6 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Ứng dụng tính liên tục trong giải phương trình có đáp án

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục có đáp án (Mới nhất)

Dạng 3: Ứng dụng tính liên tục trong giải phương trình có đáp án

759 lượt thi
6 câu hỏi
45 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

b) $2 x + 6 \sqrt[3]{1 - x} = 3$

Xem đáp án

b) Đặt $\sqrt[3]{1 - x} = t \Leftrightarrow x = 1 - t^{3} \Rightarrow 2 t^{3} - 6 t + 1 = 0$

- Xét hàm số $f (t) = 2 t^{3} - 6 t + 1$ liên tục trên R

- Ta có: $\{\begin{cases} f (- 2) . f (- 1) = - 3.5 < 0 \\ f (0) . f (1) = 1. (- 3) < 0 \\ f (1) . f (2) = - 3.5 < 0 \end{cases} \Rightarrow$ tồn tại 3 số $t_{1}, t_{2}$ và $t_{3}$ lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một không giao nhau là $(- 2; - 1), (0; 1)$ và $(1; 2)$ sao cho $f (t_{1}) = f (t_{2}) = f (t_{3}) = 0$ và do đây là phương trình bậc 3 nên $f (t) = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.

- Ứng với mỗi giá trị $t_{1}, t_{2}$ và $t_{3}$ ta tìm được duy nhất một giá trị thỏa mãn $x = 1 - t^{3}$ và hiển nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Câu 2:

Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:

a) $x^{5} - 3 x + 3 = 0$

Xem đáp án

a) Xét $f (x) = x^{5} - 3 x + 3.$

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty \Rightarrow$ tồn tại một số $x_{1} > 0$ sao cho $f (x_{1}) > 0.$

$\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty \Rightarrow$ tồn tại một số $x_{2} < 0$ sao cho $f (x_{2}) < 0.$

Từ đó $f (x_{1}) . f (x_{2}) < 0 \Rightarrow$ luôn tồn tại một số $x_{0} \in (x_{2}; x_{1}) : f (x_{0}) = 0$ nên phương trình $x^{5} - 3 x + 3 = 0$ luôn có nghiệm.

Câu 3:

b) $x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + x + 1 = 0$

Xem đáp án

b) Xét $f (x) = x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ liên tục trên R

Ta có: $f (- 1) = - 3 < 0$

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty \Rightarrow$ tồn tại một số a > 0 sao cho f(a) > 0

Từ đó

\Rightarrow x^{2} - x - 3 = 0

nên luôn tồn tại một số

x_{0} \in (0; a)

thỏa mãn

f (x_{0}) = 0

nên phương trình

x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + x + 1 = 0

luôn có nghiệm

Câu 4:

Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:

a) $(1 - m^{2}) {(x + 1)}^{3} + x^{2} - x - 3 = 0$

Xem đáp án

a) Xét $[\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 1 \end{array}$ . Phương trình có dạng $x^{2} - x - 3 = 0$ nên PT có nghiệm

Với $\{\begin{cases} m \neq 1 \\ m \neq 1 \end{cases}$ giả sử $f (x) = (1 - m^{2}) {(x + 1)}^{3} + x^{2} - x - 3$

f(x) liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [-1;0]

Ta có $f (- 1) = m^{2} + 1 > 0; f (0) = - 1 < 0 \Rightarrow f (- 1) . f (0) < 0$

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

Câu 5:

b) $\cos x + m \cos 2 x = 0$

Xem đáp án

b) Đặt $f (x) = \cos x + m \cos 2 x \Rightarrow f (x)$ liên tục trên R

Ta có $f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0; f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} < 0 \Rightarrow f (\frac{π}{4}) . f (\frac{3 π}{4}) < 0$

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

Câu 6:

c) $m (2 \cos x - \sqrt{2}) = 2 \sin 5 x + 1$

Xem đáp án

c) Đặt $f (x) = m (2 \cos x - \sqrt{2}) - 2 \sin 5 x - 1 \Rightarrow f (x)$ liên tục trên R

Ta có $f (\frac{π}{4}) = - \sqrt{2} - 1 < 0; f (- \frac{π}{4}) = \sqrt{2} - 1 > 0 \Rightarrow f (\frac{π}{4}) . f (\frac{3 π}{4}) < 0$

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

Bắt đầu thi ngay