10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Nhận biết và chứng minh hai đường thẳng vuông góc có đáp án

Câu 1:

Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A. AD vuông góc với BC;

B. AD song song với BC;

C. AD cắt BC tại một điểm;

D. Không có khẳng định nào đúng.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau (ảnh 1)

Gọi P là trung điểm của BC.

Vì các tam giác ABC và DBC cân nên:

AP vuông góc với BC

DP vuông góc với BC

Ta có: $\vec{B C} . \vec{A D} = \vec{B C} (\vec{P D} - \vec{P A}) = \vec{B C} . \vec{P D} - \vec{B C} . \vec{P A} = 0$ .

Vậy BC vuông góc với AD

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và $\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. SA vuông góc với AB;

B. SB vuông góc với SC;

C. SA vuông góc với BC;

D. SA vuông góc với AB.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC (ảnh 1)

Ta có: $\begin{array}{l} \vec{S A} . \vec{B C} = \vec{S A} (\vec{S C} - \vec{S B}) = \vec{S A} . \vec{S C} - \vec{S A} . \vec{S B} \\ = S A . S C . \cos \hat{A S C} - S A . S B . \cos \hat{A S B} \\ = 0 \end{array}$

Vậy SA vuông góc với BC.

Câu 3:

Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁. Chọn khẳng định đúng?

A. Góc giữa AC và BD₁ bằng

90 °

;

B. Góc giữa B₁D₁ và AA₁ bằng

90 °

;

C. Góc giữa AD và B₁C bằng

90 °

;

D. Góc giữa B₁A₁ và A₁C₁ bằng

90 °

.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Chọn khẳng định đúng (ảnh 1)

Ta có:

$\vec{A A_{1}} . \vec{B_{1} D_{1}} = \vec{B B_{1}} . \vec{B D} = \vec{B B_{1}} . (\vec{B A} + \vec{B C})$ (sử dụng các vectơ bằng nhau và tính chất hình bình hành)

$= \vec{B B_{1}} . \vec{B A} + \vec{B B_{1}} . \vec{B C} = 0$

Vậy góc giữa AA₁ và B₁D₁ bằng $90 °$ .

Câu 4:

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau;

B. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại

C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau;

D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Theo lí thuyết ta có: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

Câu 5:

Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và DB sao cho $\vec{M A} = k \vec{M B}$ , $\vec{N D} = k \vec{N B}$ . Hai đường thẳng MN và BC có quan hệ:

A. vuông góc;

B. song song;

C. trùng nhau;

D. cắt nhau.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $\vec{M A} = k \vec{M B}$ , $\vec{N D} = k \vec{N B}$ , suy ra $\frac{M B}{M A} = \frac{N B}{N D} = - \frac{1}{k}$ .

Từ đó suy ra MN // AD (định lí Thalès đảo trong tam giác ABD). (1)

Gọi I là trung điểm của BC, thì các tam giác ABC và DBC cân nên:

AI vuông góc với BC

DI vuông góc với BC

Ta có: $\vec{B C} . \vec{A D} = \vec{B C} (\vec{I D} - \vec{I A}) = \vec{B C} . \vec{I D} - \vec{B C} . \vec{I A} = 0$

Do đó, BC vuông góc với AD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC và MN vuông góc với nhau.

Câu 6:

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC, BD, DA. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A. MNPQ là hình vuông;

B. MNPQ là hình bình hành;

C. MNPQ là hình chữ nhật;

D. MNPQ là hình thoi.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh (ảnh 1)

Đặt AB = AD = AC = a.

Ta có: $\vec{C D} . \vec{A B} = (\vec{A D} - \vec{A C}) . \vec{A B}$

$= \vec{A D} . \vec{A B} - \vec{A C} . \vec{A B} = A B . A D . \cos 60 ° - A B . A C . \cos 60 ° = a . a . \frac{1}{2} - a . a . \frac{1}{2} = 0$

Do đó, AB vuông góc với CD.

Dễ thấy MN, PQ lần lượt là đường trung bình của các tam giác ABC và ABD.

Khi đó, MN // PQ // AB và MN = PQ = $\frac{A B}{2}$ = $\frac{a}{2}$ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lại có:

MN // AB

NP // CD (do NP là đường trung bình của tam giác BCD)

AB ⊥ CD

Khi đó, MN ⊥ NP.

Do đó, MNPQ là hình chữ nhật.

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo góc (MN, SC) bằng:

A. 45 $°$

B. 30 $°$

C. $90 °$

D. 60 $°$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. (ảnh 1)

Ta có: AC = $a \sqrt{2}$

⇒ AC² = 2a² = SA² + SC²

Do đó tam giác SAC vuông tại S.

Khi đó: $\vec{N M} . \vec{S C} = \frac{1}{2} \vec{S A} . \vec{S C} = 0 \Leftrightarrow (\vec{N M}, \vec{S C}) = 90 °$

Do đó, MN vuông góc với SC hay $(N M, S C) = 90 °$ .

Câu 8:

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $\hat{B A C} = \hat{B A D} = 60 °$ , $\hat{C A D} = 90 °$ . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. AC và IJ vuông góc với nhau;

B. AB là IJ vuông góc với nhau;

C. BD và IJ vuông góc với nhau;

D. AD và IJ vuông góc với nhau.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và góc BAC= BAD=60 độ , CAD= 90 độ (ảnh 1)

Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD

Do đó: $\vec{I J} = \frac{1}{2} (\vec{I C} + \vec{I D})$

Tam giác ABC có AB = AC và $\hat{B A C} = 60 °$ nên tam giác ABC đều

Do đó, CI vuông góc với AB (1).

Tương tự, ta có tam giác ABD đều nên DI vuông góc với AB (2).

Từ (1) và (2) có:

$\vec{I J} . \vec{A B} = \frac{1}{2} (\vec{I C} + \vec{I D}) . \vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{I C} . \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{I D} . \vec{A B} = 0$ .

Do đó, IJ vuông góc với AB.

Câu 9:

Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b;

B. Nếu a // b và c ⊥ a thì c ⊥ b;

C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a // b

D. Nếu a và b cùng nằm trong mặt phẳng song song với c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Nếu a // b và c ⊥ a thì c ⊥ b.

Câu 10:

Cho bài toán sau:

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu: $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A C} . \vec{A D} = \vec{A D} . \vec{A B}$ thì AB vuông góc với CD, AC vuông góc với BD, AD vuông góc với BC. Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải

Cho bài toán sau: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu: (ảnh 1)

Bước 1: $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A C} . \vec{A D} \Leftrightarrow \vec{A C} (\vec{A B} - \vec{A D}) = 0 \Leftrightarrow \vec{A C} . \vec{D B} = 0$

Do đó, AC vuông góc với BD.

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ $\vec{A C} . \vec{A D} = \vec{A D} . \vec{A B}$ ta được AD vuông góc với BC và $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A D} . \vec{A B}$ ta được AB vuông góc với CD.

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1, bước 2 là quá trình biến đổi tương đương.

Hướng giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Sai ở bước 3;

B. Đúng;

C. Sai ở bước 2;

D. Sai ở bước 1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Hướng giải trên là đúng.