Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C{\rm{ }}\left( {\alpha \ne - 1} \right)} .\]

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: C

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[\int {\frac{4}{5}{x^3}dx = \frac{1}{5}{x^4} + C.} \]

Với C = 0 thì ta có \[\frac{1}{5}{x^4}\] là một nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{4}{5}{x^3}.\]

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\int {\frac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right| + C} \] với \[x \ne 0.\]

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = 3\int {\cos xdx - \int {1dx = } } } {\rm{ }}3\sin x - x + C\]

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{x^2} - 3x + \frac{1}{x}} \right)} dx\]

\[ = \int {{x^2}dx - \int {3xdx + \int {\frac{1}{x}dx} } } \]

\[ = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C.\]

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[f\left( x \right) = F'\left( x \right) = {\left( {2\sin x - 3\cos x + 1} \right)^\prime }\]\[ = 2\cos x + 3\sin x\].

Vậy \[F\left( x \right) = 2\sin x - 3\cos x + 1\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 2\cos x + 3\sin x.\]

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {{e^{3x}}\left( {1 - 3{e^{ - 5x}}} \right)dx} \]

\[ = \int {\left( {{e^{3x}} - 3{e^{ - 2x}}} \right)dx} \]

\[ = \int {{e^{3x}}dx} - 3\int {{e^{ - 2x}}dx} \]

\[ = \frac{{{e^{3x}}}}{3} + \frac{3}{2}{e^{ - 2x}} + C\].

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = \int {\left( {x + \sin x} \right)dx} } \]\[ = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + C.\]

Mà \[f\left( 0 \right) = 1\] nên \[\frac{{{0^2}}}{2} - \cos 0 + C = 1\] hay C = 2.

Vậy \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + 2.\]

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right)dx} \] \[ = {e^x} + {x^2} + C.\]

Mà \[F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}\] nên \[{e^0} + {0^2} + C = \frac{3}{2}\].

Suy ra \[C = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}\].

Do đó \[F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}.\]

Có: \[F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) = e + 1 + \frac{1}{2} + {e^2} + 4 + \frac{1}{2}\]\[ = {e^2} + e + 6.\]

Vậy \[F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) = {e^2} + e + 6.\]

Đáp án đúng là: A

(I): \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^3} - 3x + \frac{1}{x}} \right)} dx\]\[ = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C.\]

Vậy \[F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3x + \frac{1}{x}.\]

Mệnh đề (I) là mệnh đề đúng.

(II): \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {{{\left( {5x + 3} \right)}^5}dx} \]\[ = \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{{30}} + C\]

Vậy \[F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{{30}} + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}\].

Mệnh đề (II) là mệnh đề sai.

(III). Ta có: \[F'\left( x \right) = {\left( {\frac{3}{2}x\sqrt x + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C} \right)^\prime }\]

\[ = {\left( {\frac{3}{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{3}{x^{\frac{4}{3}}} + \frac{5}{4}{x^{\frac{5}{4}}} + C} \right)^\prime }\]

\[ = \frac{9}{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{16}}{9}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{{25}}{{16}}{x^{\frac{1}{4}}}\]

\[ = \frac{9}{4}\sqrt x + \frac{{16}}{9}\sqrt[3]{x} + \frac{{25}}{{16}}\sqrt[4]{x}\].

Vậy mệnh đề (III) là sai.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {2x + {e^x}} \right)dx} } \]\[ = {x^2} + {e^x} + C.\]

Mà \[F\left( 0 \right) = 2024\] nên \[{0^2} + {e^0} + C = 2024\] hay C = 2023.

Vậy \[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2023.\]

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx\]

\[ = \int {\frac{{x\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)}}{{{x^2}}}} dx\]

\[ = \int {\frac{{{x^3} - 6{x^2} + 9x}}{{{x^2}}}} dx\]

\[ = \int {\left( {x - 6 + \frac{9}{x}} \right)} dx\]

\[ = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + C.\]

Mà \[F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\] nên \[\frac{1}{2} - 6 + 9\ln \left| 1 \right| + C = \frac{5}{2}\] hay C = 8.

Suy ra \[F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + 8.\]

Do đó, \[F\left( 2 \right) = 9\ln 2 - 2\].

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {{{\sin }^2}xdx = \int {\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)dx} } \]

\[ = \int {\frac{1}{2}dx - \frac{1}{2}} \int {\cos 2xdx = \frac{1}{2}x - \frac{{\sin 2x}}{4} + C.} \]

Đáp án đúng là: B

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \sin 3x\\dv = {e^x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 3\cos 3xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]

Ta có: \[I = \int {\sin 3x.{e^x}} dx = \sin 3x.{e^x} - 3\int {\cos 3x.{e^x}dx} \] (1)

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \cos 3x\\dv = {e^x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - 3\sin 3xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]

Ta có: \[\int {\cos 3x.{e^x}dx} = \cos 3x.{e^x} + 3\int {\sin 3x.{e^x}dx} \] (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

\[I = \int {\sin 3x.{e^x}} dx = \sin 3x.{e^x} - 3\left( {\cos 3x.{e^x} + 3\int {\sin 3x.{e^x}dx} } \right)\]

\[I = \int {\sin 3x.{e^x}} dx = \sin 3x.{e^x} - 3\cos 3x.{e^x} - 9I\]

\[10I = \sin 3x.{e^x} - 3\cos 3x.{e^x}\]

\[I = \frac{1}{{10}}\left( {\sin 3x - 3\cos 3x} \right){e^x} + C\]

Mà \[F\left( 0 \right) + C = 1 \Leftrightarrow - \frac{3}{{10}} + C = 1\] hay \[C = \frac{{13}}{{10}}.\]

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {{x^2}{e^x}dx} \]

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]

Suy ra \[F\left( x \right) = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx} \] (1)

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]

Do đó, \[\int {x{e^x}dx} = x{e^x} - \int {{e^x}} dx = x{e^x} - {e^x}\] (2).

Thay (2) vào (1), ta được: \[F\left( x \right) = {x^2}{e^x} - 2\left( {x{e^x} - {e^x}} \right)\]

\[F\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2{e^x} + 2} \right){e^x}\].

Do đó, \[a = 1,b = - 2,c = 2\].

Vậy \[P = abc = - 4.\]

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[F'\left( x \right) = {\left( {\sin x{e^x}} \right)^\prime } = \left( {\sin x + \cos x} \right){e^x} = f\left( x \right).{e^x}\]

Suy ra \[f\left( x \right) = \sin x + \cos x.\]

Khi đó \[f'\left( x \right).{e^x} = \left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}\]

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x - \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( { - \sin x - \cos x} \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]

Ta có: \[I = \int {\left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}dx = \left( {\cos x - \sin x} \right){e^x} + \int {\left( {\sin x + \cos x} \right){e^x}dx} } \] (1)

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x + \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( { - \sin x + \cos x} \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]

Ta có: \[\int {\left( {\sin x + \cos x} \right){e^x}} dx = \left( {\cos x + \sin x} \right){e^x} - \int {\left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}} dx\] (2).

Thay (2) vào (1) ta được:

\[I = \int {\left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}dx = \left( {\cos x - \sin x} \right){e^x} + \left( {\sin x + \cos x} \right){e^x}} - I\]

\[ \Leftrightarrow 2I = 2\cos x{e^x} + C\]

\[ \Leftrightarrow I = \cos x{e^x} + C.\]

Vậy \[\int {f'\left( x \right).{e^x}} dx = \cos x{e^x} + C.\]

Đáp án đúng là: D

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 3} \right)\\dv = \frac{{dx}}{{{x^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{{x + 3}}\\v = \frac{1}{x}\end{array} \right.\]

Ta có: \[\int {\frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}} dx = - \frac{1}{x}\ln \left( {x + 3} \right) + \int {\frac{{dx}}{{x\left( {x + 3} \right)}}} \]

Đặt \[I = \int {\frac{{dx}}{{x\left( {x + 3} \right)}}} = \frac{1}{3}\int {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 3}}} \right)dx = \frac{1}{3}\ln \left| x \right| - \frac{1}{3}\ln \left| {x + 3} \right| = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{x}{{x + 3}}} \right|} \].

Suy ra \[F\left( x \right) = - \frac{1}{x}\ln \left( {x + 3} \right) + \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{x}{{x + 3}}} \right| + C.\]

Lại có \[F\left( { - 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0\]

\[\left( {\frac{1}{3}\ln 2 + C} \right) + \left( { - \ln 4 + \frac{1}{3}\ln \frac{1}{4} + C} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2C = \frac{7}{3}\ln 2 \Leftrightarrow C = \frac{7}{6}\ln 2.\]

Suy ra \[F\left( { - 1} \right) + F\left( 2 \right) = \ln 2 + \frac{1}{3}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 5 + \frac{1}{3}\ln \frac{2}{5} + \frac{7}{3}\ln 2 = \frac{{10}}{3}\ln 2 - \frac{5}{6}\ln 5.\]

Đáp án đúng là: A

Từ giả thiết, ta có: \[{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}f'\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\]

\[ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \frac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\].

Xét với mọi \[x \in \left[ {1;2} \right]\], ta có:

\[\frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \int {\frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}dx} = \int {\frac{{\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} dx\].

\[ \Rightarrow \int {\frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}dx} = \int {\frac{{\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2}}}} dx = \int {\frac{{d\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2}}}} \]

\[ \Rightarrow - \frac{1}{{f\left( x \right)}} = \frac{{ - 1}}{{x + \frac{1}{x}}} + C \Leftrightarrow f\left( x \right) = x + \frac{1}{x} + C.\]

Mà \[f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow 1 = 2 + C \Leftrightarrow C = - 1\].

Vậy \[f\left( x \right) = x + \frac{1}{x} - 1\].

Suy ra \[f\left( 2 \right) = 2 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{2}.\]