Trắc nghiệm Toán 12: Chủ đề 9. Một số ứng dụng của số phức có đáp án
-
390 lượt thi
-
22 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Giải hệ phương trình với nghiệm là số thực: 
.
.
Xem đáp án
Đây là hệ đẳng cấp bậc ba. tuy nhiên, nếu giải bằng phương pháp thông thường ta sẽ đi đến giải phương trình bậc ba: 
Phương trình này không có nghiệm đặc biệt!
Xét số phức
. Vì 
,
Phương trình này không có nghiệm đặc biệt!
Xét số phức
. Vì ,nên từ hệ đã cho ta có 
,
,tương tự cách làm ở chương 1, ta tìm được 3 giá trị của z là:
, 
, 
Từ đó suy hệ đã cho có 3 nghiệm là:
, , Từ đó suy hệ đã cho có 3 nghiệm là:
Câu 2:
Giải hệ phương trình trong tập số thực: 
.
. Xem đáp án
Xét số phức z = x + iy
Vì
, nên từ hệ đã cho suy ra:
(*)
Các số phức thỏa mãn (*):
Vậy các nghiệm cần tìm của hệ là:
Vì
, nên từ hệ đã cho suy ra:(*)Các số phức thỏa mãn (*):
Vậy các nghiệm cần tìm của hệ là:
Câu 3:
Giải hệ phương trình với nghiệm với : 
.
. Xem đáp án
Điều kiện 
Đặt z = x + yi. Ta có: 
Vì hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau, nên hệ đã cho tương đương với:
Phương trình
có hai nghiệm 
Đặt z = x + yi. Ta có: Vì hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau, nên hệ đã cho tương đương với:
Phương trình
có hai nghiệm nên hệ đã cho có các nghiệm 
hoặc 
hoặc Câu 4:
Giải hệ phương trình với nghiệm với : 
.
. Xem đáp án
Từ hệ suy ra x > 0, y > 0.
Bài hệ này không có ngay dàng giống ví dụ trên, tuy nhiên với mục đích chuyển mẫu số về dạng nình phương mođun của số phức, chỉ cần đặt
với u, v > 0
Hệ đã cho có dạng:
Đặt z = u + iz. Ta có:
Hệ đã cho tương đương với:
Giải phương trình (*), ta có
suy ra các nghiệm là 
Vì u, v > 0 nên
do đó 
Vậy nghiệm cần tìm là
Bài hệ này không có ngay dàng giống ví dụ trên, tuy nhiên với mục đích chuyển mẫu số về dạng nình phương mođun của số phức, chỉ cần đặt
với u, v > 0Hệ đã cho có dạng:
Đặt z = u + iz. Ta có:
Hệ đã cho tương đương với:
Giải phương trình (*), ta có
suy ra các nghiệm là Vì u, v > 0 nên
do đó Vậy nghiệm cần tìm là
Câu 5:
Giải hệ phương trình: 
.
. Xem đáp án
Hệ phương trình đã cho tương đương với
Nhận thấy x = y = 0 là một nghiệm của hệ phương trình
Nếu
thì hệ đã cho viết thành 
Suy ra:
Đặt
ta có phương trình
Với z = 1 ta được nghiệm của hệ là
Với z = 3 - i ta được nghiệm của hệ là
Với z = -1 + i ta được nghiệm của hệ là
Nhận thấy x = y = 0 là một nghiệm của hệ phương trình
Nếu
thì hệ đã cho viết thành Suy ra:
Đặt
ta có phương trìnhVới z = 1 ta được nghiệm của hệ là
Với z = 3 - i ta được nghiệm của hệ là
Với z = -1 + i ta được nghiệm của hệ là
Câu 6:
Giải hệ phương trình: 
Xem đáp án
Từ hệ suy ra x > 0, y > 0
Đặt 
Hệ đã chho có dạng: 
Đặt z = u + iv
Ta có: 
Hệ đã cho tương đương với:
Giải (*): Vì 
nên các nghiệm:
Ta có nghiệm u, v và do đó nghiệm của hệ là:
hoặc 
Câu 7:
Chứng minh rằng:
a)
a)
Xem đáp án
Xét 
, ta có 
, nên z là nghiệm khác -1 của phương trình 
. Ta có:
+)
nên
+)
Do đó xét phần thực của đẳng thức
ta suy ra được:
; 
, ta có , nên z là nghiệm khác -1 của phương trình . Ta có:+)
nên
+)
Do đó xét phần thực của đẳng thức
ta suy ra được:; Câu 8:
Hãy biểu diễn tan5x qua tanx
Xem đáp án
Ta có: 
Sử dụng khai triển nhị thức Niu-ton cho vế phải và tách phần thực và phần ảo ta có
Từ đó suy ra:
Sử dụng khai triển nhị thức Niu-ton cho vế phải và tách phần thực và phần ảo ta có
Từ đó suy ra:
Câu 9:
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn sina + sinb + sinc = 0 và cosa + cosb + cosc = 0
Chứng minh rằng:
sin2a + sin2b + sin2c = 0 và cos2a + cos2b + cos2c = 0
Chứng minh rằng:
sin2a + sin2b + sin2c = 0 và cos2a + cos2b + cos2c = 0
Xem đáp án
Đặt 
, ta có: 
nên
Vì thế:
=
Nên
Từ đó ta suy ra đều phải chứng minh.
, ta có: nên
Vì thế:
=
Nên
Từ đó ta suy ra đều phải chứng minh.
Câu 10:
Giải phương trình 
Xem đáp án
Ta có 
không là nghiệm của phương trình.
Đặt 
với 
Ta có 
Vậy phương trình đã cho trở thành:
- Nếu z9 = 1 thì 
nên 
Vì và 
nên 
Do đó nghiệm của phương trình đã cho là 
- Nếu z11 = -1 thì 
nên:
Vì và nên 
Suy ra nghiệm cần tìm là 
Vậy các nghiệm của phương trình là: 
và 
Câu 11:
Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện
cosa + cosb + cosc = sina + sinb + sinc = 0
Chứng minh rằng:
a)
cosa + cosb + cosc = sina + sinb + sinc = 0
Chứng minh rằng:
a)
Xem đáp án
Đặt 
Suy ra
a) Ta có:
nên lượng giác:
Từ đó ta được:
và
b) Với x + y + z = 0 thì
Mặt khác, từ
suy ra 
Vì thế:
Do đó
Vậy nên
Suy ra
a) Ta có:
nên lượng giác: Từ đó ta được:
và b) Với x + y + z = 0 thì
Mặt khác, từ
suy ra Vì thế:
Do đó
Vậy nên
Câu 12:
Chứng minh rằng: 
Xem đáp án
Xét số phức 
có 
có Ta có 
Đẳng thức cần chứng minh trở thành
Rút gọn và chú ý ta có
Hay:
(đúng)
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức cần chứng minh trở thành
Rút gọn và chú ý ta có
Hay:
(đúng)Vậy đẳng thức được chứng minh.
Câu 13:
Giả sử và là nghiệm của phương trình 
và 
. Chứng minh 
và . Chứng minh Xem đáp án
Ta có 
. Không mất tính tổng quát, lấy 
. Theo giả thiết 
.
Lúc đó:
Tương tự :
. Không mất tính tổng quát, lấy . Theo giả thiết . Lúc đó:
Tương tự :
Do đó
. Mặt khác: 
Từ đó ta có được: 
Câu 14:
Chứng minh rằng với mọi ta luôn có: 
Xem đáp án
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
Xét số phức:
Lúc đó:
Vì
Xét số phức:
Lúc đó:
Vì
Câu 16:
Chứng minh rằng với mọi , ta luôn có :
Xem đáp án
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
Xét
Ta luôn có :
Xét
Ta luôn có :
Câu 17:
Chứng minh rằng với ta luôn có
Xem đáp án
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
Xét 
Ta có:
Vì 
nên 
Câu 18:
Chứng minh rằng:
Xem đáp án
Xét khai triển nhị thức Newton:
Vì
nên ta có:
(1)
Mặt khác, theo công thức Moivre thì:
(2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Vì
nên ta có:(1)Mặt khác, theo công thức Moivre thì:
(2)Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
nên:
nên:
Câu 20:
Tính tổng
Xem đáp án
Đặt 
thì 
Do đó ta có:
Vì
nên:
Vậy
Nhận xét: Cho n là giá trị cụ thể, suy ra được nhiều biểu thức lượng giác đẹp.
thì Do đó ta có:
Vì
nên:Vậy
Nhận xét: Cho n là giá trị cụ thể, suy ra được nhiều biểu thức lượng giác đẹp.
Câu 21:
Có tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho đa thức 
chia hết cho đa thức x4 - 1
chia hết cho đa thức x4 - 1
Xem đáp án
Các nghiệm của đa thức x4 - 1 là:
Đặt
, ta có 
, nhưng 
- Nếu
thì 
.
Nếu
thì 
Vậy không tồn tại số nguyên dương n để đa thức
chia hết chho đa thức x4 - 1
Đặt
, ta có , nhưng - Nếu
thì .Nếu
thì Vậy không tồn tại số nguyên dương n để đa thức
chia hết chho đa thức x4 - 1Câu 22:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử với hệ số nguyên:
a)
; b) 
a)
; b) Xem đáp án
a) Ta có:
Vì
-
-
-
-
Vậy
b)
Ta có:
-
-
-
-
Vì vậy
Vì
-
-
-
-
Vậy
b)
Ta có:
-
-
-
-
Vì vậy