + k π \leq 2 π \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq k \leq \frac{3}{2}$ .

Vì $k \in ℤ$ nên chọn $k = 0$ , k=1 .

Vậy trên đoạn $[0; 2 π]$ phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Chọn C

Câu 5:

Nghiệm của phương trình lượng giác: $2 {sin}^{2} x - 3 sin x + 1 = 0$ thỏa điều kiện $0 \leq x < \frac{π}{2}$ là

A. $x = \frac{π}{6}$ .

B. $x = \frac{π}{2}$ .

C.

x = \frac{π}{3}

D. $x = \frac{5 π}{6}$

Xem đáp án

$2 {sin}^{2} x - 3 sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} sin x = 1 \\ sin x = \frac{1}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array}; k \in ℤ .$

Vì $0 \leq x < \frac{π}{2}$ nên chỉ có nghiệm $x = \frac{π}{6}$ .

Chọn A

Câu 6:

Tập nghiệm S của phương trình ${cos}^{2} x - 3 cos x = 0$ là

A. $S = \{- \frac{π}{2}\}$ .

B. $S = \{\frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\}$

C. $S = \{\frac{π}{2}\}$

D. $S = \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$

Xem đáp án

Chọn D

${cos}^{2} x - 3 cos x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} cos x = 0 \\ cos x = 3 (L) \end{array} \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ$

Câu 7:

Tập nghiệm của phương trình ${sin}^{2} x - 5 sin x + 4 = 0$ là

A. $S = \{\frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\}$ .

B. $S = \{k 2 π, k \in ℤ\}$

C. $S = \{k π, k \in ℤ\}$

D. $S = \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$

Xem đáp án

Ta có: ${sin}^{2} x - 5 sin x + 4 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} sin x = 1 \\ sin x = 4 (L) \end{array}$ .

$sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Chọn A

Câu 8:

Tổng các nghiệm thuộc khoảng $(0; π)$ của phương trình $2 {cos}^{2} 5 x + 3 cos 5 x - 5 = 0$ là

A. $\frac{π}{5}$ .

B. $\frac{6 π}{5}$ .

C. $\frac{3 π}{5}$ .

D.

\frac{9 π}{5}

Xem đáp án

$2 {cos}^{2} 5 x + 3 cos 5 x - 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} cos 5 x = 1 \\ cos 5 x = - \frac{5}{2} (L) \end{array} \Leftrightarrow 5 x = k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{k 2 π}{5}; k \in ℤ$

Vì x thuộc khoảng $(0; π)$ nên có 2 nghiệm thỏa mãn là $x = \frac{2 π}{5}$ ; $x = \frac{4 π}{5}$

Vậy tổng các nghiệm bằng $\frac{6 π}{5}$ .

Chọn B

Câu 9:

Nghiệm của phương trình $cos x + sin x = 1$ là

A. $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k π \\ x = k π \end{array}$ .

B.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = k 2 π \end{array}

C.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = k 2 π \end{array}

D. $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = k π \end{array}$

Xem đáp án

Ta có: $cos x + sin x = 1 \Leftrightarrow \sqrt{2} cos (x - \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = k 2 π \end{array}, k \in ℤ$

Chọn C

Câu 10:

Nghiệm của phương trình $sin x + \sqrt{3} cos x = \sqrt{2}$ là

A. $x = - \frac{π}{4} + k 2 π; x = \frac{3 π}{4} + k 2 π$ .

B. $x = - \frac{π}{12} + k 2 π; x = \frac{5 π}{12} + k 2 π$ .

C.

x = \frac{π}{3} + k 2 π; x = \frac{2 π}{3} + k 2 π

D. $x = - \frac{π}{4} + k 2 π; x = - \frac{5 π}{4} + k 2 π$

Xem đáp án

Ta có

sin x + \sqrt{3} cos x = \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow cos \frac{π}{3} sin x + sin \frac{π}{3} cos x = sin \frac{π}{4}

\Leftrightarrow sin (x + \frac{π}{3}) = sin \frac{π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{3} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{12} + k 2 π \\ x + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{12} + k 2 π \end{array}

,

(k \in ℤ)

Chọn B

Câu 11:

Tìm số nghiệm $x \in [- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2})$ của phương trình $\sqrt{3} sin x = cos (\frac{3 π}{2} - 2 x)$ ?

A.4

B.3

C.1

D.2

Xem đáp án

Ta có:

A. $\begin{array}{l} \sqrt{3} sin x = cos (\frac{3 π}{2} - 2 x) \Leftrightarrow \sqrt{3} sin x + sin 2 x = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3} sin x + 2 sin x cos x = 0 \\ \Leftrightarrow sin x (\sqrt{3} + 2 cos x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} sin x = 0 \\ cos x = cos (\frac{5 π}{6}) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \\ x = - \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ . \end{array}$

+ Ta có:

B. $x = k π \in [- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2}) \Leftrightarrow - \frac{3 π}{2} \leq k π < - \frac{π}{2} \Leftrightarrow - \frac{3}{2} \leq k < - \frac{1}{2} \Leftrightarrow k = - 1 (d o k \in ℤ) .$

C. $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \in [- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2}) \Leftrightarrow - \frac{3 π}{2} \leq \frac{5 π}{6} + k 2 π < - \frac{π}{2} \Leftrightarrow - \frac{14}{12} \leq k < - \frac{8}{12} \Leftrightarrow k = - 1 (d o k \in ℤ) .$

D. $x = - \frac{5 π}{6} + k 2 π \in [- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2}) \Leftrightarrow - \frac{3 π}{2} \leq - \frac{5 π}{6} + k 2 π < - \frac{π}{2} \Leftrightarrow - \frac{4}{12} \leq k < \frac{2}{12} \Leftrightarrow k = 0 (d o k \in ℤ) .$

Vậy phương trình $\sqrt{3} sin x = cos (\frac{3 π}{2} - 2 x)$ có 3 nghiệm $x \in [- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2})$ .

Chọn B

Câu 12:

Điều kiện để phương trình: $3 sinx + mcosx = 5$ vô nghiệm là

A. $[\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array}$ .

B. $m > 4$ .

C.

m < - 4

D. $- 4 < m < 4$ .

Xem đáp án

Phương trình $3 sin x + m cos x = 5$ vô nghiệm khi và chỉ khi $3^{2} + m^{2} < 5^{2} \Leftrightarrow m^{2} < 16 \Leftrightarrow - 4 < m < 4.$

Chọn D

Câu 13:

Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình $(m + 1) sinx - 3 cos x = m + 2$ có nghiệm là

A. $(3; + \infty)$ .

B. $(- \infty; 3)$ .

C. $[3; + \infty)$ .

D. $(- \infty; 3]$

Xem đáp án

Phương trình có nghiệm khi ${(m + 1)}^{2} + 3^{2} \geq {(m + 2)}^{2} \Leftrightarrow - 2 m \geq - 6 \Leftrightarrow m \leq 3$ .

Chọn D

Câu 14:

Điều kiện của m để phương trình $m sin x - 3 cos x = 5$ có nghiệm là.

A. $m \geq \sqrt{34}$ .

B. $- 4 \leq m \leq 4$ .

C. $[\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array}$

D. $m \geq 4$

Xem đáp án

Điều kiện có nghiệm của phương trình là: $m sin x - 3 cos x = 5$ là $m^{2} + 9 \geq 25 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array}$

Chọn C

Câu 15:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $2 s i n^{2} x + m s i n 2 x = 2 m$ vô nghiệm?

A. $[\begin{array}{l} m \leq 0 \\ m \geq \frac{4}{3} \end{array}$ .

B. $0 \leq m \leq \frac{4}{3}$ .

C. $0 < m < \frac{4}{3}$ .

D. $[\begin{array}{l} m < 0 \\ m > \frac{4}{3} \end{array}$

Xem đáp án

Ta có: $2 s i n^{2} x + m s i n 2 x = 2 m \Leftrightarrow m s i n 2 x - c o s 2 x = 2 m - 1$

Điều kiện phương trình (1) vô nghiệm là: $m^{2} + 1 〈{(2 m - 1)}^{2} \Leftrightarrow 3 m^{2} - 4 m〉 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < 0 \\ m > \frac{4}{3} \end{array}$ .

Vậy với $[\begin{array}{l} m < 0 \\ m > \frac{4}{3} \end{array}$ thì phương trình trên vô nghiệm.

Chọn D

Câu 16:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[0; 10]$ để phương trình $(m + 1) sin x - cos x = 1 - m$ có nghiệm.

A.21.

B. 18.

C. 20.

D.11

Xem đáp án

Phương trình $(m + 1) sin x - cos x = 1 - m$ có nghiệm $\Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} + {(- 1)}^{2} \geq {(1 - m)}^{2} \Leftrightarrow m \geq - \frac{1}{4}$

Vì m nhận giá trị nguyên thuộc đoạn $[0; 10]$ nên có 11 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D

Câu 17:

Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:

A. $\sqrt{3} \sin x = 2$ .

B. $\frac{1}{4} \cos 4 x = \frac{1}{2}$

C. $2 \sin x + 3 \cos x = 1$

D. $\cot^{2} x - \cot x + 5 = 0$

Xem đáp án

Chọn C

Phương trình $2 \sin x + 3 \cos x = 1$ có $2^{2} + 3^{2} \geq 1^{2}$ . Vậy phương trình $2 \sin x + 3 \cos x = 1$ có nghiệm.

Câu 18:

Tìm nghiệm của phương trình $2 \sin x - 3 = 0$ .

A. $x \in \emptyset$ .

B.

[\begin{array}{l} x = \arcsin (\frac{3}{2}) + k 2 π \\ x = π - \arcsin (\frac{3}{2}) + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)

C.

[\begin{array}{l} x = \arcsin (\frac{3}{2}) + k 2 π \\ x = - \arcsin (\frac{3}{2}) + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)

D. $x \in ℝ$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $2 \sin x - 3 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{3}{2} > 1$ nên phương trình vô nghiệm.

Câu 19:

Nghiệm của phương trình $\sin^{2} x - 4 \sin x + 3 = 0$ là

A.

x = - \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ .

B.

x = π + k 2 π, k \in ℤ .

C. $x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

D. $x = k 2 π, k \in ℤ$

Xem đáp án

Chọn C

$\sin^{2} x - 4 \sin x + 3 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = 1 \\ \sin x = 3 \end{array}$ .

Với $\sin x = 1$ $\Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Với $\sin x = 3$ phương trình vô nghiệm.

Câu 20:

Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. $\tan x = 3$ .

B. $\sin x + 3 = 0$

C.

3 \sin x - 2 = 0

D. $2 \cos^{2} x - \cos x - 1 = 0$ .

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $- 1 \leq \sin x \leq 1$ nên phương trình $\sin x + 3 = 0 \Leftrightarrow \sin x = - 3$ vô nghiệm.

Câu 21:

Giải phương trình $3 \sin^{2} x - 2 \cos x + 2 = 0$ .

A.

x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ .

B. $x = k π, k \in ℤ$ .

C.

x = k 2 π, k \in ℤ .

D. $x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $3 \sin^{2} x - 2 \cos x + 2 = 0$ $\Leftrightarrow 3 \cos^{2} x + 2 \cos x - 5 = 0$ $\Rightarrow \cos x = 1$ $\Leftrightarrow x = k 2 π, k \in ℤ$ .

Câu 22:

Nghiệm của phương trình lượng giác $\sin^{2} x - 2 \sin x = 0$ có nghiệm là:

A.

x = k 2 π

B. $x = k π$ .

C. $x = \frac{π}{2} + k π$ .

D. $x = \frac{π}{2} + k 2 π$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\sin^{2} x - 2 \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x (\sin x - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = 0 \\ \sin x = 2 \end{array} .$

Vì $- 1 \leq \sin x \leq 1$ nên chỉ có $\sin x = 0$ thỏa mãn. Vậy ta có $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π,$ $(k \in ℤ) .$

Câu 23:

Nghiệm của phương trình $2 \sin^{2} x - 3 \sin x + 1 = 0$ thỏa điều kiện: $0 \leq x < \frac{π}{2}$ .

A. $x = \frac{π}{6}$ .

B. $x = \frac{π}{4}$ .

C. $x = \frac{π}{2}$ .

D. $x = - \frac{π}{2}$ .

Xem đáp án

Chọn A

$2 \sin^{2} x - 3 \sin x + 1 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = 1 \\ \sin x = \frac{1}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

Vì $0 \leq x < \frac{π}{2}$ nên nghiệm của phương trình là $x = \frac{π}{6}$ .

Câu 24:

Nghiệm dương bé nhất của phương trình: $2 \sin^{2} x + 5 \sin x - 3 = 0$ là:

A.

x = \frac{π}{6}

B.

x = \frac{π}{2}

C.

x = \frac{3 π}{2}

D. $x = \frac{5 π}{6}$

Xem đáp án

Chọn A

$2 \sin^{2} x + 5 \sin x - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = - 3 \\ \sin x = \frac{1}{2} \end{array}$ $\Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array}$ .

Câu 25:

Phương trình $\cos 2 x + 4 \sin x + 5 = 0$ có bao nhiêu nghiệm trên khoảng $(0; 10 π)$ ?

A.5

B.4

C.2

D.3

Xem đáp án

Chọn A

PT đã cho $\Leftrightarrow - 2 \sin^{2} x + 4 \sin x + 6 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = - 1 \\ \sin x = 3 (V N) \end{array}$ $\Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π, (k \in ℤ)$ .

Theo đề: $x \in (0; 10 π)$ $\Rightarrow 0 < - \frac{π}{2} + k 2 π < 10 π$ $\Leftrightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{21}{4}$ .

Vì $k \in ℤ$ nên $k \in \{1; 2; 3; 4; 5\}$ . Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng $(0; 10 π)$ .

Câu 26:

Phương trình lượng giác $\cos^{2} x + 2 \cos x - 3 = 0$ có nghiệm là:

A.

x = k 2 π .

B. $x = 0$ .

C. $x = \frac{π}{2} + k 2 π$ .

D. Vô nghiệm.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\cos^{2} x + 2 \cos x - 3 = 0.$ Đặt $\cos x = t$ với điều kiện $- 1 \leq t \leq 1,$ ta được phương trình bậc hai theo t là $t^{2} + 2 t - 3 = 0.$

Phương trình $(*)$ có hai nghiệm $t_{1} = 1$ và $t_{2} = - 3$ nhưng chỉ có $t_{1}$ thỏa mãn điều kiện. Vậy ta có $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k 2 π,$ $(k \in ℤ) .$

Câu 27:

Cho phương trình: $\cos 2 x + \sin x - 1 = 0$ $(*)$ . Bằng cách đặt $t = \sin x$ $(- 1 \leq t \leq 1)$ thì phương trình $(*)$ trở thành phương trình nào sau đây?

A.

- 2 t^{2} + t = 0 .

B.

t^{2} + t - 2 = 0 .

C.

- 2 t^{2} + t - 2 = 0 .

D. $- t^{2} + t = 0$

Xem đáp án

Chọn A

$\cos 2 x + \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow 1 - 2 \sin^{2} x + \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow - 2 \sin^{2} x + \sin x = 0 \Rightarrow - 2 t^{2} + t = 0$ .

Câu 28:

Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn $[0; 10 π]$ của phương trình $\sin^{2} 2 x + 3 \sin 2 x + 2 = 0$ .

A.

\frac{105 π}{2} .

B.

S . A B C D .

C. $\frac{297 π}{4}$ .

D. $\frac{299 π}{4}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $\sin^{2} 2 x + 3 \sin 2 x + 2 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin 2 x = - 1 \\ \sin 2 x = - 2 (l o a ï i) \end{array}$ $\Leftrightarrow \sin 2 x = - 1$ $\Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + k π$ , $k \in ℤ$ .

Theo đề bài: $0 \leq - \frac{π}{4} + k π \leq 10 π$ $\Leftrightarrow \frac{1}{4} \leq k \leq \frac{41}{4}$ $\Rightarrow k = 1, 2, ..., 10$

Vậy tổng các nghiệm là: $S = \frac{3 π}{4} + (\frac{3 π}{4} + π) + ... + (\frac{3 π}{4} + 9 π)$ $= \frac{105 π}{2}$ .

Câu 29:

Số nghiệm của phương trình $2 \sin^{2} 2 x + \cos 2 x + 1 = 0$ trong $[0; 2018 π]$ là

A.1009

B.1008

C.2018

D.2017

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $2 \sin^{2} 2 x + \cos 2 x + 1 = 0$ $\Leftrightarrow 2 (1 - \cos^{2} 2 x) + \cos 2 x + 1 = 0$ $\Leftrightarrow 2 \cos^{2} 2 x - \cos 2 x - 3 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \cos 2 x = - 1 \\ \cos 2 x = \frac{3}{2} (k o t / m) \end{matrix}$ $\Rightarrow \cos 2 x = - 1$ $\Leftrightarrow 2 x = π + k 2 π (k \in Z)$ $\Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π$

Để $x \in [0; 2018 π]$ $\Rightarrow 0 \leq \frac{π}{2} + k π \leq 2018 π, k \in Z$ $\Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq k \leq 2018 - \frac{1}{2}, k \in Z$ .

$\Rightarrow k \in [0; 2017], k \in Z$

Khi đó phương trình có 2018 nghiệm.

Vậy chọn đáp án C

Câu 30:

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác $\cos^{2} x - \cos x = 0$ thỏa mãn điều kiện $0 < x < π$ .

A. $x = \frac{π}{2} .$

B.x=0

C. $x = π .$

D. $x = \frac{π}{4} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $\cos^{2} x - \cos x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \cos x = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = k 2 π \end{array}$ .

Với $x = \frac{π}{2} + k π$ , do $0 < x < π$ nên ta được $x = \frac{π}{2}$ .

Với $x = k 2 π$ , do $0 < x < π$ nên không có x nào thỏa mãn.

Câu 31:

Nghiệm của phương trình $3 \cos^{2} x = - 8 \cos x - 5$ là

A. $x = k π$ .

B. $x = π + k 2 π$ .

C. $x = k 2 π$ .

D. $x = \pm \frac{π}{2} + k 2 π$

Xem đáp án

Chọn B

$3 \cos^{2} x = - 8 \cos x - 5$ $\Leftrightarrow 3 \cos^{2} x + 8 \cos x + 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = - 1 \\ \cos x = - \frac{5}{3} < - 1 \end{array} \Leftrightarrow x = π + k 2 π (k \in ℤ)$ .

Câu 32:

Giải phương trình $2 s i n^{2} x + \sqrt{3} s i n 2 x = 3$

A.

x = - \frac{π}{3} + k π

B.

x = \frac{π}{3} + k π

C.

x = \frac{2 π}{3} + k π

D. $x = \frac{5 π}{3} + k π$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $2 s i n^{2} x + \sqrt{3} s i n 2 x = 3$ $\Leftrightarrow 1 - c o s 2 x + \sqrt{3} s i n 2 x = 3$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} s i n 2 x - c o s 2 x = 2$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} s i n 2 x - \frac{1}{2} c o s 2 x = 1$

$\Leftrightarrow s i n (2 x - \frac{π}{6}) = 1$ $\Leftrightarrow 2 x - \frac{π}{6} = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{π}{3} + k π$ .

Câu 33:

Giải phương trình $\sin^{2} x + \sin^{2} x \tan^{2} x = 3$ .

A. $x = \pm \frac{π}{6} + k π$ .

B.

x = \pm \frac{π}{6} + k 2 π

C. $x = \pm \frac{π}{3} + k π$ .

D. $x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π$

Xem đáp án

Chọn C

ĐK: $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π$ .

$\sin^{2} x + \sin^{2} x \tan^{2} x = 3 \Leftrightarrow \frac{\sin^{4} x + \sin^{2} x \cos^{2} x}{\cos^{2} x} = 3 \Leftrightarrow \sin^{2} x (\sin^{2} x + \cos^{2} x) = 3 \cos^{2} x$

$\Leftrightarrow \tan^{2} x = 3 \Leftrightarrow \tan x = \pm \sqrt{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{3} + k π$ (tm).

Câu 34:

Giải phương trình $4 (\sin^{4} x + \cos^{4} x) = 5 \cos 2 x .$

A. $x = \pm \frac{π}{6} + k π$ .

B.

x = \pm \frac{π}{24} + \frac{k π}{2}

C.

x = \pm \frac{π}{12} + \frac{k π}{2}

D. $x = \pm \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}$

Xem đáp án

Chọn A

$4 (\sin^{4} x + \cos^{4} x) = 5 \cos 2 x \Leftrightarrow 4 (1 - 2 \sin^{2} x \cos^{2} x) = 5 \cos 2 x$ $\Leftrightarrow 4 - 2 \sin^{2} 2 x = 5 \cos 2 x \Leftrightarrow 4 - 2 (1 - \cos^{2} 2 x) = 5 \cos 2 x \Leftrightarrow 2 \cos^{2} 2 x - 5 \cos 2 x + 2 = 0$

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos 2 x = \frac{1}{2} \\ \cos 2 x = 2 (l) \end{array} \Leftrightarrow \cos 2 x = \cos \frac{π}{3} \Leftrightarrow 2 x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π \Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{6} + k π

.

Câu 35:

Giải phương trình $\cos \frac{4 x}{3} = \cos^{2} x$ .

A.

[\begin{array}{l} x = k 3 π \\ x = \pm \frac{π}{4} + k 3 π \\ x = \pm \frac{5 π}{4} + k 3 π \end{array} .

B. $[\begin{array}{l} x = k π \\ x = \pm \frac{π}{4} + k π \\ x = \pm \frac{5 π}{4} + k π \end{array}$ .

C.

[\begin{array}{l} x = k 3 π \\ x = \pm \frac{π}{4} + k 3 π \end{array}

D.

[\begin{array}{l} x = k 3 π \\ x = \pm \frac{5 π}{4} + k 3 π \end{array}

Xem đáp án

Chọn A

$\cos \frac{4 x}{3} = \cos^{2} x \Leftrightarrow \cos \frac{4 x}{3} = \frac{1 + \cos 2 x}{2} \Leftrightarrow 2 \cos 2. \frac{2 x}{3} = 1 + \cos 3. \frac{2 x}{3}$

$\Leftrightarrow 2 [2 \cos^{2} \frac{2 x}{3} - 1] = 1 + 4 \cos^{3} \frac{2 x}{3} - 3 \cos \frac{2 x}{3} \Leftrightarrow 4 \cos^{3} \frac{2 x}{3} - 4 \cos^{2} \frac{2 x}{3} - 3 \cos \frac{2 x}{3} + 3 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos \frac{2 x}{3} = 1 \\ \cos \frac{2 x}{3} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} [\begin{array}{l} \frac{2 x}{3} = k 2 π \\ \frac{2 x}{3} = \pm \frac{π}{6} + k 2 π \\ \frac{2 x}{3} = \pm \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow$ $[\begin{array}{l} x = k 3 π \\ x = \pm \frac{π}{4} + k 3 π \\ x = \pm \frac{5 π}{4} + k 3 π \end{array}$ .

Câu 36:

Nghiệm của phương trình: $\sin x + \cos x = 1$ là

A.

x = k 2 π

B.

[\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array}

C.

x = \frac{π}{4} + k 2 π

D.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} .

Xem đáp án

Chọn B

$\sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = 1$

$\Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x + \frac{π}{4} = π - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array}$ .

Câu 37:

Phương trình $2 \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin 2 x = 3$ có nghiệm là

A. $x = \frac{π}{3} + k π$ .

B.

x = \frac{2 π}{3} + k π .

C.

x = \frac{4 π}{3} + k π

D.

x = \frac{5 π}{3} + k π

Xem đáp án

Chọn A

Phương trình tương đương $\sqrt{3} \sin 2 x - \cos 2 x = 2$

$\Leftrightarrow \sin (2 x - \frac{π}{6}) = 1 \Leftrightarrow 2 x - \frac{π}{6} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{3} + k π$

Câu 38:

Điều kiện có nghiệm của pt $a . \sin 5 x + b . \cos 5 x = c$ là

A.

a^{2} + b^{2} \geq c^{2}

B. $a^{2} + b^{2} \leq c^{2}$ .

C. $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ .

D. $a^{2} + b^{2} < c^{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Áp dụng công thức điều kiện để phương trình bậc nhất với sin và cos có nghiệm

Câu 39:

Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:

A. $\sqrt{3} \sin x = 2$ .

B. $\frac{1}{4} \cos 4 x = \frac{1}{2}$

C.

2 \sin x + 3 \cos x = 1

D.

\cot^{2} x - \cot x + 5 = 0

Xem đáp án

Chọn C

Phương trình $2 \sin x + 3 \cos x = 1$ có $2^{2} + 3^{2} \geq 1^{2}$ . Vậy phương trình $2 \sin x + 3 \cos x = 1$ có nghiệm.

Câu 40:

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $5 \sin x - 12 \cos x = m$ có nghiệm?

A.13

B. Vô số.

C. 26.

D.27 .

Xem đáp án

Chọn D

Phương trình $5 \sin x - 12 \cos x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $5^{2} + {(- 12)}^{2} \geq m^{2}$ $\Leftrightarrow$ $m^{2} \leq 169$ .

Suy ra có 27 số nguyên m để phương trình $5 \sin x - 12 \cos x = m$ có nghiệm.

Câu 41:

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y = s inx + \sin (x + \frac{π}{3})$ bằng a và b. Khi đó $S = a + b + a b$ có giá trị bằng

A.

\sqrt{3}

B.3

C.-3

D. $- \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $y = s inx + \frac{1}{2} s inx + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{3}{2} s inx + \frac{\sqrt{3}}{2} c o s x$ .

Gọi $y_{0}$ là một giá trị của hàm số khi đó phương trình $y_{0} = \frac{3}{2} s inx + \frac{\sqrt{3}}{2} c o s x$ có nghiệm khi và chỉ khi ${y_{0}}^{2} \leq \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = \frac{12}{4} \Leftrightarrow - \sqrt{3} \leq y_{0} \leq \sqrt{3}$ .

Suy ra $S = a + b + a b = - 3$ Vậy $S = a + b + a b = - 3$

Câu 42:

Cho phương trình $2 m \sin x \cos x + 4 \cos^{2} x = m + 5$ , với m là một phần tử của tập hợp $E = \{- 3; - 2; - 1; 0; 1; 2\}$ . Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A.3 .

B.2.

C.6.

D.4.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $2 m \sin x \cos x + 4 \cos^{2} x = m + 5$ $\Leftrightarrow m \sin 2 x + 4 \frac{1 + \cos 2 x}{2} = m + 5$

$\Leftrightarrow m \sin 2 x + 2 \cos 2 x = m + 3$ .

Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi $m^{2} + 4 \geq {(m + 3)}^{2} \Leftrightarrow m \leq \frac{- 5}{9}$ .

Vậy có ba giá trị của $m \in E$ để phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 43:

Số nghiệm thuộc $[- \frac{3 π}{2}; - π]$ của phương trình $\sqrt{3} \sin x = \cos (\frac{3 π}{2} - 2 x)$ là:

A.3.

B.1.

C.2.

D.0.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\sqrt{3} \sin x = \cos (\frac{3 π}{2} - 2 x)$ $\Leftrightarrow \sqrt{3} \sin x = \sin (2 x - π)$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} \sin x = - \sin 2 x \Leftrightarrow \sqrt{3} \sin x = - 2 \sin x \cos x$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = 0 \\ \cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{5 π}{6} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k π \\ x = \pm \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array}$ $(k \in ℤ) .$

Bài ra $x \in [- \frac{3 π}{2}; - π]$ nên $k π \in [- \frac{3 π}{2}; - π] \Rightarrow k = - 1 \Rightarrow x = - π$ .

$\frac{5 π}{6} + k 2 π \in [- \frac{3 π}{2}; - π] \Rightarrow k = - 1 \Rightarrow x = - \frac{7 π}{6}$ .

$- \frac{5 π}{6} + k 2 π \in [- \frac{3 π}{2}; - π] \Rightarrow k \in \emptyset \Rightarrow x \in \emptyset$ .

Do đó số nghiệm thuộc $[- \frac{3 π}{2}; - π]$ của phương trình đã cho là 2.

Câu 44:

Nghiệm của phương trình $\sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{2}$ là:

A.

x = - \frac{π}{12} + k 2 π; x = \frac{5 π}{12} + k 2 π .

B.

x = - \frac{π}{4} + k 2 π; x = \frac{3 π}{4} + k 2 π .

C.

x = \frac{π}{3} + k 2 π; x = \frac{2 π}{3} + k 2 π .

D.

x = - \frac{π}{4} + k 2 π; x = - \frac{5 π}{4} + k 2 π .

Xem đáp án

Chọn A

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{2}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \cos \frac{π}{3} . \sin x + \sin \frac{π}{3} . \cos x = \sin \frac{π}{4}$

$\Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{3} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{12} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{12} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$ .

Câu 45:

Tìm giá trị nguyên lớn nhất của a để phương trình $a \sin^{2} x + 2 \sin 2 x + 3 a \cos^{2} x = 2$ có nghiệm

A.

a = 3

B.

a = 2

C.

a = 1

D.

a = - 1

Xem đáp án

Chọn B

$a \sin^{2} x + 2 \sin 2 x + 3 a \cos^{2} x = 2$ $\Leftrightarrow a \frac{1 - \cos 2 x}{2} + 2 \sin 2 x + 3 a \frac{1 + \cos 2 x}{2} = 2$

$\Leftrightarrow a - a \cos 2 x + 4 \sin 2 x + 3 a + 3 a \cos 2 x = 4$ $\Leftrightarrow 4 \sin 2 x + 2 a \cos 2 x = 4 - 4 a$ $(*)$

$(*)$ có nghiệm khi $4^{2} + 4 a^{2} \geq {(4 - 4 a)}^{2}$ $\Leftrightarrow 12 a^{2} - 32 a \leq 0$ $\Leftrightarrow 12 a^{2} - 32 a \leq 0$ $\Leftrightarrow 0 \leq a \leq \frac{8}{3}$ .

Do $a \in ℤ$ và là số lớn nhất nên $a = 2$ .

Câu 46:

Nghiệm của phương trình

\cos x + \sin x = 1

là

A. $x = k 2 π; x = \frac{π}{2} + k 2 π$ .

B.

x = k π; x = - \frac{π}{2} + k 2 π .

C. $x = \frac{π}{6} + k π; x = k 2 π$ .

D.

x = \frac{π}{4} + k π; x = k π

Xem đáp án

Chọn A

$\cos x + \sin x = 1$ $\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$ .

Câu 47:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $m \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = \sqrt{5}$ có nghiệm.

A. $[\begin{array}{l} m \geq 2 \\ m \leq - 2 \end{array}$ .

B. $[\begin{array}{l} m > 2 \\ m < - 2 \end{array}$ .

C.

- 2 \leq m \leq 2

D. $- 2 < m < 2$ .

Xem đáp án

Chọn A

Điều kiện có nghiệm của phương trình là: $m^{2} + 1^{2} \geq {\sqrt{5}}^{2} \Leftrightarrow m^{2} \geq 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \geq 2 \\ m \leq - 2 \end{array}$ .

Câu 48:

Phương trình $(\sqrt{3} - 1) \sin x - (\sqrt{3} + 1) \cos x + \sqrt{3} - 1 = 0$ có các nghiệm là:.

A.

[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \end{array}

B.

[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = \frac{π}{3} + k 2 π \end{array}

C. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{π}{9} + k 2 π \end{array}$ .

D. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{8} + k 2 π \\ x = \frac{π}{12} + k 2 π \end{array}$

Xem đáp án

Chọn B

Phương trình tương đương $(\sqrt{3} \sin x - \cos x) - (\sin x - \sqrt{3} \cos x) + \sqrt{3} - 1 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 \sin (x - \frac{π}{6}) - 2 \sin (x + \frac{π}{3}) = 1 - \sqrt{3} \Leftrightarrow 4 \cos (x + \frac{π}{12}) . \sin (- \frac{π}{3}) = 1 - \sqrt{3} \\ \Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{12}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}} \Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{12}) = \cos (\frac{5 π}{12}) \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = \frac{π}{3} + k 2 π \end{array} \end{array}$

Câu 49:

Tìm số các giá trị nguyên của m để phương trình $m \cos x - (m + 2) \sin x + 2 m + 1 = 0$ có nghiệm.

A.0.

B.3.

C.Vô số.

D.1.

Xem đáp án

Chọn D

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

$m^{2} + {(m + 2)}^{2} \geq {(2 m + 1)}^{2}$ $\Leftrightarrow 2 m^{2} - 3 \leq 0$ $\Leftrightarrow - \frac{\sqrt{3}}{2} \leq m \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy có 1 giá trị nguyên.

Câu 50:

Nghiệm của phương trình

\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0

là

A. $x = - \frac{π}{6} + k π x$ .

B. $x = - \frac{π}{3} + k π$ .

C.

x = \frac{π}{3} + k π .

D. $x = \frac{π}{6} + k π$

Xem đáp án

Chọn A

$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} . \sin x + \frac{1}{2} . \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{6}) = 0$ $\Leftrightarrow x + \frac{π}{6} = k π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{6} + k π (k \in Z)$ .

Câu 51:

Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng $(0; π)$ của phương trình: $\sqrt{2} \cos 3 x = \sin x + \cos x$

A. $\frac{π}{2}$ .

B. $3 π$ .

C. $\frac{3 π}{2}$ .

D.

π

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\sqrt{2} \cos 3 x = \sin x + \cos x$ $\Leftrightarrow \cos 3 x = \cos (x - \frac{π}{4})$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{8} + k π \\ x = \frac{π}{16} + k \frac{π}{2} \end{array} (k \in ℤ)$ .

Vì $x \in (0; π)$ nên nhận $x = \frac{7 π}{8}$ , $x = \frac{π}{16}$ , $x = \frac{9 π}{16}$ .

Câu 52:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[- 10; 10]$ để phương trình $\sin (x - \frac{π}{3}) - \sqrt{3} \cos (x - \frac{π}{3}) = 2 m$ vô nghiệm.

A.21.

B.20.

C.18.

D.9.

Xem đáp án

Chọn C

Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow 1^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2} < {(2 m)}^{2} \Leftrightarrow 4 m^{2} - 4 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < - 1 \\ m > 1 \end{array}$ .

$\to_{m \in [- 10; 10]}^{m \in ℤ} m \in \{- 10; - 9; - 8; ...; - 2; 2; ...; 8; 9; 10\} \overset{}{\to}$ có 18 giá trị.

Câu 53:

Cho phương trình $m \sin x + 4 \cos x = 2 m - 5$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm?

A.4.

B.7.

C.6 .

D.5.

Xem đáp án

Chọn C

Điều kiện để phương trình $m \sin x + 4 \cos x = 2 m - 5$ $m^{2} + 16 \geq {(2 m - 5)}^{2} \Leftrightarrow 3 m^{2} - 20 m + 9 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{10 - \sqrt{73}}{3} \leq m \leq \frac{10 + \sqrt{73}}{3}$ có nghiệm là .

Vậy $m \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

Câu 54:

Phương trình: $3 \sin 3 x + \sqrt{3} \sin 9 x = 1 + 4 \sin^{3} 3 x$ có các nghiệm là:

A. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{6} + k \frac{2 π}{9} \\ x = \frac{7 π}{6} + k \frac{2 π}{9} \end{array}$ .

B. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{9} + k \frac{2 π}{9} \\ x = \frac{7 π}{9} + k \frac{2 π}{9} \end{array}$ .

C. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{12} + k \frac{2 π}{9} \\ x = \frac{7 π}{12} + k \frac{2 π}{9} \end{array}$ .

D.

[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{54} + k \frac{2 π}{9} \\ x = \frac{π}{18} + k \frac{2 π}{9} \end{array} .

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $3 \sin 3 x + \sqrt{3} \cos 9 x = 1 + 4 \sin^{3} 3 x \Leftrightarrow (3 \sin 3 x - 4 \sin^{3} 3 x) + \sqrt{3} \cos 9 x = 1$

$\Leftrightarrow \sin 9 x + \sqrt{3} \cos 9 x = 1 \Leftrightarrow \sin (9 x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 9 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{6} + k 2 π \\ 9 x + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{54} + \frac{k 2 π}{9} \\ x = \frac{π}{18} + \frac{k 2 π}{9} \end{array}$ .

Câu 55:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình $\sin \frac{x}{2} + (m - 1) . \cos \frac{x}{2} = \sqrt{5}$ vô nghiệm?

A. $m > 3$ hoặc

m < - 1

.

B. $- 1 \leq m \leq 3$ .

C. $m \geq 3$ hoặc

m \leq - 1

.

D. $- 1 < m < 3$ .

Xem đáp án

Chọn D

Phương trình $\sin \frac{x}{2} + (m - 1) . \cos \frac{x}{2} = \sqrt{5}$ vô nghiệm khi

$a^{2} + b^{2} < c^{2}$ $\Leftrightarrow 1 + {(m - 1)}^{2} < 5 \Leftrightarrow m^{2} - 2 m - 3 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 3$ .

Câu 56:

Hàm số $y = \frac{2 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x - \cos 2 x + 3}$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A.1.

B.2.

C.3.

D.4.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $y = \frac{2 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x - \cos 2 x + 3} \Leftrightarrow (y - 2) \sin 2 x - (y + 1) \cos 2 x = - 3 y .$ .

Điều kiện để phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow {(y - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} \geq {(- 3 y)}^{2} \Leftrightarrow 7 y^{2} + 2 y - 5 \leq 0$ .

\Leftrightarrow - 1 \leq y \leq \frac{5}{7} \overset{y \in ℤ}{\to} y \in \{- 1; 0\}

nên có 2 giá trị nguyên

Câu 57:

Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình $4 \sin x + (m - 4) \cos x - 2 m + 5 = 0$ có nghiệm là:

A.5.

B.6.

C.10.

D.3.

Xem đáp án

Chọn A

$4 \sin x + (m - 4) \cos x - 2 m + 5 = 0$ $\Leftrightarrow 4 \sin x + (m - 4) \cos x = 2 m - 5$ .

Phương trình có nghiệm khi $4^{2} + {(m - 4)}^{2} - {(2 m - 5)}^{2} \geq 0$ $\Leftrightarrow - 3 m^{2} + 12 m + 7 \geq 0$ $\Leftrightarrow \frac{6 - \sqrt{57}}{3} \leq m \leq \frac{6 + \sqrt{57}}{3}$

Vì $m \in ℤ$ nên $m \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ .

Vây tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm là .

Câu 58:

Tìm m để phương trình

m \sin x + 5 \cos x = m + 1

có nghiệm

A. $m \leq 12$ .

B. $m \leq 6$

C. $m \leq 24$ .

D. $m \leq 3$

Xem đáp án

Chọn A

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow m^{2} + 25 \geq {(m + 1)}^{2} \Leftrightarrow 2 m \leq 24 \Leftrightarrow m \leq 12$ .

Câu 59:

Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình $a \sin^{2} x + 2 \sin 2 x + 3 a \cos^{2} x = 2$ có nghiệm?

A.2.

B. $\frac{11}{3}$ .

C. 4.

D. $\frac{8}{3}$ .

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $a \sin^{2} x + 2 \sin 2 x + 3 a \cos^{2} x = 2$ $a \frac{1 - \cos 2 x}{2} + 2 \sin 2 x + 3 a \frac{1 + \cos 2 x}{2} = 2$

$\Leftrightarrow 4 \sin 2 x + 2 a \cos 2 x = 4 - 4 a (*)$ .

Phương trình có nghiệm $16 + 4 a^{2} \geq {(4 - 4 a)}^{2}$ $\Leftrightarrow 12 a^{2} - 32 a \leq 0$ $\Leftrightarrow 0 \leq a \leq \frac{8}{3}$ .

Câu 60:

Để phương trình $m \sin 2 x + c os2 x = 2$ có nghiệm thì m thỏa mãn

A.

m \leq 1.

B.

[\begin{array}{l} m \geq \sqrt{3} \\ m \leq - \sqrt{3} \end{array} .

C. $[\begin{array}{l} m \geq \sqrt{2} \\ m \leq - \sqrt{2} \end{array} .$

D. $m \geq 1.$

Xem đáp án

Chọn B

$\begin{array}{l} m \sin 2 x + c os2 x = 2 \\ \Leftrightarrow \frac{m}{\sqrt{m^{2} + 1}} \sin 2 x + \frac{1}{\sqrt{m^{2} + 1}} \cos 2 x = \frac{2}{\sqrt{m^{2} + 1}} \\ \Leftrightarrow \sin (2 x + α) = \frac{2}{\sqrt{m^{2} + 1}} \end{array}$

có nghiệm khi $\frac{2}{\sqrt{m^{2} + 1}} \leq 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \geq \sqrt{3} \\ m \leq - \sqrt{3} \end{array} .$

Câu 61:

Tìm $8 π$ để phương trình $2 \sin x + m \cos x = 1 - m$ có nghiệm $x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$

A.

- 1 \leq m \leq 3

B. $- \frac{3}{2} \leq m$ .

C. $1 \leq m \leq 3$ .

D. $m \leq \frac{3}{2}$ .

Xem đáp án

Chọn A

Đặt $t = \tan \frac{x}{2}$ , do $x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ suy ra $t \in [- 1; 1]$ .

Phương trình trở thành tìm m để phương trình $\frac{4 t}{1 + t^{2}} + m . \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} = 1 - m$ có nghiệm thuộc đoạn $[- 1; 1]$ .

Ta có $\frac{4 t}{1 + t^{2}} + m . \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} = 1 - m$ .

Hoành độ đỉnh là $t_{0} = 2$ loại. Ta có $f (- 1) = 3$ và $f (1) = - 1$ .

Suy ra $- 1 \leq f (t) \leq 3$ . Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 62:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $2 s i n^{2} x + m s i n 2 x = 2 m$ vô nghiệm?

A. $[\begin{array}{l} m \leq 0 \\ m \geq \frac{4}{3} \end{array}$ .

B. $0 \leq m \leq \frac{4}{3}$ .

C.

0 < m < \frac{4}{3}

D. $[\begin{array}{l} m < 0 \\ m > \frac{4}{3} \end{array}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $2 s i n^{2} x + m s i n 2 x = 2 m \Leftrightarrow m s i n 2 x - c o s 2 x = 2 m - 1$ $(1)$

Điều kiện phương trình $(1)$ vô nghiệm là: $m^{2} + 1 < {(2 m - 1)}^{2} \Leftrightarrow 3 m^{2} - 4 m > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < 0 \\ m > \frac{4}{3} \end{array}$ .

Vậy với $[\begin{array}{l} m < 0 \\ m > \frac{4}{3} \end{array}$ thì phương trình trên vô nghiệm.

Câu 63:

Điều kiện để phương trình $m . \sin x - 3 \cos x = 5$ có nghiệm là:

A. $m \geq 4$ .

B. $- 4 \leq m \leq 4$ .

C. $m \geq \sqrt{34}$ .

D. $[\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array}$ .

Xem đáp án

Chọn A

Điều kiện để phương trình $m . \sin x - 3 \cos x = 5$ có nghiệm là $3^{2} + m^{2} \geq 5^{2} \Leftrightarrow m^{2} \geq 16 \Leftrightarrow$ $[\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array}$ .

Câu 64:

Tìm m để phương trình $m = \frac{\cos x + 2 \sin x + 3}{2 \cos x - \sin x + 4}$ có nghiệm.

A.

- 2 \leq m \leq 0

B.

0 \leq m \leq 1

C.

\frac{2}{11} \leq m \leq 2

D. $- 2 \leq m \leq - 1$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $2 \cos x - s inx + 4 > 0, \forall x \in ℝ$ nên

$m = \frac{\cos x + 2 \sin x + 3}{2 \cos x - \sin x + 4} \Leftrightarrow \cos x + 2 \sin x + 3 = m (2 \cos x - \sin x + 4)$

$\Leftrightarrow (2 m - 1) cosx- (m + 2) s inx + 4 m - 3 = 0$ (1)

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi

${(2 m - 1)}^{2} + {(m + 2)}^{2} \geq {(4 m - 3)}^{2} \Leftrightarrow - 11 m^{2} + 24 m - 4 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2}{11} \leq m \leq 2$

Câu 65:

Để phương trình: $\sin^{2} x + 2 (m + 1) \sin x - 3 m (m - 2) = 0$ có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

A.

[\begin{array}{l} - \frac{1}{2} \leq m < \frac{1}{2} \\ 1 \leq m \leq 2 \end{array}

B. $[\begin{array}{l} - \frac{1}{3} \leq m \leq \frac{1}{3} \\ 1 \leq m \leq 3 \end{array}$ .

C. $[\begin{array}{l} - 2 \leq m \leq - 1 \\ 0 \leq m \leq 1 \end{array}$ .

Chọn B

Đặt

Để phương trình có nghiệm thì

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $t = \sin x$ $\Rightarrow t^{2} + 2 (m + 1) t - 3 m (m - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 3 m \\ t = m - 2 \end{array}$

Để phương trình có nghiệm thì $[\begin{array}{l} - 1 \leq - 3 m \leq 1 \\ - 1 \leq m - 2 \leq 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - \frac{1}{3} \leq m \leq \frac{1}{3} \\ 1 \leq m \leq 3 \end{array}$

Câu 66:

Cho phương trình: $\sin x \cos x - \sin x - \cos x + m = 0$ , trong đó m là tham số thựC. Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là

A. $- 2 \leq m \leq - \frac{1}{2} - \sqrt{2}$ .

B. $- \frac{1}{2} - \sqrt{2} \leq m \leq 1$

C. $1 \leq m \leq \frac{1}{2} + \sqrt{2}$ .

D. $- \frac{1}{2} + \sqrt{2} \leq m \leq 1$

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $\sin x + \cos x = t (|t| \leq \sqrt{2}) \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2}$ . Khi đó ta có phương trình

$\frac{t^{2} - 1}{2} - t + m = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 2 t + 2 m - 1 = 0 (*)$

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình $(*)$ có nghiệm

$t \in [- \sqrt{2}; \sqrt{2}] \Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ^{'} = 2 - 2 m > 0 \\ - \sqrt{2} < \frac{s}{2} = 1 < \sqrt{2} \\ f (- \sqrt{2}) = 1 + 2 \sqrt{2} + 2 m \geq 0 \\ f (\sqrt{2}) = 1 - 2 \sqrt{2} + 2 m \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq 1 \\ m \geq - \frac{1}{2} + \sqrt{2} \end{cases} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} + \sqrt{2} \leq m \leq 1.$

Câu 67:

Gọi S là tập nghiệm của phương trình

2 \cos x - \sqrt{3} = 0

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\frac{5 π}{6} \in S .$

B. $\frac{11 π}{6} \in S .$

C. $\frac{13 π}{6} \notin S .$

D. $- \frac{13 π}{6} \notin S .$

Xem đáp án

Lời giải. Ta có $2 \cos x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{π}{6} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{6} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Nhận thấy với nghiệm $x = - \frac{π}{6} + k 2 π \overset{k = 1}{\to} x = \frac{11 π}{6} \in S .$ Chọn B

Câu 68:

Hỏi

x = \frac{7 π}{3}

là một nghiệm của phương trình nào sau đây?

A.

2 \sin x - \sqrt{3} = 0.

B.

2 \sin x + \sqrt{3} = 0.

C.

2 \cos x - \sqrt{3} = 0.

D.

2 \cos x + \sqrt{3} = 0.

Xem đáp án

Với $x = \frac{7 π}{3}$ , suy ra $\{\begin{cases} \sin x = \sin \frac{7 π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos x = \cos \frac{7 π}{3} = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 \sin x - \sqrt{3} = 0 \\ 2 \cos x - 1 = 0 \end{cases}$ . Chọn A

Cách 2. Thử $x = \frac{7 π}{3}$ lần lượt vào từng phương trình.

Câu 69:

Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

2 \sin (4 x - \frac{π}{3}) - 1 = 0.

A.

x = \frac{π}{4} .

B.

x = \frac{7 π}{24} .

C.

x = \frac{π}{8} .

D.

x = \frac{π}{12} .

Xem đáp án

Ta có $2 \sin (4 x - \frac{π}{3}) - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin (4 x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin (4 x - \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{6}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 4 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{6} + k 2 π \\ 4 x - \frac{π}{3} = π - \frac{π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 4 x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ 4 x = \frac{7 π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{2} \\ x = \frac{7 π}{24} + \frac{k π}{2} \end{array} (k \in ℤ) .$

TH1. Với $x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{2} \overset{Cho > 0}{\to} \frac{π}{8} + \frac{k π}{2} > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{4} \to k_{\min} = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{8} .$

TH2. Với $x = \frac{7 π}{24} + \frac{k π}{2} \overset{Cho > 0}{\to} \frac{7 π}{24} + \frac{k π}{2} > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{7}{12} \to k_{\min} = 0 \Rightarrow x = \frac{7 π}{24} .$

So sánh hai nghiệm ta được $x = \frac{π}{8}$ là nghiệm dương nhỏ nhất. Chọn C

Câu 70:

Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?

A. 4.

B.3 .

C.2 .

D.1 .

Xem đáp án

$\tan (2 x - \frac{π}{3}) + \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \tan (2 x - \frac{π}{3}) = - \sqrt{3} \Leftrightarrow \tan (2 x - \frac{π}{3}) = \tan (- \frac{π}{3})$

$\Leftrightarrow 2 x - \frac{π}{3} = - \frac{π}{3} + k π \Leftrightarrow 2 x = k π \Leftrightarrow x = \frac{k π}{2} (k \in ℤ) .$

Quá dễ để nhận ra có 4 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là A, B, C, D. Chọn A

Cách trắc nghiệm. Ta có $x = \frac{k π}{2} = k \frac{2 π}{4} \overset{}{\to}$ có 4 vị trí biểu diễn.

Câu 71:

Hỏi trên đoạn

[0; 2018 π]

, phương trình

\sqrt{3} \cot x - 3 = 0

có bao nhiêu nghiệm?

A. 6339

B. 6340

C. 2017

D. 2018

Xem đáp án

Ta có $\cot x = \sqrt{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{π}{6} \Leftrightarrow x = \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ) .$

Theo giả thiết, ta có $0 \leq \frac{π}{6} + k π \leq 2018 π \overset{xap xi}{\to} - \frac{1}{6} \leq k \leq 2017, 833$

$3 \overset{k \in ℤ}{\to} k \in \{0; 1; ...; 2017\}$ . Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2018 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D

Câu 72:

Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình

2 \cos^{2} x = 1

?

A.

\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} .

B.

2 \sin x + \sqrt{2} = 0.

C.

\tan x = 1.

D.

\tan^{2} x = 1.

Xem đáp án

Ta có $2 \cos^{2} x = 1 \Leftrightarrow \cos^{2} x = \frac{1}{2}$ . Mà $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \overset{}{\to} \sin^{2} x = \frac{1}{2} .$

Do đó $\tan^{2} x = \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} = 1$ . Vậy $2 \cos^{2} x = 1 \Leftrightarrow \tan^{2} x = 1.$ Chọn D

Câu 73:

Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình

\tan^{2} x = 3

?

A.

\cos x = - \frac{1}{2} .

B.

4 \cos^{2} x = 1.

C.

\cot x = \frac{1}{\sqrt{3}} .

D.

\cot x = - \frac{1}{\sqrt{3}} .

Xem đáp án

Ta có $\tan^{2} x = 3 \Leftrightarrow \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} = 3 \Leftrightarrow \sin^{2} x = 3 \cos^{2} x$

$\Leftrightarrow 1 - \cos^{2} x = 3 \cos^{2} x \Leftrightarrow 4 \cos^{2} x = 1.$ Vậy $\tan^{2} x = 3 \Leftrightarrow 4 \cos^{2} x = 1$ . Chọn B

Câu 74:

Giải phương trình

4 \sin^{2} x = 3

.

A.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{3} + k 2 π \end{array}, (k \in ℤ) .

B.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = \frac{2 π}{3} + k 2 π \end{array}, (k \in ℤ) .

C.

\{\begin{cases} x = \frac{π}{3} + \frac{k π}{3} \\ k \neq 3 l \end{cases} (k, l \in ℤ) .

D.

\{\begin{cases} x = \frac{k π}{3} \\ k \neq 3 l \end{cases} (k, l \in ℤ) .

Xem đáp án

Ta có $4 \sin^{2} x = 3 \Leftrightarrow \sin^{2} x = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

= Với $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{π}{3} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = \frac{2 π}{3} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

= Với $\sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin (- \frac{π}{3}) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = \frac{4 π}{3} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Nhận thấy chưa có đáp án nào phù hợp. Ta biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác (hình vẽ).

Nếu tính luôn hai điểm A, B thì có tất cả 6 điểm cách đều nhau nên ta gộp được 6 điểm này thành một họ nghiệm, đó là $x = k \frac{π}{3}$ .

Suy ra nghiệm của phương trình $\{\begin{cases} x = k \frac{π}{3} \\ k \frac{π}{3} \neq l π \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{k π}{3} \\ k \neq 3 l \end{cases} (k, l \in ℤ) .$ Chọn D

Câu 75:

Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình

3 \sin^{2} x = \cos^{2} x

?

A.

\sin x = \frac{1}{2} .

B.

\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} .

C.

\sin^{2} x = \frac{3}{4} .

D.

\cot^{2} x = 3.

Xem đáp án

Ta có $3 \sin^{2} x = \cos^{2} x$ . Chi hai vế phương trình cho $\sin^{2} x,$ ta được $\cot^{2} x = 3$ .

Chọn D

Câu 76:

Với x thuộc (0;10), hỏi phương trình

\cos^{2} (6 π x) = \frac{3}{4}

có bao nhiêu nghiệm?

A.8

B.10.

C.11.

D.12.

Xem đáp án

Phương trình $\cos^{2} (6 π x) = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \cos (6 π x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} .$

= Với $\cos 6 π x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \cos 6 π x = \cos \frac{π}{6} \Leftrightarrow 6 π x = \pm \frac{π}{6} + k 2 π$ .

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{36} + \frac{k}{3} \in (0; 1) \\ x = - \frac{1}{36} + \frac{k}{3} \in (0; 1) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - \frac{1}{12} < k < \frac{35}{12} \overset{k \in ℤ}{\to} k = \{0; 1; 2\} \\ \frac{1}{12} < k < \frac{37}{12} \overset{k \in ℤ}{\to} k = \{1; 2; 3\} \end{array} \to$ có 6 nghiệm.

= Với $\cos 6 π x = - \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \cos 6 π x = \cos \frac{5 π}{6} \Leftrightarrow 6 π x = \pm \frac{5 π}{6} + k 2 π$ .

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{5}{36} + \frac{k}{3} \in (0; 1) \\ x = - \frac{5}{36} + \frac{k}{3} \in (0; 1) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - \frac{5}{12} < k < \frac{31}{12} \overset{k \in ℤ}{\to} k = \{0; 1; 2\} \\ \frac{5}{12} < k < \frac{41}{12} \overset{k \in ℤ}{\to} k = \{1; 2; 3\} \end{array} \to$ có 6 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 12 nghiệm. Chọn D

Câu 77:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

\sqrt{3} \cos x + m - 1 = 0

có nghiệm?

A.1.

B.2.

C.3.

D. Vô số.

Xem đáp án

Ta có $\sqrt{3} \cos x + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1 - m}{\sqrt{3}}$ .

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow - 1 \leq \frac{1 - m}{\sqrt{3}} \leq 1 \Leftrightarrow 1 - \sqrt{3} \leq m \leq 1 + \sqrt{3} \overset{m \in ℤ}{\to} m \in \{0; 1; 2\} .$

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m. Chọn C

Câu 78:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

[- 2108; 2018]

để phương trình

m \cos x + 1 = 0

có nghiệm?

A.2018.

B.2019.

C.4036.

D.4038.

Xem đáp án

Ta có $m \cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{m} .$

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow - 1 \leq - \frac{1}{m} \leq 1 \Leftrightarrow m \geq 1 \to_{m \in [- 2018; 2018]}^{m \in ℤ} m \in \{1; 2; 3; ...; 2018\}$ .

Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của tham số m. Chọn A

Câu 79:

Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình

(m - 2) \sin 2 x = m + 1

nhận

x = \frac{π}{12}

làm nghiệm.

A.

m \neq 2.

B.

m = \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3} - 2} .

C.

m = - 4.

D. $m = - 1.$

Xem đáp án

Vì $x = \frac{π}{12}$ là một nghiệm của phương trình $(m - 2) \sin 2 x = m + 1$ nên ta có:

$(m - 2) . \sin \frac{2 π}{12} = m + 1 \Leftrightarrow \frac{m - 2}{2} = m + 1 \Leftrightarrow m - 2 = 2 m + 2 \Leftrightarrow m = - 4$ .

Vậy $m = - 4$ là giá trị cần tìm. Chọn C

Câu 80:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

(m + 1) \sin x + 2 - m = 0

có nghiệm.

A.

m \leq - 1.

B.

m \geq \frac{1}{2} .

C.

- 1 < m \leq \frac{1}{2} .

D.

m > - 1.

Xem đáp án

$(m + 1) \sin x + 2 - m = 0 \Leftrightarrow (m + 1) \sin x = m - 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{m - 2}{m + 1} .$

Để phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow - 1 \leq \frac{m - 2}{m + 1} \leq 1$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 \leq 1 + \frac{m - 2}{m + 1} \\ \frac{m - 2}{m + 1} - 1 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{2 m - 1}{m + 1} \geq 0 \\ - \frac{3}{m + 1} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m \geq \frac{1}{2} \\ m < - 1 \end{array} \\ m > - 1 \end{cases} \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{2}$ là giá trị cần tìm. Chọn B

Câu 81:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

(m - 2) \sin 2 x = m + 1

vô nghiệm

A.

m \in [\frac{1}{2}; 2] .

B.

m \in (- \infty; \frac{1}{2}) \cup (2; + \infty) .

C.

m \in (\frac{1}{2}; 2) \cup (2; + \infty) .

D.

m \in (\frac{1}{2}; + \infty) .

Xem đáp án

TH1. Với $m = 2$ , phương trình $(m - 2) \sin 2 x = m + 1 \Leftrightarrow 0 = 3$ : vô lý.

Suy ra $m = 2$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.

TH2. Với $m \neq 2$ , phương trình $(m - 2) \sin 2 x = m + 1 \Leftrightarrow \sin 2 x = \frac{m + 1}{m - 2} .$

Để phương trình (*) vô nghiệm $\Leftrightarrow \frac{m + 1}{m - 2} \notin [- 1; 1] \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{m + 1}{m - 2} > 1 \\ \frac{m + 1}{m - 2} < - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 2 \\ \frac{1}{2} < m < 2 \end{array} .$

Kết hợp hai trường hợp, ta được $m > \frac{1}{2}$ là giá trị cần tìm. Chọn D

Câu 82:

Gọi S là tập nghiệm của phương trình

\cos 2 x - \sin 2 x = 1

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

\frac{π}{4} \in S .

B.

\frac{π}{2} \in S .

C.

\frac{3 π}{4} \in S .

D.

\frac{5 π}{4} \in S .

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow \sqrt{2} \cos (2 x + \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow \cos (2 x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \cos (2 x + \frac{π}{4}) = \cos \frac{π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ 2 x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k π \\ x = - \frac{π}{4} + k π \end{array}, k \in ℤ .$

Xét nghiệm $x = - \frac{π}{4} + k π$ , với $k = 1$ ta được $x = \frac{3 π}{4} .$ Chọn C

Câu 83:

Số nghiệm của phương trình

\sin 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x = \sqrt{3}

trên khoảng

(0; \frac{π}{2})

là?

A.1.

B.2.

C.3.

D.4.

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin (2 x + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \sin (2 x + \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{3} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{3} + k 2 π \\ 2 x + \frac{π}{3} = π - \frac{π}{3} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k π \\ x = \frac{π}{6} + k π \end{array}, k \in ℤ .$

= $0 < k π < \frac{π}{2} \Leftrightarrow 0 < k < \frac{1}{2} \overset{k \in ℤ}{\to}$ không có giá trị k thỏa mãn.

= $0 < \frac{π}{6} + k π < \frac{π}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{1}{3} \overset{k \in ℤ}{\to} k = 0 \to x = \frac{π}{6} .$ Chọn A

Câu 84:

Tính tổng T các nghiệm của phương trình

\cos^{2} x - \sin 2 x = \sqrt{2} + \sin^{2} x

trên khoảng

(0; 2 π) .

A.

T = \frac{7 π}{8} .

B.

T = \frac{21 π}{8} .

C.

T = \frac{11 π}{4} .

D.

T = \frac{3 π}{4} .

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow \cos^{2} x - \sin^{2} x - \sin 2 x = \sqrt{2} \Leftrightarrow \cos 2 x - \sin 2 x = \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \cos (2 x + \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow 2 x + \frac{π}{4} = k 2 π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{8} + k π (k \in ℤ) .$

Do $0 < x < 2 π \overset{}{\to} 0 < - \frac{π}{8} + k π < 2 π \Leftrightarrow \frac{1}{8} < k < \frac{17}{8} \overset{k \in ℤ}{\to} [\begin{array}{l} k = 1 \to x = \frac{7 π}{8} \\ k = 2 \to x = \frac{15 π}{8} \end{array}$

$\overset{}{\to} T = \frac{7 π}{8} + \frac{15 π}{8} = \frac{11}{4} π .$ Chọn C

Câu 85:

Tìm nghiệm dương nhỏ nhất

x_{0}

của

3 \sin 3 x - \sqrt{3} \cos 9 x = 1 + 4 \sin^{3} 3 x .

A.

x_{0} = \frac{π}{2} .

B.

x_{0} = \frac{π}{18} .

C.

x_{0} = \frac{π}{24} .

D. $x_{0} = \frac{π}{54} .$

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow 3 \sin 3 x - 4 \sin^{3} 3 x - \sqrt{3} \cos 9 x = 1 \Leftrightarrow \sin 9 x - \sqrt{3} \cos 9 x = 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin 9 x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 9 x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin (9 x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin (9 x - \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{6} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 9 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{6} + k 2 π \\ 9 x - \frac{π}{3} = π - \frac{π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{18} + \frac{k 2 π}{9} \\ x = \frac{7 π}{54} + \frac{k 2 π}{9} \end{array}$

$\overset{Cho > 0}{\to} [\begin{array}{l} \frac{π}{18} + \frac{k 2 π}{9} > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{4} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\min} = 0 \to x = \frac{π}{18} \\ \frac{7 π}{54} + \frac{k 2 π}{9} > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{7}{12} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\min} = 0 \to x = \frac{7 π}{54} \end{array} .$

So sánh hai nghiệm ta được nghiệm dương nhỏ nhất là $x = \frac{π}{18} .$ Chọn B

Cách trắc nghiệm. Thử từng nghiệm của đáp án vào phương trình và so sánh nghiệm nào thỏa mãn phương trình đồng thời là nhỏ nhất thì ta chọn.

Câu 86:

Số nghiệm của phương trình

\sin 5 x + \sqrt{3} \cos 5 x = 2 \sin 7 x

trên khoảng

(0; \frac{π}{2})

là?

A.2.

B.1.

C.3.

D.4.

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin 5 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 5 x = \sin 7 x \Leftrightarrow \sin (5 x + \frac{π}{3}) = \sin 7 x$

$\Leftrightarrow \sin 7 x = \sin (5 x + \frac{π}{3}) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 7 x = 5 x + \frac{π}{3} + k 2 π \\ 7 x = π - (5 x + \frac{π}{3}) + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k π \\ x = \frac{π}{18} + \frac{k π}{6} \end{array} (k \in ℤ) .$

= $0 < \frac{π}{6} + k π < \frac{π}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{1}{3} \overset{k \in ℤ}{\to} k = 0 \to x = \frac{π}{6} .$

= $0 < \frac{π}{18} + k \frac{π}{6} < \frac{π}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < k < \frac{8}{3} \overset{k \in ℤ}{\to} [\begin{array}{l} k = 0 \to x = \frac{π}{18} \\ k = 1 \to x = \frac{2 π}{9} \\ k = 2 \to x = \frac{7 π}{18} \end{array} .$

Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn. Chọn D

Câu 87:

Giải phương trình

\sqrt{3} \cos (x + \frac{π}{2}) + \sin (x - \frac{π}{2}) = 2 \sin 2 x .

A.

[\begin{array}{l} x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{π}{18} + k \frac{2 π}{3} \end{array}, k \in ℤ .

B.

[\begin{array}{l} x = \frac{7 π}{6} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{18} + k \frac{2 π}{3} \end{array}, k \in ℤ .

C.

[\begin{array}{l} x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{7 π}{6} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .

D.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{18} + k \frac{2 π}{3} \\ x = - \frac{π}{18} + k \frac{2 π}{3} \end{array}, k \in ℤ .

Xem đáp án

Ta có $\cos (x + \frac{π}{2}) = - \sin x$ và $\sin (x - \frac{π}{2}) = - \cos x$ .

Do đó phương trình $\Leftrightarrow - \sqrt{3} \sin x - \cos x = 2 \sin 2 x \Leftrightarrow \sqrt{3} \sin x + \cos x = - 2 \sin 2 x$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = - \sin 2 x \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{6}) = - \sin 2 x \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{6}) = \sin (- 2 x)$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{6} = - 2 x + k 2 π \\ x + \frac{π}{6} = π + 2 x + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{18} + k \frac{2 π}{3} \\ x = - \frac{5 π}{6} - k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Xét nghiệm $x = - \frac{5 π}{6} - k 2 π \to_{k \in ℤ, k' \in ℤ}^{k = - 1 - k'} x = \frac{7 π}{6} + k' 2 π$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x = - \frac{π}{18} + k \frac{2 π}{3}, x = \frac{7 π}{6} + k' 2 π (k, k' \in ℤ) .$ Chọn B

Câu 88:

Gọi

x_{0}

là nghiệm âm lớn nhất của

\sin 9 x + \sqrt{3} \cos 7 x = \sin 7 x + \sqrt{3} \cos 9 x

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $x_{0} \in (- \frac{π}{12}; 0) .$

B.

x_{0} \in [- \frac{π}{6}; - \frac{π}{12}] .

C.

x_{0} \in [- \frac{π}{3}; - \frac{π}{6}) .

D.

x_{0} \in [- \frac{π}{2}; - \frac{π}{3}) .

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow \sin 9 x - \sqrt{3} \cos 9 x = \sin 7 x - \sqrt{3} \cos 7 x$

$\Leftrightarrow \sin (9 x - \frac{π}{3}) = \sin (7 x - \frac{π}{3}) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 9 x - \frac{π}{3} = 7 x - \frac{π}{3} + k 2 π \\ 9 x - \frac{π}{3} = π - (7 x - \frac{π}{3}) + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k π \\ x = \frac{5 π}{48} + \frac{k π}{8} \end{array}$

$\overset{Cho < 0}{\to} [\begin{array}{l} k π < 0 \Leftrightarrow k < 0 \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\max} = - 1 \to x = - π \\ \frac{5 π}{48} + \frac{k π}{8} < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{5}{6} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\max} = - 1 \to x = - \frac{π}{48} \end{array} .$ So sánh hai nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x = - \frac{π}{48} \in (- \frac{π}{12}; 0) .$ Chọn A

Câu 89:

Biến đổi phương trình

\cos 3 x - \sin x = \sqrt{3} (\cos x - \sin 3 x)

về dạng

\sin (a x + b) = \sin (c x + d)

với b,d, thuộc khoảng

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

. Tính

b + d

.

A.

b + d = \frac{π}{12} .

B.

b + d = \frac{π}{4} .

C.

b + d = - \frac{π}{3} .

D. $b + d = \frac{π}{2} .$

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow \sqrt{3} \sin 3 x + \cos 3 x = \sin x + \sqrt{3} \cos x$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 3 x + \frac{1}{2} \cos 3 x = \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \Leftrightarrow \sin (3 x + \frac{π}{6}) = \sin (x + \frac{π}{3}) .$

Suy ra $b + d = \frac{π}{6} + \frac{π}{3} = \frac{π}{2} .$ Chọn D

Câu 90:

Giải phương trình

\frac{\cos x - \sqrt{3} \sin x}{\sin x - \frac{1}{2}} = 0.

A.

x = \frac{π}{6} + k π, k \in ℤ .

B.

x = \frac{π}{6} + k 2 π, k \in ℤ .

C.

x = \frac{7 π}{6} + k 2 π, k \in ℤ .

D.

x = \frac{7 π}{6} + k π, k \in ℤ .

Xem đáp án

Điều kiện $\sin x - \frac{1}{2} \neq 0 \Leftrightarrow \sin x \neq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x \neq \sin \frac{π}{6} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq \frac{π}{6} + k 2 π \\ x \neq \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{cases} (k \in ℤ) .$

Điều kiện bài toán tương đương với bỏ đi vị trí hai điểm trên đường tròn lượng giác (Hình 1).

Phương trình $\Leftrightarrow \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0 \Leftrightarrow \cos x = \sqrt{3} \sin x$

$\Leftrightarrow \cot x = \sqrt{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{π}{6} \Leftrightarrow x = \frac{π}{6} + l π (l \in ℤ) .$

Biểu diễn nghiệm $x = \frac{π}{6} + l π$ trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí như Hình 2.

Đối chiếu điều kiện, ta loại nghiệm $x = \frac{π}{6} + k 2 π$ . Do đó phương trình có nghiệm $x = \frac{7 π}{6} + 2 l π (l \in ℤ) .$ Chọn C

Câu 91:

Hàm số

y = \frac{2 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x - \cos 2 x + 3}

có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 1.

B.2.

C. 3.

D.4.

Xem đáp án

Ta có $y = \frac{2 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x - \cos 2 x + 3} \Leftrightarrow (y - 2) \sin 2 x - (y + 1) \cos 2 x = - 3 y .$

Điều kiện để phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow {(y - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} \geq {(- 3 y)}^{2} \Leftrightarrow 7 y^{2} + 2 y - 5 \leq 0$

$\Leftrightarrow - 1 \leq y \leq \frac{5}{7} \overset{y \in ℤ}{\to} y \in \{- 1; 0\}$ nên có 2 giá trị nguyên. Chọn B

Câu 92:

Gọi

x_{0}

là nghiệm dương nhỏ nhất của

\cos 2 x + \sqrt{3} \sin 2 x + \sqrt{3} \sin x - \cos x = 2.

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

x_{0} \in (0; \frac{π}{12}) .

B.

x_{0} \in [\frac{π}{12}; \frac{π}{6}] .

C.

x_{0} \in (\frac{π}{6}; \frac{π}{3}] .

D.

x_{0} \in (\frac{π}{3}; \frac{π}{2}] .

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cos 2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x = 1$

$\Leftrightarrow \sin (\frac{π}{6} + 2 x) + \sin (x - \frac{π}{6}) = 1$ .

Đặt $t = x - \frac{π}{6} \overset{}{\to} x = t + \frac{π}{6} \to 2 x = 2 t + \frac{π}{3} \to 2 x + \frac{π}{6} = 2 t + \frac{π}{2} .$

Phương trình trở thành $\Leftrightarrow \sin (2 t + \frac{π}{2}) + \sin t = 1 \Leftrightarrow \cos 2 t + \sin t = 1$

$\Leftrightarrow 2 \sin^{2} t - \sin t = 0 \Leftrightarrow \sin t (2 \sin t - 1) = 0.$

= $\sin t = 0 \Leftrightarrow t = k π \overset{}{\to} x = \frac{π}{6} + k π > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{6} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\min} = 0 \to x = \frac{π}{6} .$

= $\sin t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{π}{6} + k 2 π \overset{}{\to} x = \frac{π}{3} + k 2 π > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{6} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\min} = 0 \to x = \frac{π}{3} . \\ t = \frac{5 π}{6} + k 2 π \overset{}{\to} x = π + k 2 π > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{2} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\min} = 0 \to x = π . \end{array}$

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x = \frac{π}{6} \in [\frac{π}{12}; \frac{π}{6}] .$ Chọn B

Câu 93:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để phương trình

\sin (x - \frac{π}{3}) - \sqrt{3} \cos (x - \frac{π}{3}) = 2 m

vô nghiệm.

A.21.

B.20.

C.18.

D.9.

Xem đáp án

Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow 1^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2} < {(2 m)}^{2} \Leftrightarrow 4 m^{2} - 4 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < - 1 \\ m > 1 \end{array}$

$\to_{m \in [- 10; 10]}^{m \in ℤ} m \in \{- 10; - 9; - 8; ...; - 2; 2; ...; 8; 9; 10\} \overset{}{\to}$ có 18 giá trị. Chọn C

Câu 94:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

\cos x + \sin x = \sqrt{2} (m^{2} + 1)

vô nghiệm.

A.

m \in (- \infty; - 1) \cup (1; + \infty) .

B.

m \in [- 1; 1] .

C.

m \in (- \infty; + \infty)

D.

m \in (- \infty; 0) \cup (0; + \infty) .

Xem đáp án

Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow 1^{2} + 1^{2} < {[\sqrt{2} (m^{2} + 1)]}^{2}$

$\Leftrightarrow m^{4} + 2 m^{2} > 0 \Leftrightarrow m^{2} (m^{2} + 2) > 0 \Leftrightarrow m^{2} > 0 \Leftrightarrow m \neq 0.$ Chọn D

Câu 95:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để phương trình

(m + 1) \sin x - m \cos x = 1 - m

có nghiệm.

A.21.

B.20.

C.18.

D.11.

Xem đáp án

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} + m^{2} \geq {(1 - m)}^{2} \Leftrightarrow m^{2} + 4 m \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \geq 0 \\ m \leq - 4 \end{array}$

$\to_{m \in [- 10; 10]}^{m \in ℤ} m \in \{- 10; - 9; - 8; ...; - 4; 0; 1; 2; ...; 8; 9; 10\} \overset{}{\to}$ có 18 giá trị. Chọn C

Câu 96:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

[- 2018; 2018]

để phương trình

(m + 1) \sin^{2} x - \sin 2 x + \cos 2 x = 0 (m + 1) \sin^{2} x - \sin 2 x + \cos 2 x = 0

có nghiệm.

A.4037.

B.4036.

C.2019.

D.2020.

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow (m + 1) \frac{1 - \cos 2 x}{2} - \sin 2 x + \cos 2 x = 0$

$\Leftrightarrow - 2 \sin 2 x + (1 - m) \cos 2 x = - m - 1.$

Phương trình có ng hiệm $\Leftrightarrow {(- 2)}^{2} + {(1 - m)}^{2} \geq {(- m - 1)}^{2} \Leftrightarrow 4 m \leq 4 \Leftrightarrow m \leq 1$

$\to_{m \in [- 2018; 2018]}^{m \in ℤ} m \in \{- 2018; - 2017; ...; 0; 1\} \overset{}{\to}$ có 2020 giá trị. Chọn D

Câu 97:

Hỏi trên

[0; \frac{π}{2})

, phương trình

2 \sin^{2} x - 3 \sin x + 1 = 0

có bao nhiêu nghiệm?

A. 1.

B. 2

C. 3.

D.4.

Xem đáp án

Phương trình $2 \sin^{2} x - 3 \sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = \frac{1}{2} \\ \sin x = 1 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = \sin \frac{π}{6} \\ \sin x = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Theo giả thiết $0 \leq x < \frac{π}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 0 \leq \frac{π}{6} + k 2 π < \frac{π}{2} \\ 0 \leq \frac{5 π}{6} + k 2 π < \frac{π}{2} \\ 0 \leq \frac{π}{2} + k 2 π < \frac{π}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - \frac{1}{12} < k < \frac{1}{6} \overset{k \in ℤ}{\to} k = 0 \to x = \frac{π}{6} \\ - \frac{5}{12} < k < - \frac{1}{12} \overset{k \in ℤ}{\to} k \in \emptyset \\ - \frac{1}{4} < k < 0 \overset{k \in ℤ}{\to} k \in \emptyset \end{array} .$

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm trên $[0; \frac{π}{2})$ . Chọn A

Câu 98:

Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình

2 \cos^{2} x + 5 \cos x + 3 = 0

trên đường tròn lượng giác là?

A.1.

B. 2.

C. 3.

D.4.

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow 2 \cos^{2} x + 5 \cos x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = - 1 \\ \cos x = - \frac{3}{2} (l o a ï i) \end{array}$

$\Leftrightarrow \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = π + k 2 π (k \in ℤ) .$

Suy ra có duy nhất 1 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác. Chọn A

Câu 99:

Cho phương trình

\cot^{2} 3 x - 3 \cot 3 x + 2 = 0.

Đặt

t = \cot 3 x

, ta được phương trình nào sau đây

A.

t^{2} - 3 t + 2 = 0.

B.

3 t^{2} - 9 t + 2 = 0.

C.

t^{2} - 9 t + 2 = 0.

D.

t^{2} - 6 t + 2 = 0.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 100:

Số nghiệm của phương trình

4 \sin^{2} 2 x - 2 (1 + \sqrt{2}) \sin 2 x + \sqrt{2} = 0

trên

(0; π)

là?

A. 3.

B. 4

C. 2

D. 1.

Xem đáp án

Phương trình $4 \sin^{2} 2 x - 2 (1 + \sqrt{2}) \sin 2 x + \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin 2 x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin 2 x = \frac{1}{2} \end{array} .$

= $\sin 2 x = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \frac{π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ 2 x = \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{8} + k π \overset{(0; π)}{\to} x = \frac{π}{8} \\ x = \frac{3 π}{8} + k π \overset{(0; π)}{\to} x = \frac{3 π}{8} \end{array} .$

= $\sin 2 x = \frac{1}{2} = \sin \frac{π}{6} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ 2 x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{12} + k π \overset{(0; π)}{\to} x = \frac{π}{12} \\ x = \frac{5 π}{12} + k π \overset{(0; π)}{\to} x = \frac{5 π}{12} \end{array} .$

Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn. Chọn B

Câu 101:

Số nghiệm của phương trình

\sin^{2} 2 x - \cos 2 x + 1 = 0

trên đoạn

[- π; 4 π]

là?

A. 2

B.4.

C. 6.

D.8.

Xem đáp án

Phương trình $\sin^{2} 2 x - \cos 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow - \cos^{2} 2 x - \cos 2 x + 2 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos 2 x = 1 \\ \cos 2 x = - 2 (l o a ï i) \end{array} \Leftrightarrow \cos 2 x = 1 \Leftrightarrow 2 x = k 2 π \Leftrightarrow x = k π, k \in ℤ .$

Do $x \in [- π; 4 π] \overset{}{\to} - π \leq k π \leq 4 π \Leftrightarrow - 1 \leq k \leq 4 \overset{k \in ℤ}{\to} k \in \{- 1; 0; 1; 2; 3; 4\} .$

Vậy phương trình có 6 nghiệm thỏa mãn. Chọn C

Câu 102:

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình

2 \sin^{2} \frac{x}{4} - 3 \cos \frac{x}{4} = 0

trên đoạn

[0; 8 π] .

A.

T = 0.

B.

T = 8 π .

C.

T = 16 π .

D.

T = 4 π .

Xem đáp án

Phương trình $2 \sin^{2} \frac{x}{4} - 3 \cos \frac{x}{4} = 0 \Leftrightarrow 2 (1 - \cos^{2} \frac{x}{4}) - 3 \cos \frac{x}{4} = 0$

$\Leftrightarrow - 2 \cos^{2} \frac{x}{4} - 3 \cos \frac{x}{4} + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos \frac{x}{4} = \frac{1}{2} \\ \cos \frac{x}{4} = - 2 (l o a ï i) \end{array} \Leftrightarrow \cos \frac{x}{4} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \frac{x}{4} = \cos \frac{π}{3}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{x}{4} = \frac{π}{3} + k 2 π \\ \frac{x}{4} = - \frac{π}{3} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{4 π}{3} + k 8 π \overset{x \in [0; 8 π]}{\to} x = \frac{4 π}{3} \\ x = - \frac{4 π}{3} + k 8 π \overset{x \in [0; 8 π]}{\to} x = \frac{20 π}{3} \end{array} \to T = \frac{4 π}{3} + \frac{20 π}{3} = 8 π .$

Chọn B

Câu 103:

Số nghiệm của phương trình

\frac{1}{\sin^{2} x} - (\sqrt{3} - 1) \cot x - (\sqrt{3} + 1) = 0

trên

(0; π)

là?

A. 1

B.2

C.3.

D.4.

Xem đáp án

Điều kiện: $\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k π (k \in ℤ) .$

Phương trình $\Leftrightarrow (1 + \cot^{2} x) - (\sqrt{3} - 1) \cot x - (\sqrt{3} + 1) = 0 \Leftrightarrow \cot^{2} x - (\sqrt{3} - 1) \cot x - \sqrt{3} = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cot x = - 1 \\ \cot x = \sqrt{3} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cot x = \cot (- \frac{π}{4}) \\ \cot x = \cot \frac{π}{6} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{4} + k π \overset{x \in (0; π)}{\to} x = \frac{3 π}{4} (t h o û a m a õ n) \\ x = \frac{π}{6} + k π \overset{x \in (0; π)}{\to} x = \frac{π}{6} (t h o û a m a õ n) \end{array} .$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn. Chọn B

Câu 104:

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình

2 \cos 2 x + 2 \cos x - \sqrt{2} = 0

trên đoạn

[0; 3 π]

.

A.

T = \frac{17 π}{4} .

B.

T = 2 π .

C.

T = 4 π .

D.

T = 6 π .

Xem đáp án

Phương trình $2 \cos 2 x + 2 \cos x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow 2 (2 \cos^{2} x - 1) + 2 \cos x - \sqrt{2} = 0$

$\Leftrightarrow 4 \cos^{2} x + 2 \cos x - 2 - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos x = - \frac{\sqrt{2} + 1}{2} (l o a ï i) \end{array} \Leftrightarrow \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k 2 π \overset{x \in [0; 3 π]}{\to} x = \frac{π}{4}; x = \frac{9 π}{4} \\ x = - \frac{π}{4} + k 2 π \overset{x \in [0; 3 π]}{\to} x = \frac{7 π}{4} \end{array} \overset{}{\to} T = \frac{π}{4} + \frac{9 π}{4} + \frac{7 π}{4} = \frac{17 π}{4} .$ Chọn A

Câu 105:

Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình

\cos 2 x + 3 \sin x + 4 = 0

trên đường tròn lượng giác là

A.1

B. 2.

C. 3.

D.4.

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow (1 - 2 \sin^{2} x) + 3 \sin x + 4 = 0 \Leftrightarrow - 2 \sin^{2} x + 3 \sin x + 5 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = - 1 \\ \sin x = \frac{5}{2} (l o a ï i) \end{array} \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) .$

Suy ra có duy nhất 1 vị trí đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm. Chọn A

Câu 106:

Cho phương trình

\cos x + \cos \frac{x}{2} + 1 = 0

. Nếu đặt

t = \cos \frac{x}{2}

, ta được phương trình nào sau đây

A.

2 t^{2} + t = 0.

B.

- 2 t^{2} + t + 1 = 0.

C.

2 t^{2} + t - 1 = 0.

D.

- 2 t^{2} + t = 0.

Xem đáp án

Ta có $\cos x = 2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1.$

Do đó phương trình $\Leftrightarrow (2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1) + \cos \frac{x}{2} + 1 = 0 \Leftrightarrow 2 \cos^{2} \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = 0.$

Đặt $t = \cos \frac{x}{2}$ , phương trình trở thành $2 t^{2} + t = 0.$ Chọn A

Câu 107:

Số nghiệm của phương trình

\cos 2 (x + \frac{π}{3}) + 4 \cos (\frac{π}{6} - x) = \frac{5}{2}

thuộc

[0; 2 π]

là?

A.1.

B.2.

C.3.

D.4.

Xem đáp án

Ta có $\cos 2 (x + \frac{π}{3}) = 1 - 2 \sin^{2} (x + \frac{π}{3}) = 1 - 2 \cos^{2} (\frac{π}{6} - x)$ .

Do đó phương trình $\Leftrightarrow - 2 \cos^{2} (\frac{π}{6} - x) + 4 \cos (\frac{π}{6} - x) - \frac{3}{2} = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos (\frac{π}{6} - x) = \frac{1}{2} \\ \cos (\frac{π}{6} - x) = \frac{3}{2} (l o a ï i) \end{array} \Leftrightarrow \cos (\frac{π}{6} - x) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{π}{6} - x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ$ .

Ta có ; $x = - \frac{π}{6} + k 2 π \overset{x \in [0; 2 π]}{\to} x = \frac{11 π}{6}$ $x = \frac{π}{2} + k 2 π \overset{x \in [0; 2 π]}{\to} x = \frac{π}{2}$ .

Vậy có hai nghiệm thỏa mãn. Chọn B

Câu 108:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

\tan x + m \cot x = 8

có nghiệm.

A.

m > 16.

B.

m < 16.

C.

m \geq 16.

D.

m \leq 16.

Xem đáp án

Phương trình $\tan x + m \cot x = 8 \Leftrightarrow \tan x + \frac{m}{\tan x} = 8 \Leftrightarrow \tan^{2} x - 8 \tan x + m = 0$ .

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $Δ^{'} = {(- 4)}^{2} - m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 16$ .

Chọn D

Câu 109:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

\cos 2 x - (2 m + 1) \cos x + m + 1 = 0

có nghiệm trên khoảng

(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})

.

A.

- 1 \leq m \leq 0

B. .

- 1 \leq m < 0

C. $- 1 < m < 0$ .

D.

- 1 \leq m < \frac{1}{2}

Xem đáp án

Phương trình

\Leftrightarrow 2 \cos^{2} x - (2 m + 1) \cos x + m = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = \frac{1}{2} \\ \cos x = m \end{array} .

Nhận thấy phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ không có nghiệm trên khoảng $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ (Hình vẽ). Do đó yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \cos x = m$ có nghiệm thuộc khoảng $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}) \Leftrightarrow - 1 \leq m < 0$ .

Chọn B

Câu 110:

Biết rằng khi

m = m_{0}

thì phương trình

2 \sin^{2} x - (5 m + 1) \sin x + 2 m^{2} + 2 m = 0

có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc khoảng

(- \frac{π}{2}; 3 π)

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

m = - 3.

B.

m = \frac{1}{2}

C.

m_{0} \in (\frac{3}{5}; \frac{7}{10}] .

D. $m_{0} \in (- \frac{3}{5}; - \frac{2}{5}) .$

Xem đáp án

Đặt $t = \sin x (- 1 \leq t \leq 1)$ .

Phương trình trở thành $2 t^{2} - (5 m + 1) + 2 m^{2} + 2 m = 0.$ $(*)$

Yêu cầu bài toán tương đương với:

= TH1: Phương trình (*) có một nghiệm $t_{1} = - 1$ (có một nghiệm x) và một nghiệm $0 < t_{2} < 1$ (có bốn nghiệm x) (Hình 1).

a Do $t_{1} = - 1 \overset{}{\to} t_{2} = - \frac{c}{a} = - m^{2} - m$ .

a Thay $t_{1} = - 1$ vào phương trình (*), ta được $[\begin{array}{l} m = - 3 \overset{}{\to} t_{2} = - 6 \notin (0; 1) (l o a ï i) \\ m = - \frac{1}{2} \overset{}{\to} t_{2} = \frac{1}{4} \in (0; 1) (t h o û a) \end{array} .$

= TH2: Phương trình (*) có một nghiệm $t_{1} = 1$ (có hai nghiệm x) và một nghiệm $- 1 < t_{2} \leq 0$ (có ba nghiệm x) (Hình 2).

a Do $t_{1} = 1 \overset{}{\to} t_{2} = \frac{c}{a} = m^{2} + m$ .

a Thay $t_{1} = 1$ vào phương trình (*) , ta được $[\begin{array}{l} m = 1 \overset{}{\to} t_{2} = 2 \notin (- 1; 0] (l o a ï i) \\ m = \frac{1}{2} \overset{}{\to} t_{2} = \frac{3}{4} \notin (- 1; 0] (l o a ï i) \end{array} .$

Vậy $m = - \frac{1}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do $m = - \frac{1}{2} \in (- \frac{3}{5}; - \frac{2}{5}) .$ Chọn D

Câu 111:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

2 \cos^{2} 3 x + (3 - 2 m) \cos 3 x + m - 2 = 0

có đúng nghiệm thuộc khoảng

(- \frac{π}{6}; \frac{π}{3}) .

A.

- 1 \leq m \leq 1.

B.

1 < m \leq 2.

C.

1 \leq m \leq 2.

D.

1 \leq m < 2.

Xem đáp án

Đặt $t = \cos x (- 1 \leq t \leq 1)$ . Phương trình trở thành $2 t^{2} + (3 - 2 m) t + m - 2 = 0.$

Ta có $Δ = {(2 m - 5)}^{2}$ . Suy ra phương trình có hai nghiệm $[\begin{array}{l} t_{1} = \frac{1}{2} \\ t_{2} = m - 2 \end{array} .$

Ta thấy ứng với một nghiệm $t_{1} = \frac{1}{2}$ thì cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng $(- \frac{π}{6}; \frac{π}{3}) .$ Do đó yêu cầu bài toán $- 1 < t_{2} \leq 0 \Leftrightarrow - 1 < m - 2 \leq 0 \Leftrightarrow 1 < m \leq 2.$ Chọn B

Cách 2. Yêu cầu bài toán tương đươn với phương trình $2 t^{2} + (3 - 2 m) t + m - 2 = 0$ có hai nghiệm $t_{1}, t_{2}$ thỏa mãn $- 1 < t_{2} \leq 0 < t_{1} < 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} P \leq 0 \\ a . f (1) > 0 \\ a . f (- 1) > 0 \end{cases} .$

Câu 112:

Giải phương trình

\sin^{2} x - (\sqrt{3} + 1) \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^{2} x = 0.

A.

x = \frac{π}{3} + k 2 π (k \in ℤ) .

B.

x = \frac{π}{4} + k π (k \in ℤ) .

C.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .

D.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k π \\ x = \frac{π}{4} + k π \end{array} (k \in ℤ) .

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow \tan^{2} x - (\sqrt{3} + 1) \tan x + \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \tan x = 1 \\ \tan x = \sqrt{3} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k π \\ x = \frac{π}{3} + k π \end{array} (k \in ℤ) .$ Chọn D

Câu 113:

Gọi S là tập nghiệm của phương trình

2 \sin^{2} x + 3 \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{2} x = 2

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

\{\frac{π}{3}; π\} \subset S .

B. $\{\frac{π}{6}; \frac{π}{2}\} \subset S .$

C.

\{\frac{π}{4}; \frac{5 π}{12}\} \subset S .

D.

\{\frac{π}{2}; \frac{5 π}{6}\} \subset S .

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow 2 \sin^{2} x + 3 \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{2} x = 2 (\sin^{2} x + \cos^{2} x)$

$\Leftrightarrow 3 \sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^{2} x = 0 \Leftrightarrow 3 \cos x (\sqrt{3} \sin x - \cos x) = 0.$

= $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ) \overset{k = 0}{\to} x = \frac{π}{2} .$

= $\sqrt{3} \sin x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3} \sin x = \cos x$

Vậy tập nghiệm của phương trình chứa các nghiệm $\frac{π}{6}$ và $\frac{π}{2}$ . Chọn B

Câu 114:

Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình

\sin^{2} x - (\sqrt{3} + 1) \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^{2} x = \sqrt{3}

.

A.

\sin x = 0

B. $\sin (x + \frac{π}{2}) = 1$ .

C. $(\cos x - 1) (\tan x - \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}) = 0$ .

D. $(\tan x + 2 + \sqrt{3}) (\cos^{2} x - 1) = 0$

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow \sin^{2} x - (\sqrt{3} + 1) \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^{2} x = \sqrt{3} (\sin^{2} x + \cos^{2} x)$

$\Leftrightarrow (1 - \sqrt{3}) \sin^{2} x - (\sqrt{3} + 1) \sin x \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin x [(1 - \sqrt{3}) \sin x - (\sqrt{3} + 1) \cos x] = 0.$

= $\sin x = 0 \Leftrightarrow \cos^{2} x = 1 \Leftrightarrow \cos^{2} x - 1 = 0.$

= $(1 - \sqrt{3}) \sin x - (\sqrt{3} + 1) \cos x = 0 \Leftrightarrow (1 - \sqrt{3}) \sin x = (\sqrt{3} + 1) \cos x$

$\Leftrightarrow \tan x = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \Leftrightarrow \tan x = - 2 - \sqrt{3} \Leftrightarrow \tan x + 2 + \sqrt{3} = 0.$

Vậy phương trình đã cho tương đương với $(\tan x + 2 + \sqrt{3}) (\cos^{2} x - 1) = 0$ . Chọn D

Câu 115:

Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình

\sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 1

?

A. $\cos x (\cot^{2} x - 3) = 0$ .

B. $\sin (x + \frac{π}{2}) . [\tan (x + \frac{π}{4}) - 2 - \sqrt{3}] = 0$

C.

[\cos^{2} (x + \frac{π}{2}) - 1] . (\tan x - \sqrt{3}) = 0

D.

(\sin x - 1) (\cot x - \sqrt{3}) = 0

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x = \sin^{2} x + \cos^{2} x$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{2} x = 0 \Leftrightarrow \cos x (\sqrt{3} \sin x - \cos x) = 0.$

= $\cos x = 0 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{2}) = 0.$

= $\sqrt{3} \sin x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} .$

Ta có $\tan (x + \frac{π}{4}) = \frac{\tan x + \tan \frac{π}{4}}{1 - \tan x . \tan \frac{π}{4}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + 1}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}} .1} = 2 + \sqrt{3} \Leftrightarrow \tan (x + \frac{π}{4}) - 2 - \sqrt{3} = 0.$

Vậy phương trình đã cho tương đương với $\sin (x + \frac{π}{2}) . [\tan (x + \frac{π}{4}) - 2 - \sqrt{3}] = 0$ .Chọn B

Câu 116:

Cho phương trình

\cos^{2} x - 3 \sin x \cos x + 1 = 0

. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $x = k π$ không là nghiệm của phương trình

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho

\cos^{2} x

thì ta được phương trình

\tan^{2} x - 3 \tan x + 2 = 0

.

C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho

\sin^{2} x

thì ta được phương trình

2 \cot^{2} x + 3 \cot x + 1 = 0

.

D. Phương trình đã cho tương đương với

\cos 2 x - 3 \sin 2 x + 3 = 0

.

Xem đáp án

Với $x = k π \overset{}{\to} \{\begin{cases} \sin x = 0 \\ \cos x = \pm 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \sin x = 0 \\ \cos^{2} x = 1 \end{cases} .$ Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng.

= Phương trình $\Leftrightarrow \cos^{2} x - 3 \sin x \cos x + \sin^{2} x + \cos^{2} x = 0$

$\Leftrightarrow \sin^{2} x - 3 \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x = 0 \Leftrightarrow \tan^{2} x - 3 \tan x + 2 = 0$ . Vậy B đúng.

= Phương trình $\Leftrightarrow \cos^{2} x - 3 \sin x \cos x + \sin^{2} x + \cos^{2} x = 0$

$\Leftrightarrow 2 \cos^{2} x - 3 \sin x \cos x + \sin^{2} x = 0 \Leftrightarrow 2 \cot^{2} x - 3 \cot x + 1 = 0$ . Vậy C sai. Chọn C

= Phương trình $\Leftrightarrow \frac{1 + \cos 2 x}{2} - 3 \frac{\sin 2 x}{2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2 x - 3 \sin 2 x + 3 = 0.$ Vậy D đúng.

Câu 117:

Số vị trí biểu diễn các nghiệm phương trình

\sin^{2} x - 4 \sin x \cos x + 4 \cos^{2} x = 5

trên đường tròn lượng giác là?

A. 4.

B. 3.

C.2 .

D. 1.

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow \sin^{2} x - 4 \sin x \cos x + 4 \cos^{2} x = 5 (\sin^{2} x + \cos^{2} x)$

$\Leftrightarrow - 4 \sin^{2} x - 4 \sin x \cos x - \cos^{2} x = 0 \Leftrightarrow {(2 \sin x + \cos x)}^{2} = 0 \Leftrightarrow 2 \sin x + \cos x = 0$

$\Leftrightarrow \tan x = - \frac{1}{2} \overset{}{\to}$ có 2 vị trí biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng gác. Chọn C

Câu 118:

Số nghiệm của phương trình

\cos^{2} x - 3 \sin x \cos x + 2 \sin^{2} x = 0

trên

(- 2 π; 2 π)

?

A. 2.

B. 4.

C. 6.

D. 8.

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow 1 - 3 \tan x + 2 \tan^{2} x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \tan x = 1 \\ \tan x = \frac{1}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k π \\ x = \arctan \frac{1}{2} + k π \end{array} .$

Vì $x \in (- 2 π; 2 π) \overset{}{\to} - 2 π < \frac{π}{4} + k π < 2 π \to - \frac{9}{4} < k < \frac{7}{4} \overset{k \in ℤ}{\to} k \in \{- 2; - 1; 0; 1\}$ .

Vì $x \in (- 2 π; 2 π) \overset{}{\to} - 2 π < \arctan \frac{1}{2} + k π < 2 π$

$\to_{xapxi}^{CASIO} - 28, 565 < k < - 24, 565 \overset{k \in ℤ}{\to} k \in \{- 28; - 27; - 26; - 25\}$ .

Vậy có tất cả 8 nghiệm. Chọn D

Câu 119:

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

4 \sin^{2} x + 3 \sqrt{3} \sin 2 x - 2 \cos^{2} x = 4

là

A.

\frac{π}{12}

.

B. $\frac{π}{6}$ .

C.

\frac{π}{4}

D.

\frac{π}{3}

.

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow 4 \sin^{2} x + 3 \sqrt{3} \sin 2 x - 2 \cos^{2} x = 4 (\sin^{2} x + \cos^{2} x)$

$\Leftrightarrow 3 \sqrt{3} \sin 2 x - 6 \cos^{2} x = 0 \Leftrightarrow 6 \cos x (\sqrt{3} \sin x - \cos x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = \frac{π}{6} + k π \end{array} \overset{Cho > 0}{\to} [\begin{array}{l} \frac{π}{2} + k π > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{2} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\min} = 0 \to x = \frac{π}{2} \\ \frac{π}{6} + k π > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{6} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\min} = 0 \to x = \frac{π}{6} \end{array} .$

So sánh hai nghiệm ta được $x = \frac{π}{6}$ là nghiệm dương nhỏ nhất. Chọn B

Câu 120:

Cho phương trình

(\sqrt{2} - 1) \sin^{2} x + \sin 2 x + (\sqrt{2} + 1) \cos^{2} x - \sqrt{2} = 0

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $x = \frac{7 π}{8}$ là một nghiệm của phương trình

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho

\cos^{2} x

thì ta được phương trình

\tan^{2} x - 2 \tan x - 1 = 0

.

C. Nếu chia hai vế của phương trình cho

\sin^{2} x

thì ta được phương trình

\cot^{2} x + 2 \cot x - 1 = 0

.

D. Phương trình đã cho tương đương với

\cos 2 x - \sin 2 x = 1

.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 121:

Giải phương trình

2 \sin^{2} x + (1 - \sqrt{3}) \sin x \cos x + (1 - \sqrt{3}) \cos^{2} x = 1.

A. $- \frac{π}{6}$ .

B. $- \frac{π}{4}$ .

C.

- \frac{2 π}{3}

D. $- \frac{π}{12}$

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow 2 \sin^{2} x + (1 - \sqrt{3}) \sin x \cos x + (1 - \sqrt{3}) \cos^{2} x = \sin^{2} x + \cos^{2} x$

$\Leftrightarrow \sin^{2} x + (1 - \sqrt{3}) \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^{2} x = 0$

$\Leftrightarrow \tan^{2} x + (1 - \sqrt{3}) \tan x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \tan x = - 1 \\ \tan x = \sqrt{3} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{4} + k π \\ x = \frac{π}{3} + k π \end{array}$

$\overset{Cho < 0}{\to} [\begin{array}{l} - \frac{π}{4} + k π < 0 \Leftrightarrow k < \frac{1}{4} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\max} = 0 \to x = - \frac{π}{4} \\ \frac{π}{3} + k π < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{1}{3} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\max} = - 1 \to x = - \frac{2 π}{3} \end{array} .$

So sánh hai nghiệm ta được $x = - \frac{π}{4}$ là nghiệm âm lớn nhất. Chọn B

Câu 122:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

[- 10; 10]

để phương trình

11 \sin^{2} x + (m - 2) \sin 2 x + 3 \cos^{2} x = 2

có nghiệm?

A.16

B.21

C. 15

D.6

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow 9 \sin^{2} x + (m - 2) \sin 2 x + \cos^{2} x = 0$

$\Leftrightarrow 9. \frac{1 - \cos 2 x}{2} + (m - 2) \sin 2 x + \frac{1 + \cos 2 x}{2} = 0 \Leftrightarrow (m - 2) \sin 2 x - 4 \cos 2 x = - 5.$

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow {(m - 2)}^{2} + 16 \geq 25 \Leftrightarrow {(m - 2)}^{2} \geq 9 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \geq 5 \\ m \leq - 1 \end{array}$

$\to_{m \in [- 10; 10]}^{m \in ℤ} m \in \{- 10; - 9; ...; - 1; 5; 6; ...; 10\} \overset{}{\to}$ có 16 giá trị nguyên. Chọn A

Câu 123:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc để phương trình

\sin^{2} x - 2 (m - 1) \sin x \cos x - (m - 1) \cos^{2} x = m

có nghiệm?

A.2

B.1

C. 0

D. Vô số.

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow (1 - m) \sin^{2} x - 2 (m - 1) \sin x \cos x - (2 m - 1) \cos^{2} x = 0$

$\Leftrightarrow (1 - m) . \frac{1 - \cos 2 x}{2} - (m - 1) \sin 2 x - (2 m - 1) . \frac{1 + \cos 2 x}{2} = 0$

$\Leftrightarrow 2 (m - 1) \sin 2 x + m \cos 2 x = 2 - 3 m .$

Phương trình có nghiệm $4 {(m - 1)}^{2} + m^{2} \geq {(2 - 3 m)}^{2} \Leftrightarrow 4 m^{2} - 4 m \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 1$

$\to_{}^{m \in ℤ} m \in \{0; 1\} \overset{}{\to}$ có 2 giá trị nguyên. Chọn A

Câu 124:

Tìm điều kiện để phương trình

a \sin^{2} x + a \sin x \cos x + b \cos^{2} x = 0

với

a \neq 0

có nghiệm.

A.

a \geq 4 b

.

B.

a \leq - 4 b

.

C.

\frac{4 b}{a} \leq 1

.

D.

|\frac{4 b}{a}| \leq 1

.

Xem đáp án

Phương trình $a \tan^{2} x + a \tan x + b = 0$ .

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow Δ = a^{2} - 4 a b \geq 0 \Leftrightarrow a (a - 4 b) \geq 0$

$\Leftrightarrow a (4 b - a) \leq 0 \Leftrightarrow \frac{4 b - a}{a} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{4 b}{a} \leq 1.$ Chọn C

Câu 125:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

2 \sin^{2} x + m \sin 2 x = 2 m

A. $0 \leq m \leq \frac{4}{3}$ .

B. $m < 0$ ,

m > \frac{4}{3}

.

C.

0 < m < \frac{4}{3}

D. $m < - \frac{4}{3}$ ,

m > 0

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow 2. \frac{1 - \cos 2 x}{2} + m \sin 2 x = 2 m \Leftrightarrow m \sin 2 x - \cos 2 x = 2 m - 1.$

Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow m^{2} + 1 < {(2 m - 1)}^{2} \Leftrightarrow 3 m^{2} - 4 m > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < 0 \\ m > \frac{4}{3} \end{array} .$ Chọn B

Câu 126:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

[- 3; 3]

để phương trình

(m^{2} + 2) \cos^{2} x - 2 m \sin 2 x + 1 = 0

có nghiệm.

A. 3.

B.7 .

C. 6.

D.4.

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow (m^{2} + 2) . \frac{1 + \cos 2 x}{2} - 2 m \sin 2 x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 4 m \sin 2 x - (m^{2} + 2) \cos 2 x = m^{2} + 4$ .

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow 16 m^{2} + {(m^{2} + 2)}^{2} \geq {(m^{2} + 4)}^{2} \Leftrightarrow 12 m^{2} \geq 12 \Leftrightarrow m^{2} \geq 1 \Leftrightarrow |m| \geq 1$

$\to_{m \in [- 3; 3]}^{m \in ℤ} m \in \{- 3; - 2; - 1; 1; 2; 3\} \overset{}{\to}$ có 6 giá trị nguyên. Chọn C

Câu 127:

Giải phương trình

\sin x \cos x + 2 (\sin x + \cos x) = 2

.

A.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = k π \end{array}, k \in ℤ .

B.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = k 2 π \end{array}, k \in ℤ .

C.

[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = k 2 π \end{array}, k \in ℤ .

D.

[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{2} + k π \\ x = k π \end{array}, k \in ℤ .

Xem đáp án

Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$ . Vì $\sin (x + \frac{π}{4}) \in [- 1; 1] \Rightarrow t \in [- \sqrt{2}; \sqrt{2}]$ .

Ta có $t^{2} = {(\sin x + \cos x)}^{2} = \sin^{2} x + \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2}$ .

Khi đó, phương trình đã cho trở thành $\frac{t^{2} - 1}{2} + 2 t = 2 \Leftrightarrow t^{2} + 4 t - 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 5 (l o a ï i) \end{array} .$

Với $t = 1$ , ta được $\sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \sin \frac{π}{4}$ .

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x + \frac{π}{4} = π - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ$ . Chọn B

Câu 128:

Cho phương trình

3 \sqrt{2} (\sin x + \cos x) + 2 \sin 2 x + 4 = 0

. Đặt

t = \sin x + \cos x

, ta được phương trình nào dưới đây?

A.

2 t^{2} + 3 \sqrt{2} t + 2 = 0.

B. $4 t^{2} + 3 \sqrt{2} t + 4 = 0.$

C.

2 t^{2} + 3 \sqrt{2} t - 2 = 0.

D.

4 t^{2} + 3 \sqrt{2} t - 4 = 0.

Xem đáp án

Đặt $t = \sin x + \cos x \overset{}{\to} s i n 2 x = t^{2} - 1.$

Phương trình đã cho trở thành $3 \sqrt{2} t + 2 (t^{2} - 1) + 4 = 0 \Leftrightarrow 2 t^{2} + 3 \sqrt{2} t + 2 = 0.$ Chọn A

Câu 129:

Cho phương trình

5 \sin 2 x + \sin x + \cos x + 6 = 0

. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình đã cho?

A.

\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} .

B.

\cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} .

C.

\tan x = 1.

D.

1 + \tan^{2} x = 0.

Xem đáp án

Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$ . Điều kiện $- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} .$

Ta có $t^{2} = {(\sin x + \cos x)}^{2} = \sin^{2} x + \cos^{2} x + 2. \sin x . \cos x \Rightarrow \sin 2 x = t^{2} - 1.$

Khi đó, phương trình đã cho trở thành $5 (t^{2} - 1) + t + 6 = 0 \Leftrightarrow 5 t^{2} + t + 1 = 0$ : vô nghiệm.

Nhận thấy trong các đáp án A, B, C, D thì phương trình ở đáp án D vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình $1 + \tan^{2} x = 0.$ Chọn D

Câu 130:

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình

\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2} \sin 2 x

là:

A.

- \frac{π}{2} .

B.

- π .

C.

- \frac{3 π}{2} .

D.

- 2 π .

Xem đáp án

Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$ . Điều kiện $- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} .$

Ta có $t^{2} = {(\sin x + \cos x)}^{2} = \sin^{2} x + \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin 2 x = t^{2} - 1.$

Phương trình đã cho trở thành $t = 1 - \frac{t^{2} - 1}{2} \Leftrightarrow t^{2} + 2 t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 3 (l o a ï i) \end{array} .$

Với t=1, ta được $\sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \sin \frac{π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x + \frac{π}{4} = π - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ$ .

TH1. Với $x = k 2 π < 0 \Leftrightarrow k < 0 \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\max} = - 1 \to x = - 2 π .$

TH2. Với $x = \frac{π}{2} + k 2 π < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{1}{4} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\max} = - 1 \to x = - \frac{3 π}{2} .$

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x = - \frac{3 π}{2}$ . Chọn C

Câu 131:

Cho x thỏa mãn phương trình

\sin 2 x + \sin x - \cos x = 1

. Tính

\sin (x - \frac{π}{4}) .

A. $\sin (x - \frac{π}{4}) = 0$ hoặc

\sin (x - \frac{π}{4}) = 1

.

B. $\sin (x - \frac{π}{4}) = 0$ hoặc

\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

C.

\sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} .

D. $\sin (x - \frac{π}{4}) = 0$ hoặc

\sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}

.

Xem đáp án

Đặt $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ . Điều kiện $- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} .$

Ta có $t^{2} = {(\sin x - \cos x)}^{2} = \sin^{2} x + \cos^{2} x - 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin 2 x = 1 - t^{2} .$

Phương trình đã cho trở thành $1 - t^{2} + t = 1 \Leftrightarrow t^{2} - t = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = 1 \end{array}$ .

Với t=1, ta được $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} .$

Với t=0, ta được $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 0 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = 0.$

Chọn B

Câu 132:

Từ phương trình

5 \sin 2 x - 16 (\sin x - \cos x) + 16 = 0

, ta tìm được

\sin (x + \frac{π}{4})

có giá trị bằng:

A.

\frac{\sqrt{2}}{2} .

B.

- \frac{\sqrt{2}}{2} .

C.1

D.

\pm \frac{\sqrt{2}}{2} .

Xem đáp án

Đặt $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ . Điều kiện $- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} .$

Ta có $t^{2} = {(\sin x - \cos x)}^{2} = \sin^{2} x + \cos^{2} x - 2. \sin x \cos x \Rightarrow \sin 2 x = 1 - t^{2} .$

Phương trình đã cho trở thành $5 (1 - t^{2}) - 16 t + 16 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - \frac{21}{5} (l o a ï i) \end{array} .$

Với $t = 1 \Rightarrow \sin x - \cos x = 1.$ (*)

Mặt khác ${(\sin x + \cos x)}^{2} + {(\sin x - \cos x)}^{2} = 2$ , kết hợp với (*) suy ra

${(\sin x + \cos x)}^{2} + 1 = 2 \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \pm 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Chọn D

Câu 133:

Cho x thỏa mãn

6 (\sin x - \cos x) + \sin x \cos x + 6 = 0

. Tính

\cos (x + \frac{π}{4}) .

A.

\cos (x + \frac{π}{4}) = - 1.

B.

\cos (x + \frac{π}{4}) = 1.

C.

\cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} .

D.

\cos (x + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} .

Xem đáp án

Đặt $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ . Điều kiện $- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} .$

Ta có $t^{2} = {(\sin x - \cos x)}^{2} = \sin^{2} x + \cos^{2} x - 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2} .$

Phương trình đã cho trở thành $6 t + \frac{1 - t^{2}}{2} + 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = 13 (l o a ï i) \end{array}$

$\Rightarrow \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = - 1 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sin (\frac{π}{4} - x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \cos [\frac{π}{2} - (\frac{π}{4} - x)] = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} .$ Chọn C

Câu 134:

Từ phương trình

(1 + \sqrt{3}) (\cos x + \sin x) - 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} - 1 = 0

, nếu ta đặt

t = \cos x + \sin x

thì giá trị của t nhận được là:

A. t=1 hoặc

t = \sqrt{2}

.

B. t=1 hoặc

t = \sqrt{3}

C. t=1.

D. $t = \sqrt{3}$ .

Xem đáp án

Đặt $t = \sin x - \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \overset{}{\to} \sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2} .$

Phương trình trở thành $(1 + \sqrt{3}) t - (t^{2} - 1) - \sqrt{3} - 1 = 0$

$\Leftrightarrow t^{2} - (1 + \sqrt{3}) t + \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = \sqrt{3} (l o a ï i) \end{array} \Leftrightarrow t = 1.$ Chọn C

Câu 135:

Nếu

(1 + \sqrt{5}) (\sin x - \cos x) + \sin 2 x - 1 - \sqrt{5} = 0

thì

\sin x

bằng bao nhiêu?

A. $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

B.

\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}

hoặc

\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}

C. $\sin x = - 1$ hoặc

\sin x = 0

.

D.

\sin x = 0

hoặc

\sin x = 1

.

Xem đáp án

Đặt $t = \sin x - \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \overset{}{\to} \sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2} .$

Phương trình trở thành $(1 + \sqrt{5}) t + 1 - t^{2} - 1 - \sqrt{5} = 0$

$\Leftrightarrow t^{2} - (1 + \sqrt{5}) t + \sqrt{5} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = \sqrt{5} (l o a ï i) \end{array}$

$\Rightarrow \sin x - \cos x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \sin x - 1$ .

Mặt khác $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \Rightarrow \sin^{2} x + {(\sin x - 1)}^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = 0 \\ \sin x = 1 \end{array} .$ Chọn D

Câu 136:

Nếu

(1 + \sin x) (1 + \cos x) = 2

thì

\cos (x - \frac{π}{4})

bằng bao nhiêu?

A.-1

B.1.

C.

\frac{\sqrt{2}}{2} .

D.

- \frac{\sqrt{2}}{2} .

Xem đáp án

Ta có $(1 + \sin x) (1 + \cos x) = 2 \Leftrightarrow 1 + \sin x + \cos x + \sin x . \cos x = 2$

$\Leftrightarrow \sin x + \cos x + \sin x . \cos x = 1 \Leftrightarrow 2 (\sin x + \cos x) + 2. \sin x . \cos x = 2.$ (*)

Đặt $t = \sin x + \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \overset{}{\to} \sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} .$

Khi đó (*) trở thành $2 t + t^{2} - 1 = 2 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 3 (l o a ï i) \end{array}$

$\Rightarrow \sin x + \cos x = 1$ .

Ta có $\cos (x - \frac{π}{4}) = \cos x \cos \frac{π}{4} + \sin x \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos x + \sin x) = \frac{\sqrt{2}}{2} .$ Chọn C

Câu 137:

Cho x thỏa mãn

2 \sin 2 x - 3 \sqrt{6} |\sin x + \cos x| + 8 = 0

. Tính

\sin 2 x .

A.

\sin 2 x = - \frac{1}{2} .

B.

\sin 2 x = - \frac{\sqrt{2}}{2} .

C.

\sin 2 x = \frac{1}{2} .

D.

\sin 2 x = \frac{\sqrt{2}}{2} .

Xem đáp án

Đặt $t = |\sin x + \cos x| = \sqrt{2} |\sin (x + \frac{π}{4})|$ . Vì $\sin (x + \frac{π}{4}) \in [- 1; 1] \Rightarrow t \in [0; \sqrt{2}]$ .

Ta có $t^{2} = {(\sin x + \cos x)}^{2} = \sin^{2} x + \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin 2 x = t^{2} - 1.$

Phương trình đã cho trở thành $2 (t^{2} - 1) - 3 \sqrt{6} t + 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{\sqrt{6}}{2} \\ t = \sqrt{6} (l o a ï i) \end{array}$

$\sin 2 x = t^{2} - 1 = \frac{1}{2} .$ Chọn C

Câu 138:

Hỏi trên đoạn

[0; 2018 π]

, phương trình

|\sin x - \cos x| + 4 \sin 2 x = 1

có bao nhiêu nghiệm?

A. 4037

B. 4036

C. 2018

D.2019

Xem đáp án

Đặt $t = |\sin x - \cos x| = \sqrt{2} |\sin (x - \frac{π}{4})|$ . Vì $\sin (x - \frac{π}{4}) \in [- 1; 1] \Rightarrow t \in [0; \sqrt{2}]$ .

Ta có $t^{2} = {(\sin x - \cos x)}^{2} = \sin^{2} x + \cos^{2} x - 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin 2 x = 1 - t^{2} .$

Phương trình đã cho trở thành $t + 4 (1 - t^{2}) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - \frac{3}{4} (l o a ï i) \end{array} .$

Với $t = 1$ , ta được $\sin 2 x = 0 \Leftrightarrow 2 x = k π \Leftrightarrow x = \frac{k π}{2}, k \in ℤ$ .

Theo giả thiết $x \in [0; 2018 π] \overset{}{\to} 0 \leq \frac{k π}{2} \leq 2018 π \Leftrightarrow 0 \leq k \leq 4046$

$\overset{k \in ℤ}{\to} k \in \{0; 1; 2; 3; ...; 4036\} \overset{}{\to}$ có 4037 giá trị của k nê có 4037 nghiệm. Chọn A

Câu 139:

Từ phương trình

\sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \tan x + \cot x

, ta tìm được

\cos x

có giá trị bằng:

A. 1

B.

- \frac{\sqrt{2}}{2} .

C.

\frac{\sqrt{2}}{2} .

D.

- 1.

Xem đáp án

Điều kiện $\{\begin{cases} \sin x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \sin 2 x \neq 0$ .

Ta có $\sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \tan x + \cot x \Leftrightarrow \sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}$

$\Leftrightarrow \sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\sin x \cos x} \Leftrightarrow 2 \sin x \cos x . \sqrt{2} (\sin x + \cos x) = 2.$

Đặt $t = \sin x + \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \overset{}{\to} \sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} .$

Phương trình trở thành $\Leftrightarrow \sqrt{2} t (t^{2} - 1) = 2 \Leftrightarrow t^{3} - t - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow t = \sqrt{2}$

$\Rightarrow \sin x + \cos x = \sqrt{2} \Leftrightarrow \sin x = \sqrt{2} - \cos x .$

Mà $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \Rightarrow \cos^{2} x + {(\sqrt{2} - \cos x)}^{2} = 1 \Leftrightarrow 2 \cos^{2} x - 2 \sqrt{2} \cos x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {(\sqrt{2} \cos x - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ . Chọn C

Câu 140:

Từ phương trình

1 + \sin^{3} x + \cos^{3} x = \frac{3}{2} \sin 2 x

, ta tìm được

\cos (x + \frac{π}{4})

có giá trị bằng:

A.1

B.

- \frac{\sqrt{2}}{2} .

C.

\frac{\sqrt{2}}{2} .

D.

\pm \frac{\sqrt{2}}{2} .

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow 1 + (\sin x + \cos x) (1 - \sin x \cos x) = \frac{3}{2} \sin 2 x$

$\Leftrightarrow 2 + (\sin x + \cos x) (2 - \sin 2 x) = 3 \sin 2 x .$

Đặt $t = \sin x + \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \overset{}{\to} \sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} .$

Phương trình trở thành $2 + t (2 - t^{2} + 1) = 3 (t^{2} - 1)$

$\Leftrightarrow t^{3} + 3 t^{2} - 3 t - 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = - 1 \pm \sqrt{6} (l o a ï i) \end{array} .$

Với $t = - 1$ , ta được $\sin x + \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Mà $\sin^{2} (x + \frac{π}{4}) + \cos^{2} (x + \frac{π}{4}) = 1 \overset{}{\to} \cos^{2} (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{4}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} .$ Chọn D

Câu 141:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

\sin x \cos x - \sin x - \cos x + m = 0

có nghiệm?

A.1

B.2

C.3

D.4.

Xem đáp án

Đặt $t = \sin x + \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \overset{}{\to} \sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} .$

Phương trình trở thành $\frac{t^{2} - 1}{2} - t + m = 0 \Leftrightarrow - 2 m = t^{2} - 2 t - 1 \Leftrightarrow {(t - 1)}^{2} = - 2 m + 2$ .

Do $- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} \overset{}{\to} - \sqrt{2} - 1 \leq t - 1 \leq \sqrt{2} - 1 \overset{}{\to} 0 \leq {(t - 1)}^{2} \leq 3 + 2 \sqrt{2}$ .

Vậy để phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow 0 \leq - 2 m + 2 \leq 3 + 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow - \frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2} \leq m \leq 1$

$\overset{m \in ℤ}{\to} m \in \{- 1; 0; 1\} .$ Chọn C