30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 12 Bài Thể tích lăng trụ đứng có đáp án (Mới nhất)

Câu 1:

Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} .

D.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .

Xem đáp án

Xét khối lăng trụ tam giác đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có tất cả các cạnh bằng a

Diện tích tam giác đều cạnh a là $S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$

Chiều cao của lăng trụ $h = A A' = a .$

Vậy thể tích khối lăng trụ là $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S . h = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

Chọn D.

Câu 2:

Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và tổng diện tích các mặt bên bằng $3 a^{2} .$

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .

D.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .

Xem đáp án

Xét khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy ABC là tam giác đều và

A A^{'} ⊥ (A B C) .

Diện tích xung quanh lăng trụ là $S_{x q} = 3. S_{A B B^{'} A^{'}}$

$\Leftrightarrow 3 a^{2} = 3. (A A^{'} . A B) \Leftrightarrow 3 a^{2} = 3. (A A^{'} . a) \Rightarrow A A^{'} = a .$

Diện tích tam giác ABC là $S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$

Vậy thể tích khối lăng trụ là $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . A A^{'} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

Chọn D.

Câu 3:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BB'=a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và $A C = a \sqrt{2}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = \frac{a^{3}}{6} .$

B.

V = \frac{a^{3}}{3} .

C.

V = \frac{a^{3}}{2} .

D.

V = a^{3} .

Xem đáp án

Tam giác ABC vuông cân tại B,

suy ra $B A = B C = \frac{A C}{\sqrt{2}} = a \Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{a^{2}}{2} .$

Vậy thể tích khối lăng trụ $V = S_{Δ A B C} . B B^{'} = \frac{a^{3}}{2} .$

Chọn C.

Câu 4:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác với AB=a, AC=2a, $\hat{B A C} = 120^{0}, A A' = 2 a \sqrt{5}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = 4 a^{3} \sqrt{5}$ .

B.

V = a^{3} \sqrt{15}

.

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{3}$ .

D. $V = \frac{4 a^{3} \sqrt{5}}{3}$ .

Xem đáp án

Diện tích tam giác ABC là $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C . \sin \hat{B A C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$ .

Vậy thể tích khối lăng trụ $V_{A B C . A' B' C'} = S_{Δ A B C} . A A' = a^{3} \sqrt{15} .$ Chọn B.

Câu 5:

Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' biết $A C' = a \sqrt{3} .$

A. $V = a^{3} .$

B. $V = \frac{3 \sqrt{6} a^{3}}{4} .$

C. $V = 3 \sqrt{3} a^{3} .$

D.

V = \frac{1}{3} a^{3} .

Xem đáp án

Đặt cạnh của khối lập phương là $x (x > 0) .$

Suy ra $C C' = x; A C = x \sqrt{2}$ .

Tam giác vuông ACC', có $A C' = \sqrt{A C^{2} + C C'^{2}} \Leftrightarrow x \sqrt{3} = a \sqrt{3} \Rightarrow x = a .$

Vậy thể tích khối lập phương

V = a^{3} .

Chọn A.

Câu 6:

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh 2a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho theo a, biết

A' B = 3 a

.

A. $V = \frac{4 \sqrt{5} a^{3}}{3}$ .

B.

V = 4 \sqrt{5} a^{3}

.

C. $V = 2 \sqrt{5} a^{3}$ .

D. $V = 12 a^{3}$ .

Xem đáp án

Do $A B C D . A' B' C' D'$ là lăng trụ đứng nên $A A' ⊥ A B$ .

Xét tam giác vuông $A' A B$ , ta có $A' A = \sqrt{A' B^{2} - A B^{2}} = a \sqrt{5}$ .

Diện tích hình vuông ABCD là $S_{A B C D} = A B^{2} = 4 a^{2}$ .

Vậy

V_{A B C D . A' B' C' D'} = S_{A B C D} . A' A = 4 \sqrt{5} a^{3} .

Chọn B.

Câu 7:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, $A D = a \sqrt{2}, A B' = a \sqrt{5}$ . Tính theo a thể tích khối hộp đã cho.

A. $V = a^{3} \sqrt{10}$ .

B.

V = \frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}

.

C. $V = a^{3} \sqrt{2}$ .

D. $V = 2 a^{3} \sqrt{2}$ .

Xem đáp án

Trong tam giác vuông ABB', có $B B' = \sqrt{A B'^{2} - A B^{2}} = 2 a$ .

Diện tích hình chữ nhật ABCD là $S_{A B C D} = A B . A D = a^{2} \sqrt{2}$ .

Vậy $V_{A B C D . A' B' C' D'} = S_{A B C D} . B B' = 2 a^{3} \sqrt{2} .$ Chọn D.

Câu 8:

Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là $10 {cm}^{2}, 20 {cm}^{2}, 32 {cm}^{2} .$ Tính thể tích V của hình hộp chữ nhật đã cho.

A. $V = 80 {cm}^{3} .$

B.

V = 160 {cm}^{3} .

C.

V = 40 {cm}^{3} .

D.

V = 64 {cm}^{3} .

Xem đáp án

Xét hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật.

Theo bài ra, ta có $\{\begin{cases} S_{A B C D} = 10 {cm}^{2} \\ S_{A B B^{'} A^{'}} = 20 {cm}^{2} \\ S_{A D D^{'} A^{'}} = 30 {cm}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} A B . A D = 10 \\ A B . A A^{'} = 20 \\ A A^{'} . A D = 32 \end{cases} .$

Nhân vế theo vế, ta được ${(A A^{'} . A B . A D)}^{2} = 6400 \Rightarrow A A^{'} . A B . A D = 80.$

Vậy $V_{A B C D . A' B' C' D'} = A A^{'} . A B . A D = 80 {cm}^{3} .$ Chọn A.

Câu 9:

Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo $d = \sqrt{21} .$ Độ dài ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân có công bội $q = 2.$ Thể tích của khối hộp chữ nhật là

A. $V = 8.$

B.

V = \frac{8}{3} .

C.

V = \frac{4}{3} .

D.

V = 6.

Xem đáp án

Xét hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có độ dài kích thước ba cạnh lần lượt là $A A^{'} = a, A B = b, A D = c$ và có đường chéo $A C^{'} .$

Theo bài ra, ta có $a, b, c$ lập thành cấp số nhân có công bội $q = 2$ . Suy ra $\{\begin{cases} b = 2 a \\ c = 4 a \end{cases} .$

Mặt khác, độ dài đường chéo $A C^{'} = \sqrt{21} \Rightarrow A {A^{'}}^{2} + A B^{2} + A D^{2} = 21 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} = 21.$

Ta có hệ $\{\begin{cases} c = 2 b = 4 a \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} = 21 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = 2 b = 4 a \\ a^{2} + {(2 a)}^{2} + {(4 a)}^{2} = 21 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = 2 b = 4 a \\ 21 a^{2} = 21 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 4 \end{cases} .$

Vậy thể tích khối hộp chữ nhật $V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = A A^{'} . A B . A D = a b c = 8.$ Chọn A.

Câu 10:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và $B A = B C = 1$ . Cạnh A'B tạo với mặt đáy $(A B C)$ góc $60^{0}$ . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = \sqrt{3}$ .

B.

V = \frac{\sqrt{3}}{6}

.

C. $V = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

D. $V = \frac{1}{2}$ .

Xem đáp án

Vì $A B C . A' B' C'$ là lăng trụ đứng nên $A A' ⊥ (A B C)$ , suy ra hình chiếu vuông góc của $A' B$ trên mặt đáy $(A B C)$ là AB.

Do đó $60^{0} = \hat{A' B, (A B C)} = \hat{A' B, A B} = \hat{A' B A}$ .

Tam giác vuông A'AB, ta có $A A' = A B . \tan \hat{A' B A} = \sqrt{3} .$

Diện tích tam giác ABC là $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} B A . B C = \frac{1}{2} .$

Vậy

V = S_{Δ A B C} . A A' = \frac{\sqrt{3}}{2} .

Chọn C.

Câu 11:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=AA'=a, đường chéo A'C hợp với mặt đáy $(A B C D)$ một góc $α$ thỏa mãn $\cot α = \sqrt{5}$ . Tính theo a thể tích khối hộp đã cho.

A. $V = 2 a^{3}$ .

B.

V = \frac{2 a^{3}}{3}

.

C. $V = \sqrt{5} a^{3}$ .

D. $V = \frac{a^{3}}{\sqrt{5}}$ .

Xem đáp án

Ta có $A A' ⊥ (A B C D)$ nên $\hat{A' C, (A B C D)} = \hat{A' C, A C} = \hat{A' C A}$

Tam giác vuông $A' A C$ , ta có $A C = A A' . \cot α = a \sqrt{5}$ .

Tam giác vuông ABC, ta có $B C = \sqrt{A C^{2} - A B^{2}} = 2 a$ .

Diện tích hình chữ nhật ABCD là $S_{A B C D} = A B . B C = 2 a^{2}$ .

Vậy $V_{A B C D . A' B' C' D'} = S_{A B C D} . A A' = 2 a^{3} .$ Chọn A.

Câu 12:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với $A B = A C = a, \hat{B A C} = 120^{0},$ mặt phẳng $(A B^{'} C^{'})$ tạo với đáy một góc $60^{0} .$ Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = \frac{3 a^{3}}{8} .$

B.

V = \frac{9 a^{3}}{8} .

C.

V = \frac{a^{3}}{8} .

D.

V = \frac{3 a^{3}}{4} .

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng B'C'. Tam giác ABC cân tại $A \overset{}{\to}$ tam giác A'B'C' cân tại $A^{'} \overset{}{\to} A^{'} M ⊥ B^{'} C^{'} .$

Lại có $B^{'} C^{'} ⊥ A A^{'}$ . Từ đó suy ra $B^{'} C^{'} ⊥ (A A^{'} M) \overset{}{\to} B^{'} C^{'} ⊥ A M .$

Do đó $60^{0} = \hat{(A B^{'} C^{'}), (A^{'} B^{'} C^{'})} = \hat{(A M; A^{'} M)} = \hat{A M A^{'}} .$

Tam giác vuông A'B'M, có $A^{'} M = A^{'} B^{'} . \cos \hat{M A^{'} B^{'}} = a . \cos 60^{0} = \frac{a}{2} .$

Tam giác vuông AA'M, có $A A^{'} = A^{'} M . \tan \hat{A M A^{'}} = \frac{a}{2} . \tan 60^{0} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Diện tích tam giác $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C . \sin \hat{B A C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$

Vậy

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . A A^{'} = \frac{3 a^{3}}{8} .

Chọn A.

Câu 13:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân, AB=a và $\hat{B A C} = 120^{0}$ , góc giữa mặt phẳng $(A' B C)$ và mặt đáy $(A B C)$ bằng $60^{0}$ . Tính theo a thể tích khối lăng trụ.

A. $V = \frac{a^{3}}{8}$ .

B. $V = \frac{3 a^{3}}{8}$ .

C. $V = \frac{3 a^{3}}{4}$ .

D. $V = \frac{3 a^{3}}{24}$ .

Xem đáp án

Chọn B.

Câu 14:

Tính theo a thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Biết rằng mặt phẳng $(A' B C)$ hợp với đáy $(A B C D)$ một góc $60^{0}$ , A'C hợp với đáy $(A B C D)$ một góc $30^{0}$ và $A A' = a \sqrt{3}$ .

A. $V = 2 a^{3} \sqrt{6}$ .

B.

V = \frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{3}

.

C. $V = 2 a^{3} \sqrt{2}$ .

D. $V = a^{3}$ .

Xem đáp án

Ta có $30^{0} = \hat{A' C, (A B C D)} = \hat{A' C, A C} = \hat{A' C A};$ $60^{0} = \hat{(A' B C), (A B C D)} = \hat{A' B, A B} = \hat{A' B A}$

Tam giác vuông A'AB, có $A B = \frac{A A'}{\tan \hat{A' B A}} = a$ .

Tam giác vuông A'AC, có $A C = \frac{A A'}{\tan \hat{A' C A}} = 3 a$ .

Tam giác vuông ABC,có $B C = \sqrt{A C^{2} - A B^{2}} = 2 a \sqrt{2}$ .

Diện tích hình chữ nhật $S_{A B C D} = A B . B C = 2 a^{2} \sqrt{2}$ .

Vậy $V_{A B C D . A' B' C' D'} = S_{A B C D} . A A' = 2 a^{3} \sqrt{6} .$ Chọn A.

Câu 15:

Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, $\hat{B A D} = 120^{0}$ . Góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng $(A D D' A')$ bằng $30^{0}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ.

A. $V = \sqrt{6}$ .

B.

V = \frac{\sqrt{6}}{6}

.

C. $V = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

D. $V = \sqrt{3}$ .

Xem đáp án

Hình thoi ABCD có $\hat{B A D} = 120^{0}$ , suy ra $\hat{A D C} = 60^{0}$ . Do đó tam giác $A B C$ và $A D C$ là các tam giác đều. Gọi N là trung điểm A'B' nên $\{\begin{cases} C' N ⊥ A' B' \\ C' N = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} .$

Suy ra $30^{0} = \hat{A C', (A D D' A')} = \hat{A C', A N} = \hat{C' A N}$ .

Tam giác vuông C'NA, có $A N = \frac{C' N}{\tan \hat{C' A N}} = \frac{3}{2} .$

Tam giác vuông AA'N, có $A A' = \sqrt{A N^{2} - A' N^{2}} = \sqrt{2}$ .

Diện tích hình thoi $S_{A B C D} = A B^{2} . \sin \hat{B A D} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Vậy

V_{A B C D . A' B' C' D'} = S_{A B C D} . A A' = \frac{\sqrt{6}}{2} .

Chọn C.

Câu 16:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng 2a, đáy ABCD là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. Tính theo a thể tích V của khối hộp đã cho.

A. $V = \frac{4 a^{3} \sqrt{2}}{3}$ .

B. $V = \frac{8 a^{3}}{3}$ .

C.

V = 8 a^{3}

.

D.

V = 4 a^{3} \sqrt{2}

.

Xem đáp án

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD,

suy ra $A' O ⊥ (A B C D)$ .

Tam giác vuông A'OA, có $A' O = \sqrt{A A'^{2} - A O^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - 2 a^{2}} = a \sqrt{2}$

Diện tích hình vuông $S_{A B C D} = 4 a^{2}$ .

Vậy $V_{A B C D . A' B' C' D'} = S_{Δ A B C D} . A' O = 4 a^{3} \sqrt{2} .$ Chọn D.

Câu 17:

Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA'=a , hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng $(A B C D)$ trùng với trung điểm H của AB . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$ .

C.

V = a^{3}

.

D.

V = \frac{a^{3}}{3}

.

Xem đáp án

Theo giả thiết, ta có $A' H ⊥ A B$ .

Tam giác vuông A'AH, có $A' H = \sqrt{A A'^{2} - A H^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Diện tích hình vuông $S_{A B C D} = a^{2}$ .

Vậy

V_{A B C D . A' B' C' D'} = S_{A B C D} . A' H = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} .

Chọn B.

Câu 18:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC=2a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng $(A B C)$ là trung điểm H của cạnh AB và $A' A = a \sqrt{2}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = a^{3} \sqrt{3}$ .

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$ .

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}

.

D.

V = 2 a^{3} \sqrt{2}

.

Xem đáp án

Từ giả thiết suy ra $B A = B C = a \sqrt{2} .$

Tam giác vuông A'AH, có $A' H = \sqrt{A A'^{2} - A H^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2} .$

Diện tích tam giác ABC là $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} B A . B C = a^{2} .$

Vậy

V = S_{Δ A B C} . A' H = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2} .

Chọn C.

Câu 19:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng $(A B C)$ trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết $A' O = a$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$ .

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$ .

C.

V = \frac{a^{3}}{4}

.

D.

V = \frac{a^{3}}{6}

.

Xem đáp án

Diện tích tam giác đều $S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ . Chiều cao khối lăng trụ $A' O = a$ .

Vậy thể tích khối lăng trụ $V = S_{Δ A B C} . A' O = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .$ Chọn A.

Câu 20:

Cho hình lăng trụ S.ABCD có đáy là tam giác đều cạnh $2 a \sqrt{2}$ và $A' A = a \sqrt{3}$ . Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng $(A B C)$ trùng với trọng tâm G của tam giác BC. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = \frac{a^{3}}{2}$ .

B. $V = \frac{2 a^{3}}{3}$ .

C.

V = \frac{a^{3}}{6}

.

D.

V = 2 a^{3}

.

Xem đáp án

Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $A B, B C$ .

Khi đó $G = A N \cap C M$ là trọng tâm $Δ A B C .$

Theo giả thiết, ta có $A' G ⊥ (A B C)$ .

Tam giác $A B C$ đều cạnh $2 a \sqrt{2}$ nên suy ra

$A N = a \sqrt{6} \overset{}{\to} A G = \frac{2}{3} A N = \frac{2}{3} a \sqrt{6} .$

Tam giác vuông A'GA, có $A' G = \sqrt{A' A^{2} - A G^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$

Diện tích tam giác ABC là $S_{Δ A B C} = {(2 a \sqrt{2})}^{2} . \frac{\sqrt{3}}{4} = 2 a^{2} \sqrt{3} .$

Vậy thể tích khối lăng trụ $V_{A B C . A' B' C'} = S_{A B C} . A' G = 2 a^{3} .$ Chọn D.

Câu 21:

Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $A B = A C = a$ . Biết rằng $A' A = A' B = A' C = a$ .

A. $V = \frac{a^{3}}{2}$ .

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$ .

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}

.

D.

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

.

Xem đáp án

Gọi I là trung điểm BC. Từ $A' A = A' B = A' C = a$ , suy ra hình chiếu vuông góc của A' trên mặt đáy $(A B C)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Suy ra $A' I ⊥ (A B C)$ .

Tam giác ABC, có $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = a \sqrt{2} .$

Tam giác vuông A'IB, có $A' I = \sqrt{A' B^{2} - B I^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Diện tích tam giác ABC là $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{a^{2}}{2}$ .

Vậy

V_{A B C . A' B' C'} = S_{Δ A B C} . A' I = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .

Chọn C.

Câu 22:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=1; AC=2 cạnh bên $A A' = \sqrt{2}$ . Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt đáy $(A B C)$ trùng với chân đường cao hạ từ B của tam giác ABC. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = \frac{\sqrt{21}}{4}$ .

B. $V = \frac{\sqrt{21}}{12}$ .

C.

V = \frac{\sqrt{7}}{4}

.

D.

V = \frac{3 \sqrt{21}}{4}

.

Xem đáp án

Gọi H là chân đường cao hạ từ B trong

Δ A B C

.

Theo giả thiết, ta có

A' H ⊥ (A B C) .

Tam giác vuôngABC , có

$B C = \sqrt{A C^{2} - A B^{2}} = \sqrt{3}; A H = \frac{A B^{2}}{A C} = \frac{1}{2}$

Tam giác vuông A'AH, có $A' H = \sqrt{A A'^{2} - A H^{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ .

Diện tích tam giác ABC là $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . B C = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Vậy $V_{A B C . A' B' C'} = S_{Δ A B C} . A' H = \frac{\sqrt{21}}{4} .$ Chọn A.

Câu 23:

Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C' biết thể tích khối chóp A.BCB'C' bằng $2 a^{3} .$

A. $V = 6 a^{3} .$

B.

V = \frac{5 a^{3}}{2} .

C.

V = 4 a^{3} .

D.

V = 3 a^{3} .

Xem đáp án

Ta có thể tích khối chóp $V_{A . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{1}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} .$

Suy ra $V_{A . B C B^{'} C^{'}} = \frac{2}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} \overset{}{\to} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{3}{2} V_{A . B C B^{'} C^{'}} = \frac{3}{2} .2 a^{3} = 3 a^{3} .$ Chọn D.

Câu 24:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng $12 {cm}^{3} .$ Tính thể tích V của khối tứ diện AB'CD'

A. $V = 2 {cm}^{3} .$

B.

V = {3cm}^{3} .

C.

V = {4cm}^{3} .

D.

V = {5cm}^{3} .

Xem đáp án

Gọi S là diện tích mặt đáy ABCD và h là chiều cao khối hộp.

Thể tích khối hộp $V_{A B C D . A' B' C' D'} = S . h = 12 {cm}^{3} .$

Chia khối hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

thành khối tứ diện

A B^{'} C D^{'}

và khối chóp:

A . A^{'} B^{'} D^{'}, C . B^{'} C^{'} D^{'}, B^{'} . B A C, D^{'} . D A C

(như hình vẽ). Ta thấy bốn khối chóp này có thể tích bằng nhau và cùng bằng

\frac{1}{3} . \frac{S}{2} . h .

Suy ra tổng thể tích khối chóp bằng

V' = \frac{2}{3} S h .

Vậy thể tích khối tứ diện $V_{A B^{'} C D^{'}} = S h - \frac{2}{3} S h = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} .12 = 4 {cm}^{3} .$ Chọn C.

Câu 25:

Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và AB=a, $A D = a \sqrt{3}$ ; A'O vuông góc với đáy $(A B C D)$ . Cạnh bên AA' hợp với mặt đáy $(A B C D)$ một góc $45^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}

.

D.

V = a^{3} \sqrt{3}

.

Xem đáp án

Vì $A' O ⊥ (A B C D)$ nên $45^{0} = \hat{A A', (A B C D)} = \hat{A A', A O} = \hat{A' A O}$

Đường chéo hình chữ nhật $A C = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = 2 a \Rightarrow A O = \frac{A C}{2} = a$

Suy ra tam giác A'OA vuông cân tại O nên $A' O = A O = a$

Diện tích hình chữ nhật $S_{A B C D} = A B . A D = a^{2} \sqrt{3}$ .

Vậy $V_{A B C D . A' B' C' D'} = S_{A B C D} . A' O = a^{3} \sqrt{3} .$ Chọn D.

Câu 26:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng $(A B C)$ trùng với trung điểm H của BC. Góc tạo bởi cạnh bên AA' với mặt đáy là $45^{0}$ . Tính thể tích khối trụ ABC.A'B'C'.

A. $V = 3$ .

B. $V = 1$ .

C. $V = \frac{\sqrt{6}}{8}$ .

D.

V = \frac{\sqrt{6}}{24}

.

Xem đáp án

Tam giác ABC đều cạnh bằng 2 nên $A H = \sqrt{3}$ . Vì $A' H ⊥ (A B C)$ nên hình chiếu vuông góc của AA' trên mặt đáy $(A B C)$ là AH. Do đó $45^{0} = \hat{A A', (A B C)} = \hat{A A', A H} = \hat{A' A H}$ . Suy ra tam giác A'HA vuông cân tại A nên $A' H = H A = \sqrt{3}$

Diện tích tam giác đều ABC là $S_{Δ A B C} = \sqrt{3}$ .

Vậy

V = S_{Δ A B C} . A' H = 3.

Chọn A.

Câu 27:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh $A C = 2 \sqrt{2}$ . Biết AC' tạo với mặt phẳng $(A B C)$ một góc $60^{0}$ và $A C^{'} = 4$ . Tính thể tích V của khối đa diện $A B C B^{'} C^{'}$ .

A. $V = \frac{8}{3} .$

B.

V = \frac{16}{3} .

C.

V = \frac{8 \sqrt{3}}{3} .

D.

V = \frac{16 \sqrt{3}}{3} .

Xem đáp án

Gọi H là hình chiếu của C' trên mặt phẳng $(A B C)$ .

Suy ra AH là hình chiếu của AC' trên mặt phẳng $(A B C)$ .

Do đó $60^{0} = \hat{A C^{'}, (A B C)} = \hat{(A C^{'}, A H)} = \hat{H A C^{'}} .$

Tam giác vuông AHC', có $C^{'} H = A C^{'} . \sin \hat{H A C^{'}} = 2 \sqrt{3} .$

Thể tích khối lăng trụ $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . C^{'} H = 8 \sqrt{3} .$

Suy ra thể tích cần tính $V_{A B C B^{'} C^{'}} = \frac{2}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{16 \sqrt{3}}{3} .$ Chọn D.

Câu 28:

Tính thể tích V của một khối lăng trụ biết đáy có diện tích

S = 10 {cm}^{2},

cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc

60^{0}

và độ dài cạnh bên bằng

10 cm .

A. $V = 100 {cm}^{3} .$

B.

V = 50 \sqrt{3} {cm}^{3} .

C.

V = 50 {cm}^{3} .

D. $V = 100 \sqrt{3} {cm}^{3} .$

Xem đáp án

Xét khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác ABC

Gọi H là hình chiếu của A' trên mặt phẳng $(A B C) \Rightarrow A^{'} H ⊥ (A B C) .$ Suy ra AH là hình chiếu của AA' trên mặt phẳng $(A B C) .$ Do đó $60^{0} = \hat{A A^{'}, (A B C)} = \hat{(A A^{'}, A H)} = \hat{A^{'} A H} .$

Tam giác A'AH vuông tại H, có $A^{'} H = A A^{'} . \sin \hat{A^{'} A H} = 5 \sqrt{3} .$

Vậy

V = S_{Δ A B C} . A^{'} H = 50 \sqrt{3} {cm}^{3} .

Chọn B.

Câu 29:

Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O và $\hat{A B C} = 120^{0}$ . Góc giữa cạnh bên AA' và mặt đáy bằng $60^{0}$ . Đỉnh A' cách đều các điểm $A, B, D$ . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = \frac{3 a^{3}}{2}$ .

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}

.

D.

V = a^{3} \sqrt{3}

.

Xem đáp án

Từ giả thiết suy ra tam giác ABC đều cạnh a.

Gọi H là tâm tam giác ABD. Vì A' cách đều các điểm $A, B, D$ nên $A' H ⊥ (A B D)$ .

Do đó

60^{0} = \hat{A A', (A B C D)} = \hat{A A', H A} = \hat{A' A H}

Ta có $A H = \frac{2}{3} A O = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$

Tam giác vuông A'AH, có $A' H = A H . \tan \hat{A' A H} = a$ .

Diện tích hình thoi $S_{A B C D} = 2 S_{Δ A B D} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$ .

Vậy $V_{A B C D . A' B' C' D'} = S_{A B C D} . A' H = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} .$ Chọn C.

Câu 30:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a góc $\hat{A B C} = 60^{0}$ . Biết rằng $A^{'} O ⊥ (A B C D)$ và cạnh bên hợp với đáy một góc bằng $60^{0} .$ Tính thể tích V của khối đa diện $O A B C^{'} D^{'} .$

A. $V = \frac{a^{3}}{6} .$

B.

V = \frac{a^{3}}{12} .

C.

V = \frac{a^{3}}{8} .

D.

V = \frac{3 a^{3}}{4} .

Xem đáp án

Từ giả thiết, suy ra tam giác ABC đều cạnh

a \Rightarrow O A = \frac{A C}{2} = \frac{a}{2} .

Vì

A^{'} O ⊥ (A B C D)

nên

60^{0} = \hat{A A^{'}, (A B C D)} = \hat{(A A^{'}, A O)} = \hat{A^{'} A O} .

Tam giác vuông A'AO, có $O A^{'} = O A . \tan \hat{A^{'} A O} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Suy ra thể tích khối hộp $V = S_{A B C D} . O A^{'} = \frac{3 a^{3}}{4} .$

Ta có $V = V_{O . A B C^{'} D^{'}} + V_{A A^{'} D^{'} . B B^{'} C^{'}} + V_{C^{'} . B O C} + V_{D^{'} . A O D} + V_{O . C D D^{'} C^{'}}$

$= V_{O . A B C^{'} D^{'}} + \frac{1}{2} V + \frac{1}{12} V + \frac{1}{12} V + \frac{1}{6} V \Rightarrow V_{O . A B C^{'} D^{'}} = \frac{V}{6} = \frac{a^{3}}{8} .$

Chọn C.