88 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 12 : Min - Max số phức có đáp án (Mới nhất)

. Gọi M, m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

|z - 3| + |z + 3| = 8

|z| .

Khi đó

M + m

A.

4 - \sqrt{7} .

B.

4 + \sqrt{7} .

C. 7

D.

4 + \sqrt{5} .

Xem đáp án

Chọn B.
Gọi

z = x + y i

với

x; y \in ℝ

.
Ta có

8 = |z - 3| + |z + 3| \geq |z - 3 + z + 3| = |2 z| \Leftrightarrow |z| \leq 4

.
Do đó

M = m a x |z| = 4

.
Mà

|z - 3| + |z + 3| = 8 \Leftrightarrow |x - 3 + y i| + |x + 3 + y i| = 8 \Leftrightarrow \sqrt{{(x - 3)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x + 3)}^{2} + y^{2}} = 8

.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

8 = 1. \sqrt{{(x - 3)}^{2} + y^{2}} + 1. \sqrt{{(x + 3)}^{2} + y^{2}} \leq \sqrt{(1^{2} + 1^{2}) [{(x - 3)}^{2} + y^{2} + {(x + 3)}^{2} + y^{2}]} \Leftrightarrow 8 \leq \sqrt{2 (2 x^{2} + 2 y^{2} + 18)} \Leftrightarrow 2 (2 x^{2} + 2 y^{2} + 18) \geq 64 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq 7 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + y^{2}} \geq \sqrt{7} \Leftrightarrow |z| \geq \sqrt{7}

Do đó

M = m i n |z| = \sqrt{7}

.
Vậy

M + m = 4 + \sqrt{7}

.

Câu 3:

|z - 2 - 3 i| = 1

. Giá trị lớn nhất của

|\bar{z} + 1 + i|

A.

\sqrt{13} + 2

.

B. 4.

C. 6.

D.

\sqrt{13} + 1

.

Xem đáp án

Chọn D

Gọi

z = x + y i

ta có

z - 2 - 3 i = x + y i - 2 - 3 i = x - 2 + (y - 3) i

.
Theo giả thiết

{(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1

nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm

I (2; 3)

bán kính

R = 1

.
Ta có

|\bar{z} + 1 + i| = |x - y i + 1 + i| = |x + 1 + (1 - y) i| = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}}

.
Gọi

M (x; y)

và

H (- 1; 1)

thì

H M = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{^{2}}}

.
Do chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn.
Phương trình

H I : \{\begin{cases} x = 2 + 3 t \\ y = 3 + 2 t \end{cases}

, giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn:

9 t^{2} + 4 t^{2} = 1 \Leftrightarrow t = \pm \frac{1}{\sqrt{13}}

nên

M (2 + \frac{3}{\sqrt{13}}; 3 + \frac{2}{\sqrt{13}}), M (2 - \frac{3}{\sqrt{13}}; 3 - \frac{2}{\sqrt{13}})

.
Tính độ dài MH ta lấy kết quả

H M = \sqrt{13} + 1

.

Câu 4:

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

|z| \leq 1

. Đặt

A = \frac{2 z - i}{2 + i z}

A.

|A| \leq 1

.

B.

|A| \geq 1

.

C.

|A| < 1

.

D.

|A| > 1

.

Xem đáp án

Chọn A.
Đặt Có

a = a + b i, (a, b \in ℝ) \Rightarrow a^{2} + b^{2} \leq 1

(do

|z| \leq 1

)

|A| = |\frac{2 z - i}{2 + i z}| = |\frac{2 a + (2 b - 1) i}{2 - b + a i}| = \sqrt{\frac{4 a^{2} + {(2 b + 1)}^{2}}{{(2 - b)}^{2} + a^{2}}}

Ta chứng minh

\frac{4 a^{2} + {(2 b + 1)}^{2}}{{(2 - b)}^{2} + a^{2}} \leq 1

.
Thật vậy ta có

\frac{4 a^{2} + {(2 b + 1)}^{2}}{{(2 - b)}^{2} + a^{2}} \leq 1 \Leftrightarrow 4 a^{2} + {(2 b + 1)}^{2} \leq {(2 - b)}^{2} + a^{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \leq 1

Dấu “=” xảy ra khi

a^{2} + b^{2} = 1

.
Vậy

|A| \leq 1

.

Câu 5:

|z| = 1

A = |1 + \frac{5 i}{z}| .

A. 5

B. 4

C. 6

D. 8

Xem đáp án

Cách 1: Ta có:

A = |1 + \frac{5 i}{z}| \leq |1| + |\frac{5 i}{z}| = 1 + \frac{5}{|z|} = 6.

Khi

z = i \Rightarrow A = 6.

Chọn đáp án C.
Cách 2:

A = |1 + \frac{5 i}{z}| = \frac{|z + 5 i|}{|z|} = |z + 5 i|

Theo bài

|z| = 1 \Leftrightarrow |z + 5 i - 5 i| = 1 \Leftrightarrow {|z + 5 i|}_{M a x} = \sqrt{5^{2}} + 1 = 6

Câu 6:

. Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

|z| = 1

. Tìm giá trị lớn nhất

M_{\max}

và giá trị nhỏ nhất của

M_{\min}

biểu thức

M = |z^{2} + z + 1| + |z^{3} + 1| .

A.

M_{\max} = 5; M_{\min} = 1.

B.

M_{\max} = 5; M_{\min} = 2.

C.

M_{\max} = 4; M_{\min} = 1.

D.

M_{\max} = 4; M_{\min} = 2.

Xem đáp án

Ta có:

M \leq {|z|}^{2} + |z| + 1 + {|z|}^{3} + 1 = 5

, khi

z = 1 \Rightarrow M = 5 \Rightarrow M_{\max} = 5.

Mặt khác:

M = \frac{|1 - z^{3}|}{|1 - z|} + |1 + z^{3}| \geq \frac{|1 - z^{3}|}{2} + \frac{|1 + z^{3}|}{2} \geq \frac{|1 - z^{3} + 1 + z^{3}|}{2} = 1,

khi

z = - 1 \Rightarrow M = 1 \Rightarrow M_{\min} = 1.

Chọn đáp án A.

Câu 7:

Cho số phức z thỏa

|z| = 1

P = |1 + z| + 3 |1 - z| .

A.

\frac{3}{4}

B. 1

C. 2.

D.

\frac{2}{3}

Xem đáp án

Ta có

P = |1 + \frac{i}{z}| \leq 1 + \frac{1}{| z |} \leq \frac{3}{2} .

Mặt khác:

|1 + \frac{i}{z}| \geq 1 - \frac{1}{| z |} \geq \frac{1}{2} .

Vậy, giá trị nhỏ nhất của là

\frac{1}{2}

, xảy ra khi

z = - 2 i;

giá trị lớn nhất của bằng

\frac{3}{2}

xảy ra khi

z = 2 i .

Chọn đáp án A.

Câu 8:

. Tìm môđun lớn nhất của số phức

|z - 1 + 2 i| = 3

z - 2 i .

A.

\sqrt{26 + 6 \sqrt{17}} .

B.

\sqrt{26 - 6 \sqrt{17}} .

C.

\sqrt{26 + 8 \sqrt{17}} .

D.

\sqrt{26 - 4 \sqrt{17}} .

Xem đáp án

Gọi

z = x + y i; (x \in ℝ; y \in ℝ) \Rightarrow z - 2 i = x + (y - 2) i

. Ta có:

|z - 1 + 2 i| = 3 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9

.
Đặt

x = 1 + 3 \sin t; y = - 2 + 3 \cos t; t \in [0; 2 π] .

\Rightarrow {|z - 2 i|}^{2} = {(1 + 3 \sin t)}^{2} + {(- 4 + 3 \cos t)}^{2} = 26 + 6 (\sin t - 4 \cos t) = 26 + 6 \sqrt{17} \sin (t + α); (α \in ℝ) . \Rightarrow \sqrt{26 - 6 \sqrt{17}} \leq |z - 2 i| \leq \sqrt{26 + 6 \sqrt{17}} \Rightarrow {|z - 2 i|}_{\max} = \sqrt{26 + 6 \sqrt{17}} = 3 + \sqrt{17}

Chọn đáp án A.

Câu 9:

|z| = 1

P = |1 + z| + 3 |1 - z| .

A.

3 \sqrt{15}

B.

6 \sqrt{5}

C.

\sqrt{20}

D.

2 \sqrt{20} .

Xem đáp án

Gọi

z = x + y i; (x \in ℝ; y \in ℝ)

. Ta có:

|z| = 1 \Rightarrow \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 1 \Rightarrow y^{2} = 1 - x^{2} \Rightarrow x \in [- 1; 1] .

Ta có:

P = |1 + z| + 3 |1 - z| = \sqrt{{(1 + x)}^{2} + y^{2}} + 3 \sqrt{{(1 - x)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{2 (1 + x)} + 3 \sqrt{2 (1 - x)}

.
Xét hàm số

f (x) = \sqrt{2 (1 + x)} + 3 \sqrt{2 (1 - x)}; x \in [- 1; 1] .

Hàm số liên tục trên

[- 1; 1]

và với

x \in (- 1; 1)

ta có:

f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 (1 + x)}} - \frac{3}{\sqrt{2 (1 - x)}} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{4}{5} \in (- 1; 1) .

Ta có:

f (1) = 2; f (- 1) = 6; f (- \frac{4}{5}) = 2 \sqrt{20} \Rightarrow P_{\max} = 2 \sqrt{20} .

Chọn đáp án D.

Câu 10:

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

|z| = 1.

P = |z + 1| + |z^{2} - z + 1| .

Tính giá trị của M.m.

A.

\frac{13 \sqrt{3}}{4} .

B.

\frac{39}{4} .

C.

3 \sqrt{3} .

D.

\frac{13}{4} .

Xem đáp án

Gọi

z = x + y i; (x \in ℝ; y \in ℝ)

. Ta có:

|z| = 1 \Leftrightarrow z . \bar{z} = 1

Đặt

t = |z + 1|

, ta có

0 = |z| - 1 \leq |z + 1| \leq |z| + 1 = 2 \Rightarrow t \in [0; 2] .

Ta có

t^{2} = (1 + z) (1 + \bar{z}) = 1 + z . \bar{z} + z + \bar{z} = 2 + 2 x \Rightarrow x = \frac{t^{2} - 2}{2} .

Suy ra

|z^{2} - z + 1| = |z^{2} - z + z . \bar{z}| = |z| |z - 1 + \bar{z}| = \sqrt{{(2 x - 1)}^{2}} = |2 x - 1| = |t^{2} - 3|

.
Xét hàm số

f (t) = t + |t^{2} - 3|, t \in [0; 2] .

Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra

\max f (t) = \frac{13}{4}; \min f (t) = \sqrt{3} \Rightarrow M . n = \frac{13 \sqrt{3}}{4} .

Chọn đáp án A.

Câu 11:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

|z^{2} + 4| = 2 |z| .

A.

\frac{\sqrt{3} - 1}{6} \leq |z| \leq \frac{\sqrt{3} + 1}{6} .

B.

\sqrt{5} - 1 \leq |z| \leq \sqrt{5} + 1.

C.

\sqrt{6} - 1 \leq |z| \leq \sqrt{6} + 1.

D.

\frac{\sqrt{2} - 1}{3} \leq |z| \leq \frac{\sqrt{2} + 1}{3} .

Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức

|u| + |v| \geq |u + v|,

ta được

2 |z| + |- 4| = |z^{2} + 4| + |- 4| \geq {|z|}^{2} \Rightarrow {|z|}^{2} - 2 |z| - 4 \leq 0 \Rightarrow |z| \leq \sqrt{5} + 1. 2 |z| + {|z|}^{2} = |z^{2} + 4| + |- z^{2}| \geq 4 \Rightarrow {|z|}^{2} + 2 |z| - 4 \geq 0 \Rightarrow |z| \geq \sqrt{5} - 1.

Vậy,

|z|

nhỏ nhất là

\sqrt{5} - 1,

khi

z = - i + i \sqrt{5}

và

|z|

lớn nhất là

\sqrt{5} + 1,

khi

z = i + i \sqrt{5} .

Chọn đáp án B.

Câu 12:

. Tìm môđun lớn nhất của số phức z

|z - 1 + 2 i| = 2

A.

\sqrt{9 + 4 \sqrt{5}} .

B.

\sqrt{11 + 4 \sqrt{5}}

C.

\sqrt{6 + 4 \sqrt{5}}

D.

\sqrt{5 + 6 \sqrt{5}}

Xem đáp án

Gọi

z = x + y i; (x \in ℝ; y \in ℝ)

. Ta có:

|z - 1 + 2 i| = 2 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4.

Đặt

x = 1 + 2 \sin t; y = - 2 + 2 \cos t; t \in [0; 2 π]

.
Lúc đó:

{|z|}^{2} = {(1 + 2 \sin t)}^{2} + {(- 2 + 2 \cos t)}^{2} = 9 + (4 \sin t - 8 \cos t) = 9 + \sqrt{4^{2} + 8^{2}} \sin (t + α); (α \in ℝ)

\Rightarrow {|z|}^{2} = 9 + 4 \sqrt{5} \sin (t + α) \Rightarrow z \in [- \sqrt{9 + 4 \sqrt{5}}; \sqrt{9 + 4 \sqrt{5}}]

\Rightarrow z_{\max} = \sqrt{9 + 4 \sqrt{5}}

đạt được khi

z = \frac{5 + 2 \sqrt{5}}{5} + \frac{- 10 + 4 \sqrt{5}}{5} i .

Chọn đáp án A.

Câu 13:

. Tìm môđun lớn nhất của số phức z

|(1 - i) z - 6 - 2 i| = \sqrt{10}

A.

4 \sqrt{5}

B.

3 \sqrt{5} .

C. 3

D.

3 + \sqrt{5}

Xem đáp án

Gọi

z = x + y i; (x \in ℝ; y \in ℝ)

.
Ta có:

|(1 - i) z - 6 - 2 i| = \sqrt{10} \Leftrightarrow |(1 - i)| . |z + \frac{- 6 - 2 i}{1 - i}| = \sqrt{10} \Leftrightarrow |z - 2 - 4 i| = \sqrt{5} \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 5.

Đặt

x = 2 + \sqrt{5} \sin t; y = 4 + \sqrt{5} \cos t; t \in [0; 2 π]

.
Lúc đó:

{|z|}^{2} = {(2 + \sqrt{5} \sin t)}^{2} + {(4 + \sqrt{5} \cos t)}^{2} = 25 + (4 \sqrt{5} \sin t + 8 \sqrt{5} \cos t) = 25 + \sqrt{{(4 \sqrt{5})}^{2} + {(8 \sqrt{5})}^{2}} \sin (t + α); (α \in ℝ) \Rightarrow {|z|}^{2} = 25 + 20 \sin (t + α) \Rightarrow z \in [\sqrt{5}; 3 \sqrt{5}]

\Rightarrow z_{\max} = 3 \sqrt{5}

đạt được khi

z = 3 + 6 i .

Chọn đáp án B.

Câu 14:

Gọi

z = x + y i (x, y \in ℝ)

là số phức thỏa mãn hai điều kiện

{|z - 2|}^{2} + {|z + 2|}^{2} = 26

đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy

|z - \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{3}{\sqrt{2}} i|

A.

x y = \frac{9}{4} .

B.

x y = \frac{13}{2} .

C.

x y = \frac{16}{9} .

D.

x y = \frac{9}{2} .

Xem đáp án

Đặt

z = x + i y (x, y \in ℝ) .

Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được

x^{2} + y^{2} = 9.

Đặt

x = 3 \cos t, y = 3 \sin t .

Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

P = |z - \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{3}{\sqrt{2}} i| = \sqrt{18 - 18 \sin (t + \frac{π}{4})} \leq 6.

Dấu bằng xảy ra khi

\sin (t + \frac{π}{4}) = - 1 \Rightarrow t = - \frac{3 π}{4} \Rightarrow z = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} i .

Chọn đáp án D.

Câu 15:

Trong các số phức thỏa mãn điều kiện

|z - 2 - 4 i| = |z - 2 i|

. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức

z + 2 i .

A.

\sqrt{5}

B.

3 \sqrt{5} .

C.

3 \sqrt{2}

D.

3 + \sqrt{2}

Xem đáp án

Gọi

z = x + y i; (x \in ℝ; y \in ℝ)

.
Ta có:

|z - 2 - 4 i| = |z - 2 i| \Leftrightarrow \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(y - 2)}^{2}} \Leftrightarrow x + y - 4 = 0 \Leftrightarrow y = 4 - x .

Ta có:

{|z + 2 i|}^{2} = x^{2} + {(y + 2)}^{2} = x^{2} + {(6 - x)}^{2} = 2 x^{2} - 12 x + 36 = 2 {(x - 3)}^{2} + 18 \geq 18

\Rightarrow {|z + 2 i|}_{\min} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}

khi

z = 3 + i .

Chọn đáp án C.

Câu 16:

. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức

|z - 1 + 2 i| = 3

z - 1 + i .

A. 4

B.

2 \sqrt{2} .

C. 2

D.

\sqrt{2} .

Xem đáp án

Gọi

z = x + y i; (x \in ℝ; y \in ℝ) \Rightarrow z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1) i

. Ta có:

|z - 1 + 2 i| = 9 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9

.
Đặt

x = 1 + 3 \sin t; y = - 2 + 3 \cos t; t \in [0; 2 π] .

\Rightarrow {|z - 1 + i|}^{2} = {(3 \sin t)}^{2} + {(- 1 + 3 \cos t)}^{2} = 10 - 6 \cos t \Rightarrow 2 \leq |z - 2 i| \leq 4 \Rightarrow {|z - 1 + i|}_{\min} = 2

, khi

z = 1 + i .

Chọn đáp án C.

Câu 17:

Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

|z - 3 - 4 i| = \sqrt{5}

và biểu thức

M = {|z + 2|}^{2} - {|z - i|}^{2}

đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức

z + i .

A.

|z + i| = 2 \sqrt{41}

B.

|z + i| = 3 \sqrt{5} .

C.

|z + i| = 5 \sqrt{2}

D.

|z + i| = \sqrt{41} .

Xem đáp án

Gọi

z = x + y i; (x \in ℝ; y \in ℝ)

. Ta có:

|z - 3 - 4 i| = \sqrt{5} \Leftrightarrow (C) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 5

: tâm

I (3; 4)

và

R = \sqrt{5} .

Mặt khác:

M = {|z + 2|}^{2} - {|z - i|}^{2} = {(x + 2)}^{2} + y^{2} - [(x^{2}) + {(y - 1)}^{2}] = 4 x + 2 y + 3 \Leftrightarrow d : 4 x + 2 y + 3 - M = 0.

Do số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên và có điểm chung

\Leftrightarrow d (I; d) \leq R \Leftrightarrow \frac{|23 - M|}{2 \sqrt{5}} \leq \sqrt{5} \Leftrightarrow |23 - M| \leq 10 \Leftrightarrow 13 \leq M \leq 33 \Rightarrow M_{\max} = 33 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 x + 2 y - 30 = 0 \\ {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 5 \\ y = - 5 \end{cases} \Rightarrow z + i = 5 - 4 i \Rightarrow |z + i| = \sqrt{41} .

Chọn đáp án D.

Câu 18:

Cho số phức

z = \frac{- m + i}{1 - m (m - 2 i)}, m \in ℝ

. Tìm môđun lớn nhất của z

A. 1.

B. 0.

C.

\frac{1}{2}

.

D.2.

Xem đáp án

Ta có:

z = \frac{- m + i}{1 - m (m - 2 i)} = \frac{m}{m^{2} + 1} + \frac{i}{m^{2} + 1} \Rightarrow |z| = \sqrt{\frac{1}{m^{2} + 1}} \leq 1 \Rightarrow {|z|}_{\max} = 1 \Leftrightarrow z = i; m = 0.

Chọn đáp án A.

Câu 19:

Cho số phức z thỏa mãn:

|z - 2 - 2 i| = 1

. Số phức có môđun nhỏ nhất là:

A.

\sqrt{5} - 1

B.

\sqrt{5} + 1

C.

\sqrt{5} - 2

D.

\sqrt{5} + 2

.

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi $z = x + y i$ , $x, y \in ℝ$ .

Ta có: $|z - 2 - 2 i| = 1 \Leftrightarrow |(x - 2) + (y - 2) i| = 1 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số phức z là đường tròn (C) tâm $I (2; 2)$ và bán kính R=1.

$|z - i| = \sqrt{x^{2} + {(y - 1)}^{2}} = I M$ , với $I (2; 2)$ là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm $N (0; 1) \in O y, I (2; 2)$ với đường tròn (C). $I M_{\min} = I N - R = \sqrt{5} - 1$

Câu 20:

Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức thỏa

|z + 2 i - 1| = |z + i|

. Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với

A (1, 3)

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện:

A.

3 + i

.

B.

1 + 3 i

.

C.

2 - 3 i

.

D.

- 2 + 3 i

.

Xem đáp án

Gọi

M (x, y)

là điểm biểu diễn số phức

z = x + y i (x, y \in R)

Gọi

E (1, - 2)

là điểm biểu diễn số phức

1 - 2 i

Gọi

F (0, - 1)

là điểm biểu diễn số phức

- i

Ta có:

|z + 2 i - 1| = |z + i| \Leftrightarrow M E = M F \Rightarrow

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục

E F : x - y - 2 = 0

.
Để ngắn nhất khi

M A ⊥ E F

tại M

\Leftrightarrow M (3, 1) \Rightarrow z = 3 + i

=> Đáp án A.

Câu 21:

|z - 1 + 2 i| = \sqrt{5}

có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng:

w = z + 1 + i

A.

2 \sqrt{5}

.

B.

3 \sqrt{2}

.

C.

\sqrt{6}

.

D.

5 \sqrt{2}

.

Xem đáp án

Chọn B.
Gọi

z = x + y i (x, y \in ℝ) \Rightarrow z - 1 + 2 i = (x - 1) + (y + 2) i

Ta có:

|z - 1 + 2 i| = \sqrt{5} \Leftrightarrow \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2}} = \sqrt{5} \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5

Suy ra tập hợp điểm

M (x; y)

biểu diễn số phức z thuộc đường tròn (C) tâm

I (1; - 2)

bán kính

R = \sqrt{5}

Dễ thấy

O \in (C)

,

N (- 1; - 1) \in (C)

Theo đề ta có:

M (x; y) \in (C)

là điểm biểu diễn cho số
phức z thỏa mãn:

w = z + 1 + i = x + y i + 1 + i = (x + 1) + (y + 1) i \Rightarrow |z + 1 + i| = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} = |\vec{M N}|

Suy ra

|z + 1 + i|

đạt giá trị lớn nhất

\Leftrightarrow M N

lớn nhất
Mà

M, N \in (C)

nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn (C)

\Leftrightarrow I

là trung điểm

M N \Rightarrow M (3; - 3) \Rightarrow z = 3 - 3 i \Rightarrow |z| = \sqrt{3^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{2}

Câu 22:

. Tìm giá trị lớn nhất của

|z - 1| = \sqrt{2}

T = |z + i| + |z - 2 - i|

A.

\max T = 8 \sqrt{2}

.

B.

\max T = 4

.

C.

\max T = 4 \sqrt{2}

.

D.

\max T = 8

.

Xem đáp án

Chọn B

T = |z + i| + |z - 2 - i| = |(z - 1) + (1 + i)| + |(z - 1) - (1 + i)|

.
Đặt

w = z - 1

. Ta có

|w| = 1

và

T = |w + (1 + i)| + |w - (1 + i)|

.
Đặt

w = x + y . i

. Khi đó

{|w|}^{2} = 2 = x^{2} + y^{2}

.

\begin{array}{l} T = |(x + 1) + (y + 1) i| + |(x - 1) + (y - 1) i| \\ = 1. \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} + 1. \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} \\ \leq \sqrt{(1^{2} + 1^{2}) ({(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2})} \\ = \sqrt{2 (2 x^{2} + 2 y^{2} + 4)} = 4 \end{array}

z
Vậy

\max T = 4

.

Câu 23:

|z - 2 - 3 i| = 1

. Giá trị lớn nhất của

|z + 1 + i|

Cho các số phức z, w thỏa mãn

A.

\sqrt{13} + 2

.

B. 6.

C. 4.

D.

\sqrt{13} + 1

.

Xem đáp án

Cho số phức z thỏa mãn

|z - 2 - 3 i| = 1

. Giá trị lớn nhất của

|z + 1 + i|

Ta có

|z - 2 - 3 i| = 1 \Leftrightarrow |\bar{z} - 2 + 3 i| = 1 \Leftrightarrow |(\bar{z} + 1 + i) - 3 + 2 i| = 1

\Rightarrow {|\bar{z} + 1 + i|}_{M a x} = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} + 1 = \sqrt{13} + 1

Chọn đáp án D

Câu 24:

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

|w|

A.

\frac{\sqrt{2}}{2}

.

B.

2 \sqrt{2}

.

C. 2.

D.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

.

Xem đáp án

Đặt

, khi đó

và

.
Nên ta có

Khi đó

.

Dễ thấy

a^{2} + {(a - 1)}^{2} = 2 {(a - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2} \Rightarrow |w| \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \min_{|w|} = \frac{\sqrt{2}}{2} .

Chọn A.

Câu 25:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

|z - 4| + |z + 4| = 10.

|z|

lần lượt là

A. 10 và 4

B. 4 và 5

C. 4 và 3.

D. 5 và 3.

Xem đáp án

Gọi

z = x + y i

,

(x, y \in ℝ)

. Theo giả thiết, ta có

|z - 4| + |z + 4| = 10.

\Leftrightarrow |(x - 4) + y i| + |(x + 4) + y i| = 10 \Leftrightarrow \sqrt{{(x - 4)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x + 4)}^{2} + y^{2}} = 10 (*)

Gọi

M (x; y)

,

F_{1} (- 4; 0)

và

F_{2} (4; 0)

.
Khi đó

(*) \Leftrightarrow M F_{1} + M F_{2} = 10

nên tập hợp các
điểm

M (z)

là đường elip (E).
Ta có

c = 4

;

2 a = 10 \Leftrightarrow a = 5

và

b^{2} = a^{2} - c^{2} = 9

.
Do đó, phương trình chính tắc của (E) là

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1

.
Vậy

max |z| = O A = O A' = 5

và

min |z| = O B = O B' = 3

. Chọn D.

Câu 26:

|z - 2 - 4 i| = |z - 2 i|

. Biết rằng số phức

z = x + y i

,

(x, y \in ℝ)

có môđun nhỏ nhất. Tính

P = x^{2} + y^{2}

biết rằng z thỏa mãn điều kiện

A.

P = 10

.

B.

P = 8

.

C.

P = 16

.

D.

P = 26

.

Xem đáp án

Gọi

z = x + y i

,

(x, y \in ℝ)

. Ta có

|z - 2 - 4 i| = |z - 2 i| \Leftrightarrow |(x - 2) + (y - 4) i| = |x + (y - 2) i|

\Leftrightarrow \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(y - 2)}^{2}} \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 8 y + 16 = x^{2} + y^{2} - 4 y + 4

\Leftrightarrow 4 x + 4 y - 16 = 0 \Leftrightarrow y = 4 - x

.
Do đó

|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(4 - x)}^{2}} = \sqrt{2 x^{2} - 8 x + 16} = \sqrt{2 {(x - 2)}^{2} + 8} \geq 2 \sqrt{2}

.
Dấu

" = "

xảy ra

\Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = 2

. Vậy

P = 2^{2} + 2^{2} = 8

. Chọn B.

Câu 27:

Tìm giá trị lớn nhất của

|z|

|\frac{- 2 - 3 i}{3 - 2 i} z + 1| = 1

A.

\max |z| = 1

.

B.

\max |z| = 2

.

C.

\max |z| = \sqrt{2}

.

D.

\max |z| = 3

.

Xem đáp án

Ta có

|\frac{- 2 - 3 i}{3 - 2 i} z + 1| = 1 \Leftrightarrow |- i z + 1| = 1 \Leftrightarrow |- i| . |z + \frac{1}{- i}| = 1 \Leftrightarrow |z - (- i)| = 1

.
Vì

|(- i) - 0| = 1

nên

\max |z| = r_{1} + r_{2} = 1 + 1 = 2

. Chọn B.

Câu 28:

|(1 + i) z + 1 - 7 i| = \sqrt{2}

. Tìm

\max |z|

A.

\max |z| = 4

.

B.

\max |z| = 3

.

C.

\max |z| = 7

.

D.

\max |z| = 6

.

Xem đáp án

Ta có

|(1 + i) z + 1 - 7 i| = \sqrt{2} \Leftrightarrow |1 + i| |z + \frac{1 - 7 i}{1 + i}| = \sqrt{2} \Leftrightarrow |z - (3 + 4 i)| = 1

.
Vì

|(3 + 4 i) - 0| = 5

nên

\max |z| = r_{1} + r_{2} = 1 + \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 6

. Chọn D.

Câu 29:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

|z| \leq 1

. Đặt

A = \frac{2 z - i}{2 + i z} .

A.

|A| \leq 1.

B.

|A| \geq 1.

C.

|A| < 1.

D.

|A| > 1.

Xem đáp án

Từ giả thiết, ta có

A = \frac{2 z - i}{2 + i z} \Leftrightarrow A (2 + i z) = 2 z - i \Leftrightarrow 2 A + A z i = 2 z - i

\Leftrightarrow 2 A + i = z (A i - 2) \Leftrightarrow z = \frac{2 A + i}{A i - 2}

. Mà

|z| \leq 1 \Rightarrow |\frac{2 A + i}{A i - 2}| \leq 1 \Leftrightarrow |2 A + i| \leq |A i - 2| (*) .

Đặt

A = x + y i (x, y \in ℝ)

, khi đó

(*) \Leftrightarrow |2 x + (2 y + 1) i| \leq |- y - 2 + x i|

\Leftrightarrow \sqrt{4 x^{2} + {(2 y + 1)}^{2}} \leq \sqrt{{(y + 2)}^{2} + x^{2}} \Leftrightarrow 4 x^{2} + 4 y^{2} + 4 y + 1 \leq x^{2} + y^{2} + 4 y + 4 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \leq 1.

Vậy môđun của

A = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq 1.

Chọn A.

Câu 30:

Với hai số phức z₁ và z₂ thỏa mãn

z_{1} + z_{2} = 8 + 6 i

. Tìm giá trị lớn nhất của

|z_{1} - z_{2}| = 2

P = |z_{1}| + |z_{2}|

Với hai số phức z₁ và z₂ thỏa mãn

A.

P = 5 + 3 \sqrt{5} .

B.

P = 2 \sqrt{26} .

C.

P = 4 \sqrt{6} .

D.

P = 34 + 3 \sqrt{2} .

Xem đáp án

Bổ đề. Cho hai số phức z₁ và z₂, ta luôn có

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) (*)

.
Chứng minh. Sử dụng công thức

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} = (z_{1} + z_{2}) (\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}})

và

z . \bar{z} = {|z|}^{2}

. Khi đó

\begin{matrix} {|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = (z_{1} + z_{2}) (\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}) + (z_{1} - z_{2}) (\bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}) \\ = z_{1} . \bar{z_{1}} + z_{1} . \bar{z_{2}} + \bar{z_{1}} . z_{2} + z_{2} . \bar{z_{2}} + z_{1} . \bar{z_{1}} - z_{1} . \bar{z_{2}} - \bar{z_{1}} . z_{2} + z_{2} . \bar{z_{2}} \\ = 2 (z_{1} . \bar{z_{1}} + z_{2} . \bar{z_{2}}) = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) \to đ p c m . \end{matrix}

Áp dụng (*), ta được

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 4 \Rightarrow {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 4 - {(\sqrt{3})}^{2} = 1 \Rightarrow |z_{1} - z_{2}| = 1.

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được

P = |z_{1}| + |z_{2}| \leq \sqrt{2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2})} = 2 \sqrt{26} .

Chọn B.

Câu 31:

z_{1} + z_{2} = 8 + 6 i

. Tìm giá trị lớn nhất của

|z_{1} - z_{2}| = 2

P = |z_{1}| + |z_{2}|

A.

P = 5 + 3 \sqrt{5} .

B.

P = 2 \sqrt{26} .

C.

P = 4 \sqrt{6} .

D.

P = 34 + 3 \sqrt{2} .

Xem đáp án

Bổ đề. Cho hai số phức z₁ và z₂, ta luôn có

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) (*)

.
Chứng minh. Sử dụng công thức

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} = (z_{1} + z_{2}) (\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}})

và

z . \bar{z} = {|z|}^{2}

. Khi đó

\begin{matrix} {|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = (z_{1} + z_{2}) (\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}) + (z_{1} - z_{2}) (\bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}) \\ = z_{1} . \bar{z_{1}} + z_{1} . \bar{z_{2}} + \bar{z_{1}} . z_{2} + z_{2} . \bar{z_{2}} + z_{1} . \bar{z_{1}} - z_{1} . \bar{z_{2}} - \bar{z_{1}} . z_{2} + z_{2} . \bar{z_{2}} \\ = 2 (z_{1} . \bar{z_{1}} + z_{2} . \bar{z_{2}}) = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) \to đ p c m . \end{matrix}

Áp dụng (*), ta được

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 4 \Rightarrow {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 4 - {(\sqrt{3})}^{2} = 1 \Rightarrow |z_{1} - z_{2}| = 1.

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki,

P = |z_{1}| + |z_{2}| \leq \sqrt{2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2})} = 2 \sqrt{26} .

ta được Chọn B.

Câu 32:

|z^{2} - 2 z + 5| = |(z - 1 + 2 i) (z + 3 i - 1)|

.
Tính

\min | w |

, với số phức

w = z - 2 + 2 i

A.

\min | w | = \frac{3}{2}

.

B.

\min | w | = 2

.

C.

\min | w | = 1

.

D.

\min | w | = \frac{1}{2}

.

Xem đáp án

Ta có

z^{2} - 2 z + 5 = {(z - 1)}^{2} + 4 = {(z - 1)}^{2} - {(2 i)}^{2} = (z - 1 + 2 i) (z - 1 - 2 i)

.
Khi đó, giả thiết

\Leftrightarrow |(z - 1 + 2 i) (z - 1 - 2 i)| = |(z - 1 + 2 i) (z + 3 i - 1)| \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = 1 - 2 i \\ |z - 1 - 2 i| = |z + 3 i - 1| \end{array}

TH1. Với

z = 1 - 2 i

, ta có

w = z - 2 + 2 i = 1 - 2 i - 2 + 2 i = - 1 \Rightarrow |w| = 1.

TH2. Với

|z - 1 - 2 i| = |z + 3 i - 1| (*)

, đặt

z = x + y i (x, y \in ℝ)

, ta có

(*) \Leftrightarrow |x - 1 + (y - 2) i| = |x - 1 + (y + 3) i| \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} \Leftrightarrow y = - \frac{1}{2} .

Do đó

w = z - 2 + 2 i = x - \frac{1}{2} i - 2 + 2 i = x - 2 + \frac{3}{2} i \Rightarrow |w| = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + \frac{9}{4}} \geq \frac{3}{2}

. Chọn A.

Câu 33:

. Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

|z + \frac{1}{z}| = 3

|z|

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 3

B.

\sqrt{5}

C.

\sqrt{13}

D. 5

Xem đáp án

Ta có

a = |z + \frac{1}{z}| \Leftrightarrow a^{2} = {|z + \frac{1}{z}|}^{2} = (z + \frac{1}{z}) (\bar{z} + \frac{1}{\bar{z}})

= {|z|}^{2} + \frac{z^{2} + {(\bar{z})}^{2}}{{|z|}^{2}} + \frac{1}{{|z|}^{2}} = \frac{{|z|}^{4} + {(z + \bar{z})}^{2} - 2 {|z|}^{2} + 1}{{|z|}^{2}} .

Khi đó

{|z|}^{4} - {|z|}^{2} . (a^{2} + 2) + 1 = - {(z + \bar{z})}^{2} \leq 0 \Rightarrow |z| \in [\frac{- a + \sqrt{a^{2} + 4}}{2}; \frac{a + \sqrt{a^{2} + 4}}{2}]

.
Vậy

\max |z| = \frac{a + \sqrt{a^{2} + 4}}{2}; \min |z| = \frac{- a + \sqrt{a^{2} + 4}}{2} \Rightarrow M + m = \sqrt{a^{2} + 4} = \sqrt{13} .

Chọn C.

Câu 34:

Xét số phức z thỏa mãn

(1 + 2 i) |z| = \frac{\sqrt{10}}{z} - 2 + i

A.

\frac{3}{2} < |z| < 2

.

B.

\frac{1}{2} < |z| < \frac{3}{2}

.

C.

|z| > 2

.

D.

|z| < \frac{1}{2}

.

Xem đáp án

Đặt $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ và $c = |z|$ , thay vào đẳng thức đã cho thì
$\begin{matrix} G t \Leftrightarrow (1 + 2 i) c = \frac{\sqrt{10}}{a + b i} - 2 + i \Leftrightarrow (1 + 2 i) c = \frac{(a - b i) \sqrt{10}}{c^{2}} - 2 + i \\ \Leftrightarrow c - \frac{a \sqrt{10}}{c^{2}} + 2 + i (2 c + \frac{b \sqrt{10}}{c^{2}} - 1) = 0 \end{matrix}$
Suy ra $\{\begin{cases} c - \frac{a \sqrt{10}}{c^{2}} + 2 = 0 \\ 2 c + \frac{b \sqrt{10}}{c^{2}} - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c + 2 = \frac{a \sqrt{10}}{c^{2}} \\ 1 - 2 c = \frac{b \sqrt{10}}{c} \end{cases}$ nên ${(c + 2)}^{2} + {(1 - 2 c)}^{2} = \frac{10 (a^{2} + b^{2})}{c^{4}} = \frac{10}{c^{2}}$
Giải $c = \pm 1$ ra ta có mà c > 0 nên c = 1 hay $|z| = 1$ . Do đó $\frac{1}{2} < |z| < \frac{3}{2} .$ Chọn B.

Câu 35:

Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M, M'. Số phức và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là M, M', N, N'. Biết rằng M, M', N, N' là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z + 4 i - 5|$

A.

\frac{1}{2} .

B.

\frac{2}{\sqrt{5}} .

C.

\frac{1}{\sqrt{2}} .

D.

\frac{4}{\sqrt{13}} .

Xem đáp án

Gọi

M (x; y) \to M' (x; - y)

và

(4 + 3 i) z = 4 x - 3 y + (3 x + 4 y) i \Rightarrow \{\begin{cases} N (4 x - 3 y; 3 x + 4 y) \\ N' (4 x - 3 y; - 3 x - 4 y) \end{cases}

Dễ thấy

M M' ∥ N N'

vì cùng vuông góc với nên để

M M' N' N

là hình chữ nhật.
Khi và chỉ khi

\{\begin{cases} M M' = N N' \\ M N = M' N' \\ M N ∥ O x \end{cases} \Rightarrow x + y = 0 \Rightarrow z = x - x i \Rightarrow |z + 4 i - 5| = \sqrt{{(x - 5)}^{2} + {(x - 4)}^{2}}

Ta có

{(x - 5)}^{2} + {(x - 4)}^{2} = \frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{2} + \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2} \Rightarrow {|z + 4 i - 5|}_{\min} = \frac{1}{\sqrt{2}} .

Chọn C.

Câu 36:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

|z - 1| = \sqrt{2} .

T = |z + i| + |z - 2 - i| .

A. $\max T = 8 \sqrt{2} .$

B.

\max T = 4.

C.

\max T = 4 \sqrt{2} .

D.

\max T = 8.

Xem đáp án

Đặt

z = x + y i (x, y \in ℝ)

, ta có

|z - 1| = \sqrt{2} \Leftrightarrow |x - 1 + y i| = \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{2}

\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 2 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} = 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 2 x + 1 (*)

Lại có

T = |z + i| + |z - 2 - i| = |x + (y + 1) i| + |x - 2 + (y - 1) i|

= \sqrt{x^{2} + {(y + 1)}^{2}} + \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y + 1} + \sqrt{x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 5}

Kết hợp với (*), ta được

T = \sqrt{2 x + 2 y + 2} + \sqrt{6 - 2 x - 2 y} = \sqrt{2 (x + y) + 2} + \sqrt{2 - 2 (x + y)}

Đặt

t = x + y

, khi đó

T = f (t) = \sqrt{2 t + 2} + \sqrt{6 - 2 t}

với

t \in [- 1; 1] .

Ta có

f' (t) = \frac{1}{\sqrt{2 t + 2}} - \frac{1}{\sqrt{6 - 2 t}}; f' (t) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow f {(t)}_{\max} = f (1) = 4

. Chọn B.

Câu 37:

Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện

|z - 1| = \sqrt{2}

. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

T = |z + i| + |z - 2 - i|

A. $\max T = 8$ .

B.

\max T = 8

.

C.

\max T = 4 \sqrt{2}

.

D.

\max T = 4

.

Xem đáp án

Chọn C
Đặt

z = x + y i (x, y \in ℝ)

, ta có:

|z - 1| = \sqrt{2} \Leftrightarrow |x - 1 + y i| = \sqrt{2} \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 2 x + 1 (*)

Lại có:

T = |z + i| + |z - 2 - i| = |x + (y + 1) i| + |x - 2| + (y - 1) i

= \sqrt{x^{2} + {(y + 1)}^{2}} + \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y + 1} + \sqrt{x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 5}

Kết hợp với (*), ta được:

T = \sqrt{2 x + 2 y + 2} + \sqrt{6 - 2 x - 2 y}

Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được

T \leq \sqrt{(1^{2} + 1^{2}) [{(\sqrt{2 x + 2 y + 2})}^{2} + {(\sqrt{6 - 2 x - 2 y})}^{2}]} = 4

Vậy

\max T = 4

.

Câu 38:

Cho

w = \sin α + i \cos α

0 < α < \frac{π}{2}

|w^{2} + 1| = 2 |w|

.
Giá trị của

P = {(26 {|\bar{w}|}^{2} - 3)}^{2018}

và số phức z thay đổi thỏa mãn

A.

P = 23^{2018} .

B.

P = - 23^{2018} .

C.

P = 23^{2018} i .

D.

P = 29^{2018} .

Xem đáp án

Chọn A
Ta có:

w^{2} + 1 = {(\sin α + i \cos α)}^{2} + 1 = 1 - \cos 2 α + i \sin 2 α \Rightarrow |w^{2} + 1| = \sqrt{2 - 2 \cos 2 α} .

2 |w| = \sqrt{\sin^{2} α + \cos^{2} α} = 2

.
Từ giả thiết:

|w^{2} + 1| = 2 |w| \Rightarrow \cos 2 α = 0 \Leftrightarrow α = \frac{π}{4}

vì

0 < α < \frac{π}{2}

.

\Rightarrow w = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \bar{w} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow {|\bar{w}|}^{2} = 1

.
Vậy

P = 23^{2018} .

Câu 39:

Cho các số phức

z_{1} = - 2 + i, z_{2} = 2 + i

{|z - z_{1}|}^{2} + {|z - z_{2}|}^{2} = 16.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

|z|

. Giá trị biểu thức

M^{2} - m^{2}

A. 15.

B. 7

C. 11.

D. 8.

Xem đáp án

Chọn D.
Gọi M là điểm biểu diễn của z.
Gọi

A (- 2; 1), B (2; 1)

. Gọi

I (0; 1)

là trung điểm .

{|z - z_{1}|}^{2} + {|z - z_{2}|}^{2} = 16 \Leftrightarrow M A^{2} + M B^{2} = 16 M A^{2} + M B^{2} = 2 M I^{2} + \frac{A B^{2}}{2} = 16 \Rightarrow M I = 2

Suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I (0,1)bán kính R = 2.

Ta lại có:

|I M - I O| \leq O M \leq I M + I O \Leftrightarrow 1 \leq O M \leq 3

.
Do đó:

{|z|}_{\max} = 3 \Leftrightarrow M \equiv M_{2}

{|z|}_{\min} = 1 \Leftrightarrow M \equiv M_{1}

\Rightarrow M^{2} - m^{2} = 8

.

Câu 40:

z_{1}, z_{2}

|z_{1} + 1 - i| = 2

. Tìm giá trị nhỏ nhất của m biểu thức

z_{2} = i z_{1}

|z_{1} - z_{2}|

A.

m = \sqrt{2} - 1

.

B.

m = 2 \sqrt{2}

.

C.

m = 2

.

D.

m = 2 \sqrt{2} - 2

.

Xem đáp án

Chọn D.
Đặt

z_{1} = a + b i; a, b \in ℝ \Rightarrow z_{2} = - b + a i

\Rightarrow z_{1} - z_{2} = (a + b) + (b - a) i

.
Nên

|z_{1} - z_{2}| = \sqrt{{(a + b)}^{2} + {(b - a)}^{2}} = \sqrt{2} . |z_{1}|

Ta lại có

2 = |z_{1} + 1 - i| \leq |z_{1}| + |1 - i| = |z_{1}| + \sqrt{2}

\Rightarrow |z_{1}| \geq 2 - \sqrt{2}

. Suy ra

|z_{1} - z_{2}| = \sqrt{2} . |z_{1}| \geq 2 \sqrt{2} - 2

.
Dấu

" = "

xảy ra khi

\frac{a}{1} = \frac{b}{- 1} < 0

.
Vậy

m = \min |z_{1} - z_{2}| = 2 \sqrt{2} - 2

.

Câu 41:

Gọi số phức

z = x + y i; x, y \in ℝ

thỏa điều kiện

{|z - 2|}^{2} + {|z + 2|}^{2} = 26

|z - (2 + \sqrt{5} i)|

lớn nhất. Tính

T = x - y

Cho z₁, z₂ là hai số phức thỏa mãn phương trình

A.

T = - 2 + \sqrt{5}

.

B.

T = 2 + \sqrt{5}

.

C.

T = - 2 - \sqrt{5}

.

D.

T = 2 - \sqrt{5}

.

Xem đáp án

Chọn A.
Giả sử

z = x + y i; x, y \in ℝ

Ta có

{|z - 2|}^{2} + {|z + 2|}^{2} = 26 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 26 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 9

.
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C) tâm là gốc tọa độ O, bán kính R = 3.
Ta có

|z - (2 + \sqrt{5} i)| = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - \sqrt{5})}^{2}}

Vì

2^{2} + {(\sqrt{5})}^{2} = 9

nên điểm

N (2; \sqrt{5})

thuộc đường tròn (C).
Gọi

M (x; y)

là điểm thuộc (C), khi đó

|z - (2 + \sqrt{5} i)| = \sqrt{{(x - 2)}^{3} + {(y - \sqrt{5})}^{2}} = M N

.
Suy ra

|z - (2 + \sqrt{5} i)|

lớn nhất lớn nhất

\Leftrightarrow M N

là đường kính của (C)

\Leftrightarrow M (- 2; - \sqrt{5})

Vậy

z = - 2 - \sqrt{5} i

.

Câu 42:

|2 z - i| = |2 + i z|

, biết

|z_{1} - z_{2}| = 1

. Tính giá trị của biểu thức:

P = |z_{1} + z_{2}|

A.

P = \frac{\sqrt{3}}{2}

.

B.

P = \sqrt{2}

.

C.

P = \frac{\sqrt{2}}{2}

.

D.

P = \sqrt{3}

.

Xem đáp án

Đặt

z = x + y i, (x, y \in ℝ)

, ta có

2 z - i = 2 x + (2 y - 1) i

và

2 + i z = 2 - y + x i

.
Khi đó:

|2 z - i| = |2 + i z| \Leftrightarrow \sqrt{4 x^{2} + {(2 y - 1)}^{2}} = \sqrt{{(y - 2)}^{2} + x^{2}} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow |z| = 1 \Rightarrow \{\begin{cases} |z_{1}| = 1 \\ |z_{2}| = 1 \end{cases}

Sử dụng công thức

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) \Rightarrow {|z_{1} + z_{2}|}^{2} = 3 \Rightarrow |z_{1} + z_{2}| = \sqrt{3}

. Chọn D.

Câu 43:

. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

|z - 1 - 2 i| = 4

|z + 2 + i|

. Tính giá trị của tổng

S = M^{2} + m^{2}

Cho ba số phức z, z₁, z₂ thỏa

A.

S = 82

.

B.

S = 34

.

C.

S = 68

.

D.

S = 36

.

Xem đáp án

(Phương pháp đại số)
Công cụ cơ bản:

||z_{1}| - |z_{2}|| \leq |z_{1} + z_{2}| \leq |z_{1}| + |z_{2}|

, với mọi số phức z₁, z₂. Áp dụng, ta có:
•

|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2 i) + (3 + 3 i)| \leq |z - 1 - 2 i| + |3 + 3 i| = 4 + 3 \sqrt{2} \Rightarrow M = 4 + 3 \sqrt{2}

•

|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2 i) + (3 + 3 i)| \leq ||z - 1 - 2 i| - |3 + 3 i|| = 3 \sqrt{2} - 4 \Rightarrow m = 3 \sqrt{2} - 4

Vậy ta có

S = M^{2} + m^{2} = {(3 \sqrt{2} + 4)}^{2} + {(3 \sqrt{2} - 4)}^{2} = 68

.

Chọn C.

Câu 44:

|z_{1}| = |z_{2}| = 6

|z_{1} - z_{2}| = 6 \sqrt{2}

P = \sqrt{2} |(z - z_{1}) (z - z_{2})| + |z (z - z_{1})| + |z (z - z_{2})|

A.

30 \sqrt{3}

.

B.

36 \sqrt{2}

.

C. 50.

D.

50 \sqrt{2}

.

Xem đáp án

Chọn B.
Gọi A, B, M là điểm biểu diễn số phức

z_{1}, z_{2}, z

, khi đó từ giả thiết ta suy ra tam giác OAB vuông cân tại O và bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất của

P = \sqrt{2} M A . M B + M O . M A + M O . M B

.
Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát
Cho tam giác ABC, đặt AB = c, AC = b, BC = a, khi đó ta có

\frac{M B . M C}{b c} + \frac{M C . M A}{c a} + \frac{M A . M B}{a b} \geq 1 (*)

Chứng minh: dùng bài toán kinh điển

x . M A^{2} + y . M B^{2} + z . M C^{2} \geq \frac{x y c^{2} + y z a^{2} + z x b^{2}}{x + y + z} (* *)

Đặt

x = \frac{a}{M A}; y = \frac{b}{M B}; z = \frac{c}{M C}

khi đó

x + y + z = \frac{a M B . M C + b M C . M A + c M A . M B}{M A . M B . M C}

và

x y c^{2} + y z a^{2} + z x b^{2} = a b c \frac{a M A + b M B + c M C}{M A . M B . M C}

từ đó sử dụng (**) suy ra hệ thức (*).
Áp dụng bài toán trên ta có

P \geq 36 \sqrt{2}

, chọn B.

Câu 45:

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

|z + i| = 1

P = |\bar{z} - \sqrt{2} - i| + \sqrt{2} |z - \sqrt{2} + 3 i|

A. $\sqrt{3}$ .

B. 3.

C.

\sqrt{2}

.

D.

\frac{4 \sqrt{3}}{3}

.

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi điểm biểu diễn của z là M. Khi đó M nằm trên đường tròn tâm

I (0; - 1), R = 1.

Gọi tọa độ các điểm

A (\sqrt{2}; - 1), B (\sqrt{2}; - 3)

do đó:

P = |\bar{z} - \sqrt{2} - i| + \sqrt{2} |z - \sqrt{2} + 3 i| = M A + \sqrt{2} M B .

Gọi

K (\frac{1}{\sqrt{2}}; - 1)

khi đó ta có:

\frac{I K}{I M} = \frac{I M}{I A} = \frac{1}{\sqrt{2}} .

Vậy

Δ I M K

và

Δ I A M

là hai tam giác đồng dạng. Khi đó:

M A = \sqrt{2} M K

.
Vậy

P = \sqrt{2} (M K + M B)

.
Theo bất đẳng thức tam giác:

P = \sqrt{2} (M K + M B) \geq \sqrt{2} B K .

Vậy

M i n (P) = \sqrt{2} B K = 3.

Câu 46:

Với hai số phức z₁ và z₂ thoả mãn

z_{1} + z_{2} = 8 + 6 i

Giả sử z₁, z₂là hai trong số các số phức z thỏa mãn

|z_{1} - z_{2}| = 2,

tìm giá trị lớn nhất của

P = |z_{1}| + |z_{2}| .

A.

P = 4 \sqrt{6}

.

B.

P = 2 \sqrt{26}

.

C.

P = 5 + 3 \sqrt{5}

.

D.

P = 34 + 3 \sqrt{2}

.

Xem đáp án

Chọn B.

Vì hai số phức z₁ và z₂ thoả mãn $z_{1} + z_{2} = 8 + 6 i$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ nên $\{\begin{matrix} z_{1} = 8 + 6 i - z_{2} \\ z_{2} = 8 + 6 i - z_{1} \\ |z_{1} - z_{2}| = 2 \end{matrix}$ .

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} |z_{1} - (4 + 3 i)| = 1 \\ |z_{2} - (4 + 3 i)| = 1 \\ |z_{1} - z_{2}| = 2 \end{matrix}$
Gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức z₁ và z₂ khi đó từ (*) suy ra A, B nằm trên đường tròn (C) có tâm I (4;3), bán kính R = 1 và AB là đường kính của đường tròn (C).
Như vậy $P = |z_{1}| + |z_{2}| = O A + O B$ .
Ta có $\frac{O A^{2} + O B^{2}}{2} - \frac{A B^{2}}{4} = O I^{2} \Leftrightarrow O A^{2} + O B^{2} = 2 (5^{2} + 1) = 52$ .
Suy ra $52 = O A^{2} + O B^{2} \geq 2 O A . O B \Rightarrow {(O A + O B)}^{2} = O A^{2} + O B^{2} + 2 O A . O B \leq 52 + 52 = 104$ .

$\Rightarrow P = |z_{1}| + |z_{2}| = O A + O B \leq \sqrt{104} = 2 \sqrt{26}$ . Dấu bằng xảy ra khi $O A = O B$ .

Câu 47:

|i z + \sqrt{2} - i| = 1

|z_{1} - z_{2}| = 2.

Giá trị lớn nhất của

|z_{1}| + |z_{2}|

Cho hai số phức z, w thỏa mãn

A. 4.

B.

2 \sqrt{3}

.

C.

3 \sqrt{2}

.

D. 3

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có

|i z + \sqrt{2} - i| = 1 \Leftrightarrow |i| |z - i \sqrt{2} - 1| = 1 \Leftrightarrow |z - i \sqrt{2} - 1| = 1

.
Điểm biểu diễn thuộc đường tròn tâm

I (1; \sqrt{2})

, R = 1.
Gọi M, N là điểm biểu diễn z₁, z₂ nên MN = 2 là đường kính. Dựng hình bình hành OMNP ta có

|z_{1} + z_{2}| = O P = 2 \sqrt{3}

.
Ta có

{(|z_{1}| + |z_{2}|)}^{2} \leq 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) = {|z_{1} - z_{2}|}^{2} + {|z_{1} + z_{2}|}^{2} = 16 \Rightarrow |z_{1}| + |z_{2}| \leq 4

. Dấu bằng xảy ra khi

|z_{1}| = |z_{2}| \Leftrightarrow M N ⊥ O I

.

Câu 48:

|z - 1| = |z + 3 - 2 i|

ω = z + m + i

là tham số. Giá trị của để ta luôn có

m \in ℝ

|ω| \geq 2 \sqrt{5}

Cho z là số phức thỏa mãn

A.

[\begin{array}{l} m \geq 7 \\ m \leq 3 \end{array}

.

B.

[\begin{array}{l} m \geq 7 \\ m \leq - 3 \end{array}

.

C.

- 3 \leq m < 7

.

D.

3 \leq m \leq 7

.

Xem đáp án

Chọn B.
Đặt

z = a + i b, (a, b \in ℝ)

có biểu diễn hình học là điểm

M (x; y)

|z - 1| = |z + 3 - 2 i| \Leftrightarrow |x - 1 + i y| = |x + 3 + (y - 2) i| \Leftrightarrow \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2}}

\Leftrightarrow - 2 x + 1 = 6 x + 9 - 4 y + 4 \Leftrightarrow 2 x - y + 3 = 0

Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng

Δ : 2 x - y + 3 = 0

.
Ta có:

|ω| \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow |z + m + i| \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow |x + m + + (y + 1) i| \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow \sqrt{{(x + m)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow M I \geq 2 \sqrt{5}

với

I (- m; - 1)

.
Mà ta có

M I \geq d (I, Δ)

Nên

M I \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow d (I, Δ) \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow \frac{|- 2 m + 4|}{\sqrt{5}} \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow |- 2 m + 4| \geq 10

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 2 m + 4 \geq 10 \\ - 2 m + 4 \leq - 10 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 3 \\ m \geq 7 \end{array}

.

Câu 49:

|z - 1 + i| = 2

P = {|z + 2 - i|}^{2} + {|z - 2 - 3 i|}^{2}

A. 18.

B.

14 + 2 \sqrt{10}

.

C.

38 + 8 \sqrt{10}

.

D.

16 + 2 \sqrt{10}

.

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi

z = x + y i (x; y \in ℝ), M (x; y)

là điểm biểu diễn số phức z.
Do

|z - 1 + i| = 2 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4

suy ra M thuộc đường tròn tâm

I (1; - 1)

, bán kính

R = 2

.
Đặt

A (- 2; 1), B (2; 3), E (0; 2)

là trung điểm của AB. Khi đó

P = {|z + 2 - i|}^{2} + {|z - 2 - 3 i|}^{2}

.

= {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = M A^{2} + M B^{2} = 2 M E^{2} + \frac{A B^{2}}{2} = 2 M E^{2} + 10

Do E nằm ngoài đường tròn, nên

M E_{M a x} = E I + R = 2 + \sqrt{10} \Rightarrow P_{M a x} = 38 + 8 \sqrt{10}

.

Câu 50:

Cho các số phức $z_{1} = - 2 + i, z_{2} = 2 + i$ và số phức z thay đổi thỏa mãn ${|z - z_{1}|}^{2} + {|z - z_{2}|}^{2} = 16$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|z|$ . Giá trị biểu thức M² - m²bằng

A. 15.

B. 7.

C. 11.

D. 8

Xem đáp án

Gọi số phức z = x + yi với

x, y \in R

.
Ta có

. Khi đó tập hợp các điểm M (x;y) biểu diễn số phức z là đường tròn (C) có tâm I (-1;0) và bán kính

.
Ta có:

Chọn D

Câu 51:

. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

|z - 2 - 4 i| = \sqrt{5}

|z|

. Giá trị biểu thức

\frac{M^{2} - m^{2}}{2 M n}

A. 12.

B.

\frac{1}{2}

.

C.

\frac{4}{3}

.

D. 8

Xem đáp án

Chọn C.
Gọi số phức z = x + yi với x, y

\in

R, khi đó

|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

.
Ta có:

.

Áp dụng bđt Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

.
Khi đó ta có bất phương trình

.
Do đó

\frac{M^{2} - m^{2}}{2 M n} = \frac{4}{3}

Câu 52:

. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

|z - 1 - i| + |z - 3 - 2 i| = \sqrt{5}

|z + 2 i|

. Giá trị biểu thức M² + m² bằng

A. 25.

B. 35.

C.

\frac{15}{2}

.

D. 20.

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Gọi z = x + yi (với x, y) có điểm M (x,y) biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ.
Ta có

(1).
Số phức z + 2i = x + (y + 2)i có điểm M' (x; y+2) biểu diễn z + 2i trên mặt phẳng tọa độ.
Đặt A (1;3), B(3;4) , từ (1) ta có AM' +BM' =

\sqrt{5}

.
Mặt khác AB =

\sqrt{5}

nên M' thuộc đoạn AB. Khi đó

,

.
Vậy

M^{2} + m^{2} = 35

.

Câu 53:

. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

|z - 3 - 4 i| = \sqrt{5}

P = {|z + 2|}^{2} - {|z - i|}^{2}

. Khi đó modun của số phức

A.

2 \sqrt{314}

.

B.

\sqrt{1258}

.

C.

3 \sqrt{137}

.

D.

2 \sqrt{309}

.

Xem đáp án

Chọn B.
Giả sử

z = x + y i (x, y \in R)

ta có

|z - 3 - 4 i| = \sqrt{5} \Leftrightarrow {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 5

Ta có

P = 4 x + 2 y + 3 \Leftrightarrow 4 (x - 3) + 2 (y - 4) = P - 23

Ta có

{[4 (x - 3) + 2 (y - 4)]}^{2} \leq 20 [{(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2}] = 100

Suy ra

- 10 \leq P - 23 \leq 10 \Leftrightarrow 13 \leq P \leq 33

suy ra

M = 33, m = 13

do đó ta được

w = 33 + 13 i

vậy

|w| = \sqrt{1258}

.

Câu 54:

Biết số phức

z = x + y i (x, y \in ℝ)

, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

|z| = |\bar{z} + 4 - 3 i|

biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính

P = |z + 1 - i| + |z - 2 + 3 i|

P = x + 2 y

là 2 nghiệm của phương trình

A.

P = - \frac{61}{10}

.

B.

P = - \frac{253}{50}

.

C.

P = - \frac{41}{5}

.

D.

P = - \frac{18}{5}

.

Xem đáp án

Chọn A .
Theo giả thiết

|z| = |\bar{z} + 4 - 3 i| \Leftrightarrow |x + y i| = |(x + 4) - (y + 3) i|

\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(x + 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2}} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = x^{2} + 8 x + 16 + y^{2} + 6 y + 9 \Leftrightarrow 8 x + 6 y + 25 = 0 .

Ta có

P = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} + \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2}}

Xét điểm

E (- 1; 1)

;

F (2; - 3)

và

M (x; y)

. Khi đó,

P = M E + M F

.
Bài toán trở thành tìm điểm

M \in Δ : 8 x + 6 y + 25 = 0

sao cho

M E + M F

đạt giá trị nhỏ nhất.
Vì

(8 x_{E} + 8 y_{E} + 25) . (8 x_{F} + 8 y_{F} + 25) > 0

nên hai điểm E, F nằm cùng phía đối với đường thẳng

∆

.
Gọi E' là điểm đối xứng với E qua

∆

Đường thẳng EE' đi qua điểm E (1; -1) và có VTPT

{\vec{n}}_{E E^{'}} = {\vec{u}}_{Δ} = (3; - 4)

nên có phương trình

3 (x + 1) - 4 (y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3 x - 4 y + 7 = 0

Gọi H là giao điểm của EE' và

∆

. Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

\{\begin{cases} 3 x - 4 y = - 7 \\ 8 x + 6 y = - 25 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - \frac{71}{25} \\ y = - \frac{19}{50} \end{cases}

suy ra

H (- \frac{71}{25}; - \frac{19}{50})

E' đối xứng với E qua H nên

\{\begin{cases} x_{E^{'}} = - \frac{117}{25} \\ y_{E^{'}} = - \frac{44}{25} \end{cases}

.
Ta có

M E + M F = M E^{'} + M F \geq E^{'} F

.
Dấu bằng xảy ra

\Leftrightarrow M

là giao điểm của E'F và đường thẳng

∆

Đường thẳng EF' đi qua điểm

F (2; - 3)

và có VTPT

{\vec{n}}_{E E^{'}} = (31; 167)

có phương trình

31 (x - 2) + 167 (y + 3) = 0 \Leftrightarrow 31 x + 167 y + 439 = 0

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

\{\begin{cases} 31 x + 167 y = - 439 \\ 8 x + 6 y = - 25 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - \frac{67}{50} \\ y = - \frac{119}{50} \end{cases}

Vậy

P = x + 2 y = - \frac{61}{10}

.

Câu 55:

Gọi

z_{1}, z_{2}

|z - 1 + 2 i| = |z + 1 + 2 i|

. Biết rằng w là số phức thỏa mãn

|z_{1} - z_{2}| = \sqrt{2}

|w - 3 - 2 i| = 2

. Tìm GTNN của biểu thức

P = |w - z_{1}| + |w - z_{2}|

A.

1 + \sqrt{3}

B.

2 \sqrt{3}

C. 2

D.

\sqrt{6}

.

Xem đáp án

Chọn D .

Giả sử

z = x + y i (x, y \in R)

ta có

|z - 1 + 2 i| = |z + 1 + 2 i| \Leftrightarrow x = 0

suy ra tập hợp điểm biểu diễn

z_{1}, z_{2}

là trục tung.
Giả sử A, B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho

z_{1}, z_{2}

, ta có

|z_{1} - z_{2}| = \sqrt{2} \Leftrightarrow A B = \sqrt{2}

.
Giả sử

w = a + b i (a, b \in R)

và M là điểm biểu diễn cho số phức w, ta có

|w - 3 - 2 i| = 2 \Leftrightarrow {(a - 3)}^{2} + {(b - 2)}^{2} = 4

suy ra tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm

I (3; 2)

bán kính R = 2.
Ta có

P = M A + M B

, gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên trục tung, ta thấy P nhỏ nhất khi E là trung điểm AB suy ra

M A = M B = \frac{\sqrt{6}}{2}

, vậy

M i n P = 2. \frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}

Câu 56:

Cho z là số phức thỏa

|z - 1 + i| = 2

Giả sử z₁, z₂ là hai trong số các số phức thỏa mãn

P = {|z + 2 - i|}^{2} + {|z - 2 - 3 i|}^{2}

A. 18.

B.

38 + 8 \sqrt{10}

.

C.

18 + 2 \sqrt{10}

.

D.

16 + 2 \sqrt{10}

.

Xem đáp án

Chọn B
Gọi

z = x + y i (x, y \in ℝ)

Ta có:

|z - 1 + i| = 2 \Leftrightarrow |x + y i - 1 - i| = 2 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4

\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 2 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 2 x - 2 y + 2

(*)
Theo bài ra:

P = {|z + 2 - i|}^{2} + {|z - 2 - 3 i|}^{2} = {|x + y i + 2 - i|}^{2} + {|x + y i - 2 - 3 i|}^{2} = {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2 (x^{2} + y^{2}) - 8 y + 18

Thay (*) vào ta được:

P = 4 x - 12 y + 22 = 4 (x - 1) - 12 (y + 1) + 38

Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta được

4 (x - 1) - 12 (y + 1) + 38 \leq \sqrt{(4^{2} + 12^{2}) [{(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2}]} + 38 = \sqrt{(4^{2} + 12^{2}) .4} + 38 = 8 \sqrt{10} + 38

Vậy

P_{\max} = 8 \sqrt{10} + 38

.

Câu 57:

|i z + \sqrt{2} - i| = 1

|z_{1} - z_{2}| = 2.

Giá trị lớn nhất của

|z_{1}| + |z_{2}|

A. 4.

B.

2 \sqrt{3}

.

C.

3 \sqrt{2}

.

D. 3

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $|i z + \sqrt{2} - i| = 1 \Leftrightarrow |i| |z - i \sqrt{2} - 1| = 1 \Leftrightarrow |z - i \sqrt{2} - 1| = 1$ .
Điểm z biểu diễn thuộc đường tròn tâm $I (1; \sqrt{2})$ , $R = 1$ .
Gọi M, N là điểm biểu diễn z₁, z₂ nên MN = 2 là đường kính. Dựng hình bình hành OMNP ta có $|z_{1} + z_{2}| = O P = 2 \sqrt{3}$ .
Ta có ${(|z_{1}| + |z_{2}|)}^{2} \leq 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) = {|z_{1} - z_{2}|}^{2} + {|z_{1} + z_{2}|}^{2} = 16 \Rightarrow |z_{1}| + |z_{2}| \leq 4$ . Dấu bằng xảy ra khi $|z_{1}| = |z_{2}| \Leftrightarrow M N ⊥ O I$ .

Câu 58:

Xét các số phức

z = a + b i (a, b \in ℝ)

Trong các số phức z thoả mãn

|z + 2 - 3 i| = 2 \sqrt{2}

. Tính

P = 2 a + b

khi

|z + 1 + 6 i| + |z - 7 - 2 i|

đạt giá trị lớn nhất.

A.

P = 1

.

B.

P = - 3

.

C.

P = 3

.

D.

P = 7

.

Xem đáp án

Chọn B
Gọi

z = x + y i

với

(x, y \in ℝ)

.
Ta có:

|z + 2 - 3 i| = 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 8

. Suy ra, tập hợp điểm

M (x; y)

biểu diễn cho số phức z trên hệ tọa độ

O x y

là đường tròn (C) tâm

I (- 2; 3)

và bán kính

R = \sqrt{8}

.
Gọi

A (- 1; - 6)

,

B (7; 2)

và

J (3; - 2)

là trung điểm của AB.
Đặt

P = |z + 1 + 6 i| + |z - 7 - 2 i|

suy ra

P = M A + M B \leq \sqrt{2 (M A^{2} + M B^{2})}

. (BĐT Bunhiacopxki).
Phương trình đường trung trực

∆

của AB là:

\{\begin{cases} x = 3 - t \\ y = - 2 + t \end{cases}

.

Ta có:

M A^{2} + M B^{2} = 2 M J^{2} + \frac{A B^{2}}{2}

với J là trung điểm của AB.
Vì M chạy trên đường tròn , J cố định nên

M J \leq IJ + R .

Do

P^{2} \leq 4 {(IJ + R)}^{2} + A B^{2}

vậy nên

P_{m ax} = \sqrt{4 {(IJ + R)}^{2} + A B^{2}} .

Dấu "=" xảy ra khi

M A = M B

và ba điểm

M, I, J

thẳng hàng. Điều này thỏa mãn nhờ

I A = I B

.
Do đó:

M = Δ \cap (C)

, tọa độ của M là nghiệm hệ:

Mặt khác:

M (- 4; 5) \Rightarrow P = M A + M B = 2 \sqrt{130}

và

.
Vậy để

P_{M a x}

thì

M (- 4; 5)

2 a + b = - 3

Suy ra

2 a + b = - 3

.

Câu 59:

|z - (2 + 4 i)| = 2

, gọi z₁ và z₂ là số phức có mô-đun lớn nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của hai số phức z₁ và z₂ bằng.

A. 8i.

B. 4.

C. - 8.

D. 8.

Xem đáp án

Chọn D.
Gọi

z = x + y i, (x, y \in ℝ)

và

M (x; y)

là điểm biểu diễn số phức z.
Theo giả thiết

|z - (2 + 4 i)| = 2 \Leftrightarrow |x + y i - (2 + 4 i)| = 2 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4

.
Suy ra

M \in (C) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

|z - (2 + 4 i)| = 2

là đường tròn (C) có tâm I(2;4) bán kính R = 2.
Đường OI có phương trình

y = 2 x

cắt đường tròn (C) tại hai điểm

A (\frac{10 + 2 \sqrt{5}}{5}; \frac{20 + 4 \sqrt{5}}{5})

,

B (\frac{10 - 2 \sqrt{5}}{5}; \frac{20 - 4 \sqrt{5}}{5})

. Do

O A > O B

nên điểm A biểu diễn số phức có môđun lớn nhất, và điểm B biểu diễn số phức có môđun nhỏ nhất.

Câu 60:

Xét số phức

z = a + b i

(

a, b \in ℝ

Cho z₁, z₂ là hai số phức thỏa mãn

b > 0

) thỏa mãn

|z| = 1

. Tính

P = 2 a + 4 b^{2}

khi

|z^{3} - z + 2|

đạt giá trị lớn nhất.

A.

P = 4

.

B.

P = 2 - \sqrt{2}

.

C.

P = 2

.

D.

P = 2 + \sqrt{2}

.

Xem đáp án

Chọn C.
Từ giả thiết có $a^{2} + b^{2} = 1 \Rightarrow b^{2} = 1 - a^{2} > 0$ với $a \in (- 1; 1)$ và $z . \bar{z} = 1$ .
Ta có $|z^{3} - z + 2| = |z^{2}| . |z - \frac{1}{z} + \frac{2}{z^{2}}|$
$= |z - \bar{z} + 2. {\bar{z}}^{2}| = |2 b i + 2 (a^{2} - b^{2} - 2 a b i)| = 2 |(a^{2} - b^{2}) + (b - 2 a b) i| = 2 \sqrt{{(a^{2} - b^{2})}^{2} + {(b - 2 a b)}^{2}} = 2 \sqrt{{(a^{2} - b^{2})}^{2} + b^{2} {(1 - 2 a)}^{2}} = 2 \sqrt{{(2 a^{2} - 1)}^{2} + (1 - a^{2}) {(2 a - 1)}^{2}} = 2 \sqrt{4 a^{3} - a^{2} - 4 a + 2}$
Xét $f (a) = 4 a^{3} - a^{2} - 4 a + 2$ , với $- 1 < a < 1$ .
$f^{'} (a) = 12 a^{2} - 2 a - 4$ ; $f^{'} (a) = 0 \Leftrightarrow 12 a^{2} - 2 a - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = - \frac{1}{2} \in (- 1; 1) \\ a = \frac{2}{3} \in (- 1; 1) \end{array}$
Bảng biến thiên:

Suy ra $max_{a \in (- 1; 1)} f (a) = f (- \frac{1}{2}) = \frac{13}{4}$ , đạt được khi $a = - \frac{1}{2}$ , $b^{2} = \frac{3}{4}$ .
Vậy $P = 2 a + 4 b^{2} = 2 (- \frac{1}{2}) + 3 = 2$ .

Câu 61:

|2 z - i| = |2 + i z|

, biết

|z_{1} - z_{2}| = 1

. Tính giá trị của biểu thức

P = |z_{1} + z_{2}|

A.

P = \frac{\sqrt{3}}{2}

.

B.

P = \sqrt{2}

.

C.

P = \frac{\sqrt{2}}{2}

.

D.

P = \sqrt{3}

Xem đáp án

Chọn D.
+ Đặt

z = x + y i

,

x, y \in ℝ

ta có

|2 z - i| = |2 + i z| \Leftrightarrow |2 x + (2 y - 1) i| = |(2 - y) + x i|

\sqrt{4 x^{2} + {(2 y - 1)}^{2}} = \sqrt{{(2 - y)}^{2} + x^{2}} \Leftrightarrow 4 x^{2} + 4 y^{2} - 4 y + 1 = 4 - 4 y + y^{2} + x^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow |z| = 1 \Rightarrow |z_{1}| = |z_{2}| = 1

+ Sử dụng công thức:

\forall z_{1}, z_{2} \in ℂ

ta có

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2})

Suy ra

P = \sqrt{3}

.

Câu 62:

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

|z - 1| = 2

T = |z + i| + |z - 2 - i|

A.

\max T = 8 \sqrt{2}

.

B.

\max T = 4

.

C.

\max T = 4 \sqrt{2}

.

D.

\max T = 8

Xem đáp án

Chọn B.
Đặt

z = x + y i (x, y \in R)

, ta có

|z - 1| = \sqrt{2} \Leftrightarrow |x - 1 + y i| = \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{2}

\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 2 x + 1

(*)
Lại có

T = |z + i| + |z - 2 - i| = |x + (y + 1) i| + |x - 2 + (y - 1) i|

= \sqrt{x^{2} + {(y + 1)}^{2}} + \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y + 1} + \sqrt{x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 5}

Kết hợp với (*), ta được

T = \sqrt{2 x + 2 y + 2} + \sqrt{6 - 2 x - 2 y} = \sqrt{2 (x + y) + 2} + \sqrt{6 - 2 (x + y)}

Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có

T = \sqrt{2 (x + y) + 2} + \sqrt{6 - 2 (x + y)} \leq \sqrt{2 (2 (x + y) + 2 + 6 - 2 (x + y))} = 4

.

Câu 63:

. Tìm giá trị lớn nhất M của biểu thức:

5 |z - i| = |z + 1 - 3 i| + 3 |z - 1 + i|

|z - 2 + 3 i|

Cho hai số phức z, w thỏa mãn

A.

M = \frac{10}{3}

.

B.

M = 1 + \sqrt{13}

.

C.

M = 4 \sqrt{5}

.

D.

M = 9

Xem đáp án

Chọn C.

5 \sqrt{x^{2} + {(y - 1)}^{2}} = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2}} + 3 \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} \to 5 \sqrt{x^{2} + {(y - 1)}^{2}} \leq \sqrt{10} . \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} \Leftrightarrow 25 [x^{2} + {(y - 1)}^{2}] - 10 [{(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2}] \leq 0 \Leftrightarrow x^{2} + {(y - 1)}^{2} \leq 20 \Leftrightarrow |z - i| \leq 2 \sqrt{5} P = |z - 2 + 3 i| = |z - i + (4 i - 2)| \leq |z - i| + |4 i - 2| = 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} = 4 \sqrt{5}

Câu 64:

|z - 1| = |z + 3 - 2 i|

ω = z + m + i

là tham số. Giá trị của m để ta luôn có

m \in ℝ

|ω| \geq 2 \sqrt{5}

A.

[\begin{array}{l} m \geq 7 \\ m \leq 3 \end{array}

.

B.

[\begin{array}{l} m \geq 7 \\ m \leq - 3 \end{array}

.

C.

- 3 \leq m < 7

.

D.

3 \leq m \leq 7

.

Xem đáp án

Chọn B.
Đặt

z = a + i b, (a, b \in ℝ)

có biểu diễn hình học là điểm

M (x; y)

|z - 1| = |z + 3 - 2 i| \Leftrightarrow |x - 1 + i y| = |x + 3 + (y - 2) i| \Leftrightarrow \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2}} \Leftrightarrow - 2 x + 1 = 6 x + 9 - 4 y + 4 \Leftrightarrow 2 x - y + 3 = 0

Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng

Δ : 2 x - y + 3 = 0

.
Ta có:

|ω| \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow |z + m + i| \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow |x + m + + (y + 1) i| \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow \sqrt{{(x + m)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow M I \geq 2 \sqrt{5}

với

I (- m; - 1)

.
Mà ta có

M I \geq d (I, Δ)

Nên

M I \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow d (I, Δ) \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow \frac{|- 2 m + 4|}{\sqrt{5}} \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow |- 2 m + 4| \geq 10

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 2 m + 4 \geq 10 \\ - 2 m + 4 \leq - 10 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 3 \\ m \geq 7 \end{array}

.

Câu 65:

|\frac{z - 1}{z + 3 i}| = \frac{1}{\sqrt{2}}

(a, b là các số thực) thỏa mãn

P = |z + i| + 2 |\bar{z} - 4 + 7 i|

A. 20.

B. 10.

C.

12 \sqrt{5}

.

D.

4 \sqrt{5}

.

Xem đáp án

Chọn A.
Gọi

z = x + y i

,

(x, y \in ℝ)

.
Ta có

|\frac{z - 1}{z + 3 i}| = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sqrt{2} |z - 1| = |z + 3 i| \Leftrightarrow \sqrt{2} \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(y + 3)}^{2}} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y - 7 = 0

Lại có

P = |z + i| + 2 |\bar{z} - 4 + 7 i|

= \sqrt{x^{2} + {(y + 1)}^{2}} + 2 \sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y - 7)}^{2}}

= \sqrt{4 x + 8 y + 8} + 2 \sqrt{- 4 x - 8 y + 72}

.
Mặt khác

{(\sqrt{4 x + 8 y + 8} + 2 \sqrt{- 4 x - 8 y + 72})}^{2} \leq 5.80 \Rightarrow \sqrt{4 x + 8 y + 8} + 2 \sqrt{- 4 x - 8 y + 72} \leq 20

Suy ra

P \leq 20

.

Câu 66:

Cho số phức

z = a + b i

|z| = |\bar{z} - 3 + 4 i|

và có môđun nhỏ nhất. giá trị của

P = a . b

là?

A.

\frac{3}{4}

.

B. 4.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Chọn D.
Ta có:

|a + b i| = |a - b i - 3 + 4 i| \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = {(a - 3)}^{2} + {(b - 4)}^{2} \Leftrightarrow 6 a + 8 b - 25 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{25 - 8 b}{6}

Mô đun của số phức z là:

|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{{(\frac{25 - 8 b}{6})}^{2} + b^{2}} = \sqrt{\frac{100 {(b - 2)}^{2} + 225}{36}} \geq \frac{15}{6}

Số phức

{|z|}_{\min} \Leftrightarrow b = 2 \Rightarrow a = \frac{3}{2} \Rightarrow P = 3

Câu 67:

. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

|z - 2 - 4 i| = |z - 2 i|

A.

z = - 1 + i

.

B.

z = - 2 + 2 i

.

C.

z = 2 + 2 i

.

D.

3 + 2 i

.

Xem đáp án

Chọn C.
Gọi số phức z có dạng

z = a + b i

. z thỏa mãn

|z - 2 - 4 i| = |z - 2 i|

\begin{array}{l} \Leftrightarrow |a - 2 + (b - 4) i| = |a + (b - 2) i| \\ \Leftrightarrow {(a - 2)}^{2} + {(b - 4)}^{2} = a^{2} + {(b - 2)}^{2} \\ \Leftrightarrow a^{2} - 4 a + 4 + b^{2} - 8 b + 16 = a^{2} + b^{2} - 4 b + 4 \\ \Leftrightarrow 4 a + 4 b = 16 \\ \Leftrightarrow a + b = 4 \end{array}

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki.

16 = {(a + b)}^{2} \leq (1^{2} + 1^{2}) (a^{2} + b^{2}) \Rightarrow {|z|}^{2} = a^{2} + b^{2} \geq 8 |z| \geq 2 \sqrt{2}

Dấu = xảy ra

\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{a}{1} = \frac{b}{1} \\ a + b = 4 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = 2 \Rightarrow z = 2 + 2 i

Câu 68:

. Số phức z có mô đun bé nhất bằng

|z - 2 - 4 i| = |z - 2 i|

A.

3 \sqrt{2}

B. 2.

C.

2 \sqrt{2}

.

D. 4.

Xem đáp án

Chọn C
Đặt

z = x + y i (x, y \in ℝ)

. Khi đó

|z - 2 - 4 i| = |z - 2 i| \Leftrightarrow |x + y i - 2 - 4 i| = |x + y i - 2 i| \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = x^{2} + {(y - 2)}^{2} \Leftrightarrow - 4 x - 4 y + 16 = 0 \Leftrightarrow x + y - 4 = 0

Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ O đến đường thẳng

Δ : x + y - 4 = 0

.

{|z|}_{\min} = d (O; Δ) = \frac{|4|}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}

.

Câu 69:

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn

|z_{1} + z_{2}| = 5

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

|z_{1} - z_{2}| = 1

P = |z_{1}| + |z_{2}|

Cho hai số phức z₁; z₂ thỏa mãn

A.

\sqrt{26}

B.

\frac{\sqrt{26}}{2}

C. 9

D.

\frac{- 1}{2}

Xem đáp án

Chọn A.

Ta gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z₁, z₂.
Từ giả thiết:

với I là trung điểm của đoạn thẳng MN.

.
Ta có

.

Vậy

Câu 70:

|z_{1} + z_{2}| = 5

. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

|z_{1} - z_{2}| = 1

P = |z_{1}| + |z_{2}|

. Khi đó mô đun của số phức M + mi là:

A.

\sqrt{76}

.

B. 76.

C.

2 \sqrt{10}

.

D.

2 \sqrt{11}

.

Xem đáp án

Chọn A.

Ta gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z₁; z₂.
Từ giả thiết:

với I là trung điểm của đoạn thẳng MN.

.
Ta có

Vậy

.
Vậy

.
Suy ra

Câu 71:

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

|i z + 3| = \sqrt{\frac{5}{2}}

P = |2 z + 1 - 4 i| + |z - 1 - 5 i|

A.

2 \sqrt{5}

.

B.3.

C.

3 \sqrt{5}

.

D.

\frac{\sqrt{5}}{2}

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z.

.

Suy ra

Khi đó:

với

Ta có:

suy ra

.
Theo định lý Stewart ta có:

(Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ

Suy ra:

Vậy

Câu 72:

. Gọi z là số phức thỏa mãn

z_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}, z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}

|3 z - \sqrt{3} i| = \sqrt{3}

. Đặt M, n lần lượt là giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T = |z| + |z - z_{1}| + |z - z_{2}|

. Tính modun của số phức

w = M + n i

A.

\frac{2 \sqrt{21}}{3}

B.

\sqrt{13}

C.

\frac{4 \sqrt{3}}{3}

D. 4

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Giả sử

z = x + y i, (x, y \in R)

. Ta có

|3 z - \sqrt{3} i| = \sqrt{3} \Leftrightarrow x^{2} + {(y - \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} = 1 (C)

Gọi

K (x; y), A (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}), B (- \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})

lần lượt là các điểm biểu diễn số phức

z, z_{1}, z_{2}

Ta tìm Max – Min của

T = O K + O A + O B

Ta có

A, B, O

thuộc đường tròn (C) và đều

\Rightarrow T_{M i n} = 2 O A = 2

.
Gọi K thuộc cung

\overset{⏜}{O B}

. Ta có

K A . O B = O A . B K + A B . O K \Leftrightarrow K A = K B + O K

\Rightarrow T = 2 K A \leq 2.2 R = \frac{4 \sqrt{3}}{3} = T_{M a x} \Rightarrow |w| = \sqrt{{(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 2^{2}} = \frac{2 \sqrt{21}}{3}

Câu 73:

. Tìm giá trị lớn nhất M của

5 |z - i| = |z + 1 - 3 i| + 3 |z - 1 + i|

|z - 2 + 3 i|

A.

M = \frac{10}{3}

.

B.

M = 1 + \sqrt{13}

.

C.

M = 4 \sqrt{5}

.

D.

M = 9

.

Xem đáp án

Chọn C
Gọi

A (- 1; 3), B (1; - 1), C (0; 1) \Rightarrow C

là trung điểm AB
Suy ra

M C^{2} = \frac{M A^{2} + M B^{2}}{2} - \frac{A B^{2}}{4} \Rightarrow M A^{2} + M B^{2} = 2 M C^{2} + 10

.
Mặt khác

5 |z - i| = |z + 1 - 3 i| + 3 |z - 1 + i| \Rightarrow 5 M C = M A + 3 M B \leq \sqrt{10} \sqrt{M A^{2} + M B^{2}}

\Rightarrow 25 M C^{2} \leq 10 (2 M C^{2} + 10) \Rightarrow M C \leq 2 \sqrt{5}

.
Mà

|z - 2 + 3 i| = |z - i + (- 2 + 4 i)| \leq |z - i| + |- 2 + 4 i| \leq M C + 2 \sqrt{5} \leq 4 \sqrt{5}

.
Dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi

z = - 2 + 5 i

.

Câu 74:

|z + 1 - 2 i| + |z - 1 - 2 i| = \frac{\sqrt{3}}{|z - 2 i|}

P = |z - 2 i|

A.

P = \frac{1}{\sqrt{2}}

.

B.

P = \sqrt{2}

.

C.

P = \sqrt{3}

.

D.

P = \frac{1}{\sqrt{3}}

.

Xem đáp án

Chọn A
Áp dụng tính chất:

{|z + z_{1}|}^{2} + {|z - z_{1}|}^{2} = 2 {|z|}^{2} + 2 {|z_{1}|}^{2}

Ta có:

\frac{\sqrt{3}}{|z - 2 i|} = |z + 1 - 2 i| + |z - 1 - 2 i| \leq \sqrt{2 [{|z - 2 i + 1|}^{2} + {|z - 2 i - 1|}^{2}]} = 2 \sqrt{{|z - 2 i|}^{2} + 1}

\Leftrightarrow 4 {|z - 2 i|}^{4} + 4 {|z - 2 i|}^{2} - 3 \geq 0 \Rightarrow P = |z - 2 i| \geq \frac{1}{\sqrt{2}}

Câu 75:

z_{1}, z_{2}

thỏa mãn điều kiện

2 |\bar{z_{1}} + i| = |\bar{z_{1}} - z_{1} - 2 i|

|z_{2} - i - 10| = 1

|z_{1} - z_{2}|

A.

\sqrt{10} + 1

.

B.

3 \sqrt{5} - 1

.

C.

\sqrt{\sqrt{101} + 1}

.

D.

\sqrt{\sqrt{101} - 1}

Xem đáp án

Chọn B.
+) Gọi

z_{1} = a + b i; (a, b \in ℝ)

.
Nên

2 |\bar{z_{1}} + i| = |\bar{z_{1}} - z_{1} - 2 i| \Leftrightarrow 2. \sqrt{a^{2} + {(b - 1)}^{2}} = \sqrt{{(2 b + 2)}^{2}} \Leftrightarrow b = \frac{a^{2}}{4}

.
Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z₁ là Parabol

y = \frac{x^{2}}{4}

.
+) Gọi

z_{2} = a + b i, (a, b \in ℝ)

.
Khi đó

|z_{2} - i - 10| = 1 \Leftrightarrow {(a - 10)}^{2} + {(b - 1)}^{2} = 1

Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z₂ là đường tròn

(C) {(x - 10)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1

tâm bamns kính r = 1.

|z_{1} - z_{2}|

nhỏ nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất.
Ta có:

M N + I N \geq I M \Rightarrow M N \geq I M - I N = I M - 1

.
Nên MN nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất.
Ta có:

I M^{2} = {(x - 10)}^{2} + {(\frac{x^{2}}{4} - 1)}^{2} = {(\frac{x^{2}}{4} - 4)}^{2} + \frac{5}{2} {(x - 4)}^{2} + 45

\Rightarrow I M \geq \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}

.
Do đó

M N \geq 3 \sqrt{5} - 1

.
Vậy

|z_{1} - z_{2}| = M N \geq 3 \sqrt{5} - 1 \Rightarrow {|z_{1} - z_{2}|}_{\min} = 3 \sqrt{5} - 1

.

Câu 76:

z_{1}, z_{2}

|z_{1} + 1 - i| = 2

. Tìm giá trị lớn nhất của m biểu thức

z_{2} = i z_{1}

|z_{1} - z_{2}|

A.

m = 2 \sqrt{2} + 2

.

B.

m = \sqrt{2} + 1

.

C.

m = 2 \sqrt{2}

.

D.

m = 2

.

Xem đáp án

Chọn A.
Ta có

|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} - i z_{1}| = |1 - i| . |z_{1}| = \sqrt{2} . |z_{1}|

Đặt

z_{1} = a + b i

với (

a, b \in ℝ

) theo đề bài ta có

{(a + 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2} = 4

(*). Ta cần tìm GTLN của

m = \sqrt{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Đặt

t = a^{2} + b^{2}

. Ta có:

(*) \Leftrightarrow 4 = a^{2} + 2 a + 1 + b^{2} - 2 b + 1 \Rightarrow 2 (a - b) = 2 - t

.
Mà

{(a - b)}^{2} \leq (1^{2} + {(- 1)}^{2}) . (a^{2} + b^{2})

(**) nên

{(2 - t)}^{2} \leq 4 {(a - b)}^{2} \leq 8 t \Leftrightarrow t^{2} - 12 t + 4 \leq 0 \Leftrightarrow 6 - 4 \sqrt{2} \leq t \leq 6 + 4 \sqrt{2}

Kết hợp với

t = a^{2} + b^{2} \geq 0

suy ra

0 \leq t \leq 6 + 4 \sqrt{2}

Suy ra

m = \sqrt{2 t} \leq \sqrt{12 + 8 \sqrt{2}} = 2 \sqrt{2} + 2

Dấu "=" xảy ra khi (**) xảy ra khi

\frac{a}{1} = \frac{b}{- 1} \Leftrightarrow a = - b

. Kết hợp (*) ta được

z_{1} = (- 1 \pm \sqrt{2}) (1 - i)

Vậy giá trị lớn nhất của m bằng

2 \sqrt{2} + 2

.

Câu 77:

z_{1}

z_{2}

|z_{1} - 3 i + 5| = 2

|i z_{2} - 1 + 2 i| = 4

T = |2 i z_{1} + 3 z_{2}|

A.

\sqrt{313} + 16

.

B.

\sqrt{313}

.

C.

\sqrt{313} + 8

.

D.

\sqrt{313} + 2 \sqrt{5}

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

|z_{1} - 3 i + 5| = 2 \Rightarrow |2 i z_{1} + 6 + 10 i| = 4

.
Suy ra điểm M biểu diễn số phức 2iz₁ nằm trên đường tròn

(T_{1})

có tâm

I_{1} (- 6; - 10)

và có bán kính là

R_{1} = 4

.
Mặt khác,

|i z_{2} - 1 + 2 i| = 4 \Rightarrow |- 3 z_{2} - 6 - 3 i| = 12

nên điểm biểu diễn số phức

- 3 z_{2}

là điểm N nằm trên đường tròn

(T_{2})

có tâm

I_{2} (6; 3)

và có bán kính là

R_{2} = 12

.
Ta thấy

|2 i z_{1} + 3 z_{2}| = |2 i z_{1} - (- 3 z_{2})| = M N

.
lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất, khi đó bốn điểm M, I₁, I₂, N theo thứ tự thẳng hàng.
Vậy giá trị lớn nhất của

M N = I_{1} I_{2} + R_{1} + R_{2} = \sqrt{313} + 16

.

Câu 78:

z, w

\{\begin{cases} |z - 3 - 2 i| \leq 1 \\ |w + 1 + 2 i| \leq |w - 2 - i| \end{cases}

. Tìm giá trị nhỏ nhất

P_{\min}

của biểu thức

P = |z - w|

A.

P_{\min} = \frac{3 \sqrt{2} - 2}{2}

.

B.

P_{\min} = \sqrt{2} + 1

.

C.

P_{\min} = \frac{5 \sqrt{2} - 2}{2}

.

D. $P_{\min} = \frac{3 \sqrt{2} - 2}{2}$

Xem đáp án

Chọn C.
Giả sử

z = a + b i

(a, b \in ℝ)

,

w = x + y i (x, y \in ℝ)

.

|z - 3 - 2 i| \leq 1 \Leftrightarrow {(a - 3)}^{2} + {(b - 2)}^{2} \leq 1

(1)

|w + 1 + 2 i| \leq |w - 2 - i| \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} \leq {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2}

.
Suy ra

x + y = 0

.

P = |z - w| = \sqrt{{(a - x)}^{2} + {(b - y)}^{2}} = \sqrt{{(a - x)}^{2} + {(b + x)}^{2}}

.
Từ (1) ta có

I (3; 2)

, bán kính r = 1. Gọi H là hình chiếu của I trên

d : y = - x

.
Đường thẳng HI có PTTS

\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 2 + t \end{cases}

.

M \in H I \Rightarrow M (3 + t; 2 + t) M \in (C) \Leftrightarrow 2 t^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ t = - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} t = 2 \Rightarrow M (3 + \frac{1}{\sqrt{2}}; 2 + \frac{1}{\sqrt{2}}), M H = \frac{5 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} t = 3 \Rightarrow M (3 - \frac{1}{\sqrt{2}}; 2 - \frac{1}{\sqrt{2}}), M H = \frac{5 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}

Vậy

P_{\min} = \frac{5 \sqrt{2} - 2}{2}

.

Câu 79:

Cho

z_{1} = a + b i

z_{2} = c + d i

là 2 số phức thỏa mãn:

|z_{1}^{2}| = 4

. Gọi M là giá trị lớn nhất của biểu thức

|z_{1}| (c + d) = 10

T = a c + b d + c d

. Hãy chọn khẳng định đúng về .

A.

M \in (11; 15)

.

B.

M \in (15; 17)

.

C.

M \in (11; 12)

.

D. Không tồn tại M.

Xem đáp án

Chọn A.
Ta có $\{\begin{cases} |z_{1}^{2}| = 4 \\ |z_{1}| (c + d) = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 \\ c + d = 5 \end{cases}$ .
Khi đó:
$T = a c + b d + c d \leq \sqrt{(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})} + c (5 - c) = 2 \sqrt{c^{2} + {(5 - c)}^{2}} + 5 c - c^{2}$ .
Đặt $f (c) = 2 \sqrt{2 c^{2} - 10 c + 25} + 5 c - c^{2}$ .
Ta có $f^{'} (c) = \frac{4 c - 10}{\sqrt{2 c^{2} - 10 c + 25}} + 5 - 2 c = (2 c - 5) (\frac{2 - \sqrt{2 c^{2} - 10 c + 25}}{\sqrt{2 c^{2} - 10 c + 25}}) \Leftrightarrow c = \frac{5}{2}$
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có $M = 5 \sqrt{2} + \frac{25}{4} \approx 13, 3$ .
Dấu bằng xảy ra khi $\{\begin{cases} a = b = \sqrt{2} \\ c = d = \frac{5}{2} \end{cases}$ .

Câu 80:

|z^{3} + \frac{1}{z^{3}}| \leq 2

. Khẳng định nào sau đây đúng?

M = m ax |z + \frac{1}{z}|

A.

M \in (- 1; 2)

.

B.

M \in (2; \frac{7}{2})

.

C.

M \in (1; \frac{5}{2})

.

D.

M^{2} + M < 5

.

Xem đáp án

Chọn C.
Ta có ${(z + \frac{1}{z})}^{3} = z^{3} + \frac{1}{z^{3}} + 3 (z + \frac{1}{z}) \Leftrightarrow z^{3} + \frac{1}{z^{3}} = {(z + \frac{1}{z})}^{3} - 3 (z + \frac{1}{z})$
$\Leftrightarrow |z^{3} + \frac{1}{z^{3}}| = |{(z + \frac{1}{z})}^{3} - 3 (z + \frac{1}{z})| \Leftrightarrow |{(z + \frac{1}{z})}^{3} - 3 (z + \frac{1}{z})| \leq 2$ .
Mặt khác: $|{(z + \frac{1}{z})}^{3} - 3 (z + \frac{1}{z})| \geq {|z + \frac{1}{z}|}^{3} - 3 |z + \frac{1}{z}|$ .
Suy ra: ${|z + \frac{1}{z}|}^{3} - 3 |z + \frac{1}{z}| \leq 2$ . Đặt $t = |z + \frac{1}{z}| \geq 0$ ta được:
$t^{3} - 3 t - 2 \leq 0 \Leftrightarrow (t - 2) {(t + 1)}^{2} \leq 0 \Leftrightarrow t \leq 2$ .
Vậy $M = 2$ .

Câu 81:

Cho số phức

z = x + y i

với x, y là các số thực không âm thỏa mãn

|\frac{z - 3}{z - 1 + 2 i}| = 1

và biểu thức

P = {|z^{2} - {\bar{z}}^{2}|}^{2} + i (z^{2} - {\bar{z}}^{2}) [z (1 - i) + \bar{z} (1 + i)]

. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P. Môđun của

M + m i

A. 3.

B. 1.

C. 4.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn B.
Ta có

|\frac{z - 3}{z - 1 + 2 i}| = 1 \Leftrightarrow |z - 3| = |z - 1 + 2 i| \Leftrightarrow x + y = 1

.

P = {|z^{2} - {\bar{z}}^{2}|}^{2} + i (z^{2} - {\bar{z}}^{2}) [z (1 - i) + \bar{z} (1 + i)] = 16 x^{2} y^{2} - 8 x y (x + y) = 16 x^{2} y^{2} - 8 x y

.
Đặt

t = x y

ta có

0 \leq t \leq \frac{{(x + y)}^{2}}{4} = \frac{1}{4}

.

Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

P = 16 t^{2} - 8 t

, với

t \in [0; \frac{1}{4}]

ta được

P_{max} = 0

;

P_{\min} = - 1

. Vậy

|M + m i| = 1

.

Câu 82:

. Gọi z là số phức thỏa mãn

z_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i

|3 z - \sqrt{3} i| = \sqrt{3}

. Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

T = |z| + |z - z_{1}| + |z - z_{2}|

. Tính mô đun của số phức

w = M + m i

Cho hai số phức và thỏa mãn các điều kiện sau:

A.

\frac{2 \sqrt{21}}{3}

.

B.

\sqrt{13}

.

C.

\frac{4 \sqrt{3}}{3}

.

D. 4

Xem đáp án

Chọn A.

Giả sử M, A, B lần lượt biểu diễn số phức

z = x + y i, z_{1}, z_{2}

.
Từ giả thiết

|3 z - \sqrt{3} i| = \sqrt{3}

ta có:

x^{2} + {(y - \frac{1}{\sqrt{3}})}^{2} = \frac{1}{3}

.
Nên M thuộc đường tròn tâm

I (0; \frac{1}{\sqrt{3}}), R = \frac{1}{\sqrt{3}}

.
Ta có

T = M O + M A + M B

.
Để

T_{\min}

thì M trùng O, A, B nên

T_{\min} = 2 O A = 2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}} = 2

.

Để

T_{m a x}

thì

O M_{m a x}

và

{(M A + M B)}_{m a x}

nên

O M = 2 R

và M nằm chính giữa cung nhỏ

\overset{⏜}{A B}

và

M (0; \frac{2}{\sqrt{3}})

. Do vậy

T_{m a x} = O M + 2 M A = \frac{2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2}{\sqrt{3}})}^{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}}

.
Vậy

|w| = \sqrt{M^{2} + m^{2}} = \sqrt{{(\frac{4}{\sqrt{3}})}^{2} + 2^{2}} = \frac{2 \sqrt{21}}{3}

.

Câu 83:

\{\begin{cases} |i z - 2 i - 2| \leq |z - 1| \\ \max \{|w + 2 - 2 i|, |w|\} \leq \sqrt{2} \end{cases}

.
Tìm giá trị nhỏ nhất của

|z - w|

A.

\frac{9}{2 \sqrt{5}}

.

B.

\frac{13}{2 \sqrt{5}}

.

C.

\frac{\sqrt{5}}{2}

.

D.

\frac{1}{2 \sqrt{5}}

.

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của z, w với

M (x; y)

.
Ta có

|i z - 2 i - 2| \leq |z - 1| \Leftrightarrow |z - 2 + 2 i| \leq |z - 1|

\Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} \leq {(x - 1)}^{2} + y^{2} \Leftrightarrow - 2 x + 4 y + 7 \leq 0

.
Do đó, M thuộc nửa mặt phẳng bờ

Δ : - 2 x + 4 y + 7 = 0

không chứa O, kể cả bờ.
Ta có

\max \{|w + 2 - 2 i|, |w|\} \leq \sqrt{2}

suy ra

\{\begin{cases} |w + 2 - 2 i| \leq \sqrt{2} \\ |w| \leq \sqrt{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} N I \leq \sqrt{2}, I (- 2; 2) \\ N O \leq \sqrt{2} \end{cases}

.
Do đó, N thuộc phần chung của hai hình tròn

(I; \sqrt{2})

và

(O; \sqrt{2})

.
Dễ thấy hai hình tròn này tiếp xúc ngoài tại điểm

E (- 1; 1)

. Do đó,

N (- 1; 1)

.
Ta thấy

|z - w| = M N

nên

|z - w|

nhỏ nhất khi MN ngắn nhất, khi đó M là hình chiếu của N trên

Δ

.
Ta có

d (N, Δ) = \frac{|- 2 (- 1) + 4.1 + 7|}{\sqrt{{(- 2)}^{2} + 4^{2}}} = \frac{13}{2 \sqrt{5}}

.
Vậy

\min |z - w| = \frac{13}{2 \sqrt{5}}

.

Câu 84:

z_{1}; z_{2}

|z_{1} - 3 i + 5| = 2

|i z_{2} - 1 + 2 i| = 4

T = |2 i z_{1} + 3 z_{2}|

A.

\sqrt{313} + 16

.

B.

\sqrt{313}

.

C.

\sqrt{313} + 8

.

D.

\sqrt{313} + 2 \sqrt{5}

.

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt $2 i z_{1} = a + b i, - 3 z_{2} = c + d i (a; b; c; d \in ℝ)$ , gọi $A (a; b), B (c; d)$ .
Có $|z_{1} - 3 i + 5| = 2 \Leftrightarrow |\frac{a + b i}{2 i} - 3 i + 5| = 2 \Leftrightarrow |(a + 6) + (10 + b) i| = 4 \Leftrightarrow {(a + 6)}^{2} + {(b + 10)}^{2} = 16$ nên $A \in (I)$ có tâm $I (- 6; - 10)$ bán kính $R = 4$ .
Có $|i z_{2} - 1 + 2 i| = 4 \Leftrightarrow |i . \frac{c + d i}{- 3} - 1 + 2 i| = 4 \Leftrightarrow |(3 - d) + (c - 6) i| = 12 \Leftrightarrow {(c - 6)}^{2} + {(d - 3)}^{2} = 12^{2}$ nên $B \in (J)$ có tâm $J (6; 3)$ , bán kính $R^{'} = 12$ .
Có $T = |2 i z_{1} + 3 z_{2}| |(a - c) + (b - d)| = \sqrt{{(a - c)}^{2} + {(b - d)}^{2}} = A B$ .
Do $A \in (I)$ , $B \in (J)$ , $I J = \sqrt{313} > R + R^{'} = 16$ nên $A B_{M a x} = R + R^{'} + I J = 16 + \sqrt{313}$ .

Câu 85:

Xét các số phức

z = a + b i, (a, b \in ℝ)

|z - 3 - 2 i| = 2.

Tính

a + b

biết biểu thức

S = |z + 1 - 2 i| + 2 |z - 2 - 5 i|

đạt giá trị nhỏ nhất.

A.

4 + \sqrt{3}

.

B.

2 + \sqrt{3}

.

C.

4 - \sqrt{3}

.

D. 3.

Xem đáp án

Chọn A

Giả thiết

|z - 3 - 2 i| = 2 \Leftrightarrow (T) : {(a - 3)}^{2} + {(b - 2)}^{2} = 4

Gọi

A (- 1; 2), B (2; 5), M (a; b)

lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức

z_{1} = - 1 + 2 i, z_{2} = 2 + 5 i, z_{3} = a + b i

Bài toán trở thành: Tìm

M \in (T)

sao cho biểu thức

S = M A + 2 M B

nhỏ nhất
Ta có

M A = \sqrt{{(a + 1)}^{2} + {(b - 2)}^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 a - 4 b + 5}

= 2 \sqrt{a^{2} + b^{2} - 4 a - 4 b + 8}

= 2 \sqrt{{(a - 2)}^{2} + {(b - 2)}^{2}} = 2 M C

với

C (2; 2)

Ta có

M A + 2 M B = 2 (M B + M C) \geq 2 B C

dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi

B, M, C

theo thứ tự đó thẳng hàng.
Phương trình đường thẳng

B C : x = 2

M là giao của của BC và

(T) \Rightarrow M (2; 2 + \sqrt{3}) \Rightarrow a + b = 4 + \sqrt{3}

.

Câu 86:

Cho các số phức

z_{1}, z_{2}, z_{3}

\sqrt{2} |z_{1}| = \sqrt{2} |z_{2}| = |z_{1} - z_{2}| = 6 \sqrt{2}

P = |z| + |z - z_{1}| + |z - z_{2}|

A.

P = 6 \sqrt{2 + \sqrt{2}}

B.

P = 3 \sqrt{2 + \sqrt{3}}

.

C.

P = 6 \sqrt{2 + \sqrt{3}}

.

D.

P = \frac{9}{2} \sqrt{2 + \sqrt{3}}

.

Xem đáp án

Chọn C.

Chọn

A, B, M

lần lượt là các điểm biểu diễn số phức

z_{1}, z_{2}, z

,
Dựa vào điều kiện

\sqrt{2} |z_{1}| = \sqrt{2} |z_{2}| = |z_{1} - z_{2}| = 6 \sqrt{2} \Leftrightarrow O A = O B = 6, A B = 6 \sqrt{2}

.
Suy ra ta có tam giác OAB vuông cân tại O.
Phép quay tâm B góc quay

- 60^{0}

ta có:

Q_{(B, - 60^{0})} : A \mapsto A^{'} M \mapsto M^{'}

Do tam giác

Δ B M M^{'}

đều

\Rightarrow A M = A^{'} M^{'}

,

B M = M M^{'}

Suy ra

P = |z| + |z - z_{1}| + |z - z_{2}| = O M + A M + B M = O M + M M^{'} + A^{'} M^{'} \geq O A^{'}

.
Dấu

" = "

xảy ra khi

O, ​ M, M^{'} ​​, A^{'}

thẳng hàng.
Khi đó tam giác

O B A^{'}

có

O B = 6

,

B A^{'} = B A = 6 \sqrt{2}

và

\hat{O B A^{'}} = 105^{0}

.
Từ đó suy ra

O A^{'} = \sqrt{O B^{2} + B {A^{'}}^{2} - 2 O B . B A^{'} . \cos 105^{0}} = 6 \sqrt{2 + \sqrt{3}}

.
Vậy

\min P = 6 \sqrt{2 + \sqrt{3}}

.

Câu 87:

z, ω

|z - 1| = |z + 3 - 2 i|

ω = z + m + i

là tham số. Giá trị của m để ta luôn có

m \in ℝ

|ω| \geq 2 \sqrt{5}

A.

[\begin{array}{l} m \geq 7 \\ m \leq 3 \end{array}

.

B.

[\begin{array}{l} m \geq 7 \\ m \leq - 3 \end{array}

.

C.

- 3 \leq m < 7

.

D.

3 \leq m \leq 7

.

Xem đáp án

Chọn B.
Đặt

z = a + i b, (a, b \in ℝ)

có biểu diễn hình học là điểm

M (x; y)

|z - 1| = |z + 3 - 2 i| \Leftrightarrow |x - 1 + i y| = |x + 3 + (y - 2) i| \Leftrightarrow \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2}} \Leftrightarrow - 2 x + 1 = 6 x + 9 - 4 y + 4 \Leftrightarrow 2 x - y + 3 = 0

Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng

Δ : 2 x - y + 3 = 0

.
Ta có:

|ω| \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow |z + m + i| \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow |x + m + + (y + 1) i| \geq 2 \sqrt{5}

\Leftrightarrow \sqrt{{(x + m)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow M I \geq 2 \sqrt{5}

với

I (- m; - 1)

.
Mà ta có

M I \geq d (I, Δ)

Nên

M I \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow d (I, Δ) \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow \frac{|- 2 m + 4|}{\sqrt{5}} \geq 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow |- 2 m + 4| \geq 10

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 2 m + 4 \geq 10 \\ - 2 m + 4 \leq - 10 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 3 \\ m \geq 7 \end{array}

.

Câu 88:

|\frac{z - 1}{z + 3 i}| = \frac{1}{\sqrt{2}}