46 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 12 Mũ và lôgarit có đáp án (Mới nhất)

Câu 1:

\log_{2} 2 a

bằng

A. $1 + \log_{2} a$

B. $1 - \log_{2} a$

C. $2 - \log_{2} a$

D. $2 + \log_{2} a$

Xem đáp án

Chọn A

$\log_{2} 2 a = \log_{2} 2 + \log_{2} a = 1 + \log_{2} a$

Câu 2:

Nghiệm của phương trình $\log_{2} (x + 6) = 5$ là

A. $x = 4$

B. $x = 19$

C. $x = 38$

D. $x = 26$

Xem đáp án

Chọn D

Điều kiện $x + 6 > 0 \Leftrightarrow x > - 6$

Ta có: $\log_{2} (x + 6) = 5 \Leftrightarrow \log_{2} (x + 6) = \log_{2} 2^{5} \Leftrightarrow (x + 6) = 32 \Leftrightarrow x = 32 - 6 z_{2} \Leftrightarrow x = 26 (T M)$

Vậy nghiệm của phương trình: $x = 26$

Câu 3:

Với

a, b

là các số thực dương tùy ý thỏa mãn

\log_{3} a - 2 \log_{9} b = 3

, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = 27 b$

B. $a = 9 b$

C. $a = 27 b^{4}$

D. $a = 27 b^{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: . $\log_{3} a - 2 \log_{9} b = 3 \Leftrightarrow \log_{3} a - \log_{3} b = 3 \Leftrightarrow \log_{3} \frac{a}{b} = 3 \Leftrightarrow \frac{a}{b} = 27 \Leftrightarrow a = 27 b$

Câu 4:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (36 - x^{2}) \geq 3$ là

A. $(- \infty; - 3] \cup [3; + \infty)$

B. $(- \infty; 3]$

C. $[- 3; 3]$

D. $(0; 3]$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\log_{3} (36 - x^{2}) \geq 3 \Leftrightarrow 36 - x^{2} \geq 27 \Leftrightarrow 9 - x^{2} \geq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq x \leq 3$ .

Câu 5:

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{3} (3 a)$ bằng

A. $3 - \log_{3} a$

B. $1 - \log_{3} a$

C. $3 + \log_{3} a$

D. $1 + \log_{3} a$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $\log_{3} (3 a) = \log_{3} 3 + \log_{3} a = 1 + \log_{3} a$ .

Câu 6:

Nghiệm của phương trình $2^{2 x - 2} = 2^{x}$ là

A. $x = - 2$

B. $x = 2$

C. $x = - 4$

D. $x = 4$

Xem đáp án

Chọn B

$2^{2 x - 2} = 2^{x} \Leftrightarrow 2 x - 2 = x \Leftrightarrow x = 2$ .

Câu 7:

Nghiệm của phương trình $\log_{2} (x + 7) = 5$ là

A. x=18

B. x=25

C. x=39

D. x=3

Xem đáp án

Chọn B

$\log_{2} (x + 7) = 5 \Leftrightarrow x + 7 = 2^{5}$ .

Câu 8:

Với a,b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{2} a - 2 \log_{4} b = 4$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = 16 b^{2}$

B. $a = 8 b$

C. $a = 16 b$

D. $a = 16 b^{4}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\log_{2} a - 2 \log_{4} b = 4$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \log_{2} a - 2 \log_{2^{2}} b = 4 \Leftrightarrow \log_{2} a - 2. \frac{1}{2} \log_{2} b = 4 \Leftrightarrow \log_{2} a - \log_{2} b = 4 \\ \Leftrightarrow \log_{2} \frac{a}{b} = 4 \Leftrightarrow \frac{a}{b} = 2^{4} \Leftrightarrow a = 16 b \end{array}$

Câu 9:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3}^{} (31 - x^{2}) \geq 3$ là

A. $(- \infty; 2]$

B. $[- 2; 2]$

C. $(- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$

D. $(0; 2]$

Xem đáp án

Chọn B

$\log_{3}^{} (31 - x^{2}) \geq 3 \Leftrightarrow 31 - x^{2} \geq 27 \Leftrightarrow x^{2} - 4 \leq 0 \Leftrightarrow x \in [- 2; 2]$ .

Câu 10:

Nghiệm của phương trình $\log_{2} (x - 2) = 3$ là:

A. $x = 6$

B. $x = 8$

C. $x = 11$

D. $x = 10$

Xem đáp án

Chọn D

Điều kiện: $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$ .

$\log_{2} (x - 2) = 3 \Leftrightarrow x - 2 = 8 \Leftrightarrow x = 10$ (thỏa).

Vậy phương trình có nghiệm $x = 10$ .

Câu 11:

Nghiệm của phương trình $3^{x + 1} = 9$ là

A. $x = 1$

B. $x = 2$

C. $x = - 2$

D. $x = - 1$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $3^{x + 1} = 9 \Leftrightarrow 3^{x + 1} = 3^{2} \Leftrightarrow x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1$ .

Câu 12:

Tập xác định của hàm số $y = \log_{3} x$ là

A. $(- \infty; 0)$

B. $(0; + \infty)$

C. $(- \infty; + \infty)$

D. $[0; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn B.

Điều kiện xác định: $x > 0$ .

Câu 13:

Với a,b là các số thực dương tùy ý và $a \neq 1$ , $\log_{a^{3}} b$ bằng

A. $3 + \log_{a} b$

B. $3 \log_{a} b$

C. $\frac{1}{3} + \log_{a} b$

D. $\frac{1}{3} \log_{a} b$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $\log_{a^{3}} b = \frac{1}{3} \log_{a} b .$

Câu 14:

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x^{2} - 7} < 4$ là

A. $(- 3; 3)$

B. $(0; 3)$

C. $(- \infty; 3)$

D. $(3, + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có : $2^{x^{2} - 7} < 4 \Leftrightarrow 2^{x^{2} - 7} < 2^{2} \Rightarrow x^{2} - 7 < 2 \Leftrightarrow x^{2} < 9 \Rightarrow x \in (- 3; 3) .$

Câu 15:

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn $9^{\log_{3} (a b)} = 4 a$ . Giá trị của $a b^{2}$ bằng

A. 3

B. 6

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Chọn D

Ta có : $9^{\log_{3} (a b)} = 4 a \Leftrightarrow 2 \log_{3} (a b) = \log_{3} (4 a) \Leftrightarrow \log_{3} (a^{2} b^{2}) = \log_{3} (4 a) \Rightarrow a^{2} b^{2} = 4 a$

$\Leftrightarrow a b^{2} = 4$ .

Câu 16:

Nghiệm của phương trình $3^{x - 1} = 27$ là

A. $x = 4$

B. $x = 3$

C. $x = 2$

D. $x = 1$

Xem đáp án

Chọn A

$3^{x - 1} = 27 \Leftrightarrow 3^{x - 1} = 3^{3} \Leftrightarrow x = 4$ .

Câu 17:

Tập xác định của hàm số

y = \log_{2} x

là

A. $[0; + \infty)$

B. $(- \infty; + \infty)$

C. $(0; + \infty)$

D. $[2; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số xác định khi $x > 0$ . Vậy tập xác định $D = (0; + \infty)$ .

Câu 18:

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{2} (a^{3})$ bằng

A. $(\frac{3}{2} \log_{2} a)$

B. $\frac{1}{3} \log_{2} a$

C. $3 + \log_{2} a$

D. $3 \log_{2} a$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $\log_{2} (a^{3}) = 3 \log_{2} a$ .

Câu 19:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log x \geq 1$ là

A. $(10; + \infty)$

B. $(0; + \infty)$

C. $[10; + \infty)$

D. $(- \infty; 10)$

Xem đáp án

Chọn C

$\log x \geq 1 \Leftrightarrow x \geq 10$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $[10; + \infty)$ .

Câu 20:

Xét các số thực $a; b$ thỏa mãn $\log_{3} (3^{a} {.9}^{b}) = \log_{9} 3$ . Mệnh đề nào là đúng?

A. $a + 2 b = 2$

B. $4 a + 2 b = 1$

C. $4 a b = 1$

D. $2 a + 4 b = 1$

Xem đáp án

Chọn D

\log_{3} (3^{a} {.9}^{b}) = \log_{9} 3 \Rightarrow \log_{3} (3^{a}) + \log_{3} (9^{b}) = \frac{1}{2}

.

\Rightarrow a + 2 b = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 a + 4 b = 1

Câu 21:

Tập nghiệm của bất phương trình $9^{x} + {2.3}^{x} - 3 > 0$ là

A. $[0; + \infty)$

B. $(0; + \infty)$

C. $(1; + \infty)$

D. $[1; + \infty) .$

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $t = 3^{x} (t > 0)$ bất phương trình đã cho trở thành $t^{2} + 2 t - 3 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t > 1 \\ t < - 3 (l o a i) \end{array}$

Với

t > 1

thì

3^{x} > 1 \Leftrightarrow x > 0

.

Câu 22:

Nghiệm của phương trình

\log_{3} (2 x - 1) = 2

là

A. x=3

B. $x = 5$

C. $x = \frac{9}{2}$

D. $x = \frac{7}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

$\log_{3} (2 x - 1) = 2 \Leftrightarrow 2 x - 1 = 3^{2} \Leftrightarrow x = 5$

Câu 23:

Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn $\log_{2} a = \log_{8} (a b)$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = b^{2}$

B. $a^{3} = b$

C. $a = b$

D. $a^{2} = b$

Xem đáp án

Đáp án D

$\log_{2} a = \log_{8} (a b) \Leftrightarrow \log_{2} a = \frac{1}{3} \log_{2} (a b)$ .

$\Leftrightarrow 3 \log_{2} a = \log_{2} (a b) \Leftrightarrow \log_{2} a^{3} = \log_{2} (a b) \Leftrightarrow a^{3} = a b \Leftrightarrow a^{2} = b$

Câu 24:

Tập nghiệm của bất phương trình $5^{x - 1} \geq 5^{x^{2} - x - 9}$ là

A. $[- 2; 4]$

B. $[- 4; 2]$

C. $(- \infty; - 2] \cup [4; + \infty)$

D. $(- \infty; - 4] \cup [2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án A

$5^{x - 1} \geq 5^{x^{2} - x - 9} \Leftrightarrow x - 1 \geq x^{2} - x - 9 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 8 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq x \leq 4$

Câu 25:

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn $\log_{9} x = \log_{6} y = \log_{4} (2 x + y)$ . Giá trị của $\frac{x}{y}$ bằng

A. 2

B. $\frac{1}{2}$

C. $\log_{2} (\frac{3}{2})$

D. $\log_{\frac{3}{2}} 2$

Xem đáp án

Đáp án B

Giả sử $\log_{9} x = \log_{6} y = \log_{4} (2 x + y) = t$ . Suy ra: $\{\begin{cases} x = 9^{t} \\ y = 6^{t} \\ 2 x + y = 4^{t} \end{cases} \Rightarrow {2.9}^{t} + 6^{t} = 4^{t}$

$\Leftrightarrow 2. {(\frac{9}{4})}^{t} + (\frac{3}{2}) {}^{t}- 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {(\frac{3}{2})}^{t} = - 1 (l o a i) \\ {(\frac{3}{2})}^{t} = \frac{1}{2} \end{array}$ .

Ta có : $\frac{x}{y} = \frac{9^{t}}{6^{t}} = {(\frac{3}{2})}^{t} = \frac{1}{2}$

Câu 26:

Với a là số thực dương tùy,bằng

A. $2 \log_{5} a$

B. $2 + \log_{5} a$

C . $\frac{1}{2} + \log_{5} a$

D. $\frac{1}{2} \log_{5} a$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có .

Câu 27:

Nghiệm phương trình

3^{2 x - 1} = 27

là

A. x=5

B. x=1

C. x=2

D. x=4

Xem đáp án

Chọn C

Ta có

Nghiệm phương trình 3^2x-1=27 là (ảnh 1)

Câu 28:

Cho hàm sốcó đạo hàm là

A. Cho hàm số y= 2^x^2-3x có đạo hàm là (ảnh 2)

B. Cho hàm số y= 2^x^2-3x có đạo hàm là (ảnh 3)

C. Cho hàm số y= 2^x^2-3x có đạo hàm là (ảnh 4)

D. Cho hàm số y= 2^x^2-3x có đạo hàm là (ảnh 5)

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Câu 29:

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn $a^{4} b = 16$ . Giá trị củabằng

A.4

B. 2

C. 18

D. 6

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a^4b=16 . Giá trị của 4log2a+log2 b bằng (ảnh 2)

Câu 30:

Nghiệm của phương trình Nghiệm của phương trình log3(x+1) +1=log3(4x+1) là (ảnh 1) là

A. x=3

B. x=-3

C. x=4

D.x= 2

Xem đáp án

Chọn D

·

· .

· Vậy (1) có một nghiệm x=2.

Câu 31:

Với a là số thực dương tùy ý,

\ln (5 a) - \ln (3 a)

bằng

A. $\frac{\ln (5 a)}{\ln (3 a)}$

B. $\ln (2 a)$

C. $\ln \frac{5}{3}$

D. $\frac{\ln 5}{\ln 3}$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $\ln (5 a) - \ln (3 a) = \ln \frac{5 a}{3 a} = \ln \frac{5}{3}$ .

Câu 32:

Phương trình $2^{2 x + 1} = 32$ có nghiệm là

A. $x = \frac{5}{2}$

B. $x = 2$

C. $x = \frac{3}{2}$

D. $x = 3$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $2^{2 x + 1} = 32 \Leftrightarrow 2 x + 1 = 5 \Leftrightarrow x = 2$

Câu 33:

Xét các số thực x,y thỏa mãn $2^{x^{2} + y^{2} + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2) {.4}^{x}$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{8 x + 4}{2 x - y + 1}$ gần nhất với số nào dưới đây

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn C

Nhận xét $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 > 0 \forall x; y$

Bất phương trình $2^{x^{2} + y^{2} + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2) {.4}^{x} \Leftrightarrow \frac{2^{x^{2} + y^{2} + 1}}{2^{2 x}} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2)$ .

$\Leftrightarrow 2^{x^{2} + y^{2} - 2 x + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2)$

Đặt $t = x^{2} + y^{2} - 2 x + 1$

Bất phương trình $\Leftrightarrow 2^{t} \leq t + 1$ $\Leftrightarrow 2^{t} - t - 1 \leq 0$

Đặt $f (t) = 2^{t} - t - 1$ . Ta thấy $f (0) = f (1) = 0$ .

Ta có $f^{'} (t) = 2^{t} \ln 2 - 1$

$f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow 2^{t} \ln 2 = 1 \Leftrightarrow t = \log_{2} (\frac{1}{\ln 2}) \approx 0, 52$

Xét các số thực x,y thỏa mãn 2^x^2+y^2+1<=(x^2+y^2-2x+2).4^x. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=8x+4/2x-y+1 gần nhất (ảnh 1)

Quan sats BBT ta thấy $f (t) \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq t \leq 1$

$0 \leq x^{2} + y^{2} - 2 x + 1 \leq 1 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} \leq 1 (1)$

Xét $P = \frac{8 x + 4}{2 x - y + 1} \Leftrightarrow 2 P x - P y + P = 8 x + 4$

$\Leftrightarrow P - 4 = (8 - 2 P) x + P y$ $\Leftrightarrow P - 4 + 2 P - 8 = (8 - 2 P) x + 2 P - 8 + P y$

$\Leftrightarrow 3 P - 12 = (8 - 2 P) (x - 1) + P y$

$\Leftrightarrow {(3 P - 12)}^{2} = {[(8 - 2 P) (x - 1) + P y]}^{2} \leq [{(8 - 2 P)}^{2} + P^{2}] [{(x - 1)}^{2} + y^{2}]$

Thế vào ta có ${(3 P - 12)}^{2} \leq [{(8 - 2 P)}^{2} + P^{2}] \Leftrightarrow 4 P^{2} - 40 P + 80 \leq 0 \Leftrightarrow 5 - \sqrt{5} \leq P \leq 5 + \sqrt{5}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} \frac{8 - 2 P}{P} = \frac{x - 1}{y} = \frac{- 2}{\sqrt{5}} \\ {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 = \frac{- 2}{\sqrt{5}} y \\ {(\frac{- 2}{\sqrt{5}} y)}^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 = \frac{- 2}{\sqrt{5}} y \\ y = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = \frac{1}{3} \\ y = \frac{\sqrt{5}}{3} \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = \frac{5}{3} \\ y = \frac{- \sqrt{5}}{3} \end{cases} \end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của là $5 - \sqrt{5} \approx 2, 76$ gần giá trị 3 nhất.

Câu 34:

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(m; n)$ sao cho $m + n \leq 10$ và ứng với mỗi cặp $(m; n)$ tồn tại đúng 3 số thực $a \in (- 1; 1)$ thỏa mãn $2 a^{m} = n \ln (a + \sqrt{a^{2} + 1})$ ?

A. 7

B. 8

C. 10

D. 9

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $2 a^{m} = n \ln (a + \sqrt{a^{2} + 1}) \Leftrightarrow \frac{2 a^{m}}{n} = \ln (a + \sqrt{a^{2} + 1})$ .

Xét hai hàm số $f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ và $g (x) = \frac{2}{n} x^{m}$ trên $(- 1; 1)$ .

Ta có $f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} > 0$ nên $f (x)$ luôn đồng biến và

$f (- x) = \ln (- x + \sqrt{x^{2} + 1}) = \ln (\frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}) = - \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = - f (x)$ nên $f (x)$ là hàm số lẻ.

+ Nếu m chẵn thì $g (x)$ là hàm số chẵn và có bảng biến thiên dạng

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (m,n) sao cho M+n<=10 và ứng với mỗi cặp (m,n) tồn tại đúng 3 số thực (ảnh 1)

Suy ra phương trình có nhiều nhất 2 nghiệm, do đó m lẻ.

+ Nếu m lẻ thì hàm số $g (x)$ là hàm số lẻ và luôn đồng biến.

Ta thấy phương trình luôn có nghiệm $x = 0$ . Dựa vào tính chất đối xứng của đồ thị hàm số lẻ, suy ra phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên $(- 1; 1)$ khi có 1 nghiệm trên (0,1), hay $f (1) > g (1) \Leftrightarrow \ln (1 + \sqrt{2}) < \frac{2}{n} \Leftrightarrow n < \frac{2}{\ln (1 + \sqrt{2})} \approx 2, 26 \Rightarrow n \in \{1; 2\}$ .

Đối chiếu điều kiện, với $n = 1$ suy ra , có $m \in \{1; 3; 5; 7; 9\}$ cặp số thỏa mãn

Với n=2 thì $m \in \{1; 3; 5; 7\}$ có 4 cặp số thỏa mãn.

Vậy có 9 cặp số thỏa mãn bài toán.

Câu 35:

Xét các số thực x và y thỏa mãn $2^{x^{2} + y^{2} + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2) 4^{x}$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{4 y}{2 x + y + 1}$ gần nhất với số nào dưới đây?

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Ta có: $2^{x^{2} + y^{2} + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2) 4^{x} \Leftrightarrow 2^{x^{2} - 2 x + 1 + y^{2}} \leq (x^{2} - 2 x + 1) + y^{2} + 1$ .

Đặt $t = x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} \Rightarrow t \geq 0$ . Khi đó ta có $2^{t} \leq t + 1$ , $\forall t \geq 0$ .

Đặt $f (t) = 2^{t} - t - 1, \forall t \geq 0$ , ta có: $f^{'} (t) = 2^{t} \ln 2 - 1$ , cho $f^{'} (t) = 0$ .

Ta nhận thấy phương trình $f^{'} (t) = 0$ có một nghiệm nên phương trình $f (t) = 0$ có tối đa hai nghiệm.

Mặt khác ta có $f (0) = f (1) = 0$ . Suy ra phương trình $f (t) = 0$ có hai nghiệm $t = 1$ và $t = 0$ .

Khi đó ta có bảng xét dấu của hàm số như sau:

Xét các số thực x và y thỏa mãn 2^x^2+y^2+1<=(x^2+y^2-2x+2)4x^2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P=4y/2x+y+1 gần nhất (ảnh 1)

Khi đó $f (t) \leq 0 \Leftrightarrow t \in [0; 1]$ . Suy ra $x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} \leq 1 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} \leq 1$ .

Khi đó tập hợp các điểm $M (x; y)$ là một hình tròn $(S)$ tâm $I (1; 0)$ , bán kính $R = 1$ .

Ta có: $P = \frac{4 y}{2 x + y + 1} \Leftrightarrow 2 P x + (P - 4) y + P = 0$ .

Khi đó ta cũng có tập hợp các điểm $M (x; y)$ là một đường thẳng .

Để $Δ$ và có điểm chung, ta suy ra $d (I, Δ) \leq 1$ .

$\Leftrightarrow \frac{|2 P + P|}{\sqrt{{(2 P)}^{2} + {(P - 4)}^{2}}} \leq 1 \Leftrightarrow 3 |P| \leq \sqrt{5 P^{2} - 8 P + 16}$

$\Leftrightarrow 4 P^{2} + 8 P - 16 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 - \sqrt{5} \leq P \leq - 1 + \sqrt{5}$ .

Ta suy ra $P_{\max} = - 1 + \sqrt{5}$ . Dấu $" = "$ xảy ra khi $\{\begin{cases} x = \frac{1}{3} \\ y = - \frac{\sqrt{5}}{3} \end{cases}$

Câu 36:

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(m, n)$ sao cho $m + n \leq 12$ và ứng với mỗi cặp $(m, n)$ tồn tại đúng 3 số thực $a \in (- 1, 1)$ thỏa mãn $2 a^{m} = n \ln (a + \sqrt{a^{2} + 1})$ ?

A. 12

B. 10

C. 11

D. 9

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $2 a^{m} = n \ln (a + \sqrt{a^{2} + 1}) \Leftrightarrow \frac{2}{n} a^{m} = \ln (a + \sqrt{a^{2} + 1}) (*)$ .

Xét hàm $f (a) = \ln (a + \sqrt{a^{2} + 1})$ trên $(- 1, 1)$ (dễ thấy hàm f lẻ, đồng biến trên R), có BBT:

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (m,n) sao cho m+n<=12 và ứng với mỗi cặp (m,n) tồn tại đúng 3 số thực 3 thỏa mãn a thuộc (-1,1) ? (ảnh 1)

Xét hàm $g (a) = \frac{2}{n} . a^{m}$ trên $(- 1, 1)$ .

Với m chẵn, $g (a)$ là hàm chẵn và $g (a) \geq 0, \forall a \in R$ , do đó $(*)$ không thể có 3 nghiệm.

Với m lẻ, $g (a)$ là hàm lẻ, đồng biến trên và tiếp tuyến của đồ thị tại điểm a=0 là đường thẳng y=0.

Dễ thấy $(*)$ có nghiệm $a = 0 \in (- 1; 1)$ . Để $(*)$ có đúng 3 nghiệm tức là còn có 2 nghiệm nữa là $\pm a_{0}$ với $0 < a_{0} < 1$ .

Muốn vậy, thì $g (1) = \frac{2}{n} {.1}^{m} = \frac{2}{n} > f (1) = \ln (1 + \sqrt{2}) \Leftrightarrow n < \frac{2}{\ln (1 + \sqrt{2})} \approx 2, 26 \Rightarrow n = 1; n = 2$

Cụ thể:

+ $m \in \{3; 5; 7; 9\}$ thì $n \in \{1; 2\}$ : Có 8 cặp $(m, n)$

+ $m = 11$ thì : $n \in \{1\}$ Có cặp $(m, n)$

+ $m = 1$ : Đồ thị hàm số $g (a)$ là đường thẳng ( $g (a) = a; g (a) = 2 a$ ) không thể cắt đồ thị hàm số $f (a)$ tại giao điểm $a_{0} \neq 0$ được vì tiếp tuyến của hàm số $f (a)$ tại điểm có hoành độ $a = 0$ là đường thẳng $y = a$ .

Vậy có cả thảy 9 cặp $y = a$

Câu 37:

Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 127 số nguyên

\log_{3} (x^{2} + y) \geq \log_{2} (x + y)

thỏa mãn ?

A. 89

B. 46

C. 45

D. 90

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $\log_{3} (x^{2} + y) \geq \log_{2} (x + y) (1)$

Đặt $t = x + y \in ℕ *$ (do $x, y \in ℤ, x + y > 0$ )

$(1) \Leftrightarrow \log_{3} (x^{2} - x + t) \geq \log_{2} t \Leftrightarrow g (t) = \log_{2} t - \log_{3} (x^{2} - x + t) \leq 0 (2)$

Đạo hàm $g^{'} (t) = \frac{1}{t \ln 2} - \frac{1}{(x^{2} - x + t) \ln 3} > 0$ với mọi y. Do đó $g (t)$ đồng biến trên $[1; + \infty)$

Vì mỗi x nguyên có không quá 127 giá trị $t \in ℕ *$ nên ta có

$g (128) > 0 \Leftrightarrow \log_{2} 128 - \log_{3} (x^{2} - x + 128) > 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - x + 128 < 3^{7} \Leftrightarrow - 44, 8 \leq x \leq 45, 8$

Như vậy có 90 giá trị thỏa yêu cầu bài toán

Câu 38:

Xét các số thực dương $a, b, x, y$ thỏa mãn $a > 1, b > 1$ và $a^{x} = b^{y} = \sqrt{a b}$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x + 2 y$ thuộc tập hợp nào dưới đây?

A. $(1; 2)$

B. $[2; \frac{5}{2})$

C. $[3; 4)$

D. $[\frac{5}{2}; 3)$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $a, b > 1$ và $x, y > 0$ nên $a^{x}; b^{y}; \sqrt{a b} > 1$

Do đó: $a^{x} = b^{y} = \sqrt{a b}$ $\Leftrightarrow \log_{a} a^{x} = \log_{a} b^{y} = \log_{a} \sqrt{a b} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{a} b \\ 2 y = 1 + \log_{b} a \end{cases}$ .

Khi đó, ta có: $P = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \log_{a} b + \log_{b} a$ .

Lại do $a, b > 1$ nên $\log_{a} b, \log_{b} a > 0$ .

Suy ra $P \geq \frac{3}{2} + 2 \sqrt{\frac{1}{2} \log_{a} b . \log_{b} a} = \frac{3}{2} + \sqrt{2}$ , $P = \frac{3}{2} + \sqrt{2} \Leftrightarrow \log_{a} b = \sqrt{2}$ .

Lưu ý rằng, luôn tồn tại $a, b > 1$ thỏa mãn $\log_{a} b = \sqrt{2}$ .

Vậy $\min P = \frac{3}{2} + \sqrt{2} \in [\frac{5}{2}; 3)$ .

Câu 39:

Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn $\log_{3} (x + y) = \log_{4} (x^{2} + y^{2})$ ?

A. 3

B. 2

C. 1

D. Vô số

Xem đáp án

Chọn B.

Điều kiện: $\{\begin{cases} x + y > 0 \\ x^{2} + y^{2} > 0 \end{cases} .$

Điều kiện cần

Đặt $t = \log_{3} (x + y) = \log_{4} (x^{2} + y^{2}) \Rightarrow \{\begin{cases} x + y = 3^{t} (d) \\ x^{2} + y^{2} = 4^{t} (C) \end{cases}$ .

Suy ra $x, y$ tồn tại nếu đường thẳng d cắt đường tròn $(C)$ tại ít nhất một điểm.

Hay $\frac{|- 3^{t}|}{\sqrt{2}} \leq 2^{t} \Rightarrow t \leq \log_{\frac{3}{2}} \sqrt{2} \approx 0, 8548.$

Khi đó:

x^{2} + y^{2} \leq 4^{^{\log_{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}} \approx 3, 27 \Rightarrow \{\begin{cases} 0 \leq x^{2} \leq 3 \\ x \in ℤ \end{cases} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 1 \end{array} .

Điều kiện đủ:

 Với $x = - 1 \Rightarrow \{\begin{cases} y = 3^{t} + 1 \\ y^{2} = 4^{t} - 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 4^{t} - 1 > 0 \\ 4^{t} - 1 = {(3^{t} + 1)}^{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} t > 0 \\ f (t) = 9^{t} + {2.3}^{t} + 2 - 4^{t} = 0 \end{cases}$ .

Khi $0 < t < 0, 8548 \Rightarrow 9^{t} \geq 4^{t} \Rightarrow f (t) > 0$ . Suy $x = - 1 (l)$ .

 Với $x = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} y = 3^{t} \\ y^{2} = 4^{t} \end{cases} \Rightarrow 4^{t} = 3^{t} \Rightarrow t = 0 \Rightarrow y = 1 (t / m)$ .

 $x = 1 \Rightarrow \{\begin{cases} y = 3^{t} - 1 \\ y^{2} = 4^{t} - 1 \end{cases} \Rightarrow y = t = 0 (t / m)$ .

Câu 40:

Cho phương trình $\log_{2}^{2} (2 x) - (m + 2) \log_{2} x + m - 2 = 0$ (m là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[1; 2]$ .

A. $(1; 2)$

B. $[1; 2]$

C. $[1; 2)$

D. $[2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện: $x > 0$ .

$p t \Leftrightarrow {(1 + \log_{2} x)}^{2} - (m + 2) \log_{2} x + m - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \log_{2}^{2} x - m \log_{2} x + m - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{2} x = 1 \\ \log_{2} x = m - 1 \end{array}$

Ta có: $x \in [1; 2] \Leftrightarrow \log_{2} x \in [0; 1]$ .

Vậy để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[1; 2]$ khi và chỉ khi $0 \leq m - 1 < 1 \Leftrightarrow 1 \leq m < 2$ .

Câu 41:

Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $0 \leq x \leq 2000$ và $\log_{3} (3 x + 3) + x = 2 y + 9^{y}$ ?

A. 2019

B. 6

C. 2020

D. 4

Xem đáp án

Đáp án D

+ Ta có: $\log_{3} (3 x + 3) + x = 2 y + 9^{y} \Leftrightarrow 1 + \log_{3} (x + 1) + x = 2 y + 9^{y} (1)$ .

+ Đặt $t = \log_{3} (x + 1)$ . Suy ra: $x + 1 = 3^{t} \Leftrightarrow x = 3^{t} - 1$ .

Khi đó: $(1) \Leftrightarrow t + 3^{t} = 2 y + 3^{2 y} (2)$ .

Xét hàm số: $f (h) = h + 3^{h}$ , ta có: $f^{'} (h) = 1 + 3^{h} . \ln 3 > 0 \forall h \in ℝ$ nên hàm số $f (h)$ đồng biến trên R.

Do đó: $(2) \Leftrightarrow f (t) = f (2 y) \Leftrightarrow t = 2 y \Leftrightarrow \log_{3} (x + 1) = 2 y \Leftrightarrow x + 1 = 3^{2 y} \Leftrightarrow x + 1 = 9^{y}$ .

+ Do $0 \leq x \leq 2020$ nên $1 \leq x + 1 \leq 2021 \Leftrightarrow 1 \leq 9^{y} \leq 2021 \Leftrightarrow 0 \leq y \leq \log_{9} 2021 \approx 3, 46$ .

Do $y \in ℤ$ nên $y \in \{0; 1; 2; 3\}$ , với mỗi giá trị y cho ta 1 giá trị x thoả đề.

Vậy có 4 cặp số nguyên $(x; y)$ thoả đề.

Câu 42:

Cho phương trình(m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm

A. 2

B. 4

C. 3

D. vô số

Xem đáp án

Chọn A

Điều kiện: $x > \frac{1}{3}$

Phương trình tương đương với:

Cho phương trình log9x^2-log3(3x-1)=-log3m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình (ảnh 2)

Xét

Bảng biến thiên

Cho phương trình log9x^2-log3(3x-1)=-log3m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình (ảnh 4)

Để phương trình có nghiệm thì $m \in (0, 3)$ , suy ra có 2 giá trị nguyên thỏa mãn

Câu 43:

Cho phương trình( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt

A. 49

B. 49

C. vô số

D. 48

Xem đáp án

Chọn B

Điều kiện:

Với m=1, phương trình trở thành

Cho phương trình (4log2^2x+logx-5)căn 7^x-m =0 ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để (ảnh 4)

Phương trình này có hai nghiệm (thỏa)

Với $m \geq 2$ , điều kiện phương trình là

Pt

Dokhông là số nguyên, nên phương trình có đúng 2 nghiệm khi và chỉ khi

(nghiệm không thỏa điều kiện và nghiệm x=2 thỏa điều kiện và khác )

Vậy. Suy ra có 46 giá trị của m .

Do đó có tất cả 47 giá trị của m

Câu 44:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình $16^{x} - m {.4}^{x + 1} + 5 m^{2} - 45 = 0$ có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

A. 13

B. 3

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Chọn B.

Đặt $t = 4^{x}$ , $t > 0$ . Phương trình đã cho trở thành

$t^{2} - 4 m t + 5 m^{2} - 45 = 0$ .

Với mỗi nghiệm $t > 0$ của phương trình $(*)$ sẽ tương ứng với duy nhất một nghiệm x của phương trình ban đầu. Do đó, yêu cầu bài toán tương đương phương trình $(*)$ có hai nghiệm dương phân biệt. Khi đó

$\{\begin{cases} Δ^{'} > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - m^{2} + 45 > 0 \\ 4 m > 0 \\ 5 m^{2} - 45 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 3 \sqrt{5} < m < 3 \sqrt{5} \\ m > 0 \\ [\begin{array}{l} m < - 3 \\ m > 3 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow 3 < m < 3 \sqrt{5}$ .

Do $m \in ℤ$ nên $m \in \{4; 5; 6\}$ .

Câu 45:

Cho $a > 0$ , $b > 0$ thỏa mãn $\log_{3 a + 2 b + 1} (9 a^{2} + b^{2} + 1) + \log_{6 a b + 1} (3 a + 2 b + 1) = 2$ . Giá trị của $a + 2 b$ bằng

A. 6

B. 9

C. $\frac{7}{2}$

D. $\frac{5}{2}$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $a > 0$ , $b > 0$ nên $\{\begin{cases} 3 a + 2 b + 1 > 1 \\ 9 a^{2} + b^{2} + 1 > 1 \\ 6 a b + 1 > 1 \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} \log_{3 a + 2 b + 1} (9 a^{2} + b^{2} + 1) > 0 \\ \log_{6 a b + 1} (3 a + 2 b + 1) > 0 \end{cases}$

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương ta được

$\log_{3 a + 2 b + 1} (9 a^{2} + b^{2} + 1) + \log_{6 a b + 1} (3 a + 2 b + 1) \geq 2 \sqrt{\log_{3 a + 2 b + 1} (9 a^{2} + b^{2} + 1) + \log_{6 a b + 1} (3 a + 2 b + 1)}$

$\Leftrightarrow 2 \geq 2 \sqrt{\log_{6 a b + 1} (9 a^{2} + b^{2} + 1)} \Leftrightarrow \log_{6 a b + 1} (9 a^{2} + b^{2} + 1) \leq 1 \Leftrightarrow 9 a^{2} + b^{2} + 1 \leq 6 a b + 1$

$\Leftrightarrow {(3 a - b)}^{2} \leq 0 \Leftrightarrow 3 a = b$

Vì dấu “ ” đã xảy ra nên

$\log_{3 a + 2 b + 1} (9 a^{2} + b^{2} + 1) = \log_{6 a b + 1} (3 a + 2 b + 1) \Leftrightarrow \log_{3 b + 1} (2 b^{2} + 1) = \log_{2 b^{2} + 1} (3 b + 1)$

$\Leftrightarrow 2 b^{2} + 1 = 3 b + 1 \Leftrightarrow b = \frac{3}{2}$ (vì $b > 0$ ). Suy ra $a = \frac{1}{2}$ .

Vậy $a + 2 b = \frac{1}{2} + 3$ $= \frac{7}{2}$ .

Câu 46:

Cho phương trình $5^{x} + m = \log_{5} (x - m)$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in (- 20; 20)$ để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 20

B. 19

C. 9

D. 21

Xem đáp án

Chọn B.

Điều kiện $x > m$

Ta có $5^{x} + m = \log_{5} (x - m) \Leftrightarrow 5^{x} + x = x - m + \log_{5} (x - m) \Leftrightarrow 5^{x} + x = 5^{\log_{5} (x - m)} + \log_{5} (x - m)$ .

Xét hàm số $f (t) = 5^{t} + t$ , $f^{'} (t) = 5^{t} \ln 5 + 1 > 0, \forall t \in ℝ$ , do đó từ (1) suy ra $x = \log_{5} (x - m) \Leftrightarrow m = x - 5^{x}$ .

Xét hàm số $g (x) = x - 5^{x}$ , $g^{'} (x) = 1 - 5^{x} . \ln 5$ , $g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \log_{5} \frac{1}{\ln 5} = - \log_{5} \ln 5 = x_{0}$ .

Bảng biến thiên

Cho phương trình 5^x+m=log59x-m) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc (-20,20) để phương trình đã cho có nghiệm? (ảnh 1)

Do đó để phương trình có nghiệm thì $m \leq g (x_{0}) \approx - 0, 92$ .

Các giá trị nguyên của $m \in (- 20; 20)$ là $\{- 19; - 18; ...; - 1\}$ , có 19 giá trị m thỏa mãn.